2017年北京市海淀区高三二模数学(理)试题与答案

海淀区高三年级第二学期期末练习

数学（理科） 2017.5

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1.若集合{2,0,1}A =-，{|1B x x =<-或0}x >，则A B =I A. {2}- B. {1} C. {2,1}- D. {2,0,1}-

2.二项式62

)x x

-（的展开式的第二项是 A.46x B.46x - C.412x D. 412x -

3.已知实数,x y 满足10,30,3,x y x y y --≥⎧⎪

+-≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最小值为 A.11 B.5 C.4 D. 2

4.圆2220x y y +-=与曲线=1y x -的公共点个数为 A ．4 B ．3 C ．2 D.0

5.已知{}n a 为无穷等比数列，且公比1q >，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下面结论正确的是

A. 32a a >

B. 12+0a a >

C.2{}n a 是递增数列

D. n S 存在最小值 6.已知()f x 是R 上的奇函数，则“120x x +=”是“12()()0f x f x +=”的

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件 7. 现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在．．．．

一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是

A. ①

B.①②

C.②③

D.①②③

8.已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的

实数分别记为1234,,,x x x x ，大圆盘上所写的实数分别记为1234,,,y y y y ,如图所示.将小圆盘逆时针旋转(1,2,3,4)i i =次，每次转动90︒，记(1,2,3,4)i T i =为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如112233441T x y x y x y x y =+++. 若1234++0x x x x +<，1234+++0y y y y <，则以下结论正确的是

A.1234,,,T T T T 中至少有一个为正数

B.1234,,,T T T T 中至少有一个为负数

C.1234,,,T T T T 中至多有一个为正数

D.1234,,,T T T T 中至多有一个为负数 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.在极坐标系中，极点到直线cos 1ρθ=的距离为____. 10.已知复数1i

i

z -=，则||z =____.

11.在ABC ∆中，2A B =，23a b =，则cos B =_______.

12.已知函数1()2x f x x =-，则1()2

f ____(1)f （填“>”或“<”）；()f x 在区间1(

,)1n n

n n -+上存在零点，则正整数n =_____. 13.在四边形ABCD 中，2AB =. 若1()2

DA CA CB =+u u u r u u u r u u u r ，则AB ⋅u u u r DC u u u

r =____.

14.已知椭圆G ：22

216x y b

+

=(0b <<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且

满足1212PB PB PF PF +=+. 当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个；③||OP 的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是_____________． 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15.（本小题满分13分）已知函数3π3π

()sin 2cos cos2sin 55

f x x x =-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和对称轴的方程；

（Ⅱ）求()f x 在区间π[0,]2

上的最小值.

16.（本小题满分13分）为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》,某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学

生的选择意向进行调查(调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程).本次调查结果整理成条形图如下.

上图中，已知课程,,,,A B C D E 为人文类课程，课程,,F G H 为自然科学类课程.为进一步研究学生选课意向，结合上面图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组(以下简称“组

M ”).(Ⅰ)在“组M ”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？(Ⅱ)为参加某地举办的自然科学营活动，从“组M ”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往，其中选择课程F

1

图

2图3图

或课程H 的同学参加本次活动，费用为每人1500元，选择课程G 的同学参加，费用为每人2000元. (ⅰ)设随机变量X 表示选出的4名同学中选择课程G 的人数，求随机变量X 的分布列； (ⅱ)设随机变量Y 表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量Y 的期望. 17.（本小题满分14分）如图，三棱锥P ABC -，侧棱2PA =，底面三角形ABC 为正三角形，边长为2，顶点P 在平面ABC 上的射影为D ，有AD DB ⊥，且

1DB =.（Ⅰ）求证：//AC 平面PDB ；

（Ⅱ）求二面角P AB C --的余弦值；（Ⅲ）线段PC 上是否存在点E 使得PC ⊥平面ABE ，如果存在，求CE

CP 的值；如果不存在，请说明理由.

18.（本小题满分14分）已知动点M 到点(1,0)N 和直线l ：1x =-的距离相等. （Ⅰ）求动点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）已知不与l 垂直的直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ，且与直线l 的交点为P ，以AP 为直径作圆C .判断点N 和圆C 的位置关系，并证明你的结论．

19.（本小题满分13分）已知函数()e ax f x x =-.（Ⅰ）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线l 与直线230x y ++=垂直，求a 的值；（Ⅱ）当1a ≠时，求证：存在实数0x 使0()1f x <.

20.（本小题满分13分）对于无穷数列{}n a ，记{|,}j i T x x a a i j ==-<，若数列{}n a 满足：“存在t T ∈，使得只要m k a a t -=（*

,m k ∈N 且m k >），必有11

m k a a t ++-=”，则称数列{}n a 具有性质()P t .（Ⅰ）若数列{}n a 满足2,

2,25,3,n n n a n n ≤⎧=⎨-≥⎩

判断数列{}n a 是否具有性质(2)P ？是否具有性质(4)P ？（Ⅱ）求证：“T 是有限集”是“数列{}n a 具有性质(0)P ”的必要不充分条件； （Ⅲ）已知{}n a 是各项为正整数的数列，且{}n a 既具有性质(2)P ，又具有性质(5)P ，求证：存在整数N ，使得

12,,,,,N N N N k a a a a +++L L 是等差数列.

A C D

B P