2020年普通高等学校招生全国统一考试联考理科数学试卷
2020年高三全国统一考试·联考数学理科(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考理科数学本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}N x x x x A ∈<--=,0322，则集合A 的真子集有（ ）A ．5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个2．已知i 是虚数单位，则化简2020)11(ii -+的结果为（ ） A.i B.i - C.1- D.13.若干年前，某教师刚退休的月退休金为400元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）A ．4500元 B. 5000元 C ．5500元 D ．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） A.72 B.73 C.71 D.143 5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点)32,3(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则NM NF :等于（ ）A.2:1B.3:1C.4:1D.3:16.在所有棱长都相等的直三棱柱111C B A ABC -中，D ，E 分别为棱AC CC ,1的中点，则直线AB 与平面DE B 1所成角的余弦值为（ ） A.1030 B.2030 C.20130 D.1070 7已知点A （4，3），点B 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥06200y x y x y 所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A.5B.554 C.5 D.552 8．给出下列说法①定义在[a ，b]上的偶函数b x a x x f ++-=)4()(2的最大值为20； ②“4π=x ”是“1tan =x ”的充分不必要条件； ③命题“21),,0(000≥++∞∈∃x x x ”的否定形式是“21),,0(<++∞∈∀xx x ” 其中正确说法的个数为（ ）A.0B.1C.2D.39.已知5.03422log 2log ,,,03log m c m b m a m ===>，则c b a ,,间的大小关系为 A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a c b <<10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤=15斤，1斤=16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何?其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ）A ．9两 B.127266两 C.63266两 D.127250两 11在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3cos cos c A b B a =-，则B b A a B a cos cos cos +的最大值为( ) A.2 B.22 C.23 D.332 12.已知几)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且)13(log )()(3+=+x x g x f ，不等式0)()(3≥--t x f x g 对R x ∈恒成立，则t 的最大值为（ ）A.1B.2log 233-C.2D.12log 233- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量a =（2，5-），b =（1，52），则b 在a 方向上的投影等于 .14在△ABC 中，∠B=32π，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC=21AB ，则E 的离心率为 .5已知函数)0,0)(cos()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是奇函数，且在]4,6[ππ-上单调减，则ω的最大值是 .16已知三棱锥A-BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC=CD=2，AB=AD=6，则三棱锥A-BCD 的外接球的体积为 .三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且112n n n S na a =+-． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明： 32n T ＜．18．（12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，AF=22FD ，∠DFE=∠CEF=45．（1）证明DC ∥FE ；（2）求二面角D-BE-C 的平面角的余弦值．19．（12分）已知点P 在圆O ：x 2+y 2=9上，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足432PQ MQ u u u r u u u u r ．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设G （-3，0），H （3，0），过点F （1，0）的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，问直线AG 与直线BH 的斜率之比是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20．（12分）某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A 、B 、C ．经过引种实验发现，引种树苗A 的自然成活率为0.7，引种树苗B 、C 的自然成活率均为p （0.6≤p≤0.8）（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵?21．（12分）已知函数f （x ）=（a-1）x+xlnx 的图象在点A （e 2，f （e 2））（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为4（1）求实数a 的值；（2）若m ∈Z ，且m （x-1）<f （x ）+1对任意x>1恒成立，求m 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为-22ππρθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，），直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y ts αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）． （1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x+2+1=0垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f （x ）=|x-1|+2|x+1|，x ∈R（1）求不等式f （x ）<5的解集；（2）若关于x 的不等式122)(-<+t x f 在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围·11·。
2020年高考考试理科数学试卷 全国Ⅰ卷 (含答案)
2020年全国普通高等学校招生统一考试试卷 全国Ⅰ卷理科数学一、选择题1.若1i z =+，则22z z -=( ) A.0B.1C.2D.22.设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x ⋂=-≤≤，则a =( ) A.-4B.-2C.2D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )51-51- 51+51+4.已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =( ) A.2B.3C.6D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：°C )的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据i i (,)(1,2,...,20)x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10C ︒至40C ︒之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x =+6.函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为( ) A.21y x =--B.21y x =-+C.23y x =-D.21y x =+7.设函数π()cos()6f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为( )A.10π9B.7π6C.4π3D.3π28.25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为( )A. 5B. 10C. 15D. 209.已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=( )B.23 C.1310.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为14π,AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π11.已知22:2220M x y x y +---=，直线:220l xy，P 为l 上的动点，过点P 作M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为( ) A.210x y --=B.210x y +-=C.210x y -+=D.210x y ++=12.若242log 42log a b a b +=+，则( ) A.2a b > B.2a b < C.2a b > D.2a b <二、填空题13.若,x y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则7z x y =+的最大值为____________.14.设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||-=a b ___________.15.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.16.如图，在三棱锥–P ABC 的平面展开图中，1AC =，AB AD =AB AC ⊥，AB AD ⊥，30CAE ∠=︒，则cos FCB ∠=______________.三、解答题17.设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． (1)求{}n a 的公比；(2)若11a =，求数列{}n na 的前n 项和.18.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =.ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，6PO DO =.(1)证明：PA ⊥平面PBC ；(2)求二面角B PC E --的余弦值.19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率.20.已知,A B 分别为椭圆()222:11x E y a a+=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D .(1)求E 的方程； (2)证明：直线CD 过定点. 21.已知函数2()e x f x ax x =+-. (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围. 22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=.(1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标. 23.