最新2011-卓越联盟自主招生数学试题及答案(精校版+完整版)

2011年卓越联盟自主招生数学试题
(1)向量a ，b 均为非零向量，(a -2b )⊥a ，(b -2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为 (A )6
π
(B )
3
π
(C )
23
π (D )
56
π
(2)已知sin2(α+γ)=n sin2β，则
tan()
tan()
αβγαβγ++-+
(A )
11
n n -+
(B )
1
n n +
(C )
1
n n - (D )
1
1
n n +-
(3)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AA 1的中点，F 是棱A 1B 1上的点，且A 1F ：FB 1=1：3，则异面直线EF 与BC 1所成角的正弦值为
(A
(B
(C (D
(4)i 为虚数单位，设复数z 满足|z |=1，则222
1z z z i
-+-+的最大值为
(A
(B
(C (D
(5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，△ABC 三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 边所在直线的方程为4x +y -20=0，则抛物线方程为
(A )y 2
=16x
(B )y 2
=8x
(C )y 2
=-16x (D )y 2
=-8x
(6)在三棱锥ABC —A 1B 1C 1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E 为CC 1的中点，则点C 1到平面AB 1E 的距离为
(A
(B
(C )
2
(D )
2
(7)若关于x 的方程||4
x x +=kx 2
有四个不同的实数解，则k 的取值范围为( ) (A )(0，1)
(B )(14，1)
(C )(14
，+∞) (D )(1，+∞)
(8)如图，△ABC内接于⊙O，过BC中点D作平行于AC的直线l，l交AB
于E，交⊙O于G、F，交⊙O在A点的切线于P，若PE=3，ED=2，EF=3，
则PA的长为
(A(B
(C(D
(9)数列{a n}共有11项，a1=0，a11=4，且|a k+1-a k|=1，k=1，2，…，10．满足这种条件的不同数列的个数为( )
(A)100(B)120(C)140(D)160
(10)设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为2
7
π
的旋转，τ表示坐标平面关于y轴的镜面
反射．用τσ表示变换的复合，先做τ，再做σ，用σk表示连续k次的变换，则στσ2τσ3τσ4是( ) (A)σ4 (B)σ5 (C)σ2τ(D)τσ2
(11)设数列{a n}满足a1=a，a2=b，2a n+2=a n+1+a n．
(Ⅰ)设b n=a n+1-a n，证明：若a≠b，则{b n}是等比数列；
(Ⅱ)若lim
n→∞
(a1+a2+…+a n)=4，求a，b的值．
(12)在△ABC中，AB=2AC，AD是A的角平分线，且AD=kAC．
(Ⅰ)求k的取值范围；
(Ⅱ)若S△ABC=1，问k为何值时，BC最短？
(13)已知椭圆的两个焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线y=x相切．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值．
(14)一袋中有a个白球和b个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为X n．
(Ⅰ)求EX1；
(Ⅱ)设P(X n=a+k)=p k，求P(X n+1=a+k)，k=0，1，…，b；
(Ⅲ)证明：EX n+1=(1-
1
a b
+
)EX n+1．
(15)(Ⅰ)设f(x)=x ln x，求f′(x)；
(Ⅱ)设0<a<b，求常数C，使得
1
|ln|
b
a
x C dx
b a
-
-
⎰取得最小值；
(Ⅲ)记(Ⅱ)中的最小值为m a,b，证明：m a,b<ln2．
2012年卓越联盟自主招生数学试题
2013年卓越联盟自主招生数学试题
一、选择题：（本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的4个结论中，只有一项是符合题目要求的．） （1）已知()f x 是定义在实数集上的偶函数，且在(0,)+∞上递增，则
（A ）0.72(2)(log 5)(3)f f f <-<- (B) 0.7
2(3)(2)(log 5)f f f -<<- (C) 0.72(3)(log 5)(2)f f f -<-< (D) 0.7
2(2)(3)(log 5)f f f <-<-
（2）已知函数()sin()(0,0)2
f x x π
ωϕωϕ=+><<的图象经过点(,0)6
B π
-
，且()f x 的
相邻两个零点的距离为
2
π
，为得到()y f x =的图象，可将sin y x =图象上所有点 （A ）先向右平移3
π
个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变
(B) 先向左平移3
π
个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变
(C) 先向左平移3π
个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
(D) 先向右平移3
π
个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
（3）如图，在,,,,A B C D E 五个区域中栽种3种植物，要求同一区域中只种1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为
（A ）21 (B)24 (C)30 ( D)48
(4)设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R ∈，有
2()()f x f x x -+=，且在(0,)+∞上()f x x '>．若
(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为
（A ）[1,)+∞ (B) (,1]-∞ (C) (,2]-∞ (D) [2,)+∞
二、填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
（5）已知抛物线2
2(0)y px p =>的焦点是双曲线22
18x y p
-=的一个焦点，则双曲线的渐 近线方程为 ．
（6）设点O 在ABC ∆的内部，点D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，且21OD DE +=， 则23OA OB OC ++= ．
（7）设曲线y 与x 轴所围成的区域为D ，向区域D 内随机投一点，则该点落 入区域22{(,)2}x y D x y ∈+<内的概率为 ．
(8)如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD 与OE 垂直，垂足是D ，割线EC 交圆O 于,B C ，且
,O D C D B C αβ∠=∠=，则OEC ∠= （用,αβ表示）
．
三、解答题（本大题共4小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （9）（本小题满分13分）
在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ．
已知()(sin sin )()sin a c A C a b B -+=-．
（1）求角C 的大小； （2）求sin sin A B ⋅的最大值．
（10）（本题满分13分）
设椭圆2221(2)4
x y a a +=>的离心率为3，斜率为k 的直线l 过点(0,1)E 且与椭圆交于
,C D 两点．
（1）求椭圆方程；（2）若直线l 与x 轴相交于点G ，且GC DE =，求k 的值； （3）设A 为椭圆的下顶点，AC k 、AD k 分别为直线AC 、AD 的斜率，证明对任意的k 恒 有2AC AD k k ⋅=-．
（11）（本题满分15分）
设0x >，（1）证明：2
112
x
e x x >++； （2）若2112
x
y
e x x e =++，证明：0y x <<．
（12）（本题满分15分）
已知数列{}n a 中，13a =，2*
1,,n n n a a na n N R αα+=-+∈∈．
（1）若2n a n ≥对*
n N ∀∈都成立，求α的取值范围；
（2）当2α=-时，证明*1211
1
2()22
2
n n N a a a +++
<∈---．
2013大学自主招生模拟试题一
一.选择题
1． 把圆x 2+(y －1)2=1与椭圆9x 2+(y +1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为( ) (A )线段 (B )不等边三角形 (C )等边三角形 (D )四边形
2． 等比数列{a n }的首项a 1=1536,公比q=－1
2,用πn 表示它的前n 项之积。

