5.1 认识分式(2)
北师大版数学八下5.1《认识分式》ppt课件2
“thanks ”
5.1认识分式
一、引入
1 面积为2平方米的长方形，一边长3米，另一边长
米
2 面积为S平方米的长方形，一边长a米，另一边长
米
3 一箱苹果售价P元，总重m千克，箱重n千克，则每千 克苹果的售价是 元？
二、新知探究
1、同学们观察我们所列出的式子，有什么新发现？
s
p
a
mn 、
都是以分数的形式出现，这样的代数式
判断下列各式，哪些是整式？哪些是分式？
（1）5-7
（4） 4
5b c
（7） x2 -xyy2
2x-1
（2） 2
（3） 32 -1
（5） b - 3
（6） - 3
2a 1
y
（8） m（n p）
7
1、思考何时分式的值为零？
2、类比分数有意义，思考要使分式有意义，需 要什么条件？
与整式有很大的不同，它们是不同于整式的一个很大的家族，我们
把它们叫做分式
p108 做一做
（1）2010年上海世博会吸引了成千上万的参观者，某一时段内 的统计结果显示，前 a 天日均参观人数 35 万人，后 b 天日均 参观人数 45 万人，这（a + b）天日均参观人数为多少万人？ （2）文林书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册 a 元 ，现每册降价 x 元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销 售额为 b 元．降价销售开始时，文林书店这种图书的库存量是 多少？
当x为什么值时，下列分式有意义？
8
① -1
1
② 2 -9
③
2
2 -9
分析： 当分母为零时，
分式无意义，除此 以外，分式都有意 义
5.1+认识分式++课件+ +2023—2024学年北师大版数学八年级下册
, ,
+
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
2.(2022 凉山)分式
B.x≠-3
C.x≠3
D.x≠0
,-3x ,
.其中是分式的有( B )
有意义的条件是( B )
+
A.x=-3
,
2
-
3.(2023 凉山)分式
-
的值为 0,则 x 的值是( A )
A.0 B.-1
(1)看形式:是否是 的形式(A,B 为整式);
(2)看分母:分母B中是否含有字母,其中π是常数,不是字母.
新知应用
1.下列式子是分式的是( C )
A.
B. +y
C.
D.
+
2.上等米每千克售价为 x 元,次等米每千克售价为 y 元,取上等米 a kg
和次等米 b kg,混合后的大米每千克售价为( C )
-
中的 x,y 的值都扩大为原来的 8 倍,则分
式的值( B )
A.不变
B.为原分式值的
C.为原分式值的 8 倍
D.为原分式值的
5.若
=
,则 M=
x+1
;
,则 N=
x+y
.
- -
(-)
若
-
=
-
-
.-. +
当 m=1,n=3 时,原式=
=- .
-×
(2)
2020八年级数学下册 第5章 分式与分式方程 第1节 认识分式(2)教案 (新版)北师大版
5.1认识分式课题 5.1认识分式（2）课型教学目标（一）教学知识点1.分式的基本性质.2.利用分式的基本性质对分式进行“等值”变形.3.了解分式约分的步骤和依据，掌握分式约分的方法.4.使学生了解最简分式的意义，能将分式化为最简分式.（二）能力训练要求1.能类比分数的基本性质，推测出分式的基本性质.2.培养学生加强事物之间的联系，提高数学运算能力.（三）情感与价值观要求通过类比分数的基本性质及分数的约分，推测出分式的基本性质和约分，在学生已有数学经验的基础上，提高学生学数学的乐趣.重点1.分式的基本性质.2.利用分式的基本性质约分.3.将一个分式化简为最简分式.难点分子、分母是多项式的约分.教学用具二次备课课程讲授Ⅰ.复习分数的基本性质，推想分式的基本性质.Ⅱ.新课讲解1.分式的基本性质出示投影片（§5.1.2 A）（1）63=21的依据是什么？（2）你认为分式aa2与21相等吗？mnn2与mn呢？与同伴交流.［生］（1）将63的分子、分母同时除以它们的最大公约数3得到.即63=3633÷÷=21.依据是分数的基本性质：分数的分子与分母同乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变.（2）分式a a2与21相等，在分式a a 2中，a ≠0，所以a a 2=a a a a ÷÷2=21;分式mn n 2与m n 也是相等的.在分式mn n 2中，n ≠0，所以mn n 2=n mn n n ÷÷2=m n.［师］由此，你能推想出分式的基本性质吗？［生］分式是一般化了的分数，类比分数的基本性质，我们可推想出分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变.下面我们就来看一个例题（出示投影片§5.1.2 B ）［例2］下列等式的右边是怎样从左边得到的？（1）x b2=xy by2（y ≠0）；（2）bx ax =b a.2.分式的约分.［师］利用分数的基本性质可以对分数进行化简.利用分式的基本性质也可以对分式化简.我们不妨先来回忆如何对分数化简.［生］化简一个分数，首先找到分子、分母的最大公约数，然后利用分数的基本性质就可将分数化简.例如123，3和12的最大公约数是3，所以123=31233÷÷=41.［师］我们不妨仿照分数的化简，来推想对分式化简.（出示投影片§5.1.2C ）［例3］化简下列各式：（1）ab bc a 2;（2）12122+--x x x .ab bc a 2=)()(2ab ab ab bc a ÷÷=)()()(ab ab ab ab ac ÷÷⋅=ac .解：（2）12122+--x x x =2)1()1)(1(-+-x x x =11-+x x .下面我们亲自动手，再来化简几个分式.（出示投影片§5.1.2 D ）做一做化简下列分式：（1）y x xy 2205;（2）)()(b a b b aa ++.［生］解：（1）y x xy2205=)5()4(5xy x xy⋅=x 41;（2）)()(b a b b a a ++=b a.［师］在刚才化简第（1）题中的分式时，一位同学这样做的（出示投影片§3.1.2 E ）议一议在化简y x xy2205时，小颖是这样做的：y x xy 2205=2205x x你对上述做法有何看法？与同伴交流.［生］我认为小颖的做法中，2205x x中还有公因式5x ，没有化简完，也就是说没有化成最简结果.［师］很好！y x xy2205如果化简成x 41，说明化简的结果中已没有公因式，这种分式称为最简分式.因此，我们通常使结果成为最简分式或者整式.Ⅲ.巩固、提高出示投影片（§5.1.2 F ）1.填空：（1）y x x-2=))(()(y x y x +-;（2）)(1422=-+y y2.化简下列分式：（1）2332912y x y x ;。