已知函数()|31|2|1|f x x x =+--. (1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集.参考答案1.答案：D2.答案：B3.答案：C解析：如图，设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为'h，则依题意有：222212'()2'h ahah h⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因此有221'()22'ah ah-=，化简得2'4()2()1'h ha a--=，解得5'1ha+=.4.答案：C解析：设点A的坐标为()x y，，由点A到y轴的距离为9可得9x=，由点A到C的焦点的距离为12，可得122px+=，解得6p=.5.答案：D解析：用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图像的大致走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为lny a b x=+.6.答案：B解析：先求函数的导函数32()46'f x x x=-，则由导数的几何意义知在点(1,(1))f处的切线的斜率为(1)'2k f ==-，又因为(1)1f =-，由直线方程的点斜式得切线方程为：(1)2(1)y x --=--，化简得21y x =-+.7.答案：C解析：由图知4π4ππ()cos()0996f ω-=-+=，所以4ππππ()962k k ω-+=+∈Z ，化简得39()4kk ω+=-∈Z ，又因为2π2T T <<，即2π4π2π||||ωω<<，所以1||2ω<<，当且仅当1k =-时1||2ω<<，所以32ω=，最小正周期2π4π||3T ω==.故选C. 8.答案：C解析：5()x y +的通项公式为55(012345)r r r C x y r -=，，，，，，所以1r =时，21433555y C x y x y r x==，，时32333510xC x y x y =，所以33x y 的系数为15. 9.答案：A解析：原式化简得23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-，或2（舍），又(0,π)α∈，所以sin α=10.答案：A解析：设1,AB a O =的半径为r ，球O 的半径为R ，所以2π4πr =，所以2r =，而1r O A ==，所以222114a R OO O A ==+=，所以球O 的表面积为24π64πR =，故选A. 11.答案：D解析：22:(1)(1)4M x y -+-=，因为1||||2||||2||2PAMB PAMS PM AB S PA AM PA =====所以||||PM AB ·最小，即||PM 最小，此时PM 与直线l 垂直，1122PM y x =+：， 直线PM 与直线l 的交点(10)P -，，过直线外一点P 作M 的切线所得切点弦所在直线方程为：210x y ++=，所以选D. 12.答案：B 13.答案：114.15.答案：2 16.答案：14-17.答案：(1)2q =-；(2)1(31)(2)99nn n S +-=-.解析：(1)设{}n a 的公比为q ，由题设得1232a a a =+，即21112a a q a q =+. 所以220q q +-=，解得1q =(舍去)，2q =-. 故{}n a 的公比为2-. (2)记n S 为{}n na 的前n 项和.由(1)及题设可得，1(2)n n a -=-.所以112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯-，21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯-.可得2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++--⨯-1(2)(2)3n n n --=-⨯-.所以1(31)(2)99nn n S +-=-.18.答案：(1)见解析；(2)25. 解析：(1)设DO a =，由题设可得63,,PO a AO a AB a ===， 2PA PB PC a ===. 因此222PA PB AB +=，从而PA PB ⊥. 又222PA PC AC +=，故PA PC ⊥. 所以PA ⊥平面PBC .(2)以O 为坐标原点，OE 的方向为y 轴正方向，OE 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.由题设可得1(0,1,0),(0,1,0),,0,22E A C P ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.所以31,,0,0,2EC EP ⎛⎫⎛=--=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 设(,,)x y z =m 是平面PCE 的法向量，则 0,0,EP EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即0,210.2y y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩可取⎛= ⎝m . 由(1)知AP ⎛= ⎝⎭是平面PCB 的一个法向量，记AP =n ，则cos ,||||⋅==⋅n m n m n m 所以二面角B PC E --. 19.答案：(1)116；(2)34；(3)716. 解析：(1)甲连胜四场的概率为116. (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为116；乙连胜四场的概率为116； 丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为11131161684---=. (3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为111,,1688. 因此丙最终获胜的概率为111178168816+++=.20.答案：(1)2219x y +=；(2)见解析.解析：(1)由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -.则(1)(1)AG a GB a ==-,,,.由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =. 所以E 的方程为2219x y +=.(2)设()()1122,,,,(6,)C x y D x y P t .若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<. 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以()1139ty x =+.直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以()2233ty x =-.可得()()1221333y x y x -=+.由于222219x y +=，故()()2222339x x y +-=-，可得()()12122733y y x x =-++，即 ()()22121227(3)(3)0m y ym n y y n ++++++=.①将x my n =+代入2219x y +=得()2229290my mny n +++-=.所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=++. 代入①式得()()()22222792(3)(3)90m n m n mn n m +--++++=. 解得3n =-(舍去)，32n =. 故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.综上，直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.21.答案：(1)见解析；(2)27e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 解析：(1)当1a =时，2()e x f x x x =+-，)e (1'2x f x x =+-.故当(,0)x ∈-∞时，)'(0f x <；当(0,)x ∈+∞时，)'(0f x >.所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞单调递增. (2)31()12f x x ≥+等价于3211e 12x x ax x -⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭. 设函数321()1e (0)2x g x x ax x x -⎛⎫=-++≥ ⎪⎝⎭，则32213()121'e 22x g x x ax x x ax -⎛⎫=--++-+- ⎪⎝⎭21(23)42e 2x x x a x a -⎡⎤=--+++⎣⎦ 1(21)(2)e 2x x x a x -=----.(i)若210a +≤，即12a ≤-，则当(0,2)x ∈时，)'(0g x >.所以()g x 在(0,2)单调递增，而(0)1g =，故当(0,2)x ∈时，()1g x >，不合题意.(ii)若0212a <+<，即1122a -<<，则当(0,21)(2,)x a ∈+⋃+∞时，)'(0g x <；当(21,2)x a ∈+时，)'(0g x >.所以()g x 在(0,21),(2,)a ++∞单调递减，在(21,2)a +单调递增.由于(0)1g =，所以()1g x ≤当且仅当2(2)(74)e 1g a -=-≤，即27e 4a -≥.所以当27e 142a -≤<时，()1g x ≤.(iii)若212a +≥，即12a ≥，则31()1e 2x g x x x -⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.由于27e 10,42⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，故由()ii 可得311e 12x x x -⎛⎫++ ⎪⎝≤⎭. 故当12a ≥时，()1g x ≤.综上，a 的取值范围为27e [,)4-+∞.22.答案：(1)曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆；(2)11,44⎛⎫⎪⎝⎭.解析：(1)当1k =时，1cos ,:sin ,x t C y t =⎧⎨=⎩消去参数t 得221x y +=，故曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆.(2)当4k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得1C 的直角坐标方程为1x y +=， 2C 的直角坐标方程为41630x y -+=.由1,41630x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得1,41.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故1C 与2C 的公共点的直角坐标为11()44，.23.答案：(1)见解析；(2)7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.解析：(1)由题设知13(),31()51(1)33(1).x x f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，，，，()y f x =的图像如图所示.(2) 函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像.()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711,66⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在()1y f x =+的图像上方.故不等式()()1f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.。
精品解析：2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)(原卷版)
③f（x）的图像关于直线 x= 对称．
2
④f（x）的最小值为 2． 其中所有真命题的序号是__________．
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分.