则πn (n ∈N *)最大的
是( )
(A )π9 (B )π11 (C )π12 (D )π13 3． 存在整数n,使p +n +n 是整数的质数p ( ) (A )不存在 (B )只有一个 (C )多于一个,但为有限个 (D )有无穷多个
4． 设x ∈(－1
2，0),以下三个数α1=cos(sin xπ),α2=sin(cos xπ),α3=cos(x +1)π的大小关系是( )
(A )α3<α2<α1 (B )α1<α3<α2 (C )α3<α1<α2 (D )α2<α3<α1
5． 如果在区间[1,2]上函数f (x )=x 2+px +q 与g (x )=x +1
x 2在同一点取相同的最小值，那么f (x )在该
区间上的最大值是( )
(A ) 4+11232+34 (B ) 4－5232+3
4
(C ) 1－12
32+3
4 (D )以上答案都不对
6． 高为8的圆台内有一个半径为2 的球O 1，球心O 1在圆台的轴上，球O 1与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个半径为3的球O 2，使得球O 2与球O 1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球O 2，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是( ) (A ) 1 (B ) 2 (C ) 3 (D ) 4
二.填空题
1． 集合{x |－1≤log 1x
10<－1
2
，x ∈N *}的真子集的个数是 ．
2． 复平面上，非零复数z 1，z 2在以i 为圆心，1为半径的圆上，_
z 1·z 2的实部为零，z 1的辐角主值为π
6
，则z 2=_______．
3． 曲线C 的极坐标方程是ρ=1+cos θ，点A 的极坐标是(2,0)，曲线C 在它所在的平面内绕A 旋转一周，则它扫过的图形的面积是_______．
4． 已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是________．
5． 从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每 面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。

则不同的染色方法共有_______种．(注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同．)
6． 在直角坐标平面，以(199,0)为圆心，199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为________．
2013大学自主招生模拟试题二
一.选择题
1． 设等差数列{a n }满足3a 8=5a 13且a 1>0，S n 为其前项之和，则S n 中最大的是( ) (A )S 10 (B )S 11 (C )S 20 (D ) S 21
2． 设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z 1，Z 2，…，Z 20，则复数Z 1995
1 ，Z 1995
2 ，…，Z 1995
20 所对应的不同的点的个数是( )
(A )4 (B )5 (C )10 (D )20
3． 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) (A )1个 (B )2个 (C )50个 (D )100个
4． 已知方程|x －2n |=k x (n ∈N *)在区间(2n －1，2n +1]上有两个不相等的实根，则k 的取值范围是( )
(A )k >0 (B )0<k ≤1
2n +1
(C )12n +1<k ≤1
2n +1 (D )以上都不是
5． log sin1cos1，log sin1tan1，log cos1sin1，log cos1tan1的大小关系是 (A ) log sin1cos1< log cos1sin1< log sin1tan1< log cos1tan1 (B ) log cos1sin1< log cos1tan1< log sin1cos1< log sin1tan1 (C ) log sin1tan1< log cos1tan1< log cos1sin1< log sin1cos1 (D ) log cos1tan1< log sin1tan1< log sin1cos1< log cos1sin1 6． 设O 是正三棱锥P —ABC 底面三角形ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于S ，与P A ，PB 的延长线分别交于Q ，R ，则和式1PQ +1PR +1PS
(A )有最大值而无最小值 (B 有最小值而无最大值
(C )既有最大值又有最小值，两者不等 (D )是一个与面QPS 无关的常数
二.填空题
1． 设α，β为一对共轭复数，若|α－β|=23，且α
β
2为实数，则|α|= ．
2． 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 ．
3． 用[x ]表示不大于实数x 的最大整数， 方程lg 2x －[lg x ]－2=0的实根个数是 ．
4． 直角坐标平面上，满足不等式组⎩⎨⎧y ≤3x ，
y ≥x 3， x +y ≤100
的整点个数是 ．
5． 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是 ．
6． 设M={1，2，3，…，1995}，A 是M 的子集且满足条件：当x ∈A 时，15x ∉A ，则A 中元素的个数最多是 ．
三.解答题
1.给定曲线族2(2sinθ－cosθ+3)x2－(8sinθ+cosθ+1)y=0，θ为参数，求该曲线在直线y=2x上所截得的弦长的最大值．
2.求一切实数p，使得三次方程5x3－5(p+1)x2+(71p－1)x+1=66p的三个根均为正整数．
3.如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证：MQ∥NP．
4.将平面上的每个点都以红，蓝两色之一着色。

