公式法解一元二次方程.3 用公式法求解一元二次方程(第一课时)教学设计 (新版)北师大版

用公式法求解一元二次方程（一）

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.

学生活动经验基础：学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力.

二、教学任务分析

公式法实际上是配方法的一般化，利用总结出来的公式可更加便利地求解一元二次方程。所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。

其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的重点和难点。

本节课的教学目标是：

①学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。

②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，培养学生观察和总结的能力.

③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。

④通过在探求公式过程中的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力

三、教学过程分析

本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：探究新知；第三环节：巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。

第一环节；回忆巩固

活动内容：

①用配方法解下列方程：(1)2x2+3=7x (2)3x2+2x+1=0

②由学生总结用配方法解方程的一般方法:

第一题： 2x2+3=7x 解：将方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0 两边都除以一次项系数:2

023272=+-

x x

配方:加上再减去一次项系数一半的平方

02

31649)47(2722=+-+-

x x

即:

16

25)47(2=--x

1625)47(2=

-x

两边开平方取“±” 得：

4547±=-

x 4547±=

x

写出方程的根 ∴ x1=3 , x2=21

第二题： 3x2+2x+1=0 解：两边都除以一次项系数:3

031322=++

x x

配方:加上再减去一次项系数一半的平方

02

391)31(3222=+-++

x x

即:

18

25)31(2=++x

1825)31(2-

=+x ∵0

1825<-

∴原方程无解

活动目的：

（1）进一步夯实用配方法解方程的一般步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动：没有把常数项移到方程右边，而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。

（2）选择了一个没有解的方程，让学生切实感受并不是所有的一元二次方程在实数范

围内都有解。

通过对旧知识的回顾，学生再次经历了配方法解方程的全过程，由于是旧知识，学生容易做出正确答案，并获得成功的喜悦，调动了学生的学习热情，唤醒学生的思维，为后面的探索奠定了良好的基础。 第二环节 探究新知

（1）活动1：自主推导求根公式。

提出问题：解一元二次方程：ax 2

+bx+c=0(a ≠0)

学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式.

解：两边都除以一次项系数:a 02=++a

c x a

b x

问：为什么可以两边都除以一次项系数:a 答：因为a ≠0

配方:加上再减去一次项系数一半的平方

4)2(2222

=+-++a

c

a b a b x a b x 即:

44)(222=--+a ac

b a b x 2

2244)(a ac b a b x -=

+ 问：现在可以两边开平方吗？

答：不可以，因为不能保证 0442

2

≥-a ac b

问：什么情况下 0442

2

≥-a ac b

学生讨论后回答： 答： ∵ a ≠0

∴ 4a 2

>0

要使0442

2

≥-a ac b

只要 b 2

-4ac ≥0即可

∴当b 2

-4ac ≥0时，两边开平方取“±” 得：

2

244a ac b a b x -±=+ a

ac b a b x 242-±=+

a

ac b a b x 242-±

-=

a

ac b b x 242-±-=

问：如果b 2

-4ac<0时，会出现什么问题？ 答：方程无解

如果b 2

-4ac=0呢？答;方程有两个相等的实数根。 活动目的：

学生能否自主推导出来并不重要，重要的是由学生亲身经历公式的推导过程，只有经历了这一过程，他们才能发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识.在集体交流的时候，才能有感而发。 第三环节：巩固新知 活动内容：

１、判断下列方程是否有解：（学生口答）

(1) 2x 2+3=7x （2）x 2-7x=18 （3）3x 2+2x+1=0（4）9x 2+6x+1=0 (5)16x 2

+8x=3 (6) 2x 2

-9x+8=0

２、上述方程如果有解，求出方程的解

学生口述，教师板书第（1）题，第（4）题

例：解方程 2x 2

+3=7x

先将方程化成一般形式 解： 2x 2

-7x+3=0 确定a,b,c 的值 a=2, b=-7, c=3

判断方程是否有根 ∵b 2-4ac=(-7)2

-4×2×3=25>0

∴

4

5722257242

±=

⨯±=-±-=

a

ac

b b x

写出方程的根 即x 1=3,x ３、课本随堂练习1、2.

活动目的：通过让学生或口述交流或上黑板解方程，公示学生的思维过程，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程。 第四环节：收获与感悟 提出问题：

1、一元二次方程ax 2

+bx+c=0(a ≠0)的求根公式是什么？ 2、如何判断一元二次方程根的情况？