阶跃信号和冲激信号

t0 0
(t
t0
)
0 1
t t0, t t0
t0 0
(t) 1
O
t
(t t0 ) 1
O
t0
t
(t t0 ) 1
t0 O
t
阶跃信号的重要意义:方便地表达各种复杂信号
3．常用信号的表示
(1)门函数：也称窗函数或矩形脉冲
f t gτt
1
g
t
t
2
t
2
O t
2
2
如幅值为5，宽度为2单位幅值中心在t=3的门函
数在取0极限时，都可以认为是冲激函数。
(t)
lim
0
p(t)
lim
0
1
t
2
t
2
(t)
(t t0 )
时移
(1)
(1)
o
t
o
t0
t
(t)和 (t)的关系:
(t) (t)
t
(t) ( )d
2.冲激偶函数（书上没有）
定义:单位冲激函数的微分:
(t) d (t)
dt
(n)(t t0 ) d t
(1)n
f
(n) (t0 )
例题
例 (题t) f1(－t)d3－t 1f (0)
f (t) (t) d t f (0)
1.计 算 ： (2t sin 2t) (t)dt
2.练 习 ：
[2t 2 cos (t 1)] (t 2)dt
3
2 1
2 (t) sin 2t dt
t
－1 0
2
3.已 知 信 号f (t)波 形 ， 画 出 信 号y(t) df (t) 并 写 出 表 达 式 dt
并 思 考 ：y( t )的 波 形 和 表 达 式 。 2
第四组:
2)尺度变换性
(at) 1 (t)
a
f (t) (at)dt 1 f (0)
a
(t) (t) (t) (t) (n) (t) (1)(n) (n) (t)
t
(t) (x)dx
(t)
(∞)
t
O
(-∞)
在t=0处有一对正负冲激函数,强度均为无穷大 注意:冲激偶函数并不表明它是偶函数,实际它是奇函数
冲激偶函数图象
由三角函数的导数求极限方法说明
ss((tt))
1 1
脉冲面积 始终为1
oo 0 tt 0
(t)
(1)
O
(t)dt 1
p(at)面积为 1 ， at 强度为 a
1 a
0时,
p(t) (t),
p(at) (at) 1 (t)
a
用两边与f(t)的乘积的积分值相等证明， 分a>0 、a<0两种情况
(1) a 0, 令at
(at) f (t)dt
f
d
1
f (0)
a a a
而 1 (t) f (t)dt 1 f (0)
)
二．单位冲激信号
1.定义： (t) (Dirac)函数
(t)dt 1
(t) 0
t 0
(t) d t
0 (t) d t 1
0
(Baidu Nhomakorabea)
➢ 函数值只在t = 0时不为零；
(1)
➢ 强度(即积分面积)为1；
o
t
➢ t =0 时， t ，为无界的连续函数。
➢ 表示一类发生时间很短,而作用强度很大的
f (t) (t t 0) f (t0 ) (t t0 )
(t t0 ) f (t)d t f (t0 )
(t
)
证f (t)明d t
f (0)
t 0 (t) 0 , f (t) (t) 0
积分结果为0 (注意：仅当t0时)
t 0 t 0 , f t t f 0 t (注意：仅当t0时)
有强度为 1 的n个冲激信号组成的序列 f (ti )
例题计算： (9t 2 1)
(4t 2 1)dt
三.总结：r(t), (t), (t), (t) 之间的关系
r(t)
(t )
1 1
O1
t
O
r(t) 求↓ ↑
ε(t) 导↓ ↑
(t)
↓↑ δ'(t)
(t)
(t )
(∞)
(1)
t
t
O
t
(-∞)
3） 奇偶性：
(t) (t) (t) (t) (n) (t) (1)(n) (n) (t)
由第四组a=-1得来 由第五组a=-1得来
结论: 冲激函数为偶函数 冲激偶函数为奇函数
n为偶数时, (n) (t) 为偶函数, n为奇数时, (n) (t) 为奇函数
例题
例题1－3－2
1.计 算 ： (2 cos3t) ( t )dt
第三节 阶跃信号和冲激信号
函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分 有不连续点的一类函数,统称为奇异信号或奇异函 数。
主要内容： •单位阶跃信号 •单位冲激信号
是两种特殊的连续信号,是实际信号或物 理现象抽象出来的理想化信号模型.
一．单位斜变信号
1． 定义
r(t)
0 t
t0 t0
2．延迟的单位斜变信号
a
a
两边相等
at 1 t
a
(2) a 0, 令 a t
t :
:
( a t ) f (t )dt
(
)
f
1 a
d
1 a
1 a
(
) f
1 a
d
1 a
f (0)
而 1 (t) f (t)dt 1 f (0)
a
a
at 1 t
a
例题
第七组:
物理现象,由此抽象出来的理想化连续信号.
