第六章(一)概率与概率分布练习
概率分布计算练习题求期望与方差
概率分布计算练习题求期望与方差一、题目描述在统计学中，概率分布是用来描述随机变量在不同取值上出现的概率。
期望与方差是概率分布的重要指标，用于描述随机变量的中心位置和离散程度。
下面通过一些具体的练习题，来计算概率分布的期望与方差。
二、练习题1已知某随机变量X的概率分布如下：```X | -2 | 1 | 3P(X) | 0.2 | 0.4| 0.4```计算随机变量X的期望与方差。
解答：期望的计算公式为E(X) = ΣX * P(X)，其中Σ表示求和符号。
根据给定的概率分布，我们可以计算出期望为：E(X) = (-2 * 0.2) + (1 * 0.4) + (3 * 0.4) = -0.4 + 0.4 + 1.2 = 1.2方差的计算公式为 Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2，其中E(X^2)表示随机变量X的平方的期望。
根据给定的概率分布，我们可以计算出E(X^2)为：E(X^2) = (-2^2 * 0.2) + (1^2 * 0.4) + (3^2 * 0.4) = 0.8 + 0.4 + 3.6 = 4.8将期望和E(X^2)带入方差的计算公式中，即可计算出方差为：Var(X) = 4.8 - 1.2^2 = 4.8 - 1.44 = 3.36因此，随机变量X的期望为1.2，方差为3.36。
三、练习题2已知某离散型随机变量Y的概率分布如下：```Y | -1 | 0 | 2 | 3P(Y) | 0.1| 0.2 | 0.4 | 0.3```计算随机变量Y的期望与方差。
解答：同样地，首先计算期望。
根据给定的概率分布，我们可以计算出期望为：E(Y) = (-1 * 0.1) + (0 * 0.2) + (2 * 0.4) + (3 * 0.3) = -0.1 + 0 + 0.8 + 0.9 = 1.6接下来计算方差。
根据方差的计算公式，需要先计算E(Y^2)。
根据给定的概率分布，我们可以计算出E(Y^2)为：E(Y^2) = (-1^2 * 0.1) + (0^2 * 0.2) + (2^2 * 0.4) + (3^2 * 0.3) = 0.1 + 0 + 1.6 + 2.7 = 4.4将期望和E(Y^2)带入方差的计算公式中，即可计算出方差为：Var(Y) = 4.4 - 1.6^2 = 4.4 - 2.56 = 1.84因此，随机变量Y的期望为1.6，方差为1.84。
概率论与数理统计教材第六章习题
X σ0 n
~ N(0,1)
对于置信水平1- ，总体均值的置信区间为 对于置信水平 -α，总体均值 的置信区间为
X
σ0
n
uα < < X +
2
σ0
n
uα
2
(2)设总体 ～ N(,σ 2 ), 未知 ，求的置信区间。 设总体X～ 未知σ， 的置信区间。 设总体 的置信区间
σ 0 ，则样本函数 t = X ~ t(n 1) 用 S 代替 S n
i =1
n1
n1
F
1
α ∑ Yj 2
2 j =1
n2
(
)
2
n2
10
2 2 及 （1）设两个总体 ～ N(1,σ1 ) 及Y～ N(2 ,σ 2 ), 未知 1 2， ）设两个总体X～ ～
2 σ1 的置信区间。 求 2 的置信区间。 σ2
选取样本函数 选取样本函数
2 2 S1 σ1 F = 2 2 ~ F(n1 1, n2 1) S2 σ2
∑x
i =1
n
i =1
i
n = 0.
1 p
得 p 的极大似然估计值为 p =
n
∑x
i =1
n
1 = x
i
12
1 θ 2. 设总体 服从拉普拉斯分布：f ( x;θ ) = e ,∞< x < +∞, 设总体X 服从拉普拉斯分布： 2θ 求参数 θ 其中 > 0. 如果取得样本观测值为 x1 , x2 ,L, xn , 求参数θ
第六章 参数估计
(一)基本内容
一、参数估计的概念 1 定义：取样本的一个函数θ ( X 1 , X 2 ,L , X n ), 如果以它的观测 定义：
概率分布练习题均匀和正态分布
概率分布练习题均匀和正态分布概率分布练习题：均匀和正态分布一、均匀分布练习题题目1：某餐厅接待的顾客用餐时间服从一个均匀分布，其中午时段的用餐时间在12分钟至30分钟之间。
现假设该时间段内顾客用餐时间的概率密度函数为f(x)，请计算以下几种情况的概率：1）顾客用餐时间不超过20分钟的概率。
2）顾客用餐时间超过25分钟的概率。
3）顾客用餐时间在15分钟至25分钟之间的概率。
解答：1）顾客用餐时间不超过20分钟的概率。
设顾客用餐时间为X，X的取值范围为12至30分钟。
由于均匀分布的概率密度函数为恒定值，即f(x) = 1 / (b - a)，其中a 为最小值，b为最大值。
所以，计算概率为积分求解，即P(X ≤ 20) = ∫[12, 20] f(x) dx。
计算得，P(X ≤ 20) = (20 - 12) / (30 - 12) = 8 / 18 ≈ 0.444。
2）顾客用餐时间超过25分钟的概率。
计算概率为P(X > 25) = ∫[25, 30] f(x) dx。
计算得，P(X > 25) = (30 - 25) / (30 - 12) = 5 / 18 ≈ 0.278。
3）顾客用餐时间在15分钟至25分钟之间的概率。
计算概率为P(15 ≤ X ≤ 25) = ∫[15, 25] f(x) dx。
计算得，P(15 ≤ X ≤ 25) = (25 - 15) / (30 - 12) = 10 / 18 ≈ 0.556。
题目2：某电商平台上某商品的价格服从一个均匀分布，价格区间为200元至500元。
现假设该商品价格的概率密度函数为f(x)，求以下几种情况的概率：1）该商品的价格大于300元的概率。
2）该商品的价格在250元至400元间的概率。
解答：1）该商品的价格大于300元的概率。
设商品价格为X，X的取值范围为200至500元。
由于均匀分布的概率密度函数为恒定值，即f(x) = 1 / (b - a)，其中a 为最小值，b为最大值。
概率论与数理统计-第六章
这200人的年龄数据。
总体：北京市民的年龄 随机变量：年龄X
个体：张三28岁；李四5岁；
样本：{ 28；5；14；56；23；2；39；…；69} 样本容量：200
抽样：随机抽取200人进行调查的过程
6
例2：为了确定工厂生产的电池电量分布情况，在
产品中随机抽取500个，测量其电量。记录了
x
0
F n1 , n2
F分布的分位数
x
F分布的上α分位点
对于给定的 , 0 1, 称满足条件
F n1 , n2
f x; n1 , n2 dx 的点F n1 , n2