证明：存在这样两个相似的三角形，它们的相似比为1995，并且每一个三角形的三个顶点同色．
2013大学自主招生模拟试题三
一.选择题
1．对于每个自然数n ，抛物线y=(n 2+n )x 2
-(2n +1)x +1与x 轴交于A n ，B n 两点，以|A n B n |表示该两点的距离，则|A 1B 1|+|A 2B 2|+ +|A 1992B 1992|的值是( )
(A )19911992 (B ) 19921993 (C ) 19911993 (D ) 1993
1992
2．已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是( )
(A )(x +1－y 2
)(y +1－x 2
)=0 (B )(x -1－y 2
)(y -1－x 2
)=0
(C )(x +1－y 2)(y -1－x 2)=0 (D )(x -1－y 2)(y +1－x 2
)=0
3．设四面体四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，它们的最大值为S ，记
λ=(4
Σi=1
S i )/S ，则λ一定满足( )
(A )2<λ≤4 (B )3<λ<4 (C )2.5<λ≤4.5 (D )3.5<λ<5.5
4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别记为a ，b ，c (b ≠1)，且C A ，sin B
sin A
都是方程log b x=log b (4x
－4)的根，则△ABC ( )
(A )是等腰三角形，但不是直角三角形 (B )是直角三角形，但不是等腰三角形 (C )是等腰直角三角形 (D )不是等腰三角形，也不是直角三角形
5．设复数z 1，z 2在复平面上对应的点分别为A ，B ，且|z 1|=4，4z 12-2z 1z 2+z 22
=0，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )
(A )8 3 (B )4 3 (C )6 3 (D )12 3
6．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，且满足下列关系f (10+x )=f (10-x )， f (20-x )=-f (20+x )，则f (x )是
(A )偶函数，又是周期函数 (B )偶函数，但不是周期函数 (C )奇函数，又是周期函数 (D )奇函数，但不是周期函数
二.填空题
1．设x ，y ，z 是实数，3x ，4y ，5z 成等比数列，且1x ，1y ，1z 成等差数列，则
x z +z
x
的值是______．
2．在区间[0，π]中，三角方程cos7x=cos5x 的解的个数是______．
3．从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k 的最大值是_____．
4．设z 1，z 2都是复数，且|z 1|=3，|z 2|=5|z 1+z 2|=7，则arg(z 2z 1
)3
的值是______．
5．设数列a 1，a 2， ，a n ， 满足a 1=a 2=1，a 3=2，且对任何自然数n ， 都有a n a n +1a n +2≠1，又a n a n +1a n +2a n +3=a n +a n +1+a n +2+a n +3，则a 1+a 2+ +a 100的值是____．
6．函数f (x )= x 4
－3x 2
－6x +13－x 4
－x 2
+1的最大值是_____．
三.求证：16<4Σi=1
1
k <17．
四.设l ，m 是两条异面直线，在l 上有A ，B ，C 三点，且AB=BC ，过A ，B ，C 分别作m 的垂线AD ，BE ，CF ，垂足依次是D ，E ，F ，已知AD=15，BE=7
2CF=10，求l 与m 的距离．
五.设n 是自然数，f n (x )= x n +1－x －n －1x －x －1(x ≠0，±1)，令y=x +1
x
．
1.求证:f n+1(x )=yf n (x )-f n-1(x )，(n>1)
2.用数学归纳法证明： f n (x )=
⎩⎪⎨⎪
⎧y n
－C 1n －1
y n －2
+…+(－1)i
C i
n －i
y n －2i
+…+(－1)n
2，(i=1，2，…， n
2，n 为偶数) y n
－C 1
n －1
y n －2+…+(－1)i
C i n －i
+…+(－1)n －12C n －12n +12
y ，(i=1，2，…，n －1
2，n 为奇数)
华南理工大学2009年自主招生选拔试题
一．选择题
1）已知复数00z x i =+，且()2
0x i +的幅角主值是2
π
，则满足02z z -=z 的幅角主值的取值范围是（ ） A 、5,1212ππ⎛⎫
⎪⎝⎭ B 、,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C 、37,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、59,1212ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
2）0b >是函数()2f x x bx c =++在[0,)+∞单调的（ ） A 、充分而不必要条件
B 、必要而不充分条件
C 、充分必要条件
D 、既不充分也不必要条件
3）已知,a b R ∈，2
2
26a b +=，则a b +的最小值为（ ）
A 、-
B 、
C 、3-
D 、7
2
- 4）在()()
()221
111n
n n
n x x x x x -++++
++的展开式中，n x 的系数为（ ）
A 、
()()21!!1!n n n ++ B 、()2n+1!n!n! C 、()2n+2!!!n n D 、()()22!!1!
n n n ++ 5）已知圆2
2
2
:O x y r +=，点(),,0P a b ab ≠是圆O 内一点。