北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程5.1认识分式第2课时分式的基本性质及约分(教案)
难点举例：对于分式$\frac{4x^2 + 4x}{2x^2 + 2x}$，学生应先分解为$\frac{4x(x + 1)}{2x(x + 1)}$，然后约去公因式$(x + 1)$和$2$，得到最简分式$\frac{2}{1}$。
2.教学难点
（1）分式基本性质的深度理解：学生需要理解为什么分式的分子、分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。这个性质背后的数学原理需要通过实例和图形进行直观演示，帮助学生深入理解。
难点举例：解释当分式$\frac{2x}{3y}$的分子分母同时乘以不同的整式（如2x和3y）时，分式的值仍然保持不变的原因。
（2）识别并约去复杂的公因式：在分式的约分过程中，学生可能会遇到难以识别的复杂公因式，尤其是当分子分母包含多项式时。教师需要指导学生如何分解多项式，找出公因式。
难点举例：面对分式$\frac{3x^3 - 6x^2}{9x^2 - 6x}$，学生需要学会先将分子和分母分解为$3x^2(x - 2)$和$3x(3x - 2)$，再约去公因式$3x$。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了分式的基本性质、约分的技巧及其在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对分式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
《5.1认识分式--分式的基本性质》教案
一、教学内容
《5.1认识分式-分式的基本性质》教案，本节课将围绕以下内容展开：
1.分式的定义：根据教材，引导学生理解分式的概念，明确分子和分母的关系。
2.分式的性质：
（1）分式中的分子与分母同乘（或除以源自一个不等于0的整式，分式的值不变。
（2）分式的分子与分母互换，分式的值不变。
（3）分式的乘方与开方：对于分式的乘方和开方运算，学生可能会忽略分子分母分别进行运算。
-举例：分式(2/3)^3，学生可能会直接将2^3和3^3相除，得到8/27，而实际上应为8/27×(1/9)。
（4）分式在实际问题中的应用：学生可能难以将实际问题转化为分式问题，无法正确运用所学知识解决问题。
-举例：在速度、比例等问题中，学生可能不理解如何将问题转化为分式形式进行解答。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式的基本概念。分式是由两个整式构成的数学表达式，其中上面的整式称为分子，下面的整式称为分母。分式是表达比例关系的重要工具，它在数学和现实生活中有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们有3个苹果要平均分给4个小朋友，我们可以用分式3/4来表示每个小朋友能得到的苹果数量。这个案例展示了分式在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了分式的定义、基本性质以及它在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对分式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活和学习中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
5.1认识分式2
第五章分式方程1认识分式第2课时分式的化简A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 3．分式的基本性质是：分式的分子与分母都________，分式的值不变． 4．化简下列各式：(1)12x 2y 39x 3y 2； (2)x －y 3x 2－3y 2. 5．化简分式，再求值：x 2－162x －8，其中x ＝2.【课堂总结】学生活动：这节课大家是通过自己的努力和小组的合作完成的，相信每个同学都有所收获．整理一下本节课的所学，写下来．我掌握的概念：____________________________； 我学会了：_________________________；我还知道了：__________________________.教学说明：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学内容进行梳理、分类，融入自己的知识系统；养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．作业：1．教材P 112随堂练习．2．教材P 113习题5.2中1，2，3，4. 巩固、梳理新知，对学生进行鼓励和思想教育. 【知识网络】框架图式总结，更容易形成知识网络.【教学反思】 ①[授课流程反思]通过分数的约分复习分数的基本性质，类比学习分式的基本性质．可以使教学内容自然过渡，学生便于接受和对比学习，提高课堂效率． ②[讲授效果反思]新课学习以学生自主探究为主，教师引导与点拨为辅的方式进行，让全体学生通过查看、探究、展示、交换、小结等活动，一步一步地从化简分式(最简分式)的具体过程中抽象出约分的概念．学生也在约分的探究学习中相互交换了自己的想法和做法．通过合作交换增进了学生对约分方法的理解和控制． ③师生互动反思反思，更进一步提升.。
八年级数学下 第5章 分式与分式方程5.1 认识分式第2课时分式的基本性质习题北师大
12．当 x 为何值时，分式xx2＋－24有意义？ 【点拨】求解使分式有无意义的字母的取值范围时，不能先约去
分子与分母的公因式，以免出现如下错解：xx2＋－24＝ （x＋2）x＋（2x－2）＝x－1 2，从而误认为只要当 x≠2 时，分式 xx2＋－24就有意义．
解：由 x2－4＝(x＋2)(x－2)≠0，得 x≠－2 且 x≠2.所以当 x≠－2 且 x≠2 时，分式xx2＋－24有意义．
9．【2020·孝感】已知 x＝ 5－1，y＝ 5＋1，那么代数式x（x3－ x－xyy2） 的值是( D ) A．2 B. 5 C．4 D．2 5
10．【中考·滨州】下列分式中，最简分式是( ) x2－1 x＋1 x2－2xy＋y2 x2－36
A.x2＋1 B.x2－1 C. x2－xy D.2x＋12
【点拨】选项 A 为最简分式；选项 B，xx2＋－11＝（x＋1x）＋（1x－1） ＝ x－1 1；选项 C，x2－x22－xyx＋y y2＝x（（xx－－yy））2＝x－x y；选项 D， 2xx2－＋3162＝（x＋2（6）x＋（6x）－6）＝x－2 6，故选 A.