由门函数求极限定义冲激函数
p(t)
1
g
(t)
1
t
2
t
2
p(t )
1
0过程中
O
面积始终为1；脉宽↓ 脉冲高度↑； 2
t
2
则窄脉冲集中于 t=0 处。 ★面积为1
p(t) 1
三个特点： ★宽度为0
t
★ 幅度无0 穷
t0 t0
对三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函
f (t) (t)d t f (0)
a （4）微积分性质
注:积分 上下限
f (t) (t) f (0) (t) f (0) (t)
（6）卷积性质
(t) d (t)
dt
t
( )d
(t)
f t t f t
t
ss((tt))
1
矩形脉冲面积
12
趋于无穷大
2
O1O 2
tt
1 2
(t)
(∞) (t)dt 0 t
O
(-∞)
3.冲激函数的性质（重点）
为了信号分析的方便，人们从实际物理现象中抽象出了
t 函数，它属于广义函数。就时间 t 而言， t 可以当作
时域连续信号处理，因为它符合时域连续信号运算的某些规
则。但由于 t 是一个广义函数，它有一些特殊的性质。
1)．抽样性 2)．尺度变换 3)．奇偶性
1）抽样性(筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
第一组: (t) f (t) f (0) (t)
f (t)
f (0)
(t) f (t)d t f (0)
(1)
对于移位情况：
t o
2. f (t) (n)(t) d t (1)n f (n) (0)
由 f (t) (t) f (t) (t) f (t) (t)
证明2:
f (0) (t) f (0) (t) f (t) (t)
f (0) (t) f (0) (t) f (t) (t)
f (0) (t) f (0) (t) f (t) (t)
1
1
t0
(t=0时为0)
t0
O
t
思考：有几种解析表示形式？
sgn( t) (t) (t) (t) 1 (t) 2 (t) 1
(t) 1[sgn(t) 1]
f (t)
2
(3)三角形脉冲
f
(t)
K
t
0t
K
0
其它 O
t
f
(t)
k
t[ (t) (t
)]
k
tg
(t
)
2
k
t (t) (t
0 r(t t0 ) t t0
t t0 t t0
由宗量t -t0=0 可知起始点为 t0
r(t) 1
O1
t
r(t t0 ) 1
O t0 t0 1 t
二．单位阶跃信号
1. 定义
(t
)
0 1
t 0 t 0点无定义或1
t 0
2
2. 延迟的单位阶跃信号
0
(t t0 ) 1
t t0, t t0
2
2.练 习 ：
t [2 cos3t) ( t )dt
2
2(t 3 4) (1 t)dt
*4)复合函数形式的冲激信号（了解）
形式 : f (t)
设f (t) 0有n个互不相等的实根ti (i 1,2, n)
则:
n
f (t)
ti 1
f
1 (ti )
(t
ti
)
说明: f (t)表明在位于各个ti处,
O
积
积分上下限是
分
﹣∞～ｔ
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
（5）冲激偶
f (t) (t) f (0) (t)
(t) (t)
f (t) (t)d t f (0)
(t)d t 0
（2）奇偶性 (t) (t)
t
(t)d t (t)
（3）尺度变换
(at) 1 t
第五组: (at) 1 1 (t)
aa
(n) (at )
1 a
1 an
(n) (t )
*第六组:
(at
t0 )
a(t
t0 a
)
1 (t t0 )
a
a
对冲激函数尺度变换说明(自学）
从 (t)定义看：
pt
1
α﹥1
pat
1
压缩1/ α
O
2
t
2
O
t
2a
2a
a
p(t)面积为1， 0时p(t) t强度为1
右移位情况:
由基本公式：f (t) (t) f (0) (t) f (0) (t)
将基本公式中0换为t0
第三组: 1. f (t) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
2. f (t) (t t0 ) d t f (t0 )
3.
f (t)
积分为 0 f (0) (t)dt f (0) 0 (t)dt f (0)
0
0
即
(t) f (t)dt f (0)
思考：如
冲激偶函数的性质 何证明？
第二组 1. f (t) (t) f (0) (t) f (0) (t)
证明1:
1. f (t) (t) d t f (0)
数表示为 5g2t 3 5[ t 2 t 4]
f
(t)
cos
2
t
(t
2)
(t
5)
cos
2
t
g3 (t
3.5)
思考：g (t
)
2
?
(t) (t
)
f (t)g (t 信t号0 )表示门内的函数部分。
结论:阶跃信号可用于限定任意函数的定义域
(2)符号函数(Signum)（书上没有）
sgnt
sgn( t )