平面向量与解析几何文科
平面向量的解析几何应用
平面向量的解析几何应用平面向量是解析几何中一个重要的概念，它在几何学中有着广泛的应用。
本文将介绍平面向量的基本概念及其在解析几何中的应用。
一、平面向量的基本概念平面向量是指在平面内用有向线段表示的量。
它具有大小和方向两个重要的特征。
平面向量常用字母加上箭头进行表示，例如向量a用符号→a表示。
平面向量有一系列常用的运算，包括加法、减法、数乘和点乘等。
其中，向量的加法和减法可以通过平行四边形法则进行计算，数乘则是将向量与一个标量相乘，点乘则是两个向量相乘并求和的运算。
二、平面向量的坐标表示平面向量也可以用坐标进行表示。
通常情况下，我们将平面上的一个点的坐标表示为(x, y)，那么该点对应的平面向量可以表示为(→a) = (x, y)。
在平面直角坐标系中，平面向量还可以用分量表示。
例如，向量→a可以表示为(→a) = a1i + a2j，其中a1和a2分别是向量在x轴和y 轴上的分量，i和j分别是x轴和y轴的单位向量。
三、1. 向量的位移平面向量的位移是指描述一个点从一个位置移动到另一个位置的向量。
我们可以利用平面向量的减法来计算两个点之间的位移向量。
2. 向量的共线与共面如果两个向量的方向相同或相反，则它们是共线的；如果三个向量在同一平面上，则它们是共面的。
通过判断向量的共线关系和共面关系，我们可以解决许多几何问题，例如判断三点是否共线等。
3. 向量的垂直关系两个向量垂直的条件是它们的点积等于零。
通过应用向量的点乘运算，我们可以判断两个向量是否垂直。
4. 向量的投影平面向量的投影指的是将一个向量投影到另一个向量上的过程。
通过计算向量的投影，我们可以解决直角三角形的问题，例如计算角度、长度等。
5. 三角形的面积三角形的面积可以通过平面向量的叉乘运算来计算。
通过计算三个顶点所对应的向量的叉乘，我们可以得到三角形的面积。
6. 直线和平面的关系平面向量可以用来描述直线和平面的关系。
例如，我们可以用平面向量表示直线的方向，利用向量运算来判断两个直线是否平行或垂直，以及直线和平面的交点等。
平面向量与解析几何
平面向量与解析几何平面向量与解析几何是高中数学的重要内容之一，它们是研究平面上点和向量的位置关系以及相关性质的有效工具。
平面向量通过模和方向来表示，通常用有序对(a, b)来表示。
解析几何则通过坐标系和代数方法研究几何问题。
本文将介绍平面向量和解析几何的基本概念、运算、重要定理和应用。
一、平面向量的基本概念平面向量是指位于同一平面内的具有大小和方向的有序对。
平面向量的表示通常用直角坐标系，其中向量的起点作为坐标原点，向量的终点与原点坐标进行表示。
平面向量AB用向量→AB表示，其中→AB= (x2 - x1, y2 - y1)表示。
平面向量的模记作|→AB|，表示向量的长度或大小。
平面向量的方向用角度α或方向角θ表示，通常在x轴正方向逆时针旋转所得。
平面向量还可以通过分解为x轴和y轴上的分量来表示。
二、平面向量的运算平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法和数量除法。
1. 平面向量的加法：向量→AC = →AB + →BC，其中→AC(x3 - x1, y3 - y1) = (x2 - x1, y2 - y1) + (x3 - x2, y3 - y2) = (x3 - x1, y3 - y1)。
2. 平面向量的减法：向量→AB - →CD = →AB + (-→CD)，其中→AB - →CD = (x2 - x1, y2 - y1) - (x4 - x3, y4 - y3) = (x2 - x1 - x4 + x3, y2 - y1 - y4 + y3)。
3. 数量乘法：数乘一个实数k，→AC = k→AB，其中→AC(kx2 -kx1, ky2 - ky1) = k(x2 - x1, y2 - y1)。
4. 数量除法：→AB/ k = (1/k)→AB，其中→AB/ k = (1/k)(x2 - x1, y2 - y1)。
三、平面向量的重要定理平面向量的重要定理包括共线定理、共点定理和位移定理。
1. 共线定理：若向量→AB和→CD共线，则存在实数k，使得→AB= k→CD。
2013-2019高考文科数学分类汇编-第十章曲线与方程题型129平面向量在解析几何中的应用
1 13e ，其中 O 为原点， 为椭圆的离心率.+ = ，即 + =，可得 a 2 - c 2 = 3c 2 .设 B( x , y ) ，由方程组 ⎨ 4 3⎪ y = k ( x - 2)4k 2 + 34k 2 + 3由（1）知 F (1,0) ，设 H (0, y ) ，有 FH = (-1, yH ) ， BF = 2 + 3 ⎪ ， ⎝ 4k 4k 2 + 3 ⎭ H12k⋅ k = -1 ，即 ⋅ k = -1 ，-1题型 129 平面向量在解析几何中的应用2016 年24.（ 2016 天津文 19）设椭圆 x 2 + y 2= 1 （ a >3 ）的右焦点为 F a 2 3，右顶点为 A ，已知+ = e| OF | | OA | | FA |（1）求椭圆的方程；（2）设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B （ B 不在 x 轴上），垂直于l 的直线与 l 交于点 M ，与 y 轴交于点 H .若 BF ⊥ HF ，且 ∠MO A = ∠MA O ，求直线 l 的斜率.24.