数学分析中辅助函数的构造及其作用

数学分析中辅助函数的构造及其作用

作者：杨云苏

来源：《课程教育研究·中》2013年第10期

【摘要】本文主要论述了在数学分析中如何构造辅助函数及辅助函数在数学分析中的应用，从而有助于提高学生分析问题与解决问题的能力。

【关键词】辅助函数构造应用

【基金项目】江西省教育厅（JXJG-12-15-11）。

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）10-0158-02

在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析，综合运用数学基本概念和原理，经过深入的思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造函数法。

构造函数的方法内涵十分丰富，没有固定的模式和方法，构造过程充分体现出了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归等思想。使用构造函数法是一种创造性的思维活动，一般无章可循，它要求既要有深厚坚实的基础知识背景，又要有丰富的想象力和敏锐的洞察力，针对问题的具体特点而采用相应的构造方法，常可使论证过程简洁明了。

1.数学分析中如何构造辅助函数

1.1 辅助函数的基本特点

a.辅助函数题设中没有，结论中也不存在，构造辅助函数仅是解题的一个中间过程，类似于平面几何中的辅助线，起辅助解题的作用，如我们熟悉的拉格朗日中值定理、柯西中值定理的证明。

b.同一个命题可构造不同的辅助函数用于解题（不唯一）。

c.表面上看构造辅助函数的思路较宽广（因为不止一个），实质上，不同的辅助函数直接关系到解题的难易（可比较性），因此，构造最恰当的辅助函数是解题的关键。

1.2 构造辅助函数的基本方法

1.2.1 联想分析

要构造一个与所学结果有关的辅助函数，而后再运用已知条件及有关概念，推理得出所要证明的结果，通常是先从一个愿望出发，联想起某种曾经用过的方法、手段、而后借助于这些方法、手段去接近目标，或者再从这些方法和手段出发又去联想别的通向目标的方法和手段，这样继续下去，直至达到我们能力所及的起点或把问题归结到一个明显成立的结论为止，因此，联想是我们构造辅助函数的关键。

例1 已知x>0，证明x-■x2

这是一个含有变量不等式的证明，可以考虑通过移项将不等式化为大于0（或小于0）的形式，然后直接构造辅助函数F（x）通过F′（x）在（a，b）上恒正（或负），知F（x）>F （a）（或F（x）F（x′）（或F（x）

1.2.2 对比分析

运用所学过的相关知识如定积分的定义；定积分计算中的矩形法、梯形法等，结合具体问题进行分析对比，构造辅助函数。

例2 ■[■+■+…+■]。

这是一个和式的极限，该和式又不能直接求和化简，因而一般方法行不通，由定积分定义求和，定积分也是一个和式的极限，我们将和式的极限与定积分的定义式进行对比：

■f（x）dx=■■f（ξ）△xi

■[■+■+…+■]=■■■

=■■■·■

对比后之后我们不难发现需要构造的辅助函数为f（x）=■，[0，1]

解：

■[■+■+…+■]

=■■■=■■■·■=■■dx=ln（1+x）|■■=ln2

1.2.3 综合分析

有些命题通过分析，解题中确需构造辅助函数，但上述两种方法都无从下手，这时就需要逆推分析或双推分析（指由条件和结论同时进行推理分析，以期得出某个相同的中间命题），先得出要构造的辅助函数的一些特征（性质），然后再根据这些性质构造辅助函数，即使较为复杂的问题，同样也能构造出恰当的辅助函数。

例3 设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导（0

此结论中涉及两点，因此需要应用微分中值定理，且只用拉格朗日中值定理还不够，还需要用柯西中值定理，为此只有一个函数f（x）还不行，还需再构造一个函数g（x），假设g （x）已确定，且满足柯西中值定理的条件，则（a，b）在上至少存在一点η，使得

■=■ （1）

又因为f（x）在[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件，所以在（a，b）上至少存在一点ξ，使得

f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）（2）

由（1），（2）知：

f′（ξ）=■f′（η），ξ，η∈（a，b）

这与欲证结论进行对照不难发现需构造的函数g（x）需具有如下性质：

g′（x）=x，g（a）=0，g（b）=■（或g（b）-g（a）=■）

如果对变上限的积分较熟悉，自然就会想到：g（x）=■tdt，x∈[a，b]

证：设辅助函数g（x）=■tdt，x∈[a，b]

则g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导，且g′（x）=x≠0，g（b）-g（a）=■（b2-a2）

由柯西中值定理知：？埚η∈（a，b），使得■=■=■

所以η（f（b）-f（a））=f′（η）·（g（b）-g（a））=f′（η）·■（b2-a2）

又因为f（x）在[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件，

所以？埚ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）

代入上式得η·f′（ξ）·（b-a）=f′（η）·■（b2-a2），故f′（ξ）=■f′（η）。

总之，辅助函数离不开分析，推理和联想，恰当的构思、巧妙的假设、充分的推理论证是每个研究数学分析的人们所不可缺少的数学修养和素质。

2.构造辅助函数在数学分析中几个方面的应用

2.1 辅助函数在讨论根的存在性问题中的应用

例4 证明：设函数f（x）在[0，2a]上连续，且f（0）=f（2a），则在[0，a]上至少有一点，使f（x）=f（x+a）。

证：令F（x）=f（x）-f（x+a），则因为f（x）在[0，2a]上连续，f（x+a）在[0，a]上连续，所以f（x）在[0，a]上连续。

由于F（0）=f（0）-f（a），

F（a）=f（a）-f（2a）=-[f（0）-f（a）]，

故若f（0）-f（a）=0，则f（a）=f（0）=f（2a），即当x=a时，有f（x）=f（x+a）。

若f（0）-f（a）≠0，则F（0）F（a）

2.2 辅助函数在应用微分中值定理证题中的应用

微分中值定理主要是指三大微分中值定理，即罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。解决这类相关命题的问题，构造恰当的辅助函数是关键。在前面综合分析中的例3，我们已经利用构造辅助函数解决了一些微分中值定理相关的命题。

2.3 辅助函数在不等式证明中的应用

在不等式证明的问题中，构造恰当的辅助函数是关键，可以将不等式通过恒等变形，将结论转化为容易消除导数符号的形式。

作辅助函数的目的是化未知为已知、化难为易、化繁为简。在数学分析的教学过程中，有意识地培养学生掌握构造法并且能够运用构造函数法来解决问题，有助于他们加深和概括所学知识、拓宽视野、培养学生良好的逻辑思维能力。

参考文献：

[1]孙清华等. 工程数学分析习题与例题解析[M]. 武汉：华中科技大学出版社，2002.

[2]陈国干. 高等数学中如何构造辅助函数[J]. 江苏广播电视大学学报，1996，10（2）：27-28.

[3]王建平等. 构造辅助函数在高等数学中的应用[J]. 河南教育学院学报（自然科学版），2004，13（1）：17-19.

[4]郭乔.如何作辅助函数解题[J].西安：高等数学研究，2002，3（5）：48-49.