过点P 的圆O 的最短的弦在直线1l 上，直线2l 的方程为2
bx ay r -=，那么（ ） A 、12//l l ，且2l 与圆O 相交 B 、12l l ⊥，且2l 与圆O 相切 C 、12//l l ，且2l 与圆O 相离 D 、12l l ⊥，且2l 与圆O 相离
6）已知02
x π
≤≤
，函数()2
cos cos 1f x x x x =++的值域为（ ）
A 、[]3,1-
B 、[]3,2-
C 、[]1,3-
D 、[]2,3-
7）在三角形ABC 中，向量,38,4a AB AC b AB AC BC c CB BA =+=++=+，则下列结论一定成立的是（ ）
A 、向量a c +一定与向量b 平行
B 、向量b c +一定与向量a 平行
C 、向量a b +一定与向量c 平行
D 、向量a b -一定与向量c 平行
8）已知c 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的半焦距，则22b c
a
+的取值范围是（ ）
A 、1,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
B 、1(,1]2 C
、1(,
2 D
、1(
,2 二.填空题
9）已知,,,A B C D
是某球面上不共面的四点，且AB BC AD ===
2BD AC ==，
BC AD ⊥，则此球的表面积等于 。

10）已知双曲线()0,0122
22>>=-b a b
y a x 右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线分别交于
Q P ,两点。

若PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率=e。

11）已知函数()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且满足()31f =，
()()(),0,0f xy f x f y x y =+>>，则不等式()()33f x f x +-≤的解集
为 。

12）已知22102660x x y x y x y ⎧≥⎪
-≤⎨⎪+--+≤⎩
，则2x y +的最大值为 。

13）甲、乙两人下围棋，下三盘棋，甲平均能赢二盘，某日，甲、乙进行五打三胜制比赛，那么甲胜出的概率为 。

三．设三角形ABC 三个顶点的坐标分别为()()2,1,1,2A B -，()3,1C - ,D E 分别为,AB BC 上的点，M 是DE 上一点，且BE AD DM
BC AB DE
==
1）求点M 的横坐标的取值范围； 2）求点M 的轨迹方程。

四．已知函数()f x 是定义在[4,)-+∞的单调增函数，要使得对于一切 的实数x 不等式(
)()2
2
cos sin
3f x b
f x b -≥--恒成立，求实数b 的取值范围。

五．如图，在正三棱锥P ABC -中，侧棱长为3，底面边长为2，E 为BC 的中点，EF PA ⊥于F 。

1）求证：EF 为异面直线PA 与BC 的公垂线； 3）求点B 到面APC 的距离。

六．已知2
2
10,10,a a b b a b +-=+-=<，设121,a a b ==， A P
C
E F
2）求异面直线PA 与BC 的距离；
()1102n n n a a a n +-+-=≥，1n n n b a a a +=-⋅
1）证明数列{}n b 是等比数列； 2）求数列{}n a 的通项；
3）设121c c ==，21n n n c c c ++=+，证明：当3n ≥时有()
()121n
n n n c a c b b ---+=。