解析 （1）由 1 1 3e 1 1 3cOF OA FA c a a(a - c)又 a 2- c 2= b 2= 3 ，所以 c 2 = 1 ，因此 a 2= 4 ，所以椭圆的方程为 x 2 y 2+ = 1.4 3（2）设直线 l 的斜率为 k (k ≠ 0) ，则直线 l 的方程为 y = k ( x - 2) ，B B⎪ + = 1，消去 y ，8k 2 - 6 整理得 (4 k 2 + 3) x 2 - 16k 2 x + 16k 2 - 12 = 0 ，解得 x = 2 或 x = ，4k 2 + 3由题意得 x =，从而 y =BB8k 2 - 6 -12k.⎛ 9 - 4k 212k ⎫,H由 BF ⊥ HF ，得 BF ⋅ HF = 0 ，所以 4k 2 - 9 12ky+= 0 ， 4k 2 + 3 4k 2 + 39 - 4k 2解得 y =.由 ∠MO A = ∠MA O ，得 M 为 OA 的垂直平分线与 l 的交点，H所以 M (1,-k ) .由 HM ⊥ l ，得 kHMl9 - 4k 2 12k+ k366得k2=，解得k=-或k=.844x 2 ⎧ (-2x )2 ⎪⎪ 4 知， ⎨ ⎪⎩ 4 ， 先 消 去 x 得 ， m = 4 y - 3 ， y = ，再代入得4 4 4-m 2 + 10m - 9= 4m - 4 y（Ⅱ）若 P 是半椭圆 2+ y =1(<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．解析（Ⅰ）设 P( x , y ) ， A( 1 4 1 4 2 y + y y 2 + x4 0 )2 = 4 ⋅ 21.（2018 浙江 17）已知点 P (0，1)，椭圆 +y 2=m (m >1)上两点 A ，B 满足 AP =2 PB ，则当 4m =___________时，点 B 横坐标的绝对值最大．解析 设 A (x 1 , y 1 ) ， B (x 2 , y 2 ) ，由 AP = 2PB ，得 x 1 = -2x 2 ， y 1 = 3 - 2 y 2 ，由 A ， B 均在椭圆上可2 + (3 - y )2 = m 2 ⎪ x 22 + y 2 = m22 2 2 m + 3x 2 2 = = - (m - 5)2 + 16.2 2当 m = 5 时， x 2 有最大值 4 ，即点 B 的横坐标的绝对值的最大值为 2 .23.（2018 浙江 21）如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线 C ：y 2=4 上存在不同的两点 A ，B 满足 PA ，PB 的中点均在 C 上．yAPM xOB（Ⅰ）设 AB 中点为 M ，证明：PM 垂直于 y 轴；24本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.满分 15 分.1y 2 , y ) ， B( y 2 , y ) ．0 0 1 2因为 P A ， PB 的中点在抛物线上，所以 y ， y 为方程12( 1 2 20 即 y 2 - 2 y y + 8 x - y 2 = 0 的两个不同的实数根． 0 0 0所以 y + y = 2 y ，即 y 1 + y2 = y ，点 M 的纵坐标等于点 P 的纵坐标.1 2 0 0 因此， PM 垂直于 y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ⎨ 所以 | PM |= 1 8 4 02 2 4因为 x 2 + y 0 = 1(-1≤x < 0) ，所以 y 2 - 4 x = -4 x 2 - 4 x + 4 ∈ [4,5] ．4因此， △PAB 面积的取值范围是 ⎢6 2,⎥ ． 4 解析 设 A( x , 2 x ) ，因为 B(5,0) ，所以以 AB 为直径的圆 C 的圆心 C , x ⎪ .⎝2⎭, x ⎪ 到直线 l : y = 2 x 的距离为 d =0 所以 C 0 ⎭22 + 12 4⎧⎪ y + y = 2 y , 12 0 ⎪⎩ y 1 y 2 = 8x 0 - y 0 ,3( y 2 + y 2 ) - x = y 2 - 3x ， | y - y |= 2 2( y 2 - 4 x ) ．1 2 0 0 1 2 0 0因此， △PAB 的面积 S△PAB 1 3 2 = | PM | ⋅ | y - y |= ( y 1 2 3 2 - 4 x ) 2 ．0 02 0 00 0 0 0⎡ 15 10 ⎤ ⎣⎦4.（2018 江苏 12）在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l : y = 2 x 上在第一象限内的点， B(5,0) ，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D ．若 AB ⋅ CD = 0 ，则点 A 的横坐标为▲ ．⎛ x + 5 ⎫ 0 0由 AB ⋅ CD = 0 ⇒ AB ⊥ CD ，⎛ x + 5 ⎫ x + 5 - x2 2 0 0 = 5 = AC = AB ，⎝ 22 4而 AB = ( x - 5)2 + 4x 2 ，则20 0yACD( x - 5)2 + 4 x 2 = 5 ，解得 x = -1 （舍）或 x = 3 .0 0 0 0OB x。
2021学年高考文科数学解题策略专题二三角函数与平面向量第四节平面向量与几何的综合应用
解： ⑴因为 l1： x