【答பைடு நூலகம்】A
*11.下列计算中，错误的是( ) A.00..27aa＋ －bb＝27aa＋ －bb B.2xx2＝2x C.ab－ －ba＝－1 D.ab＝abcc(c≠0)
(2)求－2（（m2＋m＋n）2n2＋）32m2n2的值． 解：∵m＋n＝mn， ∴－2（（m2＋m＋n）2n2＋）32m2n2＝ －2（（m2nm）n2）＋23m2n2＝4mm22nn22＝14.
探究培优 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月27日星期日2022/3/272022/3/272022/3/27
初中数学八年级下册《5.1.认识分式》PPT课件 (2)
2
a2 2b2
ab
2a 2b
填空（要注意分析题目中的隐
1含、 条件a噢！ ）
2ab
1
2b
2、 3a 3ac
4b
4bc
3、 a a2
b 2
b2
a －b a b
4、 a 2 b 2 a b
a b
1
例2 、不改变分式的值，把下列各式的
分子与分母中各项的系数都化为整数．
3s 3t
km/h；
如果3th行n驶s 3 skm，那么汽车的速度为 如果nth行n驶t nskm，那么汽车
km/h；
分式的分子与分母 都乘（或除以）同 一个不等于零的整 式，分式的值不
A
B＝
A ＝
A×M
B×M A÷M
B B÷M
（M是不等于0的整式）
变．
为什么所乘（或除）的
整式不能为0呢？
分式的基本性质与分数的基本性质 分最数大的区基别本是性质什中么的？分子分母都是数．
分式基本性质式子中的A，B，M表示 的是整式 ，且M≠0 ．但M是一个含有 字母的代数式，由于字母的取值可以
是任意的，所以就有等于零的可能性 ．
例 1、 填空(要注意隐含条件)
(1)
b a
ab
a 2
(2)
1 a2 b2
n
n
还记得有理数的除法法则么？
“同号得正，异号得负”
分式符号变换有依据么？是什么呢？
两个整式相除所得的分式的符号法则与有理 数除法的符号法则相类似，也遵循“同号得 正，异号得负” ．
例4 、不改变分式的值，使下列分 式的分子与分母的最高次项的系 数是正数．
《-认识分式》教学设计
设计意图：第1个问题激活了学生原有的记忆，包括分数的基本性质、约分和通分、最大公约数等知识,为后面分式的化简做好准备.类比分数,通过讨论各组都能猜出出分式的基本性质,不全面的教师再用多媒体展示.用式子表示性质、找出关键字等,有助于学生加深对分式基本性质的记忆和理解．
（二）例题讲解:
例２:下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（１) ;(２） .
处理方式：先让学生观察题目,然后尝试说出所发现从左到右的变化，教师指导学生在小组内交流自己的想法,说出解题过程,同时说明在例2(2）中为什么x≠０？教师多媒体展示.预设学生可能回答.
1.在（1)中，因为y≠0，利用分式的基本性质,在 的分子、分母中同乘以y,即可得到右边，即 ．
２.因为ｘ≠0， 的分子、分母同除以x，即 .
解：(1） ;
(2） .
设计意图：通过２个题目让学生依次了解分子分母是单项式时怎样约分，分子分母是多项式时怎样约分,并让学生明确约分是默认了分式有意义的．不仅进一步锻炼了分式基本性质的应用还为分式约分做了铺垫．
3.例2（2）中虽然没有直接告诉我们x≠0,已经隐含x≠0的条件，否则 没有意义.
小试牛刀:
1.下列变形正确的是( ）
A． B． C． D．
２.填空:
处理方式:学生先思考,然后独立完成,学生代表读出答案并说明原因,其他同学给予点评并针对出现的错误矫正．对于问题2学生可能会出现不把（x＋y)看成整体而导致错误，因此教师要适当强调．预设学生可能回答.
二、自学探究，获取新知
(一）分式的基本性质:
１. 吗？你的判断依据是什么？从左到右依次是怎样变化来的？谁是最简的分数？
２．类比分数，你认为分式 与 相等吗？ 与 呢?与同伴交流．
北师大版(新)八年级下册数学5.1 认识分式(2)
（1）
b by ( y 0) 2 x 2 xy
（2）
ax a bx b
例 2、化简下列分式：
ab 2 c （1） ab
x2 1 （2） 2 x 2x 1
实际教学例 1
下列等式的右边是怎样从左边得到的?
