概率论课后习题解答

一、习题详解：

1.1 写出下列随机试验的样本空间：

(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;

解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω；

(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;

解：}{12,11,4,3,22 =Ω；

(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;

解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{

,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：

()}{;51,4≤≤=Ωj i j i

(5) 检查两件产品是否合格;

解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；

(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；

(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;

解：}{207 x x =Ω；

(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.

解：()}{

l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；

1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：

(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；

(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃；

(3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；

(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃；

(5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃；

(6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ；

(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；

注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

1.3 设样本空间}{20≤≤=Ωx x , 事件A =}{15.0≤≤x x ,}{6.18.0≤=x x B 具体写出下列各事件：

(1) AB ; (2) B A - ; (3) B A -; (4) B A ⋃

（1）AB }{18.0≤=x x ；

(2) B A -=}{8.05.0≤≤x x ；

(3) B A -=}{28.05.00≤⋃≤≤x x x ;

(4) B A ⋃=}{26.15.00≤⋃≤≤x x x

1.4 用作图法说明下列各命题成立：

略

1.5 用作图法说明下列各命题成立：

略

1.6 按从小到大次序排列)()(),(),(),(B P A P AB P B A P A P +⋃, 并说明理由.

解：由于),(,B A A A AB ⋃⊆⊆故)()()(B A P A P AB P ⋃≤≤，而由加法公式，有：)()()(B P A P B A P +≤⋃

1.7 若W 表示昆虫出现残翅, E 表示有退化性眼睛, 且P(W) = 0.125; P(E) = 0.075, P(WE) = 0.025, 求下列事件的概率：

(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛;

(2) 昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛;

(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛.

解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：

175.0)()()()(=-+=⋃WE P E P W P E W P

(2) 由于事件W 可以分解为互斥事件E W WE ,，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件 概率为：1.0)()()(=-=W E P W P E W P

(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：825.0)(1)(=⋃-=E W P E W P .

1.8 设A 与B 是两个事件, P(A) = 0.6; P(B) = 0.8。试问：

(1) 在什么条件下P(AB) 取到最大值? 最大值是多少?

(2) 在什么条件下P(AB) 取到最小值? 最小值是多少?

解：(1) 由于B AB A AB ⊆⊆,，故),()(),()(B P AB P A P AB P ≤≤显然当B A ⊆时P(AB)

取到最大值。 最大值是0.6.

(2) 由于)()()()(B A P B P A P AB P ⋃-+=。显然当1)(=⋃B A P 时P(AB) 取到最小值，最小值是0.4.

1.9 设P(A) = 0.2, P(B) = 0.3, P(C) = 0.5, P(AB) = 0, P(AC) = 0.1, P(BC) = 0.2, 求事件 A,B,C 中至少有一个发生的概率.

解：因为 P(AB) = 0，故 P(ABC) = 0.C B A ,,至少有一个发生的概率为：

7.0)()()()()()()()(=+---++=⋃⋃ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P

1.10 计算下列各题：

(1) 设P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(A ⋃B) = 0.6, 求P(AB);

(2) 设P(A) = 0.8, P(A ⋃B) = 0.4, 求P(AB);

(3) 设P(AB) = P(A B); P(A) = 0.3, 求P(B)。

解：

（1）通过作图，可以知道，3.0)()()(=-⋃=B P B A P B A P

（2）6.0))()((1)(1)(=---=-=B A P A P AB P AB P 7

.0)(1)()

()()(1))

()()((1)(1)()()3(=-=+--=-+-=⋃-==A P B P AB P B P A P AB P B P A P B A P B A P AB P 由于

1.11 把3个球随机地放入4个杯子中，求有球最多的杯子中球数是1，2，3 概率各为多少？ 解：用i A 表示事件“杯中球的最大个数为i 个” i =1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有

44464⨯⨯=种，每种放法等可能。

对事件1A ：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4×3×2种，故83)(1=A P

(选排列：好比3个球在4个位置做排列)。

对事件3A ：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)，故161)(3=A P 。16

9161831)(2=--=A P

1.12 掷一颗匀称的骰子两次, 求前后两次出现的点数之和为3; 4; 5 的概率各是多少?

解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。.出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。故前后两次出现的点数之和为3的概率为18

1。