指数典型例题解析

2．5 指数·例题解析

【例1】若a 、b ∈R ，x 、y 均为正实数，判断下列运算是否成立： (1)a x ·a y ＝a x+y ；

(2)(a x )y ＝a xy ；

(3)(ab)a b (4)a a (1)a 2x y (2)(2)x x x 2y 2x y

x ＝·；＝不成立：如＝－，＝，＝，－，－解121

2

1212

都没有意义．

(2)a 2x 2y [(2)]2(3)a 2b 3x [(2)(3)](2)(3)(4)a 2x 4y 32不成立．如＝－，＝，＝，－≠－．

不成立．如＝－，＝－，＝，－－≠－－不成立．如＝－，＝，＝，≠．12

1

2

2212

12121

26834()()--

【例2】计算－＋－＋[(0.027)

][256

(32)0.1]2.525

0.125

35112

13

--

分析 这是幂值的计算问题，一般先把幂化为底数是质数的指数式，再应用同底的幂的运算法则进行计算，有“方向”性，较为方便．

解 原式＝3102210310221043

331352

25

81853512

13

1

2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥

⎥

⎥⎧

⎨⎪⎪⎩

⎪⎪⎫

⎬

⎪⎪⎭⎪

⎪-+-+=--+=

--[()()]()[] 【】计算：

－－－注意类型式的化简问题．原式＝－－－－＝－例3分析解1

52

94525+-±(31) 21(52)1

0a b

【例4】分析化简－＋－＋．＞∵＞，从式子

得知＋≥，进而式子(a b )a +b a b (a b )(a +b)(a b)

a b a +b

a b

a b 04

4

223-----b a b

a b b a b 2

246

()

(a +b)(a b)a (a b )a a (a b )(a b)a 324422222()()a b b b a b b

a b b b -------＝＋原式

＝－＋－＋＋2

22422解

＝－＋＋．a b a b b b a b

b b a a b b a b a b b b a b

b 4424

22

424424

2---+---=------=--a a (a b )(a b)a a a a 22222222 【例5】化简

×

a a

b a ab b

a

a b

5323

2

3

323

13

13

13

8242-++-

分析 在指数运算中，改变指数结构的表达形式：如a －8b ＝

(a )(2b )13

3

13

3－，使得运算能运用乘法公式和分解因式，把运算简化．

解 a a a

原式＝

×

＝

×

＝·＝a a b a ab b

a

a b

a a

b a a b b a a b b a

a b

23

23

32313

1313

23

13

13

23

13

13

23

23

13

13

23

13

13

13

2313

8242224242()()()

()

-++--++++-

【例6】已知＋＝求

的值．

x y 312

12

32

32

222

3

-

--++++x x x x

分析 在例5中已谈到改变指数表达形式，除此之外还可用平方法

或配方法改变指数，如＋＝，两边平方可得＋＝，从而可求＋．

x y 3x x 7x x 1212

12--2 解 3原式＝＝

①∵＝，()()()()()x x x x x x x x x x x x x x x x 12

3

12

3

2212

12

122122

121

2

2312

33123

+++++-++++=+-++++-

--

-----

两边平方得＋＝，再平方得＋＝．代入①式

原式＝＝．

x x 7x x 47122---++33124732

5

()