为F n1 , n2 分布的上 分位数。F n1 , n2 的值可查F 分布表
17
不易计算！
18
抽样分布 —— 任意统计量 Q = g (X1, X2, …, Xn ) 的分布函数 抽样分布的计算： 多维随机变量（独立、同分布）的函数的分布 函数的计算问题。
得到统计量 Q 的抽样分布，就可以用来解决
关于总体 X 的统计推断问题。
19
关于随机变量独立性的两个定理
解：(1)作变换 Yi
显然Y1 , Y2 ,
2 n i 1
Xi
, Yn相互独立，且Yi N 0,1 i 1, 2,
Xi
i 1, 2,
,n
,n
于是 (
) Yi 2 2 n
2 i 1
28
n
(2)
2 ( X X ) X1 X 2 ~ N (0, 2 2 ), 1 2 2 ~ 2 (1) 2
2022年最新北师大版七年级数学下册第六章概率初步专题测试练习题(名师精选)
北师大版七年级数学下册第六章概率初步专题测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、乒乓球比赛以11分为1局，水平相当的甲、乙两人进行乒乓球比赛，在一局比赛中，甲已经得了8分，乙只得了2分，对这局比赛的结果进行预判，下列说法正确的是（）A．甲获胜的可能性比乙大B．乙获胜的可能性比甲大C．甲、乙获胜的可能性一样大D．无法判断2、如图，有5张形状、大小、材质均相同的卡片，正面分别印着北京2022年冬奥会的越野滑雪、速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪大跳台的体育图标，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀并正面向下放在桌上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是“滑冰”项目的图案的可能性是（）．A．15B．25C．35D．453、小梅随机选择在下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，则她选择在周二去打疫苗的概率为（）A．1 B．15C．17D．134、学校招募运动会广播员，从三名男生和一名女生共四名候选人中随机选取一人，则选中男生的概率为（）A．14B．12C．23D．345、袋中有白球3个，红球若干个，他们只有颜色上的区别．从袋中随机取出一个球，如果取到白球的可能性更大，那么袋中红球的个数可能是（）A．2个B．3个C．4个D．4个或4个以上6、书架上放着两本散文和一本数学书，小明从中随机抽取一本，抽到数学书的概率是（）A．1 B．12C．23D．137、下列说法正确的是（）A．在同一年出生的400名学生中，至少有两人的生日是同一天B．某种彩票中奖的概率是1%，买100张这种彩票一定会中奖C．天气预报明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半的时间在下雨D．抛一枚图钉，钉尖着地和钉尖朝上的概率一样大8、在相同条件下，移植10000棵幼苗，有8000棵幼苗成活，估计在相同条件下移植一棵这种幼苗成活的概率为（）A．0.1 B．0.2 C．0.9 D．0.89、下列事件中，是必然事件的是（）A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球． B．掷一枚硬币，正面朝上．C．任意买一张电影票座位是3．D．汽车经过红绿灯路口时前方正好是绿灯．10、下列说法中，正确的是（）A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、一个不透明的袋中装有6个黄球，m个红球，n个白球，每个球除颜色外都相同．把袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，摸出黄球记为事件A，摸出的球不是黄球记为事件B，若P（A）＝2P（B），则m与n的数量关系是________．2、在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的球，如果已知袋中只有4个红球，且摸出红球的概率为25，那么袋中的球共有_______个．3、P（A）的取值范围：∵m≥0，n＞0，∴0≤m≤n．∴0≤ m/n≤1，即_______≤P（A）≤_______．当A为必然事件时，P（A）＝__________；当A为不可能事件时，P（A）＝_________．事件发生的可能性越大，它的概率越接近____；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近______．4、一个可以自由转动的圆形转盘，转盘分三个扇形区域，分别涂上红、黄、白三种颜色，其中红色、黄色、白色区域的扇形圆心角度数分别为70°，80°，210°，则指针落在红色区域的概率是____________5、在一只不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球7个，黑球5个，黄球n个，搅匀后随机从中摸取一个恰好是黄球的概率为13，则放入的黄球总数n __________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在一个不透明的口袋中，装有10个除颜色外其它完全相同的球，其中5个红球，3个蓝球，2个白球，它们已经在口袋中搅匀了．下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？（1）从口袋中任取出一个球，它恰是红球；（2）从口袋中一次性任意取出2个球，它们恰好全是白球；（3）从口袋中一次性任意取出5个球，它们恰好是1个红球，1个蓝球，3个白球．2、有7张纸签，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，小明从中任意抽取一张纸签（不放回），小颖从剩余的纸签中任意抽取一张，谁抽到的数字大谁就获胜，然后两人把抽到的纸签都放回，重新开始游戏．（1）现小明已经抽到数字4，然后小颖抽纸签，那么小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率又是多少？（2）若小明已经抽到数字6，小明、小颖获胜的概率分别是多少？若小明已经抽到数字1，情况又如何？3、如图所示有8张卡片，分别写有1，2，3，4，5，6，8，9这八个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张．