（2）若点 P 在 C 上，点 Q 在直线 x = 6 上，且 | BP |=| BQ | ， BP ⊥ BQ ，求 APQ 的面积．
21.设函数 f (x) = x3 + bx + c ，曲线 y = f (x) 在点( 1 ，f( 1 ))处的切线与 y 轴垂直． 22
（1）求 b． （2）若 f (x) 有一个绝对值不大于 1 的零点，证明： f (x) 所有零点的绝对值都不大于 1．
（1）证明：点 C1 在 平面 AEF 内；
（2）若 AB = 2 ， AD = 1 ， AA1 = 3 ，求二面角 A − EF − A1 的正弦值．
20.已知椭圆 C : x2 + y2 = 1(0 < m < 5) 的离心率为 25 m2
15 ， A ， B 分别为 C 的左、右顶点． 4
（1）求 C 的方程；
x 和 x2+y2= 1 都相切，则 l 的方程为（ ） 5
1 B. y=2x+
2
1 C. y= x+1
2
D. 2 11
D. y= x+ 22
x2
11.设双曲线 C：
a2
−
y2 b2
= 1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为
5 ．P 是 C 上一点，且
2020年全国I卷理科数学高考试题及答案(word版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若z=1+i,则|z2−2z|=A.0B.1C.√2D.22.设集合A={x|x2−4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|−2≤x≤1}，则a=A.-4B.-2C.2D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.√5−14B.√5−12C.√5+14D.√5+124.已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9,则p=A.2B.3C.6D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:C )的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i,y i)(i=1,2,...,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+be xD.y=a+b ln x6.函数f(x)=x4−2x3的图像在点(1,f(1))处的切线方程为A.y=−2x−1B.y=−2x+1C.y=2x−3D.y=2x+1)在[−π，π]的图像大致如下图,则f(x)的最小正周期为7.设函数f(x)=cos(ωx+π6A.10π9B.7π6C.4π3D.3π2 8.(x +y 2x )(x +y)5的展开式中x 3y 3的系数为A.5B.10C.15D.209.已知α∈(0,π),且3cos 2α−8cos α=5,则sin α=A.√53B.23C.13D.√5910.已知A,B,C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆，若⊙O 1的面积为4π,AB =BC =AC =OO 1,则球O 的表面积为A.64πB.48πC.36πD.32π11.已知⊙M:x 2+y 2−2x −2y −2=0,直线l:2x +y =0,p 为l 上的动点.过点p 作⊙M 的切线PA ,PB ,切点为A,B ,当|PM ||AB |最小时,直线AB 的方程为A.2x −y −1=0B.2x +y −1=0C.2x −y +1=0D.2x +y +1=012.若2a +log 2a =4b +2log 4b 则A. a >2bB.a <2bC. a >b 2D. a <b 2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若x,y 满足约束条件{2x +y −2≤0,x −y −1≥0,y +1≥0,则z =x +7y 的最大值为 114.设a,b 为单位向量,且|a +b |=1,则|a −b |= √315.已知F 为双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点,且BF垂直于x 轴,若AB 的斜率为3,则C 的离心率为____2____16.如图，在三棱锥P −ABC 的平面展开图中，AC =1，AB =AD =√3，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30∘,则cos ∠FCB =___−14___三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题,共60分.17.(12分)设{a n }是公比不为1的等比数列,a 1为a 2,a 3的等差中项.(1)求{a n }的公比；(2)若a 1=1,求数列{na n }的前n 项和.(1)q =−2;(2)S n =19−3n+19∙(−2)n . 18.(12分)如图,D 为圆锥的顶点,O 是圆锥底面的圆心,AE 为底面直径,AE=AD,ΔABC 是底面的内接正三角形,P 为DO 上一点,PO =√66DO . (1)证明:P A⊥平面PBC ；(2)求二面角B-PC-E 的余弦值.(1){PA ⊥PC(勾股定理)PA ⊥PB(勾股定理)PB ∩PC =P⇒PA ⊥平面PBC(2)2√55(建立空间直角坐标系) 19.(12分)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一轮轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12. (1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率.(1)116; (2) 34; (3) 38.20.(12分)已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2=1(a >1)的左、右顶点,G 为E 上顶点,AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB⃗⃗⃗⃗⃗ =8.P 为直线x =6上的动点,PA 与E 的另一交点为C ,PB 与E 的另一交点为D .(1)求E 的方程(2)证明:直线CD 过定点(1)x 29+y 2=1;(2)(32,0)21.(12分)已知函数f (x )=e x +ax 2−x .(1)当a =1时,讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥0时,f (x )≥12x 3+1,求a 的取值范围.(1)增区间为(0,+∞),减区间为(−∞,0);(2)[7−e 24,+∞)(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =cos k t ,y =sin k t(t 为参数),以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为4ρcos θ−16ρsin θ+3=0.(1)当k =1时,C 1是什么曲线？(2)当k =4时,求C 1与C 2的公共点的直角坐标.(1)以原点为圆心,1为半径的圆;(2)(14,14)23.[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)=|3x +1|−2|x -1|.(1)画出y =f (x )的图像；(2)求不等式f (x )>f(x +1)的解集. (1)(2){x|x <−76}。
2020年全国统一高考数学理科试卷(附答案解析)
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以 ，而 ，
A. 2B. 3C. 6D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故选：C.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：
【答案】C
【解析】
【分析】
求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与 展开式的乘积为 或 形式，对 分别赋值为3，1即可求得 的系数，问题得解.
【详解】 展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 与 展开式的乘积可表示为：
或
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 .
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
7.设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国I卷)(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 若1z i =+,则22z z -=A.0B.1C.2 D 。
22.设集合{}240A x x=-≤,{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤，则a = A.-4B 。
—2C.2D 。
43。
埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A. 514-B.C.D 。
4。
已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点,点A 到C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ο）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据i i (,)x y (1,2,...,20)i =得到下面的散点图：由此散点图,在10℃至40℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．x y a be =+D ．ln y a b x =+6。
函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+像大7.设函数()cos()6f x x πω=+在[]-ππ，的图致如下图，则()f x 的最小正周期为 A 。
109πB. 76πC. 43πD. 32π8。
25()()y x x y x ++的展开式中33x y 的系数为A 。
5B 。
10C 。
15D 。
20。
2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国 I 卷)word版试题及答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I ）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若1z i =+,则22z z -= A.0 B.1 C.2 D.22.设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤，则a = A.-4 B.-2 C.2 D.43. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 A.51- B.51- C.51+ D.51+4.已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p = A ．2 B ．3 C ．6 D ．95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ο）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据i i (,)x y (1,2,...,20)i =得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A ．y a bx =+B ．2y a bx =+ C ．x y a be =+ D ．ln y a b x =+6.函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+7.设函数()cos()6f x x πω=+在[]-ππ，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109πB. 76πC. 43πD. 32π8. 25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为A. 5B. 10C. 15D. 209. 已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α= A.5 B. 23C. 13D. 510. 已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为14,AB BC AC OO π===,则球O 的表面积为 A. 64π B. 48π C. 36π D. 32π11. 已知22:2220M x y x y +---=，直线:20,l x y p +=为l 上的动点.过点p作M 的切线PA ，PB ,切点为,A B ,当PM AB 最小时，直线AB 的方程为 A. 210x y --= B. 210x y +-= C. 210x y -+= D. 210x y ++=12.若a 242log 42log b a b +=+则 A.a>2b B.a<2b C.a>2b D.a<2b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国卷数学(理科)高考试题及答案
2020年全国卷数学(理科)高考试题及答案2020年普通高等学校招生全国统一考试-理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 $z=1+i$，则 $z^2-2z=$A。
0B。
1C。
2D。
22.设集合 $A=\{x|x^2-4\leq 0\}$，$B=\{x|x^2+ax\leq 0\}$，且 $AB=\{x|-2\leq x\leq 1\}$，则 $a=$A。
$-4$B。
$-2$C。
2D。
43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A。
$\frac{5-\sqrt{5}}{4}$B。
$\frac{5+\sqrt{5}}{4}$C。
$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$D。
$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$4.已知 $A$ 为抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 上一点，点$A$ 到 $C$ 的焦点的距离为 $12$，到 $y$ 轴的距离为 $9$，则 $p=$A。
2B。
3C。
6D。
95.某校一个课外研究小组为研究某作物种子的发芽率$y$ 和温度 $x$（单位：℃）的关系，在 $20$ 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 $(x_i,y_i)(i=1,2.20)$ 得到下面的散点图：由此散点图，在 $10℃$ 至 $40℃$ 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 $y$ 和温度 $x$ 的回归方程类型的是A。
$y=a+bx$B。
$y=a+bx^2$C。
$y=a+be^x$D。
$y=a+b\ln x$6.函数 $f(x)=x^4-2x^3$ 的图像在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为A。
$y=-2x-1$B。
$y=-2x+1$C。
$y=2x-3$D。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)联考 理科数学+答案+全解全析
D． 2 2
13． (x + 2 y −1)5 的展开式中 x2 y2 的系数为___________.