模拟题答案 模拟一
一
1. 解：9－9(y －1)2=9－(y +1)2，⇒8y 2－20y +8=0，⇒y=2或1
2，相应的，x=0，或x=±3．
此三点连成一个正三角形．选C ．
2. 解：πn =1536n ×(－1
2)n (n －1)2 ，故π11<0，π9，π12，π13>0．作商比较：
又，π12π9=15363⨯(12)66－36>1，π13π12=1536⨯(12
)78－
66<1．故选C ．
3. 解：如果p 为奇质数，p=2k +1，则存在n=k 2(k ∈N +)，使p +n +n=2k +1．故选D ．
4. 解：α1= cos(sin|x |π)>0，α2=sin(cos|x |π)>0，α3=cos(1－|x |)π<0，排除B 、D ． ∵ sin|x |π+ cos|x |π=2sin(|x |π+π4)<π2，于是cos|x |π<π
2－sin|x |π，
∴ sin(cos|x |π)<cos(sin|x |π)，故α2<α1，选A ．
又解：取x=－14，则α1=cos 22，α2=sin 22，α3=cos 34π<0．由于π6<22<π
4，故α1>α2．
5. ：g (x )= x +1x 2=12x +12x +1
x
2≥3
3
14=3232．当且仅当12x=1x
2即x=3
2时g (x )取得最小值． ∴－p 2=32，4q －p 2
4=3232，⇒p=－232，q=32
32+3
4．
由于32－1<2－3
2．故在[1．2]上f (x )的最大值为f (2)=4－52
32+34．故选B ．
6. 解：O 2与下底距离=3，与O 1距离=2+3=5，与轴距离=4，问题转化为在以4为半径的圆周上，能放几个距离为6的点？
右图中，由sin ∠O 2HC=3/4>0．707，即∠O 2HO 3>90°，即此圆上还可再放下2个满足要求的点．故选B ．
3
3
2O 2
O 1
H O 3
O 4
H
O 2
C
二
1. 解 由已知，得1
2<log x 10≤1⇒1≤lg x <2⇒10≤x <100．故该集合有90个元素．其真子集有
290-1个．
2. 解：z 1满足|z －i |=1；argz 1=π6，得z 1=32+12i ，_z 1=cos(－π6)+i sin(－π
6
)．
设z 2的辐角为θ(0<θ<π)，则z 2=2sin θ(cos θ+i sin θ)．_z 1·z 2=2sin θ[cos(θ－π6)+i sin(θ－π
6)]，若其实
部为0，则θ－π6=π2，于是θ=2π3．z 2=－32+3
2
i ．
3. 解：只要考虑|AP |最长与最短时所在线段扫过的面积即可． 设P (1+cos θ，θ)，
则|AP |2=22+(1+cos θ)2－2·2(1+cos θ)cos θ=－3cos 2θ－2cos θ+5
=－3(cos θ+13)2+163≤163．且显然|AP |2能取遍[0，163]内的一切值，故所求面积=16
3π．
4. 解：该六面体的棱只有两种，设原正三棱锥的底面边长为2a ，侧棱为b ． 取CD 中点G ，则AG ⊥CD ，EG ⊥CD ，故∠AGE 是二面角A —CD —E 的平面角．由BD ⊥AC ，作平面BDF ⊥棱AC 交AC 于F ，则∠BFD 为二面角B —AC —D 的平面角．
AG=EG=b 2
－a 2
，BF=DF=2a b 2－a 2
b
，AE=2
b 2
－(2
3
3a )2
=2
b 2－4
3
a 2．
由cos ∠AGE=cos ∠BFD ，得2AG 2－AE 22AG 2=2BF 2－BD 2
2BF 2
．
∴ 4(b 2－4
32a 2)
b 2－a 2=4a 2b 24a 2(b 2－a 2)⇒9b 2=16a 2
，⇒b=43a ，从而b=2，2a=3． AE=2．即最远的两个顶点距离为3．
5. 解：至少3种颜色：
6种颜色全用：上面固定用某色，下面可有5种选择，其余4面有(4－1)!=6种方法，共计30种方法；
用5种颜色：上下用同色：6种方法，选4色：C 4
5(4－1)! =30；6×30÷2=90种方法；． 用4种颜色：C 2
6C 2
4=90种方法． 用3种颜色：C 36=20种方法．
∴共有230种方法．
6. 解：把圆心平移至原点，不影响问题的结果．故问题即求x 2+y 2=1992的整数解数．
2a
b
a
b
b
G
E
F
B
C
D
A
显然x 、y 一奇一偶，设x=2m ，y=2n －1．且1≤m ，n ≤99．
则得4m 2=1992－(2n －1)2=(198+2n )(200－2n )．m 2=(99+n )(100－n )≡(n －1)(－n ) (mod 4)
由于m 为正整数，m 2≡0，1 (mod 4)；(n －1)(－n )≡⎩⎨⎧0，(当n ≡0，1(mod 4)时)
2，(当n ≡2，3(mod 4)时)
二者矛盾，故只有(0，±199)，(±199，0)这4解． ∴ 共有4个．(199，±199)，(0，0)，(398，0)．
模拟二
一
1. 解：3(a +7d )=5(a +12d )，⇒d=－239a ，令a n =a －239a (n －1)≥0，a n +1= a －2
39a n <0，得n=20．选
C ．
2. 解：设z 1=cos θ+i sin θ，则z k =z 1εk －
1，其中ε=cos π10+i sin π10．ε20=1．ε15=－i ，ε10=－1，ε5=i ．
∴ z k 1995=(cos1995θ+i sin1995θ) ε1995(k －
1)= (cos1995θ+i sin1995θ)(－i )k －
1．
∴ 共有4个值．选A ．