（1）
b by ( y 0) 2 x 2 xy
（2）
ax a bx b
八年级数学导学案第 2 课时
主备人：王文锦 审核人：王文锦 审批人：王文锦 认识分式 教师个性化设计、学 法指导或学生笔记
课题：第 2 课时
教学目标：1.理解分式的基本性质并能利用性质进行分式的约分； 2.通过对分式的基本性质的归纳，培养学生观察，类比，推理的能力； 3.让学生在讨论活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能 力和数学表达能力． 第一环节 知识准备 活动内容：
课堂小结
活动内容和目的：通过问题的形式让学生自己总结出这节课的主要内容，谈谈在学习 过程中有哪些困难和新发现． 1、 这节课你有哪些收获？
பைடு நூலகம்
课后反思：
八年级数学导学案第 2 课时
第四环节 课堂反馈 活动内容
主备人：王文锦 审核人：王文锦 审批人：王文锦
做一做 1．填空 （1）
________ 2x x y x y x y
（2）
y2 1 2 y 4 _______
2．化简
（1）
5 xy 20x 2 y
（2）
a ( a b) b( a b)
议一议
在
5x 5 xy 5 xy 时，米仓和阿呆出现了分歧，米仓认为 = 2 2 20x y 20x y 20 x 2
北师大版数学八年级下册5.1《认识分式》教学设计2
北师大版数学八年级下册5.1《认识分式》教学设计2一. 教材分析北师大版数学八年级下册5.1《认识分式》是学生在学习了有理数、实数等知识后，进一步拓展到分式。
分式是初高中数学中的一个重要概念，也是学习函数、方程等知识的基础。
本节课通过介绍分式的定义、性质和简单运算，帮助学生理解和掌握分式知识，为学生今后学习更高级的数学知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数、实数等知识，具备了一定的逻辑思维能力和数学运算能力。
但分式作为一个新的概念，对学生来说可能存在一定的难度。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从已有的知识出发，逐步理解和掌握分式知识。
三. 教学目标1.了解分式的定义，掌握分式的性质。
2.学会分式的基本运算，提高数学运算能力。
3.培养学生的抽象思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：分式的定义、性质和基本运算。
2.难点：分式的性质的理解和应用，分式运算的技巧。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究分式的定义和性质。
2.通过实例分析，让学生了解分式在实际问题中的应用。
3.运用小组合作学习，培养学生团队合作精神，提高学生解决问题的能力。
4.采用循序渐进的教学方法，让学生在掌握基本知识的基础上，逐步提高运算能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，内容包括分式的定义、性质和运算。
2.准备一些实际问题，用于引导学生应用分式知识解决问题。
3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学知识解决这些问题。
通过问题的讨论，引入分式的概念。
2.呈现（15分钟）讲解分式的定义，让学生了解分式的构成和特点。
通过PPT展示分式的性质，让学生初步掌握分式的基本性质。
3.操练（20分钟）让学生进行分式的基本运算，包括分式的化简、求值等。
在学生操作过程中，教师进行个别指导，帮助学生掌握分式运算的技巧。
5.1认识分式(2)
b bm b bm ， ( m 0) 符号表示： a a m a am
学以致用
学以致用
a 2bc ab ac 解： (1) ac ab ab x2 1 ( x 1)( x 1) x 1 (2) 2 2 x 2x 1 ( x 1) x 1
第五章 分式与分式方程
5.
3 1 = 是怎样得到的？ 6 2
【分数的基本性质】 分数的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的数, 分数的值不变。
2 a 1 n n 与 相等吗？ 与 呢？ 2a 2 m mn
类比分数的基本性质，
归纳分式的基本性质。
认识新知
【分式的基本性质】
2、我对因式分解存在以下困惑 3、我认为自己还应该做出以下努力
课后作业
见学案 必做：A组；选做：B组
一个分式的分子和分母不含公因式，
这样的分式称为最简分式. ★注意★ 分式化简时，通常要使结果成为 最简分式或整式.
训练内化
训练内化
训练内化
探究拓展
分式的符法： x x x x x (1) ;(2) y y y y y
检测反馈
检测反馈
课堂小结
1、通过学习，我学到了以下知识和方法
认识约分
【分式的约分】
把一个分式的分子和分母的公因式约去， 这种变形称为分式的约分.
约分小技巧
约分时应注意：
①当分子和分母是单项式的时候， 应先找出分子和分母的公因式，再约分； ②当分子和分母是多项式的时候， 应先把分子和分母分解因式，再约分. ③分式化简的结果中， 分子和分母没有公因式.
