北师大版数学高一-课堂新坐标14-15数学必修2讲义 模块高考热点透视

模块高考热点透视必修2

模块高考热点透视

第一章立体几何初步

【命题趋势】从近几年的高考试题看，本章主要考查空间几何体的结构，三视图与几何体

空间几何体的结构和三视图

(教材第20页练习第7(1)题)

根据以下三视图想象物体原形，并画出物体的实物图．

图1

1．(2012·北京高考)某三棱锥的三视图如图2所示，该三棱锥的表面积是()

图2

A．28＋65B．30＋6 5

C．56＋12 5 D．60＋12 5

【命题意图】本题主要考查三视图和几何体表面积相结合的计算．

【解析】 由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，

其中AE ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ，且CD ＝4，BD ＝5，BE ＝2，ED ＝3，AE ＝4.

∵AE ＝4，ED ＝3，∴AD ＝5.

又CD ⊥BD ，CD ⊥AE ，

则CD ⊥平面ABD ，

故CD ⊥AD ， 所以AC ＝41且S △ACD ＝10.

在Rt △ABE 中，AE ＝4，BE ＝2，故AB ＝2 5.

在Rt △BCD 中，BD ＝5，CD ＝4，故S △BCD ＝10，且BC ＝41.

在△ABD 中，AE ＝4，BD ＝5，

故S △ABD ＝10.

在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝AC ＝41，

则AB 边上的高h ＝6，

故S △ABC ＝12

×25×6＝6 5. 因此，该三棱锥的表面积为S ＝30＋6 5.

【答案】 B

2．(2012·福建高考)一个几何体的三视图如图3所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.

图3

【命题意图】 本题考查了由三视图还原几何体及几何体的体积计算．

【解析】 由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为32

；上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1，所以V ＝43π×278

×2＋1×3×6＝9π＋18. 【答案】 18＋9π

1．(2012·福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()

A．球B．三棱锥

C．正方体D．圆柱

【解析】 球、正方体的三视图形状都相同，大小均相等，首先排除选项A 和C.对于如图所示三棱锥O －ABC ，当OA 、OB 、OC 两两垂直且OA ＝OB ＝OC 时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B.

不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故答案选D.

【答案】 D

2．(2012·广东高考)某几何体的三视图如图4所示，它的体积为( )

图4

A ．12π

B ．45π

C ．57π

D ．81π

【解析】 由三视图知该几何体是由圆柱、圆锥两几何体组合而成，直观图如图所示． 圆锥的底面半径为3，高为4，圆柱的底面半径为3，高为5，

∴V ＝V 圆锥＋V 圆柱＝13Sh1＋Sh2＝13

×π×32×4＋π×32×5＝57π. 【答案】 空间平行、垂直关系

(教材第41页A 组第7题)

如图5，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB 点E 是棱PB 的中点，求证：AE ⊥PC.

图5

1．(2012·课标全国卷)如图6，直三棱柱ABC －A1B1C1中，AC ＝BC ＝12

AA1，D 是棱AA1的中点，DC1⊥BD.

图6

(1)证明：DC1⊥BC ；

(2)求二面角A1－BD －C1的大小．

【命题意图】 本题综合考查了垂直关系及二面角大小的求解，考查学生的综合计算能力．

【解】 (1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA1的中点，故DC ＝DC1.

又AC ＝12

AA1，可得DC21＋DC2＝CC21，所以DC1⊥DC. 而DC1⊥BD ，DC ∩BD ＝D ，所以DC1⊥平面BCD.

因为BC ⊂平面BCD ，所以DC1⊥BC.

(2)由(1)知BC ⊥DC1，且BC ⊥CC1，则BC ⊥平面ACC1A1，所以CA ，CB ，CC1两两相互垂直．

以C 为坐标原点，的方向为x 轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz.

由题意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)．

则＝(0,0，－1)，＝(1，－1,1)，＝(－1,0,1)．

设n ＝(x ，y ，z)是平面A1B1BD 的法向量，则

即⎩⎪⎨⎪⎧

x －y ＋z ＝0，z ＝0， 可取n ＝(1,1,0)． 同理，设m ＝(x ，y ，z)是平面C1BD 的法向量，则

即⎩

⎪⎨⎪⎧ x －y ＋z ＝0，－x ＋z ＝0， 可取m ＝(1,2,1)．

从而cos 〈n ，m 〉＝n·m |n|·|m|＝32

. 故二面角A1－BD －C1的大小为30°.

图7 2．(2012·全国高考改编)如图7，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，AC ＝22，PA ＝2，E 是PC 上的一点，PE ＝2EC.

证明：PC ⊥平面BED.

【命题意图】 本题主要考查线面垂直问题．

【证明】 因为底面ABCD 为菱形，

所以BD ⊥AC.

又PA ⊥底面ABCD ，

所以PC ⊥BD.

如图，设AC ∩BD ＝F ，连接EF.

因为AC ＝22，

PA ＝2，PE ＝2EC ，

故PC ＝23，EC ＝233

，FC ＝2， 从而PC FC ＝6，AC EC

＝ 6.