（1）P（抽到数字9）＝；（2）P（抽到两位数）＝；（3）P（抽到的数大于5）＝；（4）P（抽到偶数）＝．4、袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出1个球．（1）这个球是白球还是黑球？（2）如果两种球都有可能被摸出，那么摸出黑球和摸出白球的可能性一样大吗？为了验证你的想法，动手摸一下吧！每名同学随机从袋子中摸出1个球，记下球的颜色，然后把球重新放回袋子并摇匀．汇总全班同学摸球的结果并把结果填在下表中．比较表中记录的数字的大小，结果与你事先的判断一致吗？在上面的摸球活动中，“摸出黑球”和“摸出白球”是两个随机事件．一次摸球可能发生“摸出黑球”，也可能发生“摸出白球”，事先不能确定哪个事件发生．由于两种球的数量不等，所以“摸出黑球”与“摸出白球”的可能性的大小不一样，“摸出黑球”的可能性大于“摸出白球”的可能性．你们的试验结果也是这样吗？5、某校数学兴趣小组成员小华对本班上学期末考试数学成绩（成绩取整数，满分为100分）作了统计分析，绘制成频数分布直方图和频数、频率分布表，请你根据图表提供的信息，解答下列问题：a______，b=______；（1）频数、频率分布表中=（2）补全频数分布直方图；（3）数学老师准备从不低于90分的学生中选1人介绍学习经验，那么取得了93分的小华被选上的概率是______．-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据事件发生的可能性即可判断．【详解】∵甲已经得了8分，乙只得了2分，甲、乙两人水平相当∴甲获胜的可能性比乙大故选A．【点睛】此题主要考查事件发生的可能性，解题的关键是根据题意进行判断．2、B【分析】先找出滑冰项目图案的张数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：∵有5张形状、大小、质地均相同的卡片，滑冰项目图案的有速度滑冰和花样滑冰2张，∴从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑冰项目图案的概率是25；故选：B．【点睛】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．3、B【分析】根据题意中从下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，共有5种情况，且每种情况的可能性相同，即可得出选择周二打疫苗的概率．【详解】解：小梅选择周一到周五共有5种情况，且每种情况的可能性相同，均为15，∴选择周二打疫苗的概率为：15，故选：B．【点睛】题目主要考查简单概率的计算，理解题意是解题关键．4、D【分析】直接利用概率公式求出即可．【详解】解：∵共四名候选人，男生3人，∴选到男生的概率是：34．故选：D．【点睛】本题考查了概率公式；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5、A【分析】根据取到白球的可能性较大可以判断出白球的数量大于红球的数量，从而得解．【详解】解：∵袋中有白球3个，取到白球的可能性较大，∴袋中的白球数量大于红球数量，即袋中红球的个数可能是2个或2个以下．故选：A．【点睛】本题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．6、D【分析】根据概率公式求解即可．【详解】∵书架上放着两本散文和一本数学书，小明从中随机抽取一本，∴1 ()=3P抽到数学书．故选：D．【点睛】本题考查随机事件的概率，某事件发生的概率等于某事件发生的结果数与总结果数之比，掌握概率公式的运用是解题的关键．7、A【分析】由题意根据概率的意义、随机事件的意义逐项进行分析判断即可．【详解】解：A. 在同一年出生的400名学生中，至少有两人的生日是同一天，因为一年最多有366天，故本选项正确；B. 某种彩票中奖的概率是1%，买100张这种彩票一定会中奖错误，故本选项错误；C. 天气预报明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半的时间在下雨错误，故本选项错误；D. 抛一枚图钉，钉尖着地和钉尖朝上的概率一样大错误，故本选项错误；故选：A．【点睛】本题考查随机事件、概率的意义，熟练掌握随机事件和概率的意义是正确判断的前提．8、D【分析】利用成活的树的数量÷总数即可得解．【详解】解：8000÷10000=0.8，故选：D．【点睛】此题主要考查了概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．9、A【分析】根据必然事件和随机事件的定义逐项判断即可得．【详解】解：A、“从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球”是必然事件，此项符合题意；B、“掷一枚硬币，正面朝上”是随机事件，此项不符题意；C、“任意买一张电影票座位是3”是随机事件，此项不符题意；D、“汽车经过红绿灯路口时前方正好是绿灯”是随机事件，此项不符题意；故选：A．【点睛】本题考查了必然事件和随机事件，掌握理解定义是解题关键．10、B【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义可判断A，根据随机事件发生的机会大小，估计概率的大小可判断B，可判断C，不规则物体的概率只能通过大数次的实验，使频率达到稳定时用频率估计概率可判断D．【详解】解：“射击运动员射击一次，命中靶心”可能会发生，也可都能不会发生是随机事件不是必然事件，故选项A不正确；事件发生的可能性越大，说明发生的机会越大，它的概率越接近1，故选项B正确；某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票每一张彩票中奖的概率都是1%，可能会中奖，但一定会中奖机会很小，故选项C不正确；图钉是不规则的物体，抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率只能通过实验，大数次的实验，使频率稳定时，可用频率估计概率，不可以用列举法求得，故选项D不正确．故选择B．【点睛】本题考查事件，事件发生的可能性，概率，实验概率，掌握事件，事件发生的可能性，概率，实验概率知识是解题关键．二、填空题1、m+n＝3【分析】根据概率公式求出摸到黄球和摸不到黄球的概率，再根据P（A）＝2P（B），列出关系式，然后求解即可得出答案．【详解】解：∵一个不透明的袋中装有6个黄球，m个红球，n个白球，∴任意摸出一个球，是黄球的概率P（A）＝66m n+++，摸出的球不是黄球的概率P（B）＝6m nm n+++∵P（A）＝2P（B），∴6266m nm n m n+=⨯+++++，∴m+n＝3，故答案为：m+n＝3．