14．若
sin(α
+
π )
6
=
−
1 3
,α
∈ (0, π)
，则
sin(2α
+
π )
3
=
___________.
15．已知双曲线 E
：
x2 a2
−
y2
= 1(a
>
0)
的左、右焦点分别为 F1, F2
a,b
=
A． 2 5 5
B． − 2 5 5
C． − 5 5
D． 5 5
9．已知[x] 表示不超过
x
的最大整数，数列{an} 满足
an
=
[
(−1)
n −1 ] 2
n
2
，则数列{an} 的前
6030
C． 3660
理科数学 第 2 页（共 13 页）
D． −3660
10．将函数 f (x) =
如图所示，正方形 ABCD 所在平面与梯形 ABMN 所在平面垂直，MB∥AN， NA = AB = 2 ， BM = 4 ，
CN = 2 3 .
（1）证明：平面 DMN ⊥ 平面 BCN ； （2）求二面角 C − MN − D 的余弦值.
19．（本小题满分 12 分）
已知椭圆
x2 C： a2
+
y2 b2
不迟到的概率的范围； （2）在这 10 天中任取 2 天，记该学生早上从家出发到教室所花时间的差的绝对值为 Y ，求 Y 的分布列 和数学期望. 附：若随机变量 X 服从正态分布 N (µ,σ 2 ) ，则 P(µ − σ < X < µ + σ ) = 0.6826 ，P(µ − 2σ < X < µ + 2σ ) = 0.9544 ， P(µ − 3σ < X < µ + 3σ ) = 0.9974 . 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 f (x) = cos(x −1) + x(1 − ln x) . （1）设 g(x) = f ′(x) ，求证： g(x) < 1 ；
【精编精校】2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国 I 卷)(word精析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I ） 理科数学一、选择题1.若1z i =+，则2|2|z z -=（ ） A.0 B.1 C.2 D.2 答案： D 解析：由1z i =+，可得22z i =，222z i =+，所以2|2||2(22)|2z z i i -=-+=. 2.设集合2{|40}A x x =-≤，{|20}B x x a =+≤，且{|21}A B x x =-≤≤，则a =（ ）A.4-B.2-C.2D.4 答案： B 解析：由题意知{|22}A x x =-≤≤，{|}2a B x x =≤-，又因为{|21}A B x x =-≤≤，所以12a-=，解得2a =-.3.埃及胡夫金字塔是古代时间建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A ．51- B.512- C.514+ D.5+1答案： C 解答：设四棱锥的底面边长为a ，侧面三角形的高为h '，四棱锥的高为h ，则有212h ah '=，又221()2h h a '=-，联立两式可得2221111()()04224h h h a ah a a ''''-=⇒-⋅-=解得154h a '±=，又0h a '>，所以154h a '+=.4.已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ）A.2B.3C.6D.9 答案： C 解答：根据抛物线的定义可知，点A 到C 的焦点的距离等于到准线2px =-的距离， 即1292p=+，解得6p =. 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ︒）的关系， 在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（i x ，i y ）（1,2,,20i =）得到下面的散点图：由此散点图，在10C ︒至40C ︒之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ） A.y a bx =+ B.2y a bx =+ C.x y a be =+ D.ln y a b x =+ 答案： D 解析：由图象可知ln y a b x =+作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型最适宜.6．函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为（ ）A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+ 答案： B 解答：由题可得(1)1f =-，32()46f x x x '=-，则(1)2f '=-，∴在点(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x +=--，即21y x =-+．7.设函数()cos()6f x x πω=+在[,]ππ-的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为（ ）A.109πB.76πC.43πD.32π答案： C 解析： ∵4cos()096ππω-+=，∴42()962k k Z πππωπ-+=-∈， ∴9322k ω=-+，根据图像可知2413||99ππππω<+=， 2||ππω>，∴18||213ω<<， 故取0k =，则32ω=，∴2243||32T πππω===，故选C.8.25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为（ ）A.5B.10C.15D.20 答案： C 解析：25()()y x x y x++的展开式中33x y 项为2323143333335510515y x C x y C x y x y x y x y x ⋅⋅+⋅⋅=+=.故25()()yx x y x++的展开式中33x y 的系数为15. 9．已知(0,)απ∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）AB ．23C ．13D答案： A 解答：由3cos28cos 5αα-=，得23(2cos 1)8cos 5αα--=， 得23cos 4cos 40αα--=，化为(3cos 2)(cos 2)0αα+-=，得2cos 3α=-，那么sin α=． 10.已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，圆1O 为ABC ∆的外接圆.若圆1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A.64πB.48πC.36πD.32π答案： A 解析：依题意，ABC ∆为等边三角形，故其外心为ABC ∆的中心， 由圆1O 的面积为4π，∴12O A =，∴1AB OO ==，∴4OA ===，∴球O 的表面积为2441664R πππ=⨯=，故选A. 11.已知22:2220M x y x y +---=，直线:220l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）A.210x y --=B.210x y +-=C.210x y -+=D.210x y ++= 答案： D解析：解法一：∵P 为l 上的动点，设(,22)P x x --∵22:2220M x y x y +---=，即22(1)(1)4x y -+-=，∴M 的圆心(1,1)M ，半径为2.∴||PM =依题意可知在Rt PAM ∆中，||PA =∴1||||||2||PA AM AB PM ⋅==，∴||AB =∴||||PM AB ⋅=1x =-时||||PM AB ⋅取得最小值. 此时(1,0)P -过P 作M 的其中一条切线为1x =-，设PA 的方程为1x =-.则(1,1)A -，又∵12PM k =，∴2AB k =-. ∴直线AB 的方程为12(1)y x -=-+.化简得210x y ++=. 解法二：22:(1)(1)4M x y -+-=，因为1||||2||||2||2PAMB PAM S PM AB S PA AM PA ∆=====， 所以||||PM AB ⋅最小，即||PM 最小，此时PM 与直线l 垂直，11:22PM y x =+， 直线PM 与直线l 的交点(1,0)P -， 过直线外一点P 作M 的切线所得切点弦所在直线方程为：210x y ++=，所以选D.12.若242log 42log a ba b +=+，则（ ）A.2a b >B.2a b <C.2a b >D.2a b < 答案： B解析：由指数与对数运算可得22422log 42log 2log a b ba b b +=+=+，又因为2222222log 2log 22og ()1l bb b b b b +<+=++，即2222log 2log (2)a ba b +<+，令2()2log xf x x =+，由指对函数单调性可得()f x 在(0,)+∞内单调递增，由()(2)f a f b <，可得2a b <，故选B. 二、填空题13.若x ，y 满足约束条件2201010x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩，则7z x y =+的最大值为 .答案：1解析：如图，作出约束条件2201010x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩所表示的可行域.易得A 点的坐标为(1,0)A ，当目标函数经过A 点时，z 取得最大值， 可得7z x y =+的最大值为1701+⨯=.14.设a ，b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=________. 答案：3解答：∵a ，b 为单位向量，∴||||1a b ==，∴222||||||21a b a b a b +=++⋅=，∴21a b ⋅=-，∴222||||||23a b a b a b -=+-⋅=，解得||3a b -=.15.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴，若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 . 答案： 2 解答：由题可知点B 的坐标为2,)bc a（，所以23AB b a k c a==-，且222b c a =-，代入并化简可得222320320c ac a e e -+=⇒-+=解得2e =或1e =（舍弃）.16.如图，在三棱锥P ABC -的平面展开图中，1AC =，3AB AD ==，AB AC ⊥，AB AD ⊥，30CAE ∠=︒，则cos FCB ∠= .答案：14-解析：3AB =1AC =，AB AC ⊥，∴2BC =，同理6DB =3AE DA ==30CAE ∠=︒，1AC =.∴2222cos EC AE AC AE AC EAC =+-⨯⨯⨯∠33123112=+-⨯=. 在BCF ∆中，2BC =，1FC EC ==，6FB DB ==∴2221461cos 22214FC BC FB FCB FC BC +-+-∠===-⨯⨯⨯⨯.三、解答题17.设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项. （1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和. 答案： 见解答解答：（1）设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，∵1232a a a =+，∴21112a a q a q =+，又∵10a ≠，故220q q +-=，解得2q =-或1q =（舍）.（2）由11a =，可得111(2)n n n a a q--==-，设数列{}n na 的前n 项和为n S ，则0111(2)2(2)(2)n n S n -=⨯-+⨯-++⨯-① 1221(2)2(2)(2)nn S n -=⨯-+⨯-++⨯-②①-②得：01213(2)(2)(2)(2)(2)n nn S n -=-+-+-++--⨯-(2)111(2)()(2)2133n n n n n --=-⨯-=--⋅-+--，∴111()(2)399nn S n =--⋅-+. 18.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =.ABC ∆是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，66PO DO =. （1）证明：PA ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC E --的余弦值.答案： 见解析；解析：（1）证明：设ABC ∆的边长为6a ，则可知16232sin 60a AO a =⨯=︒，43AE a =. ∵AE AD =，∴43AD a =，得222248126DO AD AO a a a =-=-=.∴66PO DO a ==，则222261232PA PB PC PO AO a a a ===+=+=. ∴222PA PB AB +=，得PA PB ⊥. 同理222PA PC AC +=，得PA PC ⊥.又∵PB ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，PB PC P =,∴PA ⊥平面PBC .（2）如图，以O 为坐标原点平行于CB 方向为x 轴，OE 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系.由（1）可设6AB a =，则有6)P a ，(33,0)B a a ，(33,0)C a a -，(0,23,0)E a .∴(33,6)PC a a a =-，(6,0,0)BC a =-，(33,0)CE a a =，设平面PCB 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则1100n PC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1111336030ax ay az ax ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，得1(0,6,3)n =. 设平面PCE 的一个法向量为2222(,,)n x y z =，则2200n PC n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得222223360330ax ay az ax ay ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，设2(3,3,32)n =--，则121212363625cos ,5||||633918n n n n n n ⋅--<>===-⋅+⨯++.∴二面角B PC E --的余弦值为255. 19．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12． （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率． 答案： 见解答： 解答：各种情况列举如下，其中甲（乙）表示甲胜乙负，其它意思与此相同。