a2 c ，渐近线 l2： y
b x ；所以 M ( a2 ，ab )，又 F (c,0) ，
a
cc
a2
l1： x
实际上
c
2
2
2
c ab
，得出
uuuur OM
( a2 ，ab )
，
uuur MF
(c
a2
，
ab )
(b2 ，
ab )
有
cc
cc
cc
uuuur uuur OM MF
2sin 2 ) 2
(1
sin 2
2 )(1 sin 2 2
2sin 2
2)
，
令 x sin 2 ,0
uuur uuur x 1， PA PB
(1 x)(1 2x)
2x 1 3 2 2 3 ；
2
x
x
O
P B 图2 4 4
方法二：以圆心 O 的坐标原点，以 OP 为 x 轴，建立坐标系：圆的方程为 x 2 y 2 1，
立，则 m =（ ）
A．2
B． 3
C． 4
D． 5
uuur
2.设 D , E , F 分别是 ABC 的三边 BC、CA 、A B 上的点，且 DC
uuur uuur 2BD, CE
uuur uuur 2EA, AF
uuur 2FB, 则
uuur uuur uuur uuru
AD BE CF 与 BC (
F
C
时，
2 ，所以
4.
方法二，如图 2 4 2 建立直角坐标系，设六边形的边长为 2，各个顶点的坐标分
别是 A( 1, 3) 、 B(1, 3) 、 C (2,0) 、 D (1, 3) 、 E( 1, 3) 、 F ( 2,0) ，
高考数学专题复习第二轮第18讲 平面向量与解析几何
第１８讲 平面向量与解析几何在高中数学新课程教材中, 学生学习平面向量在前, 学习解析几何在后, 而且教材中二者知识整合的不多, 很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题, 不会应用平面向量去解决解析几何问题。
用向量法解决解析几何问题思路清晰, 过程简洁, 有意想不到的神奇效果。
著名教育家布鲁纳说过: 学习的最好刺激是对所学材料的兴趣, 简单的重复将会引起学生大脑疲劳, 学习兴趣衰退。
这充分揭示方法求变的重要性, 如果我们能重视向量的教学, 必然能引导学生拓展思路, 减轻负担。
一、知识整合平面向量是高中数学的新增内容, 也是新高考的一个亮点。
向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用, 它具有代数形式和几何形式的“双重身份”, 能融数形与一体, 能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合, 形成知识交汇点。
而在高中数学体系中, 解析几何占有着很重要的地位, 有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂, 不妨运用向量作形与数的转化, 则会大大简化过程。
二、例题解析例1.（2000年全国高考题）椭圆 的焦点为F F , 点P 为其上的动点, 当∠F P F为钝角时, 点P 横坐标的取值范围是___。
解: F1（－ ,0）F2（ ,0）,设P （3cos ,2sin ）21PF F ∠ 为钝角∴123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-（ =9cos 2θ－5＋4sin 2θ=5 cos 2θ－1<0解得: ∴点P 横坐标的取值范围是（ ）点评: 解决与角有关的一类问题, 总可以从数量积入手。
本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值, 通过坐标运算列出不等式, 简洁明了。
例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0), P 是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点, 求 的最大值和最小值。
分析: 因为O 为AB 的中点, 所以 故可利用向量把问题转化为求向量 的最值。
平面向量与解析几何
平面向量与解析几何平面向量是解析几何中的重要概念，它们在研究平面几何问题时具有广泛而深入的应用。
本文将介绍平面向量的定义、运算规则以及与解析几何的关系。
一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的有向线段，用符号表示。
设向量A的起点为点P，终点为点Q，记作A=→PQ。
平面向量还可以用坐标表示。
设A的坐标为(x1, y1)，起点在原点O，则A=→OP=(x1, y1)。
二、平面向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足平行四边形法则。
设有向量A=→PQ，向量B=→RS，则A+B=→QS。
2. 向量的数乘向量的数乘是指将向量的长度放大或缩小。
设有向量A=→PQ，k为实数，则kA=→P'Q'，其中P'为向量A的起点，Q'为向量A的终点，且P'Q'的长度为k倍于PQ的长度。
3. 内积运算内积也称点积，表示两个向量的数量积。
设向量A=→PQ，向量B=→RS，A的坐标为(x1, y1)，B的坐标为(x2, y2)，则A·B=x1x2+y1y2。
4. 外积运算外积也称叉积，表示两个向量的向量积。
设向量A=→PQ，向量B=→RS，A的坐标为(x1, y1)，B的坐标为(x2, y2)，则A×B=(0,0, x1y2-x2y1)。
