高中数学 第1部分 1.3.2球的体积和表面积课件 新人教A版必修2

径的一半，且 AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表面积与球的 体积． 解：如图，设球心为 O，球半径为 R，作 OO1 垂直平面 ABC 于 O1，
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由于 OA＝OB＝OC＝R， 则 O1 是△ABC 的外心． 设 M 是 AB 的中点， 由于 AC＝BC，则 O1 在 CM 上． 设 O1M＝x，易知 O1M⊥AB， 设 O1A＝ 22＋x2， O1C＝CM－O1M＝ 62－22－x. 又 O1A＝O1C，∴ 22＋x2＝ 62－22－x.
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[活学活用]
1．球的体积是323π，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
16π C. 3
64π D. 3
解析：设球的半径为 R，则由已知得43πR3＝323π，解得
R＝2.
故球的表面积 S 表＝4πR2＝16π.
答案：B
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根据三视图计算球的体积与表面积 [例 2] 一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该 几何体的表面积是________cm2.
∴l＝ r2＋h2＝ 5h，
∴S 圆锥侧＝πrl＝π×2h× 5h＝2 5πh2，S 球＝4πR2＝4πh2，
∴S圆锥侧＝2 S球
4π5hπ2h2＝
5 2.
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[类题通法] 求球的体积与表面积的方法 (1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条 件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解． (2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计 算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．
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球的体积与表面积 [例1] 若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的 直径相等，求圆锥侧面积与球面面积之比．
[解] 设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l，球的 半径为 R，
则由题意得13πr2·h＝43πR3 r＝2R
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∴13π(2R)2·h＝43πR3，∴R＝h，r＝2h，
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[解析] 由三视图知该几何体为一个四棱柱、一个半圆 柱和一个半球的组合体，其中四棱柱上表面与半球重合部分之
外的面积为 1×2－12×π×12＝2－π2，四棱柱中不重合的表面积 为 2－π2＋1×2×2＋2×2＋1×2＝12－π2，半圆柱中不重合的表 面积为12×2π×2＋12π＝52π，半球的表面积为12×4π＝2π，所以 该几何体的表面积为 4π＋12.
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[化解疑难]
1．一个关键
把握住球的表面积公式 S 球＝4πR2，球的体积公式 V 球＝43 πR3 是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的 条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎
刃而解了．
2．两个结论
(1)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．
(2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方．
理解教材新知
第
1 部 分
第 一 章
1.3 1.3.2
突破 常考 题型
题型一 题型二 题型三
跨越高分障碍
应用落实体验
随堂即时演练 课时达标检测
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1
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2
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3
1.3.2 球的体积和表面积
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[提出问题] 从生活经验中我们知道，不能将橘子皮展成平面，因 为橘子皮近似于球面，这种曲面不能展成平面图形．那么， 人们又是怎样计算球面的面积的呢？古人在计算圆周率时， 一般是用割圆术，即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆 的周长．理论上，只要取得圆内接正多边形的边数越多， 圆周率越精确，直到无穷．这种思想就是朴素的极限思 想．
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球的截面问题
[例 3] 已知球的两平行截面的面积为 5π 和 8π，它们位 于球心的同一侧，且相距为 1，求这个球的表面积．
[解] 如图所示，设以 r1 为半径的截面面积为 5π，以 r2 为半径的截面面积为 8π，O1O2＝1，球的半径为 R，OO2＝x， 那么可得下列关系式：
r22＝R2－x2 且 πr22＝π(R2－x2)＝8π，
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[活学活用] 2．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几
何体的表面积为( )
A．18π
B．30π
C．33π
D．40π
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解析：由三视图知该几何体由圆锥和半球组成．球半径和圆 锥底面半径都等于 3，圆锥的母线长等于 5，所以该几何体 的表面积 S＝2π×32＋π×3×5＝33π. 答案：C
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解得
x＝7
4
2.则
O1A＝O1B＝O1C＝9
4
2 .
在 Rt△OO1A 中，O1O＝R2，∠OO1A＝90°，OA＝R.
[答案] 4π＋12
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[类题通法] 1．由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表 面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结 构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结 构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的 三种视图都是直径相同的圆． 2．计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地 分割与拼接，避免重叠和交叉．
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r21＝R2－(x＋1)2 且 πr12＝π[R2－(x＋1)2]＝5π， 于是 π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π， 即 R2－x2－R2＋x2＋2x＋1＝3，∴2x＝2，即 x＝1. 又∵π(R2－x2)＝8π，∴R2－1＝8，R2＝9，∴R＝3. 球的表面积为 S＝4πR2＝4π×32＝36π.
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问题1：运用上述思想能否计算球的表面积和体积？ 提示：可以． 问题2：求球的表面积和体积需要什么条件？ 提示：已知球的半径即可．
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6Leabharlann Baidu
[导入新知] 1设．球球的的半体径积为R，则球的体积V＝___43_π_R_3__. 2．球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝__4_π_R_2__，即球的 表面积等于它的大圆面积的__4___倍．
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[类题通法] 球的截面问题的解题技巧
(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题 转化为平面中圆的问题．
(2)解题时要注意借助球半径 R，截面圆半径 r，球心到 截面的距离 d 构成的直角三角形，即 R2＝d2＋r2.
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[活学活用] 3．已知过球面上三点 A、B、C 的截面到球心的距离等于球半