【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键在于能够熟练掌握概率计算公式.2、10【分析】设袋中共有x个球，再由袋中只装有4个红球，且摸出红球的概率为25求出x的值即可．【详解】解：设袋中共有x个球，∵袋中只装有4个红球，且摸出红球的概率为25，∴425x=，解得x=10．经检验，x=10是分式方程的解，且符合题意，故答案为：10．【点睛】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．3、0 1 1 0 1 0【详解】略4、7 36【分析】求出红色区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．【详解】解：∵红色扇形区域的圆心角为70°，所以红色区域所占的面积比例为707 36036︒=︒，即指针停在红色区域的概率是736， 故答案为：736． 【点睛】本题主要考查几何概率，掌握随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数是解题的关键．5、6【分析】利用概率公式，将黄球个数除以所有球总个数即可得出随机从中摸取一个恰好是黄球的概率．【详解】解：由题可知：1753n n =++， 解得：6n =，经检验，符合题意；故答案为：6．【点睛】本题考查了随机事件的概率，解题的关键是牢记概率公式，正确列出方程并求解．三、解答题1、（1）可能发生，因为袋中有红球；（2）可能发生，因为袋中刚好有2个白球；（3）不可能发生，因为袋中只有2个白球，取不出3个白球．【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于那一种类别．【详解】（1）可能发生，因为袋中有红球；（2）可能发生，因为袋中刚好有2个白球；（3）不可能发生，因为袋中只有2个白球，取不出3个白球．【点睛】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2、（1）小明获胜的概率是12；小颖获胜的概率是12；（2）小明已经抽到数字6，小明获胜的概率是5 6；小颖获胜的概率是16；小明已经抽到数字1，则小明获胜的概率是0，小颖获胜的概率是1．【分析】（1）根据题意列出可能性，根据概率公式即可求解；（2）根据题意列出可能性，根据概率公式即可求解．【详解】解：（1）共有7张纸签，小明已经抽到数字4，如果小明获胜的话，小颖只可能抽到数字1、2、3，所以小明获胜的概率是31 62 =.如果小颖要获胜，抽到的数字只能是5、6、7，所以小颖获胜的概率是31 62 =（2）若小明已经抽到数字6，如果小明获胜的话，小颖只可能抽到数字1，2、3、4，5，所以小明获胜的概率是56.如果小颖要获胜，抽到的数字只能是7，所以小颖获胜的概率是16.若小明已经抽到数字1，则小明获胜的概率是0，小颖获胜的概率是1．【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．3、（1）18；（2）0；（3）38；（4）12【分析】（1）（2）（4）根据概率公式直接求解即可，（3）根据确定性事件的定义即可判断．【详解】1，2，3，4，5，6，8，9这八个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张．（1）P（抽到数字9）＝18；（2）1，2，3，4，5，6，8，9这八个数字中，没有两位数，∴P（抽到两位数）＝0；（3）大于5的有，6,8,9，共3个数∴P（抽到的数大于5）＝38；（4）1，2，3，4，5，6，8，9这八个数字中，偶数有4个∴P（抽到偶数）＝12．【点睛】本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键．4、（1）都有可能；（2）不一样大，黑球的可能性大；验证：30,15（答案不唯一）；结果和事先判断一致，试验结果一致【分析】（1）根据随机事件的定义可知；（2）根据事件发生的可能性大小判断即可．【详解】（1）都有可能；（2）不一样大，黑球的可能性大．验证：答案不唯一，假设全班学生共45人，汇总全班同学摸球的结果并把结果填在下表中．根据等可能性的概率，试验结果和事先判断一致；试验结果一致．故答案为：30,15（答案不唯一）．【点睛】本题考查了事件的可能性，简单概率的求法，掌握比较事件的可能性是解题的关键．5、（1）8，0.08；（2）补全频数分布直方图见解析；（3）14．【分析】（1）利用频数=频率×总数可得a的值，利用频率=频数÷总数可得b的值；（2）由（1）的结论中，补全频数分布直方图；（3）根据频率分布表可得信息90分以上的同学有4人，根据概率的公式即可得答案；【详解】（1）0.16508,4500.08a b =⨯==÷=；故答案为：8，0.08；（2）由（1）8a =，补全频数分布直方图如图：（3）根据频率分布表可得信息90分以上的同学有4人，∴小华被选上的概率是14． 故答案为：14．【点睛】本题考查了频数分布表和频数分布直方图的综合，概率的简单计算，解答此类题目，要善于发现二者之间的关联点，用频数分布表中某部分的频数除以它的频率求出样本容量，进而求解其它未知的量．。
概率论与数理统计答案第六章
第六章 样本及抽样分布1.[一] 在总体N （52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率。
解：8293.0)78()712(}63.68.163.65263.62.1{}8.538.50{),363.6,52(~2=-Φ-Φ=<-<-=<<X P X P N X2.[二] 在总体N （12，4）中随机抽一容量为5的样本X 1，X 2，X 3，X 4，X 5. （1）求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。