3. 解：把身高按从高到矮排为1~100号，而规定二人比较，身高较高者体重较小，则每个人都是棒小伙子．故选D ．
4. 解：由|x －2n |≥0，故k ≥0，若k=0，可知在所给区间上只有1解．故k >0．
由图象可得，x=2n +1时，k x ≤1．即k ≤1
2n +1
．故选B ．
又解：y=(x －2n )2与线段y=k 2x (2n －1<x ≤2n +1)有两个公共点．x 2－(4n +k 2)x +4n 2=0有(2n －1，2n +1]上有两个根．故△=(4n +k 2)2－16n 2>0．且(2n －1)2－(4n +k 2)(2n －1)+4n 2>0，(2n +1)2
－(4n +k 2)(2n +1)+4n 2≥0，2n －1<2n +12k 2<2n +1．⇒ k ≤1
2n +1
． 5. 解：π4<1<π
2
，故0<cos1<sin1<1<tan1．⇒ log sin1tan1<0，
log cos1tan1<0，log sin1cos1>0，log cos1sin1>0，
设log sin1cos1=a ，则得(sin1)a =cos1<sin1，a >1；log cos1sin1=b ，
则(cos1)b =sin1>cos1，0<b <1；即log cos1sin1< log sin1cos1．
设log sin1tan1=c ，log cos1tan1=d ，则得(sin1)c =(cos1)d =tan1，(指数函数图象进行比较)，c <d ．即log sin1tan1<log cos1tan1
故选C ． 6.解：O 到面P AB 、PBC 、PCA 的距离相等．设∠APB=α，则 V PQRS =1
6d (PQ ·PR +PR ·PS +PS ·PQ )sin α．(其中d 为O 与
各侧面的距离)．
V PQRS =1
6PQ ·PR ·PS sin αsin θ．(其中θ为PS 与面PQR 的夹角)
∴ d (PQ ·PR +PR ·PS +PS ·PQ )=PQ ·PR ·PS sin θ． ∴ 1PQ +1PR +1PS =sin θ
d
为定值．故选D ． 二
1. 解：设α=x +yi ，(x ，y ∈R )，则|α－β|=2|y |．∴y=±3．
设arg α=θ，则可取θ+2θ=2π，(因为只要求|α|，故不必写出所有可能的角)．θ=2
3π，于是
x=±1．|α|=2． 2. 解：设球半径为R ，其内接圆锥的底半径为r ，高为h ，作轴截面，则r 2=h (2R －h )．
V 锥=13πr 2h=π3h 2(2R －h )=π6h ·h (4R －2h )≤π6⎝⎛⎭⎫4R 33=827·43πR 3
．
∴ 所求比为8∶27．
3. 解：令lg x=t ，则得t 2－2=[t ]．作图象，知t=－1，t=2，及1<t <2内有一解． 当1<t <2时，[t ]=1，t=3．故得：x=1
10
，x=100，x=103，即共有3个实根．
4. 解：如图，即△OAB 内部及边界上的整点．由两轴及x +y=100围成区域(包括边界)内的整点数=1+2+3+…+101=5151个．
由x 轴、y=13x ，x +y=100围成区域(不包括y=1
3x 上)内的整点数(x=1，2，3时各有1个整点，
x=4，5，6时各有2个整点，…，x=73，74，75时有25个整点，x=76，77，…，100时依
次有25，24，…，1个整点．共有3×1+3×2+…+3×25+25+24+…+1=4(1+2+…+25)=1300．由对称性，由y 轴、y=3x 、x +y=100围成的区域内也有1300个整点． ∴所求区域内共有5151－2600=2551个整点． 5. 解：顶点染色，有5种方法，
底面4个顶点，用4种颜色染，A 4
4=24种方法，用3种颜色，选 1对顶点C 1
2，这一对顶点用某种颜色染C 1
4，余下2个顶点，任选2色染，A 2
3种，共有C 12C 14A 2
3=48种方法；用2种颜色染： A 2
4=12种方法；
∴共有5(24+48+12)=420种方法． 6. 解：1995=15×133．故取出所有不是15的倍数的数，共1862个，这此数均符合要求． 在所有15的倍数的数中，152的倍数有8个，这此数又可以取出，这样共取出了1870个．即|A |≥1870．
又{k ，15k }(k=9，10，11，…，133)中的两个元素不能同时取出，故|A |≤1995-133+8=1870． 三
1. 解：以y=2x 代入曲线方程得x=0，x=8sin θ+cos θ+1
2sin θ－cos θ+3．
∴ 所求弦长l=⎪⎪⎪
⎪8sin θ+cos θ+1
2sin θ－cos θ+35．故只要求|x |的最大值即可．
由(2x －8)sin θ－(x +1)cos θ=1－3x ．⇒(2x －8)2+(x +1)2≥(1－3x )2，即x 2+16x －16≤0． 解之得，－8≤x ≤2．即|x |≤8(当sin θ=±2425，cos θ=∓7
25时即可取得最大值)．故得最大弦长
为85．
2. 解：x=1是方程的一个根．于是只要考虑二次方程 5x 2－5px +66p －1=0 的两个根为正整数即可．
设此二正整数根为u 、v ．则由韦达定理知， r
h
⎩⎪⎨⎪⎧u +v=p ①
uv=15
(66p －1) ② 消去p ，得5uv －66(u +v )=－1．同乘以5：52uv －5×66u －5×66v=－5．
∴ (5u －66)(5v －66)=662－5=4351=19×229．由于u 、v 均为整数，故5u －66、5v －66为整数．
∴ ⎩⎨⎧5u －66=1， －1， 19， －19，
