习题课

R2
q1
R1
r1
O
r2
q2
球壳外表面 上的电荷量
q1 q2 q q U 4 π 0 r1 4 π 0 r2 4 π 0 R1 4 π 0 R2
22
Q
由高斯定理知
R2
q q1
由电荷守恒定律知
q1
R1
r1
O
r2
q2
q q1 Q q2
0，于是得所求得电势为 因q2
2 1 P2 n2 P2 ( 2 1) 0 E2 e2 0 2 1 2 e1 e2 e 0 1 2
例 2.2.7 如图：平行板电容器两极板的面积都是 S，相距为d其间 有一厚度为t 的金属板与极板平行放置，面积亦是S，略去 边缘效应。 （1）求系统的电容C ; (2)金属板离极板的远近对 电容是否有影响？
S
t
d
8
S
t
d
解 （1）设极板上所带电量为Q ,两极板的电势差为U,则
Q U E d l E (d t ) (d t ) (d t ) 0 0S 0 0S Q C U d t
（2）无影响
9
d t
0S C d t
讨论
S
t
0S
0 Uo
14
q U P Uo 4 π 0 r0
由此球面感应电荷在P点产生的电势为
q q Leabharlann Baidu UP UP Uo 4 π 0r 4 π 0 r0 q q UP 4 π 0 r0 4 π 0 r
（2）当球接地后，球体电势为0
q
r r0
P
R
q UP UP 0 4 π 0r
能量改变：
（2）电源作功为qU，电场对电源作功：
A qU (q2 q1 )U 0 sU 2 / 2d
（3）依能量守恒定理得：外力的功为电场能量的增加和对电 源作功之和： s
20
（2）当内外球用导线连接时，仍用上述的电势叠加原理计 算球心O点的电势，有 R3 Q dq
40 d

40 R3 Q
0
q
R2 R1
Q 0 40 d 40 R3 Q
注释
d
Q
q
由于 Q的存在，球壳外表面的电荷 Q分布是不均匀的。当球 体与球壳相连后，成为一个等势体，由静电平衡条件知，电 荷只能分布在导体的外表面上，所以此时只有球壳的外表面 带电 Q。
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例。 一平行板电容器极板的面积为S，间距为d，接在电源上以保 持电压为U。将极板的距离拉开一倍，计算：（1）静电的改变; (2) 电场对电源作的功；（3）外力对极板做的功。 解： （1）拉开过程中电压保持不变： 拉开前： 拉开后：
s 1 W1 C1U 2 0 U 2 2 2d
s 1 W2 C 2 U 2 0 U 2 2 4d s W W2 W1 0 U 2 4d
解： d1=4.0mm,d2=2.0mm.
(1)A板左边右边电荷分别为 q1,q2, 则:
E d =E d q d /( S)=q d /( S)
1 1 2 2 1 1 0 2 2 0
q1+q2=q
q1+q2=q
C A
B
q1=q/(1+d1/d2)=q/(1+0.5)=2.0 10-7(库仑） q2=q-q1=1.0 10-7(库仑） （2）A板电势：UA=E1d1=q1d1/(0S) =2.0 10-7 2.0 10-3/(8.85 10-12 200 10-4) =300(伏）
q
r r0
P
R
13
由电势叠加原理可知，P点的电势为点 电荷 q 和球面感应电荷在该处产生的 电势的标量和，即
q UP UP 4 π 0r
q
r r0
P
R
由于球体等电势，所以球内任一点P的电势与球心O点的电 势相同，则有
q U P Uo Uo 4 π 0 r0
因球面上感应电荷与球心O的距离均为球的半径R，且感应 的总电荷量为零，所以感应电荷在O点产生的电势为零，即
由电势叠加原理，球心处的总电势为
R3 q R2
d
Q
q R1
U O U Q U S1 U S2
又因为
R2
1 Q q q Q U S3 ( ) 4 π 0 4 R1 R1 2 R1 3R1
R2 q d r q 1 1 ( ) UO E d l 2 4 π R R 4 π r 0 1 2 R1 0 R1
(2) 若将球接地，E P 和 UP 结果如何？
解 （1）由静电平衡条件和场强叠加原理 可知，P点的电场强度为点电荷 q 和 球面感应电荷在该处产生的场强的矢 量和，且为零，即
q EP EP r 0 3 4 π 0r q EP r 3 4 π 0r
a
r
解 因导体是等势体，故 球心的电势便是球的 电势 U ，
b
q
Q
a
r
根据电势叠加原理，球心的电势等于所有电荷在球心产生 的电势之和，即
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Q q q U 4 π 0a 4 π 0 r 2 b2 q q是圆环上的电荷
在球面上产生的感应 电荷量
b
Q
a
r