最简分式
5.1认识分式
5.1认识分式1.了解分式的概念,明确分式和整式的区别,会用分式表示生活情境中的数量关系.2.掌握分式是否有意义、分式的值是否为零的判断方法.3.在分数性质的基础上掌握分式的基本性质,并能利用分式的基本性质对分式进行变形.让学生观察、分析分式的特点,提高学生分析问题、解决问题的能力.培养学生类比的思维习惯,培养学生严谨认真的科学态度.【重点】分式的概念与基本性质.【难点】分式有意义和分式值为零的条件及其应用.第课时1.能用分式表示现实情境中的数量关系,体会分式的模型思想,进一步发展符号感.2.了解分式的概念,明确分式与整式的区别.1.经历用字母表示现实情境中数量关系的过程,了解分式的概念,体会分式的模型思想,进一步发展符号感.2.使学生经历分析、类比、归纳等活动,培养学生的自学能力,获得学习代数知识的常用方法.1.通过教材土地沙化问题的情境,体会保护人类生存环境的重要性.2.培养学生类比联想的思维习惯.【重点】分式的概念.【难点】理解和掌握分式有意义的条件.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】回忆小学学过的分数的有关知识及七年级学过的整式的有关知识.导入一:【问题】下列式子中哪些是整式?哪些是单项式?哪些是多项式?a,-3x2y3,5x-1,x2+xy+y2,m3.解:a,-3x2y3,5x-1,x2+xy+y2,m3是整式;a,-3x2y3,m3是单项式;5x-1,x2+xy+y2是多项式.[设计意图]因为分式概念的学习是学生通过观察、比较分式与整式的区别而获得的,所以必须熟练掌握整式的概念.导入二:【问题】学生思考讨论,用式子表达题目中的数量关系:(1)面对日益严重的土地沙化问题,某县决定在一定期限内固沙造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前完成原计划的任务.如果设原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成造林任务需要个月,实际完成造林任务用了个月.(2)文林书店库存一批图书,其中一种图书的原价是每册a元,现每册降价x元销售,当这种图书的库存全部售出时,其销售额为b元.降价销售开始时,文林书店这种图书的库存量是多少?【师生活动】让学生充分思考,最好让学生积极投身于问题情境中,根据学生的情况教师可以给予适当的提示和引导.解:(1)2400x 2400x+30(2)ba-x册.[设计意图]让学生经历探索实际问题中数量关系的过程.通过问题情境,让学生初步感受分式是解决问题的一种模型,体会分式的意义,发展符号感.一、认识分式思路一(针对导入一) 1.分式初探解决下列问题:(1)一箱苹果售价a 元,箱子与苹果的总质量为m kg,箱子的质量为n kg,则每千克苹果的售价是多少元?(2)一块土地分为两块棉田,第一块x 公顷,收棉花m 千克,第二块y 公顷,收棉花n 千克,这块土地平均每公顷的棉产量是多少?(3)文林书店库存一批图书,其中一种图书的原价是每册a 元,现每册降价x 元销售,当这种图书的库存全部售出时,其销售额为b 元.降价销售开始时,文林书店这种图书的库存量是多少?根据学生交流、讨论,可得出结果. 解:(1)am -n . (2)m+nx+y kg . (3)ba -x册.2.认识分式 问题1刚才这些代数式有什么共同特征?它们与整式有什么不同? 学生分组交流讨论,展示讨论结果,教师及时补充.它们的共同特征:(1)它们是由分子、分母与分数线构成的;(2)分母中都含有字母.它们与整式的不同点:它们的分母中都含有字母,而整式的分母中不含有字母,例如x90,x-2y4,它们都含有分母,但分母中都不含有字母,所以它们是整式.一般地,用A,B表示两个整式,A÷B可以表示成AB 的形式.如果B中含有字母,那么称AB为分式,其中A称为分式的分子,B称为分式的分母.问题2分式中,字母可以取任意实数吗?学生领会分式的概念并思考得出:不可以.因为分式中分母含有字母,而分母是除式,不能为零,因此字母的取值就受到制约,即字母的取值不能使分母为零,否则分式就会失去意义.问题3在什么情况下分式的值为0?学生通过类比分数的性质得出:分式的分子为0的时候,分式的值为0.思路二(针对导入二)1.分式初探讨论目的:以小组的形式对前面出现的式子进行讨论,进而得出分式的概念,体会分式的意义.讨论内容:(针对前面列出的三个代数式)这些代数式有什么共同特征?它们与整式有什么不同?老师提出思考问题:(1)整式中的分母有没有字母?(2)前面的三个代数式中,分母中有没有字母?(3)前面的三个代数式是不是分数呢?(4)前面的三个代数式中,字母能取任意值吗?(5)前面的三个代数式的值在什么情况下为零?问题预设:学生会比较容易发现这几个式子的分母中都含有字母,但容易与整式中有数字分母的情况混淆,把字母等同于数字看待,这就无法顺利总结出分式的概念.2.认识分式根据学生的观察、讨论,老师进行总结:这三个代数式的共同特征是分母中都含有字母,而整式中虽然也有分母,但分母中不含字母.这样的代数式我们称为分式.一般地,用A,B表示两个整式,A÷B可以表示为AB 的形式,如果B中含有字母,那么称AB为分式.其中A称为分式的分子,B称为分式的分母.对于任意一个分式,分母都不能为零.[设计意图]让学生通过观察、归纳总结出整式与分式的异同,从而得出分式的概念.学生通过观察、类比及小组讨论,基本能得出分式的定义,对于分式的分母不能为0,有的小组考虑到了,有的没有考虑到,就这一点可以让学生类比分数的分母不能为0加以理解.这样获得的知识,理解更加透彻,掌握更加牢固,运用起来会更灵活.[知识拓展]1.当整式相除不能整除时,就出现了分式,所以分式实际上是一个商式,其分子是被除式,分母是除式.2.整式和分式统称为有理式,即有理式包括整式和分式.3.分式的概念包括3个方面:(1)分式是两个整式相除的商式,其中分子为被除式,分母为除式,分数线起除号的作用;(2)分式的分母中必须含有字母,而分子中可以含有字母,也可以不含字母,这是区别整式的重要依据;(3)在任何情况下,分式的分母的值都不可以为0,否则分式无意义.