5v －66=4351，－4351，229， －229．
∴ 其中使u 、v 为正整数的，只有u=17，v=59这一组值．此时p=76．
3. 分析 要证MQ ∥NP ，因AB ∥DC ，故可以考虑证明∠AMQ=∠CPN ．现∠A=∠C ，故可证ΔAMQ ∽ΔCPN ．于是要证明AM ∶AQ=CP ∶CN ． 证明 设∠ABC=2α，∠BNM=2β，∠BMN=2γ．则
由ON 平分∠ONM ，得∠ONC=∠ONM=1
2
(180︒－2β)=90︒－β；
同理，∠OMN=∠OMA=90︒－γ． 而∠CON=180︒－∠OCN －∠ONC=β+α=90︒－γ，于是ΔCON ∽ΔAMO ， ∴AM ∶AO=CO ∶CN ，即AM ·CN=AO 2．
同理，AQ ·CP=AO 2，∴AM ·CN=AQ ·CP ． ∴ΔAMQ ∽ΔCPN ，∴∠AMQ=∠CPN ． ∴MQ ∥NP ．
4. 证明：首先证明平面上一定存在三个顶点同色的直角三角形．
任取平面上的一条直线l ，则直线l 上必有两点同色．设此两点为P 、Q ，不妨设P 、Q 同着红色．过P 、Q 作 直线l 的垂线l 1、l 2，若l 1或l 2上有异于P 、Q 的点着红色，则存在红色直角三角形．若l 1、l 2上除P 、Q 外均无红色点，则在l 1上任取异于P 的两点
R 、S ，则R 、S 必着蓝色，过R 作l 1的垂线交l 2于T ，则T 必着蓝色．△RST 即为三顶点同色的直角三角形．
设直角三角形ABC 三顶点同色(∠B 为直角)．把△ABC 补成矩形ABCD (如图)．把矩形的每边都分成n 等分(n 为正奇数，n >1，本题中取n=1995)．连结对边相应分点，把矩形ABCD 分成n 2个小矩形．
AB 边上的分点共有n +1个，由于n 为奇数，故必存在其中两个相邻的分点同色，(否则任两个相邻分点异色，则可得A 、B 异色)，不妨设相邻分点E 、F 同色．考察E 、F 所在的小矩形的另两个顶点E '、F '，若E '、F '异色，则△EFE '或△DFF '为三个顶点同色的小直角三角形．若E '、F '同色，再考察以此二点为顶点而在其左边的小矩形，…．这样依次考察过去，不妨设这一行小矩形的每条竖边的两个顶点都同色．
同样，BC 边上也存在两个相邻的顶点同色，设为P 、Q ，则考察PQ
所在的小矩形，同理，若P 、Q 所在小矩形的另一横边两个顶点异色，则存在三顶点同色的小直角三角形．否则，PQ 所在列的小矩形
的每条横边两个顶点都同色．
现考察EF 所在行与PQ 所在列相交的矩形GHNM ，如上述，M 、H 都与N 同色，△MNH 为顶点同色的直角三角形．
由n=1995，故△MNH ∽△ABC ，且相似比为1995，且这两个直角三角形的顶点分别同色． 证明2：首先证明：设a 为任意正实数，存在距离为2a 的同色两点．任取一点O(设A
B D E
F
G H M N
P Q
O αβγ2
22
l l
E F C
为红色点)，以O 为圆心，2a 为半径作圆，若圆上有一个红点，则存在距离为2a 的两个红点，若圆上没有红点，则任一圆内接六边形ABCDEF 的六个顶点均为蓝色，但此六边形边长为2a ．故存在距离为2a 的两个蓝色点．
下面证明：存在边长为a ，3a ，2a 的直角三角形，其三个顶点同色．如上证，存在距离为2a 的同色两点A 、B(设为红点)，以AB 为直径作圆，并取圆内接六边形ACDBEF ，若C 、D 、E 、F 中有任一点为红色，则存在满足要求的红色三角形．若C 、D 、E 、F 为蓝色，则存在满足要求的蓝色三角形．
下面再证明本题：由上证知，存在边长为a ，3a ，2a 及1995a ，19953a ，1995⨯2a 的两个同色三角形，满足要求．
证明3：以任一点O 为圆心，a 及1995a 为半径作两个同心圆，在小圆上任取9点，必有5点同色，设为A 、B 、C 、D 、E ，作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE ，交大圆于A '，B '，C '，D '，E '，则此五点中必存在三点同色，设为A '、B '、C '．则∆ABC 与∆A 'B 'C '为满足要求的三角形．
模拟三
一
1. 解：y=((n +1)x －1)(nx －1)，∴ |A n B n |=1n －1n +1，于是|A 1B 1|+|A 2B 2|+ +|A 1992B 1992|=1992
1993，
选B ．
2. 解：(x -1－y 2
)=0表示y 轴右边的半圆，(y +1－x 2
)=0表示x 轴下方的半圆，故选D ．
3. 解： 4
Σi=1S i ≤4S ，故4
Σi=1S i ≤4，又当与最大面相对的顶点向此面无限接近时，4
Σi=1S i 接近
2S ，故选A ． 4. 解：x 2
=4x －4．根为x=2．∴ C=2A ，⇒B=180°－3A ，sin B=2sin A ．⇒sin3A=2sin A ，
⇒3－4sin 2
A=2．A=30°，C=60°，B=90°．选B ．
5. 解：2z 1z 2=cos π3±i sin π3．∴ |z 2|=8，z 1、z 2的夹角=60°．S=12·4·8·3
2=83．选A ．
6. 解：f (20－x )=f [10+(10－x )]=f [10－(10－x )]=f (x )=－f (20+x )．
∴ f (40+x )=f [20+(20+x )]=－f (20+x )=f (x )．∴ 是周期函数；
∴ f (－x )=f (40－x )=f (20+(20－x )=－f (20－(20－x ))=－f (x )．∴ 是奇函数．选C ． 二
1. 解：16y 2
=15xz ，y=2xz x +z ，⇒16·4x 2z 2=15xz (x +z )2
