知识讲解+圆周运动的向心力及其应用

圆周运动的向心力及其应用

【要点梳理】

要点一、物体做匀速圆周运动的条件

物体做匀速圆周运动的条件：具有一定速度的物体，在大小不变且方向总是与速度方向垂直的合外力的作用下做匀速圆周运动。

说明：从物体受到的合外力、初速度以及它们的方向关系上探讨物体的运动情况，是理解运动和力关系的基本方法。

要点二、关于向心力及其来源

1、向心力

（1）向心力的定义：在圆周运动中，物体受到的合力在沿着半径方向上的分量叫做向心力.

（2）向心力的作用：是改变线速度的方向产生向心加速度的原因。

（3）向心力的大小：

2

2

v

F ma m mr

r

ω===

向向

向心力的大小等于物体的质量和向心加速度的乘积；

对于确定的物体，在半径一定的情况下，向心力的大小正比于线速度的平方，也正比于角速度的平方；线速度一定时，向心力反比于圆周运动的半径；角速度一定时，向心力正比于圆周运动的半径。

如果是匀速圆周运动则有：

22

222

2

4

4

v

F ma m mr mr mr f

r T

π

ωπ=====

向向

（4）向心力的方向：与速度方向垂直，沿半径指向圆心。

（5）关于向心力的说明：

①向心力是按效果命名的，它不是某种性质的力；

②匀速圆周运动中的向心力始终垂直于物体运动的速度方向，所以它只能改变物体的速度方向，不能改变速度的大小；

③无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心力总是变力，但是在匀速圆周运动中向心力的大小是不变的，仅方向不断变化。

2、向心力的来源

（1）向心力不是一种特殊的力。重力(万有引力)、弹力、摩擦力等每一种力以及这些力的合力或分力都可以作为向心力。

（2）匀速圆周运动的实例及对应的向心力的来源 (如表所示)：

要点三、匀速圆周运动与变速圆周运动的区别 1、从向心力看匀速圆周运动和变速圆周运动

（1）匀速圆周运动的向心力大小不变，由物体所受到的合外力完全提供，换言之也就是说物体受到的合外力完全充当向心力的角色。

例如月球围绕地球做匀速圆周运动，它受到的地球对它的引力就是合外力，这个合外力正好沿着半径指向地心，完全用来提供月球围绕地球做匀速圆周运动的向心力。

（2）在变速圆周运动中，向心力只是物体受到的合外力的沿着半径方向的一个分量。

例如用一根细线拴一个小球在竖直平面内做变速圆周运动，它的受力情况如图所示，物体受到线的拉力F 拉和重力mg 的作用，其合力分解为两个分量：向心力和切向力。

不难看出：F F mg cos θ=-拉向 θsin mg F =切

向心力改变着速度的方向，产生向心加速度；切向力与线速度的方向相同或者相反，改变着线速度的大小使得物体做变速圆周运动。

2、从圆周运动的规律看匀速圆周运动和变速圆周运动 （1）匀速圆周运动和变速圆周运动所适用的共同规律

无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动向心加速度的大小总是：22ωr r

v m F a ===向

向（公式中的每一个量都是瞬时量，任何一个时刻或者任何一个位置都可以用公式计算向心加速度。）

换一种说法就是：

在圆周运动中的任何时刻或位置，牛顿运动定律都成立，即22

ωmr r

v m ma F ===向向 例如上面的例子，用一根细线拴一个小球在竖直平面内做变速圆周运动，在图中所示的位置用牛顿第二定律可得：

2

2mv F F mg cos ma m r r θω=-===拉向向

切切ma mg F ==θsin

（2）只适用于匀速圆周运动的计算公式：

2

222

2

222

4m 4m F 44f r T

r f r T

r a ππ

ππ====向向 因为在匀速圆周运动的过程中各个量大小的平均值和瞬时值是相等的；如果将上式用在变速圆周运动中，计算的结果仅是一个意义不大的粗略的平均值。 要点四、圆周运动的实例 1、水平面上的圆周运动

（1）圆锥摆运动：小球在细线的拉力和重力作用下的在水平面上的匀速圆周运动，如图所示：

①向心力来源：物体重力和线的拉力的合力，沿着水平方向指向圆心。

②力学方程：2

22

2sin 4sin sin tan T

l m l m l v m ma mg θπθωθθ==== ③问题讨论：

a.物体加速度与夹角θ的关系：θtan g a =，向心加速度越大时，夹角θ越大。

b.角速度与夹角θ的关系：θ

ωcos l g

=

，可见角速度越大时，夹角θ越大。

（2）在水平圆盘上随圆盘一起转动物体 ①向心力的来源：

如图，在竖直方向上重力和支持力平衡，物体做圆周运动的向心力由物体所受的静摩擦力提供。

②静摩擦力的方向：

当物体做匀速圆周运动时，这个静摩擦力沿着半径指向圆心；

当做变速圆周运动时，静摩擦力还有一个切线方向的分量存在，用来改变线速度的大小。 ③静摩擦力的变化：

当水平圆盘的转速增大时，物体受到的静摩擦力也随之增大，当物体所需要的向心力大于最大静摩擦力时，物体将相对于圆盘滑动，变为滑动摩擦力。 2、竖直平面内的圆周运动 （1）汽车过拱形桥

在竖直面内的圆周运动中可以分为：匀速圆周运动和变速圆周运动。对于匀速圆周运动处理起来一般比较方便。对于变速圆周运动，定量的计算通常是在圆周的最高点和最低点处用牛顿第二定律。例如：汽车通过半圆的拱形桥，因为桥面对汽车提供的只能是支持力。

①汽车在点位置Ⅰ最高时，对车由牛顿第二定律得：

R

v m F mg N 2

=-

为了驾驶安全，桥面对车的支持力必须大于零，即0N F > 从而解得车的速度应满足关系v gR <

（如果gR v =

，在不计空气阻力的情况下，车将做平抛运动）

②汽车在位置Ⅱ时有22

N N v v mg F m mg sin F m R R

θ''-=⇒⋅-=径 又0N F > 解得v gR 'sin <

θ