这里,分母是指除式而言,而不是只就分母中某一个字母来说的.也就是说,分式的分母不为零是隐含在此分式中而无需注明的条件. 二、例题讲解(教材例1)(1)当a =1,2,-1时,分别求分式a+12a -1的值;(2)当a 取何值时,分式a+12a -1有意义?〔解析〕 (1)分式的值是由字母的取值决定的,但要注意的是字母的取值一定不能让分母为0,即一定要让分式有意义.(2)只有当分式的分母不为0时,分式才有意义.解:(1)当a =1时,a+12a -1=1+12×1-1=2.当a =2时,a+12a -1=2+12×2-1=1.当a =-1时,a+12a -1=-1+12×(-1)-1=0.(2)当分母的值为零时,分式没有意义,除此以外,分式都有意义. 由分母2a -1=0,得a =12.所以当a ≠12时,分式a+12a -1有意义.[设计意图] 让学生体会分式的意义,理解如果字母的取值使得分母的值为零,那么分式没有意义,反之则有意义.通过例题讲解,让学生从两方面来理解分式:一是分式中的字母可以表示使分式有意义的任何数;二是分式可与分数类比,分式的分母也不能为零.学生基本能够计算出分式的值,但对于分式在什么条件下有意义,一下子掌握还有一定的难度, 需要通过与分数进行类比,多举例才能理解得更深刻.1.分式的概念.一般地,用A ,B 表示两个整式,A ÷B 可以表示成AB的形式,如果B 中含有字母,那么称AB为分式.其中A 称为分式的分子,B 称为分式的分母.2.分式有意义的条件.分式有意义的条件是分母不为0.3.分式的值为0的条件是分子等于0,且分母不等于0.1.(随州中考)若代数式1x -1+√x 有意义,则实数x 的取值范围是 ( )A.x ≠1B.x ≥0C.x ≠0D.x ≥0且x ≠1解析:若代数式1x -1+√x 有意义,则有{x -1≠0,x ≥0,解得x ≥0且x ≠1.故选D .2.若分式2x -13x+5有意义,则x 的取值范围是 .解析:依题意得3x +5≠0,解得x ≠-53,因此x 的取值范围是x ≠-53.故填x ≠-53.3.若分式x 2-1x+1的值为0,则x 的值是 .解析:在这个分式中,x 2-1是分子,x +1是分母,因此,分式x 2-1x+1的值为0的条件是x 2-1=0且x +1≠0,所以x =1.故填1.4.对于分式x -m -nm -2n+3x,已知当x =-3时,分式的值为0;当x =2时,分式无意义.试求m ,n 的值.解:∵当x =-3时,分式的值为0,∴{-3-m -n =0,m -2n -9≠0,即{m +n =-3,m -2n ≠9.又∵当x =2时,分式无意义, ∴m -2n +3×2=0,即m -2n =-6. 解方程组{m +n =-3,m -2n =-6得{m =-4,n =1.第1课时一、认识分式 1.分式初探 2.认识分式 二、例题讲解一、教材作业 【必做题】教材第109页随堂练习的1,2题. 【选做题】教材第109页习题5.1的1,2,3题. 二、课后作业 【基础巩固】1.下列各式是分式的是 ( )A.x2B.xx+1C.x2+y D.1π2.(金华中考)要使分式1x+2有意义,则x的取值应满足 ()A.x=-2B.x≠2C.x>-2D.x≠-23.若分式x-1x+2的值为0,则()A.x=-2B.x=0C.x=1或-2D.x=14.若分式33-x有意义,则x的取值范围是()A.x≠3B.x=3C.x>3D.x<3【能力提升】5.使分式3-a|a|-2无意义的a的值为()A.2B.-2C.±2D.36.若分式2x-3x-1的值为1,则x的值为()A.1B.-2C.±1D.27.一项工作,甲单独做x小时完成,乙单独做比甲多用6小时完成,那么乙单独做t小时(t<6)能完成这项工作的()A.6t B.x+6tC.tx+6D.tx-68.下列各式中,可能取值为0的是()A.m2+1m2-1B.m2-1m+1C.m+1m2-1D.m2+1m+19.若x+2x2-2x+1的值为正数,则x的取值范围是()A.x<-2B.x<1C.x>-2且x≠1D.x>110.要使分式13-x的值为负,则x.11.当x时,分式x-1x2-1有意义.【拓展探究】12.把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形容器中,水面高度为cm;把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中,水面高度为.13.已知当x=1时,分式x+2bx-a无意义;当x=4时,此分式的值为零,求a+b的值.【答案与解析】1.B(解析:由分式的定义可知,分母中含有字母的是分式,注意π为实数,不是字母.故选B.)2.D(解析:分式有意义的条件是分母不为0,则由题意得x+2≠0,则x≠-2.故选D.)3.D(解析:分式值为0的条件是分子为0且分母不为0,所以有{x-1=0,x+2≠0.解之即可.故选D.)4.A(解析:分式有意义的条件是分母不为0,即3-x≠0,解之即可.故选A.)5.C(解析:分式无意义的条件是分母为0,即|a|-2=0,解之即可.故选C.)6.D(解析:分式值为1的条件是分子等于分母,且分母不为0,即{2x-3=x-1,x-1≠0.解之即可.故选D.)7.C(解析:乙单独做完这项工作需要(x+6)小时,则单独做t小时(t<6)能完成这项工作的tx+6.故选C.)8.B(解析:A中分子m2+1>0;B中当m=1时,分子为0,分母不为0,分式的值为0;C中当m=-1时,分子为0,分母为0,分式无意义;D中分子m2+1>0.故选B.)9.C(解析:因为分式x+2x2-2x+1的分母x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以若分式的值为正数,则有x+2>0且x-1≠0,即x>-2且x≠1.故选C.)10.>3(解析:要使分式13-x的值为负,需使分母3-x<0,即x>3.故填>3.)11.≠±1(解析:若分式x-1x2-1有意义,则x2-1≠0,解之即可.故填≠±1.)12.20033V S13.解:因为当x=1时,分式x+2bx-a无意义,所以1-a=0,解得a=1;因为当x=4时,此分式的值为零,所以4+2b=0,解得b=-2,所以a+b=1+(-2)=-1.在学习分式的概念时,避免了传统教学中对于概念的直接给出,叫学生死记硬背,忽略学生学习的过程,也不考虑学生是否真正理解,本课时是让学生通过观察、归纳出整式与分式的异同,从而总结出分式的概念,学生对这样获得的知识,理解得更透彻.对学生学习效果的反馈不够及时,还不能够较全面地了解学生的学习情况,对不足之处未能及时补充.在学习中,要注意观察学生的情感变化,是否遇到困难,学生的积极性、热情是否发挥出来,投入的程度有多少,是否每个学生都参与其中等,作为教师应时刻关注这些,以便适时地引导他们,调动他们,鼓励他们.。