三、平面向量与解析几何的关系通过平面向量的运算，我们可以研究解析几何中的一些常见问题。
1. 直线的方程设有点A(x1, y1)和点B(x2, y2)，则点A和点B构成的直线的方程可以表示为：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。
2. 两条直线的关系设直线L1的方程为(a1x+b1y+c1=0)，直线L2的方程为(a2x+b2y+c2=0)，则L1与L2平行的条件是a1/a2=b1/b2，L1与L2垂直的条件是a1a2+b1b2=0。
3. 两个向量的夹角设有向量A=→PQ，向量B=→RS，夹角θ的余弦可以由它们的内积表示为：cosθ=(A·B)/(|A||B|)。
高考文科平面向量知识点
高考文科平面向量知识点高考是对学生多年来所学知识的综合考察，而数学是文科生必考的一门科目。
在数学中，平面向量是一个重要的知识点，也是考试中常常涉及的内容。
下面，将介绍高考文科平面向量的知识点，帮助考生更好地理解和掌握这一部分内容。
一、向量的概念和运算向量是表示有大小和方向的量，常用箭头表示。
在平面上，向量通常用一个有序数对表示，如AB向量可以表示为a = (x, y)。
向量的长度是指从起点到终点的距离，记作|a|。
向量的加法和减法可以通过对应坐标的加减实现，如a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
二、向量的数量积向量的数量积也称点积，是指两个向量间的乘积结果，记作a·b。
计算公式为：a·b = |a| |b| cosθ。
其中，θ表示两个向量之间的夹角。
数量积的结果为一个实数，具有求模、交换律以及分配律等性质。
三、向量的向量积向量的向量积也称叉积，是指两个向量间的乘积结果，记作a × b。
计算公式为：a × b = |a| |b| sinθ n。
其中，θ表示两个向量之间的夹角，n表示垂直于两个向量所在平面的单位法向量。
向量积的结果为一个向量，其方向遵循右手法则，模长为|a| |b| sinθ。
四、向量的共线与线性运算在平面向量中，如果存在一个实数k，使得a = kb，那么向量a与向量b就是共线的。
共线的向量也叫线性相关向量。
线性运算是指对多个向量进行加法、减法和数量乘法的运算。
线性相关的向量之间可以进行代入消元等操作，进而解出线性方程组。
五、向量的应用平面向量广泛应用于各个学科和职业领域，如物理学、力学、工程、计算机图形学等。
在解决实际问题时，我们可以利用向量进行几何推理、计算机模拟、数据分析等。
例如，在解决运动问题时，可以将速度、加速度等物理量抽象为向量，简化计算过程。
六、习题和应用题为了更好地理解和掌握平面向量的知识，考生可以进行大量的习题和应用题的训练。
高三数学平面向量知识点与题型总结(文科)(K12教育文档)
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知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念：①向量:既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量,记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,AB a BC b ==,则a+b =AB BC +=AC（1）a a a=+=+00;（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连"．3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a与b 的差,③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）4、实数与向量的积:实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下:（Ⅰ）a a⋅=λλ； （Ⅱ)当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同;当0<λ时，λa的方向与a的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ6、平面向量的基本定理：如果21,e e是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使:2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二。
平面向量与平面解析几何的联系知识点总结
平面向量与平面解析几何的联系知识点总结平面向量和平面解析几何是高中数学中重要的概念和工具。
它们在几何图形的描述、方程的求解和数学推理中有着广泛的应用。
本文将总结平面向量与平面解析几何的联系知识点，并探讨它们之间的重要关系。
一、平面向量的基本概念和表示方法平面向量是空间中的有向线段，具有大小和方向。
它可以用一个具有大小和方向的箭头表示。
常用的表示方法有坐标表示和分量表示。
1. 坐标表示：假设平面上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则以A 为起点，B为终点的向量AB可以用坐标表示为向量(a, b)，其中a = x2 - x1， b = y2 - y1。
其中，x1、y1为向量的起点坐标，x2、y2为向量的终点坐标。
