直线与抛物线的位置关系专题

抛物线的简单几何性质

————叶双能

一．教学目标：

1. 掌握抛物线的简单几何性质

2. 能够熟练运用性质解题

3. 掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法和弦长问题

4. 进一步理解用代数法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想二．教学重难点：

重点：抛物线的几何性质难点：抛物线几何性质的运用. 易错点：直线与抛物线方程联立时，要讨论二次项系数是否为零.

三．教学过程

（一）复习回顾：

（1）抛物线y ax2（a 0）的焦点坐标是_____________ ;准线方程___________ .

（2）顶点在在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点M （1,4），则抛物线的标准方程为

2

（3）过点M 2,0 作斜率为1的直线l ，交抛物线y2 4x 于A，B 两点，求| AB |

（二）典例分析：

2

例1•已知抛物线y 4X,直线I过定点P 2,1 ,斜率为k.k为何值时，直线I与抛物线

2

y2 4X ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

设计意图：（1）类比直线与双曲线的位置关系的处理方法，解决直线与抛物线的位置关系•（2）掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法；

（3）培养学生的运算推理能力和分类

讨论的数学思想.

变式1：已知抛物线方程y2 4X ，当b 为何值时，直线I : y X b 与抛物线（1）只有一个交点；

（2）有两个公共点；（3）没有公共点；（4）当直线与抛物线有公共点时，b

的最大值是多少？

例2：过点Q 4,1作抛物线y2 8x的弦AB，恰好被点Q所平分.

（1）求AB所在的直线方程；（2 ）求|AB|的长.

变式1：斜率为1的直线I经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB 的长.（教材69 页例4）

方法（一）方程联立求交点坐标根据两点间距离公式

方法（二））方程联立根据韦达定理求x1+x2 运用弦长公式

(1) 焦点在 x 轴上:AB|=|X i |+|x 2|+p

拓展：标准方程对应的焦点弦公式

：

1 1 21 H

(2) 焦点在 y 轴上：|AB|=|y i |+|y 2|+p

(由焦半径公式推导而来)

变式2：已知抛物线 y x 与直线y k(x 1)相交于两点。

(1) 求证：OA OB ；

_ 1

(2) 当 OAB 的面积等于.10时，求k 的值(-) 6

(本题主要要熟悉，三角形面积的常见表示方法

(1) 分解成两个共底的三角形的面积之和 (2) 利用底乘高的一半公式

变式3:已知抛物线c ： y 2 2x .

(1).若直线y kx k 1与曲线C 只有一个交点，求实数 k 的取值范围. (2)•求过点P 0,1且与抛物线C 只有一个公共点的直线方程

.

(3).过点A 1,1作抛物线C 弦AB ，恰好被点A 所平分，求 AB 的直线方程和弦| AB |的长.

⑹.求证：以AF (或BF )为直径的圆与y 轴相切

(7) .求证：点A 、0、B1三点共线.

(8) .若 AF a, BF b ，M 是 A1,B1 的中点，求证 MF

Tab

方法(三)(数形结合)方程联立

根据韦达定理求x 1+x 2

运用焦点弦公式

((1) c 1 「3 1 「3 0, ,-

2 2

；(2)x 1

0或 y 1 或 y x 1 )；(3) y

2

x ,2 2

例3.过抛物线y 2

A (X 1, y 1),

B (X 2, y 2)

(1).求证： yy

2

p MX ?

2

p 4

(2).求证： AB

X X 2 p 兰1(为直线的倾斜角)

sin

1

1 2

(3).求证：

两 |FB| p

⑷.求证 A 1FB 1

90°

2 px 的焦点F 的一条直线和抛物线相交于

(5).求证：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切

变式练习：若抛物线的方程为X2 2py，则能得到什么结论？

例4 •已知抛物线C : y2 4X .

(1)在抛物线C上求一点P,使得点P到直线y x 3的距离最短•

(2)在抛物线C上求一点P,使得点P到点A 3,0的距离最近，并求最近的距离.

(3)若点A的坐标为1,1，在抛物线C上求一点P使得|PF| |PA|最小，并求最小值.

(4)若点A的坐标为1,4，在抛物线C上找一点P使得|PF| |PA|最小，并求最小值.

(5)在抛物线C上求一点P,使得点P到点A 0,2距离与P到准线的距离之和最小，并求最小的

值.

(6 )求下列函数的最值.

y 1

(l)z (2) z x y

x 2

(7)过抛物线C的焦点F,做互相垂直的两条焦点弦AB和CD，求| AB | |CD |的最小

值.

变式1:过抛物线y2 4ax (a 0)的焦点F,做互相垂直的两条焦点弦AB和CD，求| AB | |CD |的最小值.

变式2:过定点M(4,0)作直线L,交抛物线y2 4x于A、B两点，F是抛物线的焦点，求AFB 的面积的最小值。

2

变式3:已知抛物线C: y 4x的焦点为F,过点F的直线L与C相交于A、B两点。

16

(1)若AB 一，求直线L的方程。(2)求AB的最小值。

3

例5.已知抛物线y2 2px(p 0)的动弦AB恒过定点M(2p,0)，求证：k OA.k O B 1

变式1:若直线L与抛物线y2 2px(p 0)交于A、B两点，且OA丄OB ,:求证：直线

L过定点