5.1认识分式(2)
泗县三中八年级数学下册学案年级 八年级学科 数学 课题 5.1分式的基本性质（2）授课时间撰写人袁玉柱撰写时间2014-2-16学 习 目 标1、掌握分式的基本性质，并能用分式的基本性质进行分式的变形2、知道什么是最简分式3、会进行约分、通分自主学习题型1：分式基本性质的理解应用1．（辨析题）不改变分式的值，使分式115101139x yx y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ） A ．10 B ．9 C ．45 D ．90 2．（探究题）下列等式：①()a b a b c c ---=-;②x y x y x x -+-=-;③a b a bc c-++=-; ④m n m nm m---=-中,成立的是（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④3．（探究题）不改变分式2323523x xx x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（• ）A ．2332523x x x x +++-B ．2332523x x x x -++-C ．2332523x x x x +--+D ．2332523x x x x ---+题型2：分式的约分4．（辨析题）分式434y xa+，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．（技能题）约分：（1）22699x x x ++-； （2）2232m m m m-+-．题型3：分式的通分 6．（技能题）通分：（1）26x ab ，29y a bc ； （2）2121a a a -++，261a -．师生互动：7．根据分式的基本性质，分式aa b--可变形为（ ） A ．a a b-- B ．a a b + C ．-a a b - D ．aa b +8．下列各式中，正确的是（ ）A ．x y x y x y x y -+-=--+;B ．x y x y x y x y -+--=--;C ．x y x y x y x y -++=---;D ．x y x y x y x y-+-=-+ 9．下列各式中，正确的是（ ）A ．a m a b m b +=+B ．0a b a b +=+C ．1111ab b ac c --=-- D ．221x y x y x y -=-+ 10．若23a =，则2223712a a a a ---+的值等于_______．11．计算222a aba b +-=_________．12．公式22(1)x x --，323(1)x x --，51x -的最简公分母为（ ）A ．2(1)x -B ．3(1)x -C ．(1)x -D ．23(1)(1)x x --13．21?11x x x -=+-，则？处应填上_________，其中条件是__________． 拓展创新题14．（学科综合题）已知2249650a a b b -+++=，求11a b-的值．15．（巧解题）已知2310x x ++=，求221x x +的值．16．（妙法求解题）已知13x x+=，求2421x x x ++的值．17．（妙法巧解题）已知13x y 1-=，求5352x xy yx xy y+---的值．。
北师大版八年级下册数学教案：5.1认识分式
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了分式的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对分式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“分式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
在学生小组讨论环节，我发现学生们对于分式在实际生活中的应用有着各种各样的见解，这让我感到很欣慰。但同时，我也注意到，有些学生在分享成果时表达不够清晰，逻辑性不强。这可能是因为他们在讨论过程中，没有很好地组织语言和整理思路。针对这一问题，我计划在接下来的教学中，加强学生逻辑思维和表达能力的训练。
1.加强对分式乘除运算和乘方运算的讲解和练习，提高学生的运算能力。
（4）分式的乘方：理解分式乘方的意义，掌握分式乘方的运算方法。
举例：$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$，分式的乘方运算需要对分子和分母分别进行乘方运算。
2.教学难点
（1）分式的简化：对于复杂的分式，如何快速找到分子和分母的公因式，进而进行简化。
2.提升学生的逻辑推理能力：在学习分式的性质和运算法则时，引导学生运用逻辑推理，掌握相关知识。
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;
(2)
a(a b) b(a b)
.
在化简(1) 时小颖和小明出现了分歧.
5xy 20x2y
5x 20x2
5xy 20x2y
5xy 4x 5xy
1 4x
你对他们两人的做法有何看法?
在小明的化简中,分子和分母已没有公因式,
这样的分式称为最简分式.
化简分式时, 通常要使结果成为最简分式或者整式.
