时间序列分析及其在变形数据分析中的应用

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二乘估计 、最小平方和估计 、极大似然估计等[2,3] 。
本文采用最小二乘估计 。
设 X t 是 A R M A ( p , q) 序 列 , X t - φ1 X t - 1 φ2 X t - 2 - …- φp X t - p = εt - θεt - 1 - …- θεq t - q , 其 中εt 是零均值 ,方差为δ2t 的平稳白噪声 ,设 Xt 具有
AR ( p) 模型的阶数 p 可以通过观测序列的偏 相关函数的截尾性来确定 ; MA ( q) 模型的阶数 q 可 以由观测序列的自相关函数的截尾性来确定 ; 对于
3 山东省基础地理信息与数字化技术重点实验室开放基金资助项 目 ( SD2003-10 ) 史玉峰 ,山东理工大学建筑工程学院 ,副教授 ,博士 ,255049 山东省
A R M A ( p , q) 模型参数的矩估计 : 设{ Xt , t = 0 , ±1 , ±2 , …} 为 A R M A ( p , q) 序列 ,其参数矩估 计的步骤为 :
(1) 参数 φ^ 1 ,φ^ 2 , …φ^ p 的矩估计 。由自相关函 数的估值得
φ^ 1 φ^ 2
= ⁝
ρ^ q ρ^ q+1
castisver yim portant.Basedonthecharacteristicsofstabletimeseries,stud
yismadeonthemethodand proceduceofus 2
ing A R MA ( p , q) modelintheanal ysisandforcastofdeformationdata,whichisillustratedb
1 ……
X k ( q) = φ1 X k ( q - 1) + … + φqX k (1- q) - … - θεq^ k
(9)
2 实例分析
某变形监测点 ,共进行 70 期等时间间隔观测 ;
现用前 50 期观测数据进行时间序列建模 ,后 20 期
数据来验证模型预测的可靠性 。图 1 为变形点监测
2makingandtheir qualitydirectl yaffectstheeffect
ofthewholedeformationmonitorin g.Therefore,selectin gamethodboth practicalandefficientforthisanal ysisandfor 2
ya groupof practically
measureddeformationdata.Theresultsshowthatitisver
yeffectiveandreliabletouse A R M A ( p , q) modeltoanal yse
and processthedeformationdata. Keywords Structure,Deformationmonitorin g, A R MA model
淄博市 。
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总第 338 期 金 属 矿 山 2004 年第 8 期
ARMA 模型 ,其模型的阶数 ( p , q) 可由 AIC 准则
作为模型的定阶准则 。ARME ( p , q) 序列 AIC 定
阶准则为 :选择 p , q ,使得
(3) 将 { X t} 近似地看作 M A ( q) 序列 ,即
X t ≈εt - θ1εt - 1 - … - θεq t - q ,
(5)
然后求其θ^ 1 和δ^ε2 。 1.3 模型参数的精估计
上述模型参数的矩估计法没有要求估计量满足
某种最优条件 ,属于参数的初估计 。为了得到精度 更高的估计量 ,还需要对参数进行精估计 ,使估计量 满足某种最优化条件 。常用的精估计的方法有最小
估计 ,这是时间序列建模的关键 。参数估计一般分
为初估计和精估计 ,前者为精估计准备参数 (如矩估
计法 ,逆函数法) , 后者在前者的基础上通过某种方
法迭代求出参数的精估计值 ,如最小二乘估计 、极大