（2）求概率P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>15}. （3）求概率P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>10}.解：（1）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=>-25541225415412}112{|X P X P X P=2628.0)]25(1[2=Φ- （2）P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>15}=1－P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)≤15} =.2923.0)]21215([1}15{1551=-Φ-=≤-∏=i i X P （3）P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)<10}=1－ P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)≥10} =.5785.0)]1([1)]21210(1[1}10{15551=Φ-=-Φ--=≥-∏=i iXP 4.[四] 设X 1，X 2…，X 10为N （0，0.32）的一个样本，求}.44.1{1012>∑=i iXP解：)5(1.0}163.0{}44.1{),10(~3.0101221012221012查表=>=>∑∑∑===i i i i i i X P X P χX7．设X 1，X 2，…，X n 是来自泊松分布π (λ )的一个样本，X ，S 2分别为样本均值和样本方差，求E (X ), D (X ), E (S 2 ).解：由X ~π (λ )知E (X )= λ ，λ=)(X D∴E (X )=E (X )= λ, D (X )=.)()(,)(2λX D S E nλn X D === [六] 设总体X~b (1,p)，X 1，X 2，…，X n 是来自X 的样本。
第六章频率与概率练习题及答案全套
一、你还记得什么是频数、什么叫频率、什么叫概率吗试举例说明.二、将一枚硬币抛起，使其自然下落，每抛两次作为一次实验，当硬币落定后，一面朝上，我们叫做“正”，另一面朝上，我们叫做“反”.（1）一次实验中，硬币两次落地后可能出现几种情况（2）做20次实验，根据实验结果，填写下表.结果正正正反反反频数频率（3）根据上表，制作相应的频数分布直方图.（4）经观察，哪种情况发生的频率较大.（5）实验结果为“正反”的频率是多大.（6）5个同学结成一组，分别汇总其中两人，三人，四人，五人的实验数据，得到40次，60次，80次，100次的实验结果，将相应数据填入下表。
次数40次60次80次100次“正反”的频数“正反”的频率（7）依上表，绘制相应的折线统计图.（8）计算“正反”出现的概率.（9）经过以上多次重复实验，所得结果为“正反”的频率与你计算的“正反”的概率是否相近.小知识：在篮球比赛和足球比赛中，人们往往用抛硬币的方法决定由谁先来开球.那么抛硬币后，正面向上和反面向上的几率有多大呢相等吗下面我们来想办法解决这个问题.首先想到的是实验方法.投掷硬币500次记总抛出次数正面向上次正面向上频率§6.1.1频率与概率（次） 数（次） （…%）500225我们得到的是硬币正面向上的频率的百分比.即硬币正面向上的频率.其次我们又想到硬币的正、反面都没有什么特殊性，所以在落下时正面向上和反面向上的可能性相等.所以正面向上与反面向上都有21的可能性，也就是说正面向上的概率是___________.生活中常见一些概率问题的应用，例如彩票.20选5第2003178期中奖号码 05、12、15、16、17 一等奖 6注 18678元 二等奖 1214注 50元 三等奖 19202注5元本期销售额 548538元出球顺序05、15、12、16、17一、掷一枚硬币，落地后，国徽朝上、朝下的概率各是多少二、质地均匀的骰子被抛起后自由落在桌面上，点数为“1”或“3”的概率是多少三、掷两枚硬币，规定落地后，国徽朝上为正，国徽朝下为“反”，则会出现以下三种情况.“正正”“反反”“正反”分别求出每种情况的概率.（1）小刚做法：通过列表可知，每种情况都出现一次，因此各种情况发生的概率均占31. 可能出现正正正反反反§6.1.2频率与概率的情况 概率31 31 31 小敏的做法：第一枚硬币的可能情况第二枚硬币的可能情况正反正 正正 反正 反正反反反通过以上列表，小敏得出：“正正”的情况发生概率为41.“正反”的情况发生的概率为21，“反反”的情况发生的概率为41. （1）以上三种做法，你同意哪种，说明你的理由.（2）用列表法求概率时要注意哪些一、如图（1）是不是所有的随机事件的概率都可以用画树形图或列表的方法来求，试举例说明你的理由.二、图（2）钉落地实验，将图钉抛在地上. （1）观察图钉落地后出现几种状态.（2）猜想哪种情况发生的概率大（3）连续抛掷50次，将实验结果填在下表. 落地状态钉尖朝上钉尖着地频 数 频 率§6.2.1频率与概率（4）实验结果中各种情况发生的概率与你猜想的概率是否相符呢（5）如果班里有50位同学，每人做50次实验共做了2500次实验，请将实验数据汇总，再进一步计算各种情况发生的频率.（6）现在你能估计钉尖着地的概率了吗（7）以上做法是：利用大量的实验数据计算出某一情况发生的频率，再利用此频率来估计这一情况发生的概率，你还能举出生活中利用这一原理求概率的实例吗三、（如下图所示）把一小球从箭头处自由释放，落入一个内有阻碍物的容器中，小球一种情况是落入A槽，一种是落入B槽，你能通过列表法分别算出它们的概率吗一、填空题1.口袋中有2个白球，1个黑球，从中任取一个球，用实验的方法估计摸到白球的概率为_________.2.把一对骰子掷一次，共有_________种不同的结果.3.任意掷三枚均匀硬币，如果把掷出正面朝上记为“上”，掷出正面朝下记为“下”，所有的结果为_________.4.必然事件的概率为_________，不可能事件的概率为_________，不确定事件的概率范围是_________.5.频数和频率都能反映一个对象在实验总次数中出现的频繁程度，我认为：（1）频数和频率间的关系是_________.（2）每个实验结果出现的频数之和等于_________. （3）每个实验结果出现的频率之和等于_________..上学方式 步行 骑车 乘车 “正”字法记录正正正频数 9 频率40%抛掷结果 5次 50次 300次 800次 3200次 6000次 9999次 出现正面的频数 1 31 135 408 1580 2980 5006 出现正面的频率20%62%45%51%%%%（1）由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次时，得到1次正面，正面出现的频率是20%，那么，也就是说机器人抛掷完5次时，得到_________次反面，反面出现的频率是_________. （2）由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完9999次时，得到_________次正面，正面出现的频率是_________.