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(新课标卷)
z 1 i (1 i)(1 i) 1 i, p1 : z 2;
p2 : z2 2i; p3 : z的共轭复数为 1 i; p4 : z的虚部为 1. 所以真命题是p2 , p4
4.设F1, F2是椭圆E
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
A. A B为a1, a2 , ..., aN的和
B.
A 2
B
为a1 , a2 , ..., aN的算
数平均数
C . A和B分别是a1, a2 , ..., aN中最 大的数和最小的数
D. A和B分别是a1, a2 , ..., aN中最 小的数和最大的数
7.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （ B）
2
15.某个部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，
元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部
件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：
小时）均服从正态分布N(1000, 502)，且各个元件能
否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过
1000小时的概率为
.
元件1, 2系统寿命超过1000小时的概率P( A) 1 (1 p)2
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.已知a, b, c分别为△ABC三个内角A, B,C的对边,
a cos C 3a sin C b c 0 (1) 求A; (2)若a 2, △ABC的面积为 3,求b, c.
(1)由a cos C 3a sin C b c 0及正弦定理, 得 :
当a4
4, a7
(全国III卷)2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷总分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x *N ，{(,)|8}B x y x y ，则A B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 62.复数113i的虚部是（ ） A. 310B. 110C.110D.3103.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A. 14230.1,0.4p p p p B. 14230.4,0.1p p p p C. 14230.2,0.3p p p pD. 14230.3,0.2p p p p4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t ，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63C. 66D. 69机密★启用前5.设O 为坐标原点，直线2x 与抛物线C ：22(0)y px p 交于D ，E 两点，若OD OE ，则C 的焦点坐标为（ ）A. 1,04B. 1,02C. (1,0)D. (2,0)6.已知向量a ，b 满足||5a ，||6b ，6a b ，则cos ,= a a b （ ） A. 3135B. 1935C.1735D.19357.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A.19B. 13C. 12D.238.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）9.已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A. –2B. –1C. 1D. 210.若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1B. y =2x +12C. y =12x +1 D. y =12x +1211.设双曲线C ：22221x y a b（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，P是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A. 1B. 2C. 4D. 812.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A .a <b <cB. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x， ，则z =3x +2y 的最大值为_________．14.262()x x的展开式中常数项是__________（用数字作答）．15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 16.关于函数f （x ）=1sin sin x x有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n ．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2na n }的前n 项和S n ．18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d ，19.如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED ，12BF FB ．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB ，1AD ，13AA ，求二面角1A EF A 的正弦值．20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m的离心率为4，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，求APQ 的面积．21.设函数3()f x x bx c ，曲线()y f x 在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直． （1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点． （1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程． [选修4—5：不等式选讲]（10分） 23.设a ，b ，c R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c．理科数学参考答案12020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C2.D3.B4.C5.B6.D7.A8.C9.D 10.D 11.A 12.A 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.7 14.240 15.316.②③ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n ．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2na n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a ，37a ，21n a n ，证明见解析；（2）1(21)22n n S n .【解析】 【分析】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出 n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得2134945a a ，32381587a a ，由数列 n a 的前三项可猜想数列 n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n ， 证明如下：当1n 时，13a 成立； 假设n k 时，21k a k 成立.那么1n k 时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k 也成立.机密★启用前理科数学参考答案2则对任意的*n N ，都有21n a n 成立； （2）由（1）可知，2(21)2nnn a n231325272(21)2(21)2n n n S n n ，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n ，②由① ②得：23162222(21)2nn n S n21121262(21)212n n n1(12)22n n ，即1(21)22n n S n .【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？理科数学参考答案3附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d，【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率； （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22 列联表，计算出2K 的观测值，再结合临界值表可得结论. 【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100，等级为2的概率为510120.27100 ，等级为3的概率为6780.21100，等级为4的概率为7200.09100；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100理科数学参考答案4（3）22 列联表如下：221003383722 5.820 3.84155457030K，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED ，12BF FB ．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB ，1AD ，13AA ，求二面角1A EF A 的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）7. 【解析】 【分析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；理科数学参考答案5（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz ，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A 的余弦值，进而可求得二面角1A EF A 的正弦值.