多面体欧拉定理

多面体欧拉定理

定理简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F间有关系对于简单多面体，有著名的欧拉公式：V-E+F=2

简单多面体即表面经过连续变形可以变为球面的多面体。

多面体

欧拉定理

式中V表示多面体的顶点数，E表示棱数，F表示面数。定理一证

分析：以四面体ABCD为例。

将它的一个面BCD去掉，再使它变为平面图形，四面体的顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变（这里F1=F-1）。因此，要研究V、E和F的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。

只需平面图形证明：V+F1-E=1

（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E的值不变。例如去掉BC，就减少一个面ABC。同理，去掉棱CD、BD，也就各减少一个面ACD、ABD，由于V、F1-E的值都不变，因此V+F1-E的值不变

（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E的值不变。例如去掉CA，就减少一个顶点C。同理去AD就减少一个顶点D，最后剩下AB。

在以上变化过程中，V+F1-E的值不变，

V+F1-E=2-0-1=1，

所以V+F-E= V+F1-E+1=2。

对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。公式对任意简单多面体都是正确的。

定理意义

（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律；

（2）思想方法创新训练：在定理的发现及证明过程中，在观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；在方法上将底面剪掉，然后其余各面拉开铺平，化为平面图形（立体图→平面图）。

（3）引入拓扑新学科：“拉开图”与以前的展开图是不同的，从立体图到拉开图，各面的形状，以及长度、距离、面积、全等等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。

事实上，定理在引导大家进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。

（4）给出多面体分类方法：

在欧拉公式中，令f(p)=V+F-E，f(p)叫做欧拉示性数。定理告诉我们，简单多面体的欧拉示性数f (p)=2。

除简单多面体外，还有不是简单多面体的多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面，它的欧拉示性数为f (p)=16+16-32=0，所以带一个洞的多面体的欧拉示性数等于零。

定理二证

如图（1）多面体，设顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，将其余的面拉平，使它变为平面图形，如图（2）我们在两个图中求所有面的内角总和Σα

一方面，在图（1）中利用面求内角总和。

设有F个面，各面的边数分别为n1,n2，…，nF，

各面的内角总和为：

Σα = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800]

= (n1+n2+…+nF -2F) ·1800

=(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1）

另一方面，在图（2）的拉开图中，利用顶点来求内角总和。

设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·1800，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。所以，多面体所有各面的内角和为：Σα = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800=（V-2）·3600. （2）

由（1）（2）得

(E-F) ·3600 =（V-2）·3600

所以V+F-E=2.