那么，也就是说机器人抛掷完9999次时，得到_________次反面，反面出现的频率是_________. 二、选择题8.给出以下结论，错误的有（ ）①如果一件事发生的机会只有十万分之一，那么它就不可能发生. ②如果一件事发生的机会达到%，那么它就必然发生. ③如果一件事不是不可能发生的，那么它就必然发生. ④如果一件事不是必然发生的，那么它就不可能发生. 个 个 个 个9.一位保险推销员对人们说：“人有可能得病，也有可能不得病，因此，得病与不得病的概率各占§6.2.2频率与概率50%”他的说法（）A.正确B.不正确C.有时正确，有时不正确D.应由气候等条件确定10.某位同学一次掷出三个骰子三个全是“6”的事件是（）A.不可能事件B.必然事件C.不确定事件可能性较大D.不确定事件可能性较小三、解答题11.请制作一个方案说明你在你们班的同学中花“零花钱”属于多的还是少的12.走近你家附近的商店，统计几类主要产品的月销量，制出相应的条形统计图.13.与他人合作掷骰子100次，要求（2）制出条形统计图.（3）计算出各点的概率.（4）有可能再现7点吗它的概率为多少一、有400位同学，其中一定有至少两人生日相同吗若有367位同学呢说说你的理由.二、通过本节实验，你发现50位同学中有至少两位同学出生月日相同的频率占多少，估计这个情况的概率是多少三、通过本节学习，我们发现有些实验估计起来既费时，又费力，可以用摸球实验或其他模拟实验.（1）请再回顾一下我们是怎样将复杂的调查转化成模球实验的（2）请熟悉你的计算器产生随机数字的操作程序.四、取出一副扑克中的红桃A至红桃K共13张牌，牌面朝下放在桌面上，每次摸取一张看后放回，共摸取4次，试用计算器产生的随机数进行摸拟实验.小知识：小威和小丽在同一天过生日，他们班共有50名同学.想一想：这样能说50个人中2个人生日相同的概率为1吗为什么在§这一节我们将来研究怎样调查50个人中2个人生日相同的概率.下面我们来考虑几个类似的问题：1.估计六个人中同属相的概率.2.估计六个人中同星座的概率.§频率与概率在研究这种问题中，要想使估算的概率准确，就必须尽可能多的增加调查对象，这样既费时又费力，想一想有什么方法可以替代做调查来估算概率呢预习下节课的内容。
概率分布的正态分布与均匀分布练习题
概率分布的正态分布与均匀分布练习题1. 问题描述：设随机变量X服从正态分布N(μ1, σ1^2)，随机变量Y服从均匀分布U(a, b)。
根据给定的参数，回答以下问题：1.1 正态分布题a) 若X的均值μ1为10，标准差σ1为2，求P(X ＜ 8)。
b) 若X的均值μ1为10，标准差σ1为2，求P(X＞6)。
c) 若X的均值μ1为10，标准差σ1为2，求P(8＜X＜12)。
d) 若X的均值μ1为10，标准差σ1为2，求P(|X - 10| ≤ 2)。
1.2 均匀分布题a) 若Y服从均匀分布U(0, 2)，求P(Y＞1)。
b) 若Y服从均匀分布U(-1, 1)，求P(Y ≥ -0.5)。
c) 若Y服从均匀分布U(2, 6)，求P(3＜Y＜5)。
d) 若Y服从均匀分布U(3, 9)，求P(Y - 6 ≤ 1)。
2. 解答：2.1 正态分布题a) 根据正态分布的性质，转化为标准正态分布求解：Z = (X - μ1) / σ1 = (8 - 10) / 2 = -1标准正态分布表中查得P(Z ＜ -1) = 0.1587因此，P(X ＜ 8) = P(Z ＜ -1) = 0.1587b) 同样转化为标准正态分布求解：Z = (X - μ1) / σ1 = (6 - 10) / 2 = -2标准正态分布表中查得P(Z ＞ -2) = 0.9772因此，P(X ＞ 6) = P(Z ＞ -2) = 0.9772c) 根据性质转化为标准正态分布求解：Z1 = (8 - μ1) / σ1 = (8 - 10) / 2 = -1Z2 = (12 - μ1) / σ1 = (12 - 10) / 2 = 1P(8＜X＜12) = P(-1＜Z＜1)在标准正态分布表中查得P(-1＜Z＜1) = 0.6827因此，P(8＜X＜12) = P(-1＜Z＜1) = 0.6827d) 将不等式转化为两个等式，并根据性质求解： |X - 10| ≤ 2 --> -2 ≤ X - 10 ≤ 2X - 10 ≥ -2 --> X ≥ 8X - 10 ≤ 2 --> X ≤ 12P(|X - 10| ≤ 2) = P(8 ≤ X ≤ 12)P(8 ≤ X ≤ 12) = P((8 - μ1) / σ1 ≤ Z ≤ (12 - μ1) / σ1)P(8 ≤ X ≤ 12) = P((-1) ≤ Z ≤ 1)在标准正态分布表中查得P(-1 ≤ Z ≤ 1) = 0.6827因此，P(8 ≤ X ≤ 12) = P((-1) ≤ Z ≤ 1) = 0.68272.2 均匀分布题a) 根据均匀分布的概率密度函数，计算概率： P(Y＞1) = (b - 1) / (b - a)P(Y＞1) = (2 - 1) / (2 - 0) = 1/2b) 同样利用概率密度函数求解：P(Y ≥ -0.5) = (1 - (-0.5)) / (1 - (-1))P(Y ≥ -0.5) = 1.5 / 2 = 3/4c) 根据概率密度函数计算概率：P(3＜Y＜5) = (5 - 3) / (6 - 2)P(3＜Y＜5) = 2 / 4 = 1/2d) 利用概率密度函数求解：P(Y - 6 ≤ 1) = (1 - (3 - 6)) / (9 - 3)P(Y - 6 ≤ 1) = (1 + 3) / 6 = 4/6 = 2/3以上就是给定问题的解答，涉及到正态分布和均匀分布的概率计算及性质运用。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章习题参考解答-1
n
∑ 4． 设总体 X ~ N (µ , σ 2)，X1, …, Xn 是来自该总体的一个样本．试确定常数 c 使 c ( X i+1 − X i )2 为σ 2 的无 i=1
偏估计． 解：因 E[(Xi + 1 − Xi )2 ] = Var (Xi + 1 − Xi ) + [E(Xi + 1 − Xi )]2 = Var (Xi + 1) + Var (Xi ) + [E(Xi + 1) − E(Xi )]2 = 2σ 2，
( X i+1
−
Xi
)2
是σ
2
的无偏估计．
5． 设 X1, X2, …, Xn 是来自下列总体中抽取的简单样本，
p(x; θ ) = ⎪⎨⎧1,
θ − 1 ≤ x≤θ + 1;
2
2
⎪⎩0, 其他.