2. 分量表示：向量AB的分量表示为(ABx, ABy)，其中ABx为向量AB在x轴上的投影，ABy为向量AB在y轴上的投影。
分量表示形式方便进行向量的运算和推导。
二、平面解析几何的基本概念和表示方法平面解析几何是用代数方法研究平面上的几何问题。
它通过线性方程和坐标表示来研究几何图形的性质和关系。
1. 直线的解析方程：设直线L的解析方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，x、y为变量。
通过解析方程可以确定直线L在平面上的位置和方向。
2. 圆的解析方程：设圆C的解析方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径长度。
解析方程确定了圆C在平面上的位置和半径。
三、平面向量与平面解析几何的关系平面向量和平面解析几何有着密切的联系，它们可以相互转化、相互补充，共同应用于几何问题的研究。
1. 平移变换：平移变换是平面向量的一种基本运算，也是几何图形的一种基本变换。
平移变换可以通过平面向量的加法来表示。
设向量u 表示平移的位移，则点P(x, y)经过平移变换得到的新点P'(x', y')的坐标可以表示为(x', y') = (x, y) + u。
平面向量与解析几何的关系
平面向量与解析几何的关系从数学的角度来看，平面向量是向量代数和解析几何两个分支中的重要概念。
平面向量不仅可以用于解释运动、力和速度等物理现象，还可以应用于解析几何中的线性方程组、平面的交点和几何形状的变换等问题。
本文将探讨平面向量与解析几何之间的密切关系。
一、平面向量的定义与性质在解析几何中，平面向量常常表示为带有箭头的有向线段，通常用一个字母加上箭头来表示，如向量a。
平面向量具有长度（模）和方向两个属性，可以通过两点之间的坐标差来表示。
设A(x1, y1)和B(x2,y2)是平面上的两点，则向量AB可以表示为向量a = (x2 - x1, y2 - y1)。
平面向量有很多重要的性质。
例如，向量的模可以通过勾股定理得到，即|AB| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。
此外，向量还满足位移定律、加法和数乘等运算规律，这些性质为后续的解析几何问题奠定了基础。
二、平面向量在解析几何中的应用1. 向量的加法和减法平面向量的加法和减法是解析几何中常见的运算。
对于向量a =(x1, y1)和向量b = (x2, y2)，它们的加法可以表示为a + b = (x1 + x2, y1+ y2)，减法可以表示为a - b = (x1 - x2, y1 - y2)。
这些运算可以简化解析几何中线段的延长、平行线的判定以及图形的相似性等问题的计算过程。
2. 向量积在解析几何中，平面向量的向量积常常被用来判断两个向量之间的关系和求解相关的几何问题。
向量积的结果是一个新的向量，其方向垂直于已知向量所在的平面。
设向量a = (x1, y1)和向量b = (x2, y2)，它们的向量积的计算公式为a × b = x1y2 - x2y1。
通过向量积，我们可以判断两个向量是否共线、垂直，进而应用于解析几何中直线的平行和垂直关系的判定、求解交点等问题。
3. 向量的数量积数量积是平面向量中另一个重要的运算。
高中数学知识点总结之平面向量与空间解析几何(经典必看)
56. 你对向量的有关概念清楚吗？（1）向量——既有大小又有方向的量。
（）向量的模——有向线段的长度，2||a →（）单位向量，3100||||a a aa →→→→==（）零向量，4000→→=||（）相等的向量长度相等方向相同5⇔⎧⎨⎩=→→a b在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。
（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
b a b b a →→→→→→≠⇔=∥存在唯一实数，使()0λλ （7）向量的加、减法如图：OA OB OC →+→=→OA OB BA →-→=→（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）e e a →→→12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→=+的一组基底。
（9）向量的坐标表示i j x y →→，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得()a x i y j x y a a x y →→→→→=+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标()表示。
()()设，，，a x y b x y →→==1122()()()则，，，a b x y y y x y x y →→±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111，， ()()若，，，A x y B x y 1122()则，AB x x y y →=--2121 ()()||AB x x y y A B →=-+-212212，、两点间距离公式57. 平面向量的数量积（）··叫做向量与的数量积（或内积）。
1a b a b a b →→→→→→=||||cos θ []θθπ为向量与的夹角，，a b →→∈0Bb O θa数量积的几何意义：a b a b a b →→→→→·等于与在的方向上的射影的乘积。