q 0
Q q U 4 π 0a 4 π 0 r 2 b2
R3
R2
d
Q
q
R1
（2）如果用导线将壳内导体球与壳相连，球壳带电量是 多大？
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解： （1）取球心O处进行分析比 较简单。
球心处的电势是点电荷Q和三 个导体球面上的电荷在O点产 生电势的叠加，分别为
R3
q
R2
R1
d
Q
Q Q UQ 4 π 0 d 4 π 0 (4 R1 )
q
q dq U S1 4 π 0 R1 4 π 0 R1 q
dl1 r1d dl2 r2 d E dl E1dl1 E2 dl2
E1r1d E2 r2 d
2.1-5 . 三平行金属板A B和C，面积都要200厘米2，AB相距4.0 毫米，AC相距2.0毫米，BC两板都接地（见附图）。如果使A 板带正电3.010-7库仑，在略去边缘效应时，问B板和C板上感应 电荷各是多少？以地的电位为零，问A板的电位是多少？
q UP 4 π 0r
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根据静电平衡条件得
q EP EP r 0 3 4 0 r q EP r 3 4 0 r
q
r r0
P
R
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例4 如图所示，半径为 R1 的导体球带 电量 q ，在它外面同心的罩一金属 外壳，其内外壁半径分别为R2与R3 R2 2 R1 ，今在 ，已知 R3 3R1 ， 距球心为 d 4R1处放一电量为Q 的点电荷，并将导体球壳接地，试 问： （1）球壳带的总电量是多大？
表面上的感 应电荷量
q2在球壳外
1 q1 q2 q1 q1 Q U （ ） 4 π 0 r1 r2 R1 R2
23
例7
一半径为 的导体球带有电量为 Q，现将一半径为 b的均匀带 电圆环放在球旁边，圆环的轴线通过球心，环心到球心的距离 为 ，环上的电荷量为 q，如图，试求导体球的电势。
C
（2） AD
q
+
q
-
AD q0U D
UD q 12 0l q 4 0l
q 6 0l
A l O l B l D
q 6 0l
AD U D
例。如图所示，假如在电场中某一部分 的电力线的形状是以O点为中心的同心 圆弧．试证明，该部分上各点的电场强 度都应与该点离O点的距离成反比． 解：利用环路定理
10
例 2.2.9 半径都是a的两根平行长直导 线相距为d（d>>a），求单位长度的 电容。
解 P点电场强度

P

E E E
E
er er 2 π 0r 2 π 0 (d r )
d a
o
2a
er
r
d
两导线的电势差
d a d a 1 1 U E d r E d r [ ]d r 2 π0 a r d r a a d d a ln π0 a
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3 Q Q 4
例6 带电量为Q 的导体球壳，内外半径分别为 R1和 R2，现 将电荷量为 q1 的点电荷放在壳内离球心 O为r 1 处，电荷量 为 q2的点电荷放在壳外离球心 O 为 r2处，如图所示。试求 Q 球心 O 的电势。 解：根据电势叠加原 理，球心 O 的电势等 于所有电荷在 O 点产 生的电势之和，即 球壳内表面 上的电荷量
2.3-4 两层电介质电容器的极化问题
(1)电容C
D dS DS
S
0
S
0
1 , d1
2 , d2
S + D, E1 , P 1
D, E2 , P2
-
D 0
0 E1 01 01
D
D
0
0 E2 0 2 0 2
U1 E1d1 E 2d 2
例：1.4-8 (1)把单位正电荷从O点沿OCD移到D点,电场力 对它做了多少功？(2)把单位负电荷从D点沿AB的延长线 移到无穷远去，电场力对它做了多少功？
（1）AOCD
AOCD q0UOD
q q
C
q
+
UOD UO U D
UO 0
q
-
A l O l B l D
4 0l 4 0l q q q UD 12 0l 4 0l 6 0l AOCD q U OD q0 6 0l
1 C1 C2
(2)求 e
D dS DS 0 S
S
;
D
D 0

0
1 , d1
2 , d2
n2
-

S + E1 , P 1
E2 , P 2
-
0 E1 01 01
D
;
E2
0 2
0 0 2
0
n1
1 1 P e1 0 1 n1 P 1 (1 1) 0 E1 1
由高斯定理可得，球壳内表面S2 上的总电量为
q q

U S2
dq q q 4 π 0 R2 4 π 0 R2 4 π 0 (2 R1 ) q
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设球壳外表面S3上的总电量为
Q
dq 则有 U S3 4 π 0 R3 Q Q Q 4 π 0 R3 4 π 0 (3R1 )
d t
t 0
t 0
d

I、当t 0时，C im
0S
d
II、当t d时，C im
C1
0S
d t

此题也可看作是两个电容器串联而成，其中
0S
d1
C2
0S
d2
d1 d 2 d t
于是
0S 0S C1C2 C C1 C2 d1 d 2 d t
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故长为 L 一段电容为
Q L π 0 L C U U ln d a C π0 单位长度电容为 L ln d a
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例3 如图，一导体球原为中性，今在距离球心为 r0 处放一 电量为 q 的点电荷，试求：
和电势U ； (1) 球上的感应电荷在球内P点上的场强 E P P
d 21 d1 2
1 2 0S C U d 21 d1 2
0S
1 2 0
0
(1)电容C
C1
C2
01
d1
0 2
d2
C1 1 , d1
0
+
S
0
C2 2 , d 2
D, E, P
-
1 2 0S C 1 1 d 21 d1 2
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q 1 1 UO ( ) 4 π 0 R1 R2
两者之间的电势差就等于球体 的电势。因此
R3
q
R2 R1
d
Q
q
q 1 1 q Q q q Q ( ) ( ) 4 π 0 R1 2 R1 4 π 0 4 R1 R1 2 R1 3R1
3 Q Q 解得 4 3 则球壳带的总电量为 Q q Q q 4