新知归纳
3
3x2 y2 3x2 y2
4y 3x
x y (x y)3
4y 3x
;
以默认是不 等于0的， 否则原分式 无意义。这 就不再交代 ab不等于0。
x y (2) (x y)3
(x
x y y)(x
y)2
1 (x y)2
合作交流
a(a b)
ⅱ、你会化简
吗？
b(a b)
分子、分母同时除以(a+b)
a(a b) a b(a b) b
你会化简
a2 ab ab b2
吗？
你有什么想法?
范例讲解 例3、化简分式
x2 1 x2 2x 1
。
解：
x2
x2 1 2x 1
(x
1)( x 1) (x 1)2
x 1 x 1
4、化简下列分式：
同除以的 (x-1)在原分 式中充当了 分母的因式， 所以默认是 不等于0的， 否则原分式 无意义。这 就不再交代 (x-1)不等于 0。
x2 8x 16 (1) x2 16 ，其中 x 5 ；
(2) x2 2x ，其中 x 1， y 2。 2 y xy
不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中的
各项系数化为整数.
（1）00..0083xx
0.2y 0.5y
;
（2）52mm132nn .
解:（1）00..0083xx
0.2y 0.5y
新知探究
Ⅰ、填空，并回答下列问题：
(1)
3 6
33 63
1; 2
(2) a a a 1 a会等于0吗？为什么？
2a 2a a 2
a≠0
类比分数基本性质，你有什么发现？
新知探究
Ⅱ、填空，并回答下列问题：
(1)
0.3 0.5
0.310 0.510
3. 5
(2)
a b
a x b x
ax bx
b(a2 1) a2 1
的值是多少？你是
怎样做的？你认为分式与分数有类似的性质吗？
考考你(可与同伴交流)
(1) 3 = 1 的依据是什么?
62
解:依据是分数的基本性质,分数的分子与分母都 乘以或除以同一个不为零的数,分数的值不变.
(2)你认为分式 a 与 1相等吗? n2 与呢n ?
2a 2
mn m
同一个整式;
范例讲解
例2、下列等式的右边怎样从左边得到?
(1) b by ( y 0); 2x 2xy
(2) ax a . bx b
解： (1) ∵y≠0
b by 2x 2x y by 2xy
(2) ∵x≠0
ax ax x bx bx x a b
巩固练习
1、下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1) b 1 ; 2b 2
(2) b bx ; x2 y x3y
(3)
ab 4a2b
1 4a
;
(4) y aby (ab 0). 2x 2abx
2、填空：
(1) 2x (2xx y) (x y 0);
x y (x y)(x y)
y2
1
(2)
y2 4 (
. y2 )
3.辨一辨
3x 20y 8x 50y
;
（2）
m
1 3
n
2 5
m
2n
15m 5n 6m 30n
.
例4 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各
项系数都化为整数.
0.01x 5
⑴
0.3x 0.04
5x1 y
(3)
6 5
x
5 1
y
,
65
0.6a 5 b
⑵
3
0.7a 2 b
5
3.不改变分式的值将下列各式中的系数都化成整数.
(3)
x y
与
x y
；
(4)
x y
与
x y
。
你有什么发现?
新知归纳
分式的符号法则： 分式的分子、分母与分式本身，任意改变其
中两处的符号，分式的值不变。
5、不改变分式的值，使下列分式的分子、分母
都不含“–”：
(1) 2x ; 5y
(2) 3a ; 7b
(3) 10m . n
6、先化简，再求值：
x有什么要求吗？ x≠0
类比分数基本性质，你有什么发现？
新知归纳 分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不 等于零的整式，分式的值不变。
A A M ; A A M . (M 0) B BM B BM
易错点提示: 1、分式的分子与分母没有同时乘以或除以; 2、分式的分子与分母没有同时乘以或除以
分式约分的定义： 把一个分式的分子、分母的公因式约去，这
种变形称为分式的约分。
最简分式的定义： 分子和分母没有公因式，这样的分式称为最
简分式。
（化简分式时，通常要使结果成为 最简分式或者整式）
新知探究 Ⅱ、观察下列各组式子，它们之间有什么关系？
x x (1) y 与 y ；
x x (2) y 与 y ；
北师大版八年级(下)
5.1 认识分式(2)
回顾与复习
1
1、在
1
，
，x2 1 ，3xy ， a+ 1 中，分式
x2 2
m
的个数有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
a 1
2、要使分式
式 2a 4
2a 3 有意义，则a的值应是
的值为零，则a的值应为 .
；要使分
a 1
3、当a=3,b=5时，分式
约分的基本步骤：
（１）若分子﹑分母都是单项式，则约简系数， 并约去相同字母的最低次幂；
（２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项 式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因 式．
注意：约分过程中，有时还需运用分式的符号 法则使最后结果形式简捷；约分的依据是分式 的基本性质.
化简下列分式:
(1)
5xy 20x2y
(1) xБайду номын сангаас y 2 x y x y
(2) (x y)2 x y x y
范例讲解
a2bc
例3、化简分式 。
解：
a2bc
ab
ab ac
ac
同除以的ab 在原分式中 充当了分母
ab ab
的因式，所
3、化简下列分式：
(1)
12 x2 y3 9x3 y2
;
(2)
解：(1)
12x2 y 9x3 y2
x2 x (1) x2 1 ;
x2 9 (2) x2 6x 9 .
新知归纳 说明:在(1)中相当于分子、分母同时约去了整式ab ; 在（２中相当于分子、分母同时约去了整式x-1；
把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种 变形称为分式的约分．
分式约分的定义：
把一个分式的分子、分母的公因式约去，这 种变形称为分式的约分。