证明样本均值
X
及
1 2
( X (1)
+
X (n) )
都是θ
的无偏估计，问何者更有效？
证：因总体 X ~ U ⎜⎛θ − 1 , θ + 1 ⎟⎞ ，有 Y = X − θ + 1 ~ U (0, 1) ，
1 6
X1
+
1 6
X
2
+
2 3
X3．
证：因
E ( µˆ1 )
=
1 2
E(X1)
+
1 3
E(X
2)
+
1 6
E(X3)
=
1 2
µ
+
1 3
µ
+1 6来自µ=µ
《概率论与数理统计》习题及答案 第六章
《概率论与数理统计》习题及答案第 六 章1．某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为λ的泊松分布，从产品中抽一个容量为n 的样本12,,,n X X X L ，求样本的分布.解 样本12(,,,)n X X X L 的分量独立且均服从与总体相同的分布，故样本的分布为11221(,,,)()nn n ii i P X k X k X k P Xk ======∏L 1!ikni i e k λλ-==∏112!!!ni i n k n e k k k λλ=-∑=L 0,1,i k =L ，1,2,,,i n =L 2．加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为1/λ的指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取n 件零件构成一个容量为n 的样本，求样本分布。
解 零件的加工时间为总体X ，则~()X E λ，其概率密度为,0,()0,0.x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩于是样本12(,,,)n X X X L 的密度为1121,0(,,,)0,.nii ix nnx i n i e x f x x x e λλλλ=--=⎧∑⎪>==⎨⎪⎩∏K 其它 1,2,,i n =L 3．一批产品中有成品L 个，次品M 个，总计N L M =+个。
今从中取容量为2的样本（非简单样本），求样本分布，并验证：当,/N M N p →∞→时样本分布为（6.1）式中2n =的情况。
解 总体~(01)X -，即(0),(1)L MP X P X N N==== 于是样本12(,)X X 的分布如下 121(0,0)1L L P X X N N -===⋅-，12(0,1)1L M P X X N N ===⋅-12(1,0)1M L P X X N N ===⋅-，121(1,1)1M M P X X N N -===⋅- 若N →∞时M p N →，则1Lp N→-，所以2002012(0,0)(1)(1)P X X p p p +-==→-=-012112(0,1)(1)(1)P X X p p p p +-==→-=-102112(1,0)(1)(1)P X X p p p p +-==→-=-2112212(1,1)(1)P X X p p p +-==→=-以上恰好是（6.1）式中2n =的情况.4．设总体X 的容量为100的样本观察值如下：15 20 15 20 25 25 30 15 30 25 15 30 25 35 30 35 20 35 30 25 20 30 20 25 35 30 25 20 30 25 35 25 15 25 35 25 25 30 35 25 35 20 30 30 15 30 40 30 40 15 25 40 20 25 20 15 20 25 25 40 25 25 40 35 25 30 20 35 20 15 35 25 25 30 25 30 25 30 43 25 43 22 20 23 20 25 15 25 20 25 30433545304530454535作总体X 的直方图解 样本值的最小值为15，最大值为45取14.5a =，45.5b =，为保证每个小区间内都包含若干个观察值，将区间[14.5,45.5]分成8个相等的区间。
概率与概率分布习题
思考题1．有一种体育彩票的中奖规则时所选号码和顺序与摇奖结果一致。
每个位置上的中奖号码时0~9这十个数字中随机摇出的。
某期体育彩票摇奖现场的电视节目主持人说：“今年体育彩票开奖以来，在这个位置上，2这个数字出现了27次，是出现概率最大的数字“。
请问，该主持人的说法是否正确？2．怎样理解频率和概率的关系？频率的极限是概率吗？3．概率的三种定一个有什么应用场合和局限性？4．全概率公式和逆概率公式分别用于什么场合？5．离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布的描述有些什么不同？6．两个随机事件的独立性意味着什么？协方差和相关系数由何关系？7．二项分布和超级和分布的适用场合有什么不同？它们的均值和方差有什么区别？8．正态分布所描述的随机现象有什么特点？为什么许多随机现象服从或近似服从正态分布？9．对于同一险种，为什么投保人越多，保险公司的相对风险越小？练习题1．某技术小组有12人，他们的性别和职称如下表所示。
现要产生一名幸运者。
试求这位幸运者分别是以下几种可能的概率：（1）女性；（2）工程师；（3）女工程师；（4）女性或工程师。
3．某种零件加工必须以此经过三道工序，从以往大量的生产纪录得知，第一、第二、第三道工序的次品率分别是0.2，0.1，0.1,并且每道工序是否产生次品与其他工序无关。
试求这种零件的次品率。
4．已知参加某项考试的全部人员合格的占80%，在合格人员中成绩优秀的只占15%。
试求任一参加考试人员成绩优秀的概率。
5．设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9？6．已知某地区男子寿命超过55岁的概率为84%，超过70岁的概率为63%。