似然估计等[2 ,3 ] 。本文采用矩估计作为初估计以得
到精估计的初值 , 以 Marquardt 非线性最小二乘法 进行参数的精估计 。
许多实际问题中 ,进行时间序列分析 ,建立线性
模型的主要目的就是在确定模型参数之后 , 对未来
可能出现的结果进行数值预报 ; 也就是根据过去和
现在的时间序列样本观测值 , 对未来某些时刻的随
机变量进行估计 。
设{ Xk} 是零均值平稳序列 ,而由 k 时刻及以前 的数据对未来 k + l 时刻的值 Xk + l 所作的 ( l 步) 预 报值 ^Xk ( l) ,称之为 l 步预报[3 ] 。由 A R M A ( p , q) 模 型的定义得
∞
逆转形式 X t - ρ Ij X t - j = εt ,其算子 形式可写为 j =1 (1 - φ1 B - φ2 B 2 - … - φpB p)εt =
(1 - θ1 - θ2 B 2 - … - θqB q)εt , (6)
εt = (1 - I1 B - I2 B 2 - …) X t
其中 φ0
p
∑ -
φj X t - j ,
(3)
j =0
= - 1 , 则 其 协 方 差 函 数 为 γk ( X t) =
p
∑φj E ( X t - i X t - k - j) , 其估值为
i =0
pp
∑∑ γ^ k ( X t) =
φ^ φj^ γi k + i - j1
(4)
j =0 i =0
A R M A ( p , q) 模型 ,其预报公式为
l- 1
m
^Xk ( l) = ρ φj ^Xk ( l - j) ρλ(j l) X k +1 - j ,
(8)
j =1
j =1
即有
X k (1) = φ1 X k + … + φpX k - p - θ1ε^ k - … - θεq^ k+1- q X k (2) = φ1 X k (1) + … + φpX k- p+1 - θ2ε^ k - … - θεq^ k+2- q
物体因某种或多种原因而改变了原有的几何形 状 ,称其为变形或形变 。城市地表下沉 ,矿区采空区 的地表沉陷 ,山体 、河岸及矿坑边帮的滑坡 ,建筑物 基础的下沉 、倾斜 ,建筑物墙体的裂缝及构件挠曲等 都是变形的具体表现形式 。为了避免或减少变形对 人身安全和国民经济造成的损失 ,需要对变形监测 数据进行科学的分析处理 ,通过分析处理发现变形 发生的原因 、变形特征及其在时间和空间的变化规 律 ,以便做出科学预测预报 。常用的变形观测数据 分析理论主要有 :静态变形分析 、动态变形分析 、变 形的力学机理分析[1,2,4,5] 。时间序列分析方法是 一种成熟的动态数据处理方法 ,它通过对按时间顺 序排列的 、随时间变化且相互关联的数据序列进行 分析 ,找出反映事物随时间的变化规律 ,从而对数据 变化趋势做出正确的分析和预报 ;该方法已经广泛 应用于气象 、天文 、水文 、机械 、电力 、生物 、经济的各 领域[2,3] 。本文基于平稳时间序列分析理论 ,分析 研究了变形监测数据的变化规律 ,建立了变形监测 数据的时间序列模型 ,并用该模型对一组实测变形
关键词 构筑物 变形监测 A R MA 模型
TimeSeriesAnal ysisandItsA pplicationinAnal ysisofDeformationData
ShiYufen g
SunBao qi
( Shandon g Universit y ( Wuhan Institute of Geodesy and Geophysics Research ,
监测数据进行分析 、预报 ,预报结果的准确率很高 。 1 ARMA 时间序列建模与预报
A RMA 时间序列建模首先要进行模型的识别 与定阶 ,即要判断观测数据序列属于模型 A R ( p) , M A ( q) , A R M A ( p , q) 中的哪一类别 , 并估计出模 型阶数 p , q 。模型阶数确定以后 , 就要对模型 参数 φ= (φ1 ,φ2 , …,φp) T 及 θ= (θ1 ,θ2 , …,θp) T 进行 估计 。定阶与参数估计完成后 , 还要对模型进行考 核 ,即要检验 εt 是否为平稳白噪声 ; 考核通过 , 则 ARMA 序列的建模完成[2 ,3 ] 。 1. 1 模型阶数的确定