2023年北京市各区高三文科体育分类汇编----平面向量
2023年北京市各区高三文科体育分类汇编----平面向量一、引言本文档旨在汇编2023年北京市各区高三文科体育分类中的平面向量知识点。
平面向量是数学中重要的概念之一，通过理解和掌握平面向量的基本概念和运算法则，可以帮助学生更好地应对高考数学文科题目。
二、平面向量基本概念1. 平面向量定义平面向量是指在平面上有大小和方向的量。
它可以用有向线段表示，有两个端点，分别是起点和终点。
2. 平面向量表示平面向量通常用字母加上一个箭头表示，如AB→，表示由点A指向点B的平面向量。
使用坐标表示时，平面向量可以表示为二维坐标(x,y)。
三、平面向量的运算法则1. 平行四边形法则根据平行四边形法则，如果AB→和AC→是两个平面向量，那么它们的和可以表示为AB→+ AC→ = AD→，其中D是以A为起点、以BC为邻边的四边形的对角线的顶点。
2. 数乘法则对于平面向量AB→和一个实数k，AB→与k的乘积可以表示为kAB→，即长度为k倍，方向与AB→相同的平面向量。
四、平面向量的性质1. 平面向量相等的条件两个平面向量相等的条件是它们的起点和终点相同。
2. 平面向量共线的判断如果两个平面向量的方向相同或相反，它们是共线的。
五、平面向量的应用平面向量的应用广泛，特别是在几何和物理方面。
例如，平面向量可以用于求解平面上的几何问题，计算平行四边形的面积，描述物体的位移和速度等。
六、结论通过学习平面向量的基本概念、运算法则和性质，可以帮助学生掌握这一重要的数学概念，并在高考中灵活运用。
希望本文档对2023年北京市各区高三文科体育分类中的平面向量知识点的理解和学习有所帮助。
高考文科数学平面向量专题(2021年整理)
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平面向量专题一、选择题例1.ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =，CA b =,0a b ⋅=，||1a =,||2b =,则AD =(A ）1133a b - （B ）2233a b - (C ）3355a b - （D)4455a b - 例2.设x R ∈ ，向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ，则||a b +=（A （B （C ）（D ）10 例3.设a ，b 是两个非零向量。
A.若｜a+b ｜=｜a ｜—｜b|，则a ⊥b B 。
若a ⊥b ，则｜a+b ｜=｜a|-｜b|C 。
若｜a+b|=|a ｜—|b ｜,则存在实数λ,使得b=λa D.若存在实数λ，使得b=λa ，则｜a+b ｜=｜a|-|b ｜ 例4。
设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中,使||||a ba b =成立的充分条件是（ ） A 、||||a b =且//a b B 、a b =- C 、//a b D 、2a b = 例5。
设向量a =（1。
cos θ）与b =（-1， 2cos θ）垂直,则cos 2θ等于 （ ）A2B 12C 。
0D 。
-1例6。
已知向量a = （1，—1),b = (2,x ）。
若a ·b = 1，则x = (A) —1 （B) —12(C) 12(D)1 例7.若向量(1,2)AB =，(3,4)BC =,则AC =A. (4,6)B. (4,6)--C. (2,2)--D. (2,2) 例8.对任意两个非零的平面向量α和β,定义=⋅⋅αβαβββ. 若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b 和b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，则=a bA 。
数学中的平面向量与解析几何
数学中的平面向量与解析几何数学中的平面向量是解析几何的重要内容之一。
在解析几何中，平面向量被广泛应用于描述和研究空间中的各种几何问题。
本文将重点介绍平面向量的定义、性质以及与解析几何的关系。
一、平面向量的定义与性质平面向量是指在平面内的一个有大小和方向的矢量。
平面向量通常用有向线段表示，线段的长度表示向量的大小，线段的方向表示向量的方向。
平面向量常用于表示平面上的位移、速度、加速度等物理量。
平面向量有以下几个重要性质：1. 平面向量的相等性：两个平面向量相等，当且仅当它们的大小相等且方向相同。
2. 平面向量的加法：平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点连接起来，以它们的和作为连线的对角线，那么这个对角线的起点就是两个向量的起点的和。
3. 平面向量的数乘：平面向量与一个实数相乘，等于将这个实数乘以向量的大小，同时保持向量的方向不变。
二、平面向量的坐标表示与解析几何的关系在解析几何中，平面向量可以用坐标表示。
通常选取平面直角坐标系的两个单位向量i和j为基底，平面上的任意向量A可以表示为A = x * i + y * j，其中x和y分别为向量在i和j方向上的投影长度。
平面向量的坐标表示使得解析几何可以通过代数方法进行计算和推导。
例如，通过平面向量的坐标表示，可以方便地计算向量的模长、夹角、共线关系等几何性质。
