线性代数第四章答案
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第四章 向量组的线性相关性
1
设v 1(1 1 0)T v 2(0 1 1)T v 3(3 4 0)T 求v 1v 2及
3v 12v 2v 3
解 v 1v 2(1 1 0)T (0 1
1)T
(10 11 01)T
(1 0
1)T
3v 12v 2v 33(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3
4 0)T
(31203 31214 30210)T (0 1 2)T
2 设3(a 1a )2(a 2a )5(a 3a ) 求a 其中a 1(2 5 1
3)T
a 2(10 1 5 10)T
a 3(4
1 1 1)T
解 由3(a 1a )2(a 2a )5(a 3a )整理得
)523(61321a a a a -+=
])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[6
1T
T T --+=
(1 2 3 4)T
3 已知向量组 A a 1(0 1 2 3)T a 2(3 0 1 2)T a 3(2 3
0 1)T
B
b 1(2 1
1
2)T b 2(0
2 1 1)T b 3(4 4 1
3)T
证明B 组能由A 组线性表示 但A 组不能由B 组线性表示
证明 由
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-------971820751610402
230421301
~r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------531400251552000751610421301 ~r ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-----000000531400751610421301
~r 知R (A )R (A B )3 所以B 组能由A 组线性表示
由
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00
000011020
1110110220201312111421402~~r r B 知R (B )2 因为R (B )R (B A ) 所以A 组不能由B 组线性表示
4 已知向量组 A a 1(0 1 1)T a 2(1 1
0)T
B
b 1(1
0 1)T b 2(1 2 1)T b 3(3 2 1)T
证明A 组与B 组等价 证明 由
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B
知R (B )R (B A )2 显然在A 中有二阶非零子式 故R (A )2 又R (A )R (B
A )2 所以R (A )2 从而R (A )R (
B )R (A B ) 因此A 组与B 组等价
5 已知R (a 1 a 2 a 3)
2 R (a 2 a
3 a 4)
3 证明
(1) a 1能由a 2 a 3线性表示 (2) a 4不能由a 1 a 2 a 3线性表示 证明 (1)由R (a 2 a 3 a 4)
3知a 2 a 3 a 4线性无关 故a 2 a 3也线性无关 又
由R (a 1 a 2 a 3)2知a 1 a 2 a 3线性相关 故a 1能由a 2 a 3线性表示
(2)假如a 4能由a 1 a 2 a 3线性表示 则因为a 1能由a 2 a 3线性表示 故a 4能由a 2 a 3线性表示 从而a 2 a 3 a 4线性相关 矛盾 因此a 4不能由a 1 a 2 a 3线性
表示
6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关 (1) (1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T (2) (2
3 0)T (1
4 0)T (0
0 2)T
解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A 因为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A
所以R (A )2小于向量的个数 从而所给向量组线性相关
(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B 因为
222
000430
12||≠=-=B
所以R (B )3等于向量的个数 从而所给向量组线性相无关
7 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1(a 1 1)T a 2(1
a 1)T a 3(1
1 a )T
解 以所给向量为列向量的矩阵记为A 由
a
a a
A 1
111
11||--=
如能使行列式等于0，则此时向量组线性相关（具体看书后相应答案）
8 设a 1 a 2线性无关 a 1b a 2b 线性相关 求向量b 用a 1 a 2线性表示的
表示式
解 因为a 1b a 2b 线性相关 故存在不全为零的数1
2使
1(a 1
b )2(a 2b )0
由此得
2
2
11121122121211)1(a a a a b λλλ
λλλλλλλλλ+--+-=+-+-
=
设2
11
λλλ+-
=c 则
b c a 1(1c )a 2 c R
9 设a 1 a 2线性相关 b 1 b 2也线性相关 问a 1b 1 a 2b 2是否一定线性相关？试举例说明之 （也可看书后答案） 解 不一定
例如 当a 1(1 2)T , a 2(2 4)T , b 1(1 1)T , b 2(0 0)T 时 有 a 1b 1(1 2)T b 1(0 1)T , a 2b 2(2 4)T (0 0)T (2 4)T
而a 1b 1 a 2b 2的对应分量不成比例 是线性无关的
10 举例说明下列各命题是错误的 (1)若向量组a 1 a 2
a m 是线性相关的
则a 1可由a 2
a m 线
性表示