数据随时间的变化情况 ,可以看出原始观测数据有
史玉峰等 :时间序列分析及其在变形数据分析中的应用 2004 年第 8 期
上升趋势 ,不是平稳时间序列 。对原始数据进行二 次差分 ,得序列 { Xt}, 数据分布如图 2 所示 ; 此时 , 显然 x < 2σx , 故可以认为{ Xt} 是零均值平稳时间 序列 。计算偏相关函数和自相关函数 ,由计算结果可 以看出 ,序列的自相关函数是拖尾的 ,因此可以判断 该序列不符合 M A ( q) 模型 ;当 r > 10 时 ,φkk 均落 入 2σφ 范围 , 可认为偏相关函数 10 步截尾 , 初步认 为序列符合 A R ( p) 模型 。用 A IC 定阶准则进一步 确定 阶 数 , 计 算 A R (10) 、A R (11) 和 A R (12) 的 A IC 值 ,当 p = 10 时 , A IC 的值最小 ,故确定该观测 值序列符合 A R (10) 模型 。由线性最小二乘法 ,求得 参数的估计值 φi ,结果见表 1 。
⁝
ρ^ q- 1 ρ^ q ⁝
… ρ^ q- p - 1 … ρ^ q- p +2
⁝
- 1 ρ^ q+1 ρ^ q+2 ⁝
1 (2)
φ^ p
wenku.baidu.com
ρ^ q+ p - 1 ρ^ q+ p - 2 … ρ^ q
ρ^ q+ p
(2) 求 { X t} 的自协方差函数的估值 γ^ k ( X t) , 有
X t = X t - φ1 X t - 1 - φ2 X t - 2 - … - φp X t - p =
SeriesNo.338 August 2004
金
属 矿 山
METALMINE
2总004第年3第388期期
时间序列分析及其在变形数据分析中的应用 3
史玉峰
(山东理工大学)
(中科院武汉孙测保量与琪物理研究所)
摘 要 变形数据分析与预报是变形监测数据处理的重要内容 。数据分析与预报结果是进行决策的最主要 依据 ,它们的质量直接影响整个变形监测工作的成效 ;因此选用切实有效的方法进行变形数据分析和预报十分重 要 。基于平稳时间序列的特性 ,研究了应用 A R MA ( p , q) 模型对变形数据进行分析处理和预报的方法步骤 , 并用 1 组实测变形数据实例说明 ;结果表明 ,应用 A R MA ( p , q) 模型分析处理变形数据十分有效 、可靠 。
of Technology)
the Chinese Academ y of Sciences)
Abstract Theanal ysisandforcastofdeformationdataarema
jorcontentsinthe processingofdeformationmonitor 2
ingdata.Theanal ysisandforcastresultsarethemainbasisfordecision
X k +1 = φ1 X k + l - 1 + … + φp X k + l - θ1εk + l - …
- θεq k +1 - q ,
(7)
其中 ,εk ( l) = X k + l - ^Xk ( l) ,为预报误差 。通常采
用线性最小方差原则来选定上式中的系数 , 即
D [εk ( l) ] = E[ X k +1 - ^Xk ( l) ]2 = min 。对 于
AIC = nlnδ^ε2 +2 ( p + q +1 ) = min ,
(1)
式中 , n 为样本容量 ,δ^ε2 由 p 和 q 通过参数估计得
到 ,若 p = ^p , q = ^q 时 ,式 (1) 达最小值 , 则认为序列
是 ARMA ( ^p , ^q) 。
1. 2 模型参数的矩估计
模型的阶数 p , q 确定后 ,就要对模型参数进行
约简可得递推逆函数的逆转形式 , I ( B ) Xt = Xt -
∞
ρ Ij X t - j = εt 。需 注 意 ,φ,θ 的 取 值 必 须 使 得
j =1
A R M A ( p , q) 序列 Xt 满足平稳可逆条件 ; 也就是 说 ,φ,θ必须在 Xt 的平稳可逆域中取值 。 1. 4 时间序列的预报