2020届高中数学：指数型函数模型

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1. 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到原面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到2017年为止，森林剩余面积为原来的22

. (1)求每年砍伐面积的百分比；

(2)到2017年为止，该森林已砍伐了多少年？

(3)从2017年起，还能砍伐多少年？

解：(1)设每年降低的百分比为x (0＜x ＜1)，

则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12

， 解得x ＝1－⎝⎛⎭⎫12110.

(2)设经过m 年剩余面积为原来的22

， 则a (1－x )m ＝22

a ，即⎝⎛⎭⎫12m 10＝⎝⎛⎭⎫1212， 即m 10＝12

，解得m ＝5. 故到2017年为止，该森林已砍伐了5年．

(3)设从2017年起还能砍伐n 年，

则n 年后剩余面积为22

a (1－x )n . 令2a 2(1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， 所以⎝⎛⎭⎫12n 10≥⎝⎛⎭⎫1232，解得n ≤15.

故从2017年起还能砍伐15年．

【点拨】此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型y ＝N (1＋p )x (其中N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型y ＝a (1＋x )n (其中a 为基础数，x 为增长率，n 为时间)的形式表示．解题时，往往用到对数运算．

2. 已知某工厂生产某种产品的月产量y (单位：万件)与月份x 之间满足关系y ＝a ·0.5x ＋b ，现已知该产品1月、2月的产量分别为1万件、1.5万件，则该产品3月份的产量为________万件．

解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧0.5a ＋b ＝1，（0.5）2a ＋b ＝1.5， 解得⎩

⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2， 故当x ＝3时，y ＝－2×0.53＋2＝1.75.故填1.75.