【详解】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG，连接DG 、FG 、1C E 、1C F，在长方体1111ABCD A B C D 中，//AD BC 且AD BC ，11//BB CC 且11BB CC ，112C G CG ，12BF FB ，112233CG CC BB BF 且CG BF ，所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG ， 同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG 且1C E DG ，1//C E AF 且1C E AF ，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz ，则 2,1,3A 、 12,1,0A 、 2,0,2E 、 0,1,1F ，0,1,1AE ， 2,0,2AF ， 10,1,2A E ， 12,0,1A F，理科数学参考答案6设平面AEF 的法向量为 111,,m x y z，由00m AE m AF，得11110220y z x z 取11z ，得111x y ，则 1,1,1m ， 设平面1A EF 的法向量为 222,,n x y z， 由1100n A E n A F，得22222020y z x z ，取22z ，得21x ，24y ，则 1,4,2n，cos ,7m n m n m n，设二面角1A EF A 的平面角为，则cos 7，sin 7. 因此，二面角1A EF A的正弦值为7. 【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m的离心率为4，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；理科数学参考答案7（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y ；（2）52. 【解析】 【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m ，可得5a ，b m ，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x 与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ △△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积. 【详解】（1） 222:1(05)25x y C m m 5a ，b m ，根据离心率4c e a ， 解得54m或54m (舍)， C 的方程为：22214255x y，即221612525x y ； （2）不妨设P ,Q 在x 轴上方点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x 与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图理科数学参考答案8||||BP BQ ，BP BQ ，90PMB QNB ，又 90PBM QBN ，90BQN QBN ，PBM BQN ，根据三角形全等条件“AAS ”， 可得：PMB BNQ △△，221612525x y ， (5,0)B ，651PM BN ，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y ，将其代入221612525x y，可得：21612525P x ，解得：3P x 或3P x ，P 点为(3,1)或(3,1) ，①当P 点为(3,1)时， 故532MB ，PMB BNQ △△，理科数学参考答案9||||2MB NQ ，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图(5,0)A ,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y ，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ的距离为：5d， 根据两点间距离公式可得：AQ，APQ面积为：15252；②当P 点为(3,1) 时， 故5+38MB ，PMB BNQ △△，||||8MB NQ ，可得：Q 点为(6,8)， 画出图象，如图理科数学参考答案10(5,0)A ,(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y ， 根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d，根据两点间距离公式可得：AQAPQ面积为：1522， 综上所述，APQ 面积为：52. 【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 21.设函数3()f x x bx c ，曲线()y f x 在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直． （1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1． 【答案】（1）34b ；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义得到'1()02f ，解方程即可；理科数学参考答案11（2）由（1）可得'2311()32()422f x x x x，易知()f x 在11(,22上单调递减，在1(,2 ，1(,)2上单调递增，且111111(1),(,(,(1)424244f c f c f c f c ，采用反证法，推出矛盾即可.【详解】（1）因为'2()3f x x b ，由题意，'1()02f ，即21302b则34b； （2）由（1）可得33()4f x x x c， '2311()33()()422f x x x x ，令'()0f x ，得12x 或21x ；令'()0f x ，得1122x ，所以()f x 在11(,)22 上单调递减，在1(,)2 ，1(,)2上单调递增，且111111(1),(),(,(1)424244f c f c f c f c ，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则(1)0f 或(1)0f ，即14c或14c . 当14c 时，111111(1)0,(0,(0,(1)0424244f c f c f c f c ，又32(4)6434(116)0f c c c c c c ，由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c 上存在唯一一个零点0x ， 即()f x 在(,1) 上存在唯一一个零点，在(1,) 上不存在零点， 此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 当14c时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c ， 又32(4)6434(116)0f c c c c c c ，由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c 上存在唯一一个零点0x ，理科数学参考答案12即()f x 在(1,) 上存在唯一一个零点，在(,1) 上不存在零点， 此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点． （1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程． 【答案】（1）（2）3cos sin 120 【解析】 【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值； （2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x ，则220t t ，解得2t 或1t （舍），则26412y ，即(0,12)A .令0y ，则2320t t ，解得2t 或1t （舍），则2244x ，即(4,0)B.AB （2）由（1）可知12030(4)AB k，则直线AB 的方程为3(4)y x ，即3120x y .理科数学参考答案13由cos ,sin x y 可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120 . 【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.设a ，b ，c R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc 结合不等式的性质，即可得出证明； （2）不妨设max{,,}a b c a ，由题意得出0,,0a b c ，由222322b c b c bc a a a bcbc，结合基本不等式，即可得出证明.【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ，22212ab bc ca a b c. 1,,,abc a b c 均不为0，则2220a b c ，222120ab bc ca a b c ； （2）不妨设max{,,}a b c a ，由0,1a b c abc 可知，0,0,0a b c ，1,a b c a bc ， 222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc.当且仅当b c时，取等号，a，即max{,,}a b c .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.理科数学参考答案14选填题解析1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x *N ，{(,)|8}B x y x y ，则A B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出A B 中元素的即可. 【详解】由题意，A B 中的元素满足8y xx y ，且*,x y N ，由82x y x ，得4x ，所以满足8x y 的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故A B 中元素的个数为4. 故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2.复数113i的虚部是（ ） A. 310B. 110C.110D.310【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i ， 所以复数113z i 的虚部为310. 故选：D.理科数学参考答案15【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A. 14230.1,0.4p p p p B. 14230.4,0.1p p p p C. 14230.2,0.3p p p p D. 14230.3,0.2p p p p【答案】B 【解析】 【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为 140.1230.4 2.5A x ，方差为 222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s ；对于B 选项，该组数据的平均数为 140.4230.1 2.5B x ，方差为 222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s ；对于C 选项，该组数据的平均数为 140.2230.3 2.5C x ，方差为 222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s ；对于D 选项，该组数据的平均数为 140.3230.2 2.5D x ，方差为 222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s .因此，B 选项这一组的标准差最大. 故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t ，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A. 60B. 63C. 66D. 69理科数学参考答案16【答案】C 【解析】 【分析】将t t 代入函数0.23531t KI t e结合0.95I t K 求得t 即可得解. 【详解】0.23531t KI t e，所以 0.23530.951t KI t K e，则 0.235319t e ，所以，0.2353ln193t ，解得353660.23t. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 5.设O 为坐标原点，直线2x 与抛物线C ：22(0)y px p 交于D ，E 两点，若OD OE ，则C 的焦点坐标为（ ）A. 1,04B. 1,02C. (1,0)D. (2,0)【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件OD OE ，结合抛物线的对称性，可知4DOx EOx，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果. 【详解】因为直线2x 与抛物线22(0)y px p 交于,E D 两点，且OD OE ， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx，所以 2,2D ，代入抛物线方程44p ，求得1p ，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. 6.已知向量a ，b 满足||5a ，||6b ，6a b ，则cos ,= a a b （ ）理科数学参考答案17A. 3135B. 1935C.1735D.1935【答案】D 【解析】 【分析】计算出a ab 、a b 的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b的值.