．由xz ≠0，得(x +z )2
xz =6415，⇒x z +
z x
=34
15
． 2. 解：7x=5x +2k π，或7x=－5x +2k π，(k ∈Z )⇒x=k π，x=1
6k π (k ∈Z )，共有7解．
3. 解：正方体共有8个顶点，若选出的k 条线两两异面，则不能共顶点，即至多可选出4条，又可以选出4条两两异面的线(如图)，故所求k 的最大值=4．
4. 解：cos ∠OZ 1Z 3=32
+52
－72
2⨯3⨯5=－1
2．即∠OZ 1Z 3==120°，
∴ arg(z 2z 1)=
π3或5π3
． A
B C
D
D'C'
B'
A'
∴ arg(z 2z 1
)3
=π．
5. 解：a n a n +1a n +2a n +3=a n +a n +1+a n +2+a n +3，a n +1a n +2a n +3a n +4=a n +1+a n +2+a n +3+a n +4， 相减，得a n a n +1a n +2(a 4－a n )=a n +4－a n ，由a n a n +1a n +2≠1，得a n +4=a n ． 又，a n a n +1a n +2a n +3=a n +a n +1+a n +2+a n +3，a 1=a 2=1，a 3=2，得a 4=4． ∴ a 1+a 2+ +a 100=25(1+1+2+4)=200．
6. 解：f (x )= (x 2
－2)2
+(x －3)2
－(x 2
－1)2
+x 2
，表示点(x ，x 2
)与点A (3，2)的距离及B (0，1)距离差的最大值．由于此二点在抛物线两侧，故过此二点的直线必与抛物线交于两点．对于抛物线上任意一点，到此二点距离之差大于|AB |=10．即所求最小值为10． 三
证明：1k =2k +k <2
k －1+k =2(k －k －1)，
同时1k >2k +1+k =2(k +1－k )．
于是得280
Σk=1(k +1－k )<80Σk=11k <1+280
Σk=1(k －k －1)
即 16<80Σk=1
1
k <1+2(80－1)<1+2(9－1)=17
四
解：过m 作平面α∥l ，作AP ⊥α于P ，AP 与l 确定平面β，β∩α=l '，l '∩m=K ． 作BQ ⊥α，CR ⊥α，垂足为Q 、R ，则Q 、R ∈l '，且AP=BQ=CR=l 与m 的
距离d ．
连PD 、QE 、RF ，则由三垂线定理之逆，知PD 、QE 、RF 都⊥m ． PD=15－d 2
，QE=
494
－d 2，RF=10－d 2
． 当D 、E 、F 在K 同侧时2QE=PD +RF ，
⇒49－4d 2
=15－d 2
+10－d 2
．解之得d= 6
当D 、E 、F 不全在K 同侧时2QE=PD －RF ，⇒49－4d 2=15－d 2－10－d 2
．无实解． ∴ l 与m 距离为6． 五
证明： ⑴ 由yf n (x )-f n －1(x )= (x + 1x )(x n +1－x －n －1)－x n +x
－n
x －x －1=x n +2－x －n －2
x －x －1=f n +1(x )．故证．
⑵ f 1(x )= x +1x ，f 2(x )=x 2+1+x －2=(x +1x
)2－1=y 2
－1．故命题对n=1，2 成立．
设对于n ≤m (m ≥2，m 为正整数)，命题成立，现证命题对于n=m +1成立． 1． 若m 为偶数，则m +1为奇数．由归纳假设知，对于n=m 及n=m －1，有
f m (x )= y m －C 1m －1
y m －2+C 2m －2
y m －4+…+(－1)i C i
m －i y m －2i +…+(－1)m
2C m
2m －
m 2
y
m －2⨯
m 2 ①
K β
P
Q
R α
l'
m l
D
E F
A
B
C
f m －1(x )= y m －1－C 1m －1y m －3+…+(－1)i －1C i －1m －i
y
m +1－2i
+…+(－1)m －2
2·C m －2
2m 2
y ②
∴ yf m (x )－f m －1(x )=y m +1－…+(－1)i
(C i
m －i +C
i －1
m －i
)y
m +1－2i
+…+(－1)m 2(C m
2m －m 2
+C m 2－1
m －
m 2
)y
= y m +1
－C
1m +1－1
y m －1+…+(－1)i C
i m －i +1
y
m +1－2i +…+(－1)m
2·C m
2m 2
+1y
即命题对n=m +1成立．
2．若m 为奇数，则m +1为偶数，由归纳假设知，对于n=m 及n=m －1，有
f m (x )= y m －1－C 1m －2y m －2+…+(－1)i ·C i
m －i y m －2i +…+(－1)m －1
2·C m －1
2m －
12
y ③ f m
－1
(x )= y
m －1
－C
1
m －2
y m
－3
+…+(－1)
i －1
C
i －1m －i
y m +1
－2i
+…+(－1)
m －1
2
C m －1
2m －
12
④
用y 乘③减去④，同上合并，并注意最后一项常数项为
－(－1)m －12C m －12m －12=－(－1)m －12C m +12m +12
=(－1)m +1
2． 于是得到yf m (x )－f m －1(x )=y m +1
－C m 1y m －1
+…+(－1)m +1
2，即仍有对于n=m +1，命题成立
综上所述，知对于一切正整数n ，命题成立．
答案：(1)A ； （2）B ； （3）C ； （4）B ． （5）y x =±； （6）2； （7）1
1π
-； （8）βα-．。