椭圆双曲线知识点总结.docx

【知识点1】椭圆的概念：

在平面内到两定点 F l 、F 2的距离的和等于常数(大于∣F I F 2∣)的点的轨迹叫木椭圆—这两定点叫做椭圆的焦点_ 两 焦点间的距离叫做焦距.

当动点设为M 时，椭圆即为点集 P MlMF Ill MF 2 2a

注意：若(PR PF 2

F 1F 2 ),则动点P 的轨迹为线段F 1F 2 ;

若(PF i |

∣PF 2 I ∣F 1F 2),则动点P 的轨迹无图形。

【知识点2】椭圆的标准方程

2 2

焦点在X 轴上椭圆的标准方程：刍占1 a b O ,焦点坐标为(c , O), (-c , 0)

a b

2 2

焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：

-y r 1 a b 0焦点坐标为(0, c,) (o , -C)

b a

【知识点3】椭圆的几何性质：

个轴上.

⑵椭圆上任意一点…M 到焦点...F..的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离.... 为一 .a ± C )一最小距离为...a.- C.

C

⑶在椭圆中，离心率e —

a

(4)椭圆的离心率e 越接近1椭圆越扁；e 越接近于0,椭圆就接近于圆;

椭圆知识点

标准方程

2 2

-2 IabO

a b

2 2

二厶 1 a b 0 b a

图形

性质

范围 a Xa

b y b

对称性 对称轴：坐标轴

对称中心：原点

顶点

A 1( — a,0), A 2(a,O)

B 1(O ,- b), B 2(O , b)

A 1 (0, — a), A 2(O , a)

B 1(— b,0), B 2(b,O)

轴 长轴A 1A 2的长为2a ;短轴B 1B 2的长为2b

焦距

∣ F 1F 2 |=2c

离心率

e=-c ∈ (0,1)

a

a ,

b , C 的关系

c 2 = a 2- b 2

规律：

⑴椭圆焦.点.位 置与一 x 2, y 2系数 间的关系:…焦点 在分母大的那

2

C 2

a

【知识点4】椭圆中的焦点三角形：

余弦定理：∣ F 1F 2 ∣2= ∣ PF 1 I 2+ ∣ PF 2 ∣ 2-2 ∣ PF 1 ∣∣ PF 2 ∣ CoS θ∠ F 1PF 2= θ

(5)离心率公式：在

F 1PF 2 中， PF 1F 2

,PF 2F 1 , e

Sin

Sin Sin

二、椭圆其他结论

1、若P Q (X Q ,Y O )在椭圆

2 2 X y

2

,2

a

b

1上，则过 F Q 的椭圆的切线方程是 X o X 2 a

y o y I 歹

1

若已知切线斜率 K , 切线方程为

y kX

.a 2k 2 b 2

2

X o X -2"" a y 0y 2

X 3、椭圆— a b 2

(a >b >0)的左右焦点分别为 F 1, F 2,点P 为椭圆上任意一点

F 1PF 2

,则椭圆的焦点

b 2 tan — 2

以焦点半径 PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切. 角形的面积为 S F I PF 2 过焦点的弦中,

2b 2 通径(过焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦)最短——

a

过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点, A i P 和A 2Q 交于点M , A 2P 和

8、 A i Q 交于点N ， 贝U MF 丄

NF 。

AB 是椭圆 即K AB

2

X

~~2

a

2

y

b 2 b X 0

~-

。

a y 。

若P 0(χ0, y o )在椭圆

若P 0(χ0,y o )在椭圆

10、若P 为短轴顶点，则

1的不平行于对称轴的弦， M (x °,y °

)为AB 的中点，则 k OM k AB

b 2

~2 ,

a

2

X a 2 y

2

1内，则被 b 2

2

每 1内，则过 b

F 1PF 2

最大

Po 所平分的中点弦的方程是 X o X -

2

a Y Q

Y

2

X 0

-

2 a

Y Q 2

b 2

2

X Po 的弦中点的轨迹方程是 — a

2

工 b 2 X 0X -

T a

y °y b 2

2

-y 2

1外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为

b 2

2、若 P o (χ°,y o )在椭圆

P l 、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是

定 义:I PF 1 I + I PF 2 I= 2a

I F 1F 2 ∣ =2c