【详解】5a ，6b ，6a b，225619a a b a a b .7a b，因此，1919cos ,5735a ab a a b a a b. 故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A.19B. 13C. 12D.23【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC，即可求得答案.【详解】 在ABC 中，2cos 3C，4AC ，3BC 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C2224322433AB可得29AB ，即3AB由22299161 cos22339 AB BC ACBAB BC故1 cos9B .故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）【答案】C【解析】【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDBS S S△△△根据勾股定理可得：AB AD DB理科数学参考答案18ADB△是边长为根据三角形面积公式可得：211sin60222ADBS AB AD△该几何体的表面积是：632.故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.9.已知2tanθ–tan(θ+π4)=7，则tanθ=（）A. –2B. –1C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.【详解】2tan tan74，tan12tan71tan，令tan,1t t，则1271ttt，整理得2440t t，解得2t ，即tan2.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.10.若直线l与曲线y和x2+y2=15都相切，则l的方程为（）A. y=2x+1B. y=2x+12C. y=12x+1 D.y=12x+12【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线l的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.理科数学参考答案19理科数学参考答案20【详解】设直线l在曲线y上的切点为 0x ，则00x ，函数yy，则直线l的斜率k， 设直线l的方程为 0y x x，即00x x ， 由于直线l 与圆2215x y两边平方并整理得2005410x x ，解得01x ，015x（舍）， 则直线l 的方程为210x y ，即1122y x . 故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.11.设双曲线C ：22221x y a b（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】ca，c ，根据双曲线的定义可得122PF PF a ， 12121||42PF F PF F S P△，即12||8PF PF ， 12F P F P ， 22212||2PF PF c ，22121224PF PF PF PF c ，即22540a a ，解得1a ，故选：A.理科数学参考答案21【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A. a <b <c B. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得a 、b 、 0,1c ，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b ，得85b ，结合5458 可得出45b ，由13log 8c ，得138c ，结合45138 ，可得出45c，综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由题意可知a、b、0,1c ，222528log 3lg3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg522lg 5lg 25lg5a b，a b ； 由8log 5b ，得85b ，由5458 ，得5488b ，54b ，可得45b； 由13log 8c ，得138c ，由45138 ，得451313c ，54c ，可得45c . 综上所述，a b c . 故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.理科数学参考答案2213.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x， ，则z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7 【解析】 【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y ，所以322x zy，易知截距2z 越大，则z 越大， 平移直线32x y ，当322x zy经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x ，得12x y，(1,2)A ，所以max 31227z . 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.262()x x的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240 【解析】 【分析】理科数学参考答案23写出622x x二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】 622x x其二项式展开通项：62612rrrr C xx T1226(2)r r r r x C x 1236(2)r r r C x当1230r ，解得4r622x x的展开式中常数项是：664422161516240C C .故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握na b 的展开通项公式1C r n r rr n T a b ，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【答案】3【解析】 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中2,3BC AB AC ，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，理科数学参考答案24由于AM，故122S△ABC ， 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S △△△△111222AB r BC r AC r13322r解得：2r =，其体积：3433V r .故答案为：3. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 16.关于函数f （x ）=1sin sin x x有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】理科数学参考答案25利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x 可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，152622f，152622f，则66f f， 所以，函数 f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数 f x 的定义域为,x x k k Z ，定义域关于原点对称，111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x，所以，函数 f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x，则22f x f x， 所以，函数 f x 的图象关于直线2x对称，命题③正确；对于命题④，当0x 时，sin 0x ，则 1sin 02sin f x x x， 命题④错误. 故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.。
2020年全国I卷理科数学试卷(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若1z i =+,则22z z -= A.0 B.1 C.2 D.22.设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤，则a =A.-4B.-2C.2D.43. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A. 514-B. 512-C. 514+D. 512+ 4.已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ο）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据i i (,)x y (1,2,...,20)i =得到下面的散点图： 由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．x y a be =+D ．ln y a b x =+6.函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为 A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+7.设函数()cos()6f x x πω=+在[]-ππ，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109π B. 76π C. 43π D. 32π 8. 25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为 A. 5 B. 10 C. 15 D. 209. 已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A. 53B. 23C. 13D. 5910. 已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为14,AB BC AC OO π===,则球O 的表面积为A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π11. 已知22:2220M x y x y +---=，直线:20,l x y p +=为l 上的动点.过点p作M 的切线PA ，PB ,切点为,A B ,当PM AB 最小时，直线AB 的方程为A. 210x y --=B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 210x y ++=12.若a 242log 42log b a b +=+则A.a>2bB.a<2bC.a>2bD.a<2b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国普通高等学校招生统一考试(新课标Ⅰ卷)理科数学+答题卡+答案+全解全析(2020.6.15)
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
姓 名：_________________________________________ 准考证号：
注意事项
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。
2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。 1．已知集合 P = {x || x |> 2} ， Q = {x | x2 − 2x − 3 ≤ 0}，则 P ∩ Q =
A． (2, +∞)
B． (1, +∞)
C． (2,3]
D．[−1, 2)
其中 x1 ≠ x2 ，则实数 a 的取值范围是
A．
[
5 e
,
e)
B．
(
1 e
,
e)
C．
[1
+
1 e
,
e)
D．
[1
+
1 e
,
5 e
]
12 ． 如 图 ， 已 知 平 面 四 边 形 P'CAB 中 ， AC ⊥ BC ， 且 AC = 6 ， BC = 2 7 ，
P'C = P'B = 2 14 ，沿直线 BC 将 △P'BC 折起到 △PBC 的位置，构成一个四面
品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取 1000 件，测得 产品质量差的样本数据统计如下：
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)(有详细解析)