三、平面向量在解析几何中的应用平面向量在解析几何中有广泛的应用，以下列举几个常见的例子：1. 平面向量的数量积：平面向量的数量积是定义在平面向量上的二元运算，通过数量积可以计算向量的夹角、判断向量的垂直、平行关系等。
2. 平面向量的向量积：平面向量的向量积是定义在平面向量上的二元运算，通过向量积可以计算向量的面积、判断向量的共面关系等。
3. 平面向量的投影：平面向量的投影是指将一个向量在另一个向量上的投影长度，通过投影可以计算向量的分解、分解系数等。
通过平面向量的应用，解析几何可以解决许多几何问题，例如直线与曲线的位置关系、平面与平面的交线方程、曲线的切线与法线等。
第四次：高中文科数学平面向量知识点整理
高中文科数学平面向量知识点整理1、概念向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a+b =0向量表示：几何表示法；字母a 表示；坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）.向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a .（ 222222||,||a x y a a x y =+==+。
）零向量：长度为0的向量。
a ＝O ⇔｜a ｜＝O .【例题】1.下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则A B C D 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a bb c ==，则a c =。
（6）若/,/a bbc ，则//a c 。
其中正确的是_______2.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +＝_____ 2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连 ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=．baCBAa b C C -=A -AB =B⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则．),(1212y y x x --= （1）①AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____； ③()()AB CD AC BD ---=_____4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．【例题】（1）若M （-3，-2），N （6，-1），且1MP MN 3--→--→=-，则点P 的坐标为_______5、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，（0b ≠）22()(||||)a b a b ⇔⋅=。
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(A) . |a|2|b|2 -(Oi)2 (B) |a|2|b|2 (Oi)2
平面向量与解析几何
1、 设向量a,b 满足|；|=2「5』=(2,1),且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为 ___________ .
2、 若平面向量a , b 满足a +b =1, a +b 平行于x 轴，b = (2,-1)，则a= .
3、 设a 、b 、c 是单位向量，且a • b = 0，贝U a_c ・b_c 的最小值为()
于(A)2 (B)
.3
(c)
,2
(D)1
a=b=2 , a ，2b*a-b=—2，贝U a 与 b 的夹角为 a 、b 、c 满足 |a |=| b|=|c|,a b = c ，则：a, b ^=
= 1,「| 1 ,且以向量a 、3为邻边平行四边形的面积为
则a 和3的夹角0取值范围是___。
9、已知向量a = (1,2),
A 7 7
A e-,)
9 3
12、 在 ABC 中,M 是BC 的中点，AM=1点P 在AMh 且满足 PA 二2PM
4
4
4
等于(A 一
(B ) —
(C ) ——
(D)
9 3 3
(A ) -2 (B )
(C ) -1
(D)
1-2
4、已知向量a = (2,1)
a -
b = 10 , | a + b | = 5、、2，则 | b | =
(B ) ,10
(A ) ,5
5、设向量 a 、bc 满足 | a |=| b |=1, a b =-
(C ) 5 (D ) 25
,<a —c,b — CA =60°
，贝y c'的最大值等
6、已知
7、设非零向量 (A ) 150
B 120 (
C ) 60° (
D ) 30°
b= (2, -3).若向量 c 满足(c a )//b , c_ (a b )，则 c =
7
7
(W ) 9 3
10、已知 a - -3,2 ,b
h ［「1,0，向量 a b 与a-2b 垂直，则实数
■的值为
1
(D ；
6 uur
11、在三角形ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分• ACB .若CB = a ,
(A) -1
CA = b , a =1 ,
uuu 1 2
b =2，则 CD =(A ) — a+—b
3 3
(C )3a 4b
5 5 (D^a 2 5 5
