附录：母函数和特征函数简介

§1 母函数（生成函数）简介

对于取值非负整数的随机变量，其母函数有极其良好的性质且又便于计算和分析，因此引入母函数是非常必要的。母函数又称生成函数(Generating function)。

母函数的定义

● 定义：对于数列}0,{≥n a n ，称幂级数

)1(0

≤∑∞

=s s

a n n

n 为}0,{≥n a n 的母函数。

● 定义：设X 为取值于非负整数集的随机变量，分布律为

{},0,1,2,

k P X k p k ===，则称

1)(ˆ)(0≤==∑∞

=s s p s E s g k k

k X

为随机变量X 的概率母函数，简称母函数。

一些常用分布的母函数

（1） 若).(~p n B X ，则n sp q s g )()(+=

（2） 若

~()X P λ，则)

1()(-=s e

s g λ

（3） 若)(~p G X ，则qs

ps

s g -=1)(

母函数的基本性质

（1）X 的母函数与其分布律是一一对应的，且有!

)0()(k g p k k =

（2）设非负整数值随机变量n X X X ,,,21 相互独立，而n g g g ,,,21 分别是它们的母函数，则∑==

n

k k

X

Y 1

的母函数为：

)()()()(21s g s g s g s g n Y =

（3）设随机变量X 的母函数为)(s g ，则有：

（a ）)1()(g X E '=

（b ）2)]1([)1()1()()(g g g X Var X D '-'+''==

母函数的应用

（4） 设n X X X ,,,21 独立同分布，且).1(~p B X i ，求∑==

n

k k

X

Y 1

的分布。

（5） 设21,X X 独立，且2,1,).(~=i p n B X i i ，证明),(~2121p n n B X X ++。 （6） 设

2

1,X X 独立，且

~(),1,2

i i X P i λ=，证明

)(~2121λλ++Po X X 。

§2 特征函数

1． 特征函数的定义

● 定义：如果Y X ,均为概率空间),,(P ∑Ω上的实值随机变量，则称Y i X +=ξ为一复

随机变量，且定义复随机变量的数学期望为EY i EX E +=ξ。 由以上定义，有}{sin }{cos }sin {cos }{X t iE X t E X t i X t E e

E X

t i +=+=。

● 定义：若随机变量X 的分布函数为)(x F X ，则称：

)()sin (cos ˆ)(ˆ)(x dF tx i tx x dF e Ee t X X itx itX ⎰⎰∞

∞

-∞∞

-+===ϕ

为随机变量X 的特征函数（c.f.）

● 特征函数其实就是随机变量函数的数学期望。 ● 特征函数的简单性质

（1）由于1≤itX

e

，所以对任意随机变量，特征函数都有意义

（2）特征函数是一实变量的复值函数

（3）特征函数只与分布函数有关，因此又称为某一分布的特征函数

（4）若X 的特征函数为)(t ϕ，则bX a +的特征函数为)(}exp{

bt ita ϕ函数 （5）1)0(=ϕ

（6）对离散型的随机变量X ，其分布率为 2,1}{===j p x X P j j ，则其特征函数为∑∞

==

1

}exp{)(j j j

itx p

t ϕ，若是连续型随机变量，概率密度为)(x f ，则其特征函数为

⎰∞

∞

-=dx x f itx t )(}exp{)(ϕ。

2．几种常见分布的特征函数

（1） 若),1(~p B X ，则q p it t +=}exp{)(ϕ （2） 若)(~λPo X ，则)}1(exp{)(-=it e t λϕ （3） 若),(~2σμN X ，则⎭

⎬⎫⎩⎨⎧

-=2221exp )(t t i t σμϕ

2． 特征函数的性质

性质1

1)0()(=≤ϕϕt ，且)()(t t ϕϕ=-。

性质2 )(t ϕ在),(∞+-∞上一致连续

性质3 若}{k

X E 存在，则对于),(∞+-∞∈t ，)

(t ϕk 阶可导，且

}{)()(itX k k k e X E i t =ϕ 特别有 }{)0()(k k k X E i =ϕ

性质 4 )(t ϕ具有非负定性，即对于任意的正整数n 及任意的实数n t t t ,,,21 与复数

n λλλ,,,21 ，总有：

0)(11

≥-∑∑==n k n

j j k j k

t t

λλϕ

性质 5 设n X X X ,,,21 相互独立，n ϕϕϕ,,,21 分别为它们的特征函数，则

n X X X Y +++= 21的特征函数为 n ϕϕϕ 21

3． 特征函数与分布函数的关系

● 定理1：分布函数)(x F 到特征函数)(t ϕ的变换是一一对应的。 ● 定理2：分布函数序列}1,{≥n F n 与分布函数)(x F 具有关系：

)()(lim x F x F n n =∞

→ （对任意)(x F 的连续点）

当且仅当：

)()(lim t t n n ϕϕ=∞

→

其中)(t ϕ是)(x F 的特征函数，)(t n ϕ是)(x F n 的特征函数。