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合U={−2,−1,0,1,2,3}，A={−1,0,1},B={1,2},则C U(A⋃B)=()A. {−2,3}B. {−2,2,3}C. {−2,−1,0,3}D. {−2,−1,0,2,3}2.若α为第四象限角，则()A. cos2α>0B. cos2α<0C. sin2α>0D. sin2α<03.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者()A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为()A. √55B. 2√55C. 3√55D. 4√556.数列{a n}中，a1=2，a m+n=a m a n，若a k+1+a k+2+⋯+a k+10=215−25，则k=()A. 2B. 3C. 4D. 57.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个断点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为()A. EB. FC. GD. H8.设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D、E两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A. 4B. 8C. 16D. 329.设函数f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|，则f(x)()A. 是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B. 是奇函数，且在(−12,12)单调递减C. 是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D. 是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减10.已知▵ABC是面积为9√34的等边三角形，且其顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为16π，则球O到平面ABC的距离为()A. √3B. 32C. 1 D. √3211.若2x−2y<3−x−3−y，则()A. ln(y−x+1)>0B. ln(y−x+1)<0C. ln|x−y|>0D. ln|x−y|<012.0−1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列a1a2…a n…满足a i∈(0,1)(i=1,2,…)，且存在正整数m，使得a i+m=a i(i=1,2,…)成立，则称其为0−1周期序列，并称满足a i+m=a i(i=1,2,…)的最小正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0−1序列a1a2…a n…，C(k)=1m ∑a i a i+k(k=1,2,…,m−1)mi=1是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0−1序列中，满足C(k)≤15(k=1,2,3,4)的序列是()A. 11010…B. 11011…C. 10001…D. 11001…二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知单位向量a,b的夹角为45°，ka−b与a垂直，则k=_______．14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．15. 设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=2,z 1+z 2=√3+i ，则|z 1−z 2|=______． 16. 设有下列四个命题：P 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． P 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． P 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． P 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ． 则下述命题中所有真命题的序号是________．①p 1∧p 4 ②p 1∧p 2 ③¬p 2∨p 3 ④¬p 3∨¬p 4 三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17. ▵ABC 中，sin 2A −sin 2B −sin 2C =sinBsinC ．(1)求A ；(2)若BC =3，求▵ABC 周长的最大值．18. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ,y i )(i =1,2,…,20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得∑x i =6020i=1，∑y i =120020i=1，∑(x i −x )2=8020i=1，∑(y i −y )2=900020i=1，∑(x i −x )(y i −y )=8020i=10．(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(x i,y i)(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数，√2≈1.414．19.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与的C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB|．(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．20.如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC 于F．(1)证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO//平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．21.已知函数f(x)=sin2xsin2x．(1)讨论f(x)在区间(0,π)的单调性；(2)证明：|f(x)|≤3√38；(3)设n∈N∗，证明：sin2xsin22xsin24x⋯sin22n x≤3n4n．22.已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：{x=4cos 2θy=4sin2θ(θ为参数)，C2：{x=t+1ty=t−1t(t为参数)．(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−a2|+|x−2a+1|．(1)当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．答案和解析1.A解：∵A∪B={−1,0,1,2}，∴∁U(A∪B)={−2,3}.2.D+2kπ<α<2kπ,∴−π+4kπ<2α<4kπ,解：∵−π2∴2α是第三象限或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上，∴sin2α<0.3.B解：因为公司可以完成配货1200份订单，=18名.则至少需要志愿者为1600+500−1200504.C解：设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差d=9，a1=9，由等差数列性质知S n,S2n−S n,S3n−S2n成等差数列，且(S3n−S2n)−(S2n−S n)=n2d，则9n2=729，得n=9，×9=3402块.则三层共有扇形面石板为S3n=S27=27a1+27×2625.B解：设圆心为(a,a)，则半径为a，圆过点(2,1)，则(2−a)2+(1−a)2=a2，解得a=1或a=5，.所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线的距离都是d=2√556.C解：取m=1，则a n+1=a1a n，=2，又a1=2，所以a n+1a n所以{a n}是等比数列，则a n=2n，所以，得k=4.7.A解：该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A．8.B解：双曲线C 的两条渐近线分别为y =±ba x ，由于直线x =a 与双曲线的两条渐近线分别交于D 、E 两点， 则易得到|DE|=2b ，则S △ODE =ab =8，c 2=a 2+b 2⩾2ab =16 ，即c ⩾4， 所以焦距2c ⩾8．9. D解：由已知，函数定义域为(−∞,−12)∪(−12,12)∪(12,+∞)，关于原点对称， 函数f(−x)=ln |−2x +1|−ln |−2x −1|=ln |2x −1|−ln |2x +1|=−f(x)， 则f(x)为奇函数，当x ∈(−12,12)时，f(x)=ln (2x +1)−ln (1−2x)=ln 2x+11−2x=ln (1+41x−2)，单调递增； 当x ∈(−∞,−12)时，f(x)=ln(−2x −1)−ln(1−2x)=ln 2x+12x−1=ln(1+22x−1)，单调递减．10. C解：设△ABC 的外接圆圆心为O 1，设OO 1=d ，圆O 1的半径为r ，球O 的半径为R ， △ABC 的边长为a ，则S △ABC =√34a 2=9√34，可得a =3，于是r =√3=√3， 由题意知，球O 的表面积为16π， 则R =2，由R 2=r 2+d 2，求得d =1， 即O 到平面ABC 的距离为1．11.A解：2x−3−x<2y−3−y，设f(x)=2x−3−x，则f′(x)=2x ln2+3−x ln3>0，所以函数f(x)在R上单调递增，因为f(x)<f(y)，所以x<y，则y−x+1>1，ln(y−x+1)>0．12.C解：对于A选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+0)=15，C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+1+0+1+0)=25>15，不满足，排除；对于B选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+1+1)=35>15，不满足，排除；对于C选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(0+0+0+0+1)=15，C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+0+0+0+0)=0，C(3)=15∑a i5i=1a i+3=15(0+0+0+0+0)=0，C(4)=15∑a i5i=1a i+4=15(1+0+0+0+0)=15，满足；对于D选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+1)=25>15，不满足，排除；13.√22解：由单位向量a⃗,b⃗ 的夹角为45∘，k a⃗−b⃗ 与a⃗垂直，所以(k a⃗−b⃗ )⋅a⃗=k−√22=0，则k=√22．14.36解：由题意，先将4名同学分成三组，一组两人，其余两组各一人，再将3组分到3个小区，可得不同的安排方法有：C42A33=36．15.2√3解：在复平面内，用向量方法求解，原问题即等价于平面向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗|=|b⃗ |=2，a⃗+b⃗ =(√3,1)，求|a⃗−b⃗ |，由(a⃗+b⃗ )2+(a⃗−b⃗ )2=2|a⃗|2+2|b⃗ |2，可得4+(a⃗−b⃗ )2=16，故|a⃗−b⃗ |=2√3．16.①③④解：对于p1：可设l1与l2，所得平面为α.若l3与l1相交，则交点A必在平面α内.同理l2与l3的交点B在平面α内，故直线AB在平面α内，即l3在平面α内，故p1为真命题．对于p2:过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数个平面，故p2为假命题．对于p3:空间中两条直线的位置关系有平行，相交，异面，故p3为假命题．对于p4:若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，故m⊥l，故p4为真命题．综上可知，p1∧p4为真命题，¬p2∨p3为真命题，¬p3∨¬p4为真命题．17.解：(1)在▵ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，因为sin2A−sin2B−sin2C=sinBsinC，由正弦定理得，a2−b2−c2=bc，即b2+c2−a2=−bc，由余弦定理得，cosA=b2+c2−a22bc =−12，因为0<A<π，所以A=2π3．(2)由(1)知，A=2π3，因为BC=3，即a=3，由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccosA，所以9=b2+c2+bc=(b+c)2−bc，由基本不等式可得bc≤(b+c)24，所以9=(b+c)2−bc≥34(b+c)2,所以b+c≤2√3(当且仅当b=c=√3时取得等号)，所以▵ABC周长的最大值为3+2√3．18.解：(1)由题可知，每个样区这种野生动物数量的平均数为120020=60，所以该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12000(2)根据公式得r=i −x)(y i−y)ni=1√∑(x i−x)∑(y i−y)i=1i=1=80×9000=32≈0.94(3)为了提高样本的代表性，选用分层抽样法更加合理，因为分层抽样可以按照规定的比例从不同的地块间随机抽样，其代表性较好，抽样误差更小。