a 、3 满足a
13、平面上O,A,B三点不共线，设0A二a,OB =b，则△ OAB的面积等于
5
5
1 __
2 __ 2 2 1 _____________ 2
__ 2 2 (C) 2 ,|ahb|2 -«b)2 (D) 2
、旧广时(乳b)2
14、已知圆O 的半径为1 , PA PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么TA.PB 的最
AB AC
与AC 满足( )・BC = 0且
| AB| | AC | | AB | | AC |
ABC 为(
)A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰非等边三角形
D.等边三角形
21、在厶ABC 中，点0是BC 的中点，过点0的直线分别交直线 AB 、AC 于不同的两点 M 、 N ，若 AB 二 mAM , AC 二 nAN ，贝U m + n =
22、已知a =(m -2,m ，3) , b =(2m V ,m -2)，且a 与b 的夹角为钝角，求实数
m 的取
O ABC 所在平面内一点，满足 |0B-0C|=|0B '0C-20A|，则△ ABC
2
x
F 1, F 2分别是椭圆E :—
小值为(A) -4
2 (B)
—3 J2 (C) 15、设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线
-4 2,2 (D) -3 Z 2
2
BC 夕卜，BC =16 , AB +AC^AB — AC ,
AM*
-(A ) 8 ( B) 4 ( C ) 2
(D ) 1
16、已知O, N, P 在ABC 所在平面内，且
0A = OB = 0C ,NA + NB + NC = 0，且
PA ・PB 二 PB ・PC 二 PC ・PA ， 则点0, N, P 依次是 ABC 的 A )重心 夕卜心垂心 (B )重心
17、在直角坐标系xoy 中，已知点
T T
|0C |=2，贝U 0C = __________
外心内心 A(0,1)和点
(C )外心重心垂心(D )外心重心内心 B( 43, 4),若点C 在/ A0B 的平分线上，且
18、已知 0是平面上的一定点，
A 、
B 、
C 是平面上不共线的三个点，动点
P 满足 AC 0P =0A — ( AB
), ' • [0, 则动点P 的轨迹一定通过厶
| AB|sinB | AC | sinC
ABC 的
)A.重心 B.垂心 、 已 知 0 是 △ ABC
T T T T — _ C.夕卜心 (
19 T ......................................................................... . .
(0A 0B) AB = (0B 0C) BC = (0C 0A) CA = 0,
D.内心 面上的
占 八
则0点是△ ABC 的( A. 夕卜心
B. 内心
C. 重心
D.垂心
AC
r 曰/
定是 (
)A.等腰直角三角形
B. 直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
23、已知
24、已知
y 2 =1的左、右焦点F j , F 2关于直线x ，y-2 = 0
20、已知非零向量
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的对称点是圆C 的一条直径的两个端点。
(I)求圆C 的方程；(n )设过点F 2的直线I 被椭 圆E 和圆
C 所截得的弦长分别为 a , b 。
当ab 最大时，求直线I 的方程。
25、 设椭圆笃•爲=1(a b 0)的左焦点为F ,离心率为乜，过点F 且与x 轴垂直的直线
a b 3
被椭圆截得的线段长为 4^. ( I )求椭圆的方程；(n )设A B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于 C, D 两点.若AC D B A S C ^^8,求k 的值.
26、 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C 的中心在原点 0,焦点在X 轴上，短轴长为2,
离心率为_2 (I)求椭圆C 的方程(ll)A,B 为椭圆C 上满足 AOB 的面积为一6的任意两点,
2
4
E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 与点P 设7p “胆求实数t 的值 27、已知抛物线 C 的顶点为O( 0,0 ),焦点
F ( 0,1 )
(I)求抛物线 C 的方程；(n )过F 作直线交抛物线于 A 、B 两点.若直线OA OB 分别交 直线l :
y=x-2于M N 两点， 求|MN|的最小值.
(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P x 0,y 。
为直线I 上的定点时，求直线 AB 的方程;
⑶ 当点P 在直线l 上移动时，求 AF BF 的最小值
.
28、已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点 F 0,c c 0至煩线 l : x- y-2 = 0的距离
—~~—.设P 为直线I 上的点，过点
2
P 作抛物线C 的两条切线PA,PB ，其中A,B 为切点.。