试求任一位刚过55岁生日的男子将会活到70岁以上的概率为多少。
7．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。
则第二次取出的是次品的概率为多少？8．某公司从甲乙丙三个企业采购了同一种产品，采购数量分别占总采购量的25%、30%和45%。
第六章 概率与概率分布练习题
第六章 概率与概率分布一、填空1．用古典法求算概率．在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它假设（机会均等 ）。
2．分布函数)(x F 和)(x P 或ϕ)(x 的关系，就像向上累计频数和频率的关系一样。
所不同的是，)(x F 累计的是（概率 ）。
3．如果A 和B （互斥 ），总合有P(A/B)＝P 〔B/A 〕＝0。
4．（大数定律 ）和（ 中心极限定理 ）为抽样推断提供了主要理论依据。
6．抽样设计的主要标准有（最小抽样误差原则 ）和（最少经济费用原则 ）。
7．在抽样中，遵守（随机原则 ）是计算抽样误差的先决条件。
9．若事件A 和事件B 不能同时发生，则称A 和B 是（互斥 ）事件。
10．在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是（1/4 ）；在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是（ 1/52 ）。
二、单项选择1．随机试验所有可能出现的结果，称为（ D ）。
A 基本事件； B 样本；C 全部事件；D 样本空间。
2.在次数分布中，频率是指（ ）A.各组的频率相互之比B.各组的分布次数相互之比C.各组分布次数与频率之比D.各组分布次数与总次数之比 3．若不断重复某次调查，每次向随机抽取的100人提出同一个问题，则每次都能得到一个回答“是”的人数百分数，这若干百分数的分布称为：（ D ）。
A ．总体平均数的次数分布B ．样本平均的抽样分布C ．总体成数的次数分布D ．样本成数的抽样分布 4．以等可能性为基础的概率是（A ）。
A 古典概率；B 经验概率；C 试验概率；D 主观概率。
5．古典概率的特点应为（ A ）。
A 基本事件是有限个，并且是等可能的；B 基本事件是无限个，并且是等可能的；C 基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性；D 基本事件是无限的，但可以是具有不同的可能性。
6．任一随机事件出现的概率为（ D ）。
A 在–1与1之间；B 小于0；C 不小于1；D 在0与1之间。
教育统计学第六章 概率及概率分布
( 0, )
标准正态分布
如果把总频数看成是1，随机变量的分布密度是
f ( x)
1 2
( x )2 2 2
e
( 0 , )
二者相比：
f ( x)
N e 2
x 2
2 2
( 0, )
92 P( A) 0.514 179
87 P( B) 0.486 179
7 P (C / A) 0.076, 92 12 P (C / B ) 0.137, 87
P( AC ) P( A) P(C / A) 0.514 0.076 0.039
P( BC ) P( B) P(C / B) 0.486 0.137 0.067
由于F值是两个总体方差的比值，所以F值均为正 值，故F的图象处于正半轴的上方 ，其最小值为0，最 大值为无穷大。
F值可通过查值表求得
左右两侧临界值之间的关系为：
1 F1 / 2 df1 , df2 F / 2 df2 , df1
例如：查表得 则
F0.05 / 2 8,9 4.10
1 2 c5 c35 p( A1 ) 3 c40
0.301
2 1 c5 c35 p( A2 ) 3 0.035 c40
3 c5 p( A3 ) 3 c40
0.001
p( A) p( A1 A2 A3 ) p( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
例3 某班共有40名学生，如果其中只有5人没 有完成作业，而其它学生都较好地完成了作业。若 从该班中随机抽出3人检查作业完成情况，问至少 抽到一人未完成作业的概率是多少？
第六章.ppt数理统计
例：从鱼塘里捞一条鱼,这条鱼为鲤鱼的概率?
重复捞取鱼1000次，每次捞一条,有100次左右是鲤鱼,
近似认为再捞一次鱼是鲤鱼的概率为10%。
用频率近似概率
3、主观定义 人们根据经验和所掌握的信息对事件发 生的可能性给以主观的估计。
例：本拉登活着的概率；估计自己能考上大学 的概率；上一个新项目能否赚钱的概率。
（3）不可能事件：每次试验必然不会发生的事件 称为不可能事件。
上例中，观察正反面正面出现的次数为3次——这一事件为不可
能事件
二、事件的关系和运算
（1）包含——事件A发生必然导致B发生， A包含于B
例：抛两个硬币，观察正反面情况：可能结果：①1正2 反，②1反2正，③12全正，④12全反四个基本事件。
解：P（A）=40%，P（B）=50%，P（AB）=30%， P（A+B）=40%+50%-30%=60%； P（A/B）（抽一个公司，已知它进行销售预测，那么它研究 广告效果的概率）=P（AB）/P（B）=30%/50%=60%。 P（B/A）（已知这个公司研究广告效果，那么它进行销售 预测的概率是多少）=P（AB）/P（A）=30%/40%=75%。
（二）概率的运算法则
1、加法公式
两个互斥事件A、B，P（A+B）=P（A）+P（B） A、B互斥（A、B没有交集），P（A+B）（A、B至少 一个发生的概率）=P（A）+P（B）
2、乘法公式
（1）条件概率（事件B已经发生的条件下 事件A发生的概率）。 P（A/B）=P（AB）/P（B）
例：将一枚硬币掷两次，观察出现正反面的情况，设事件 A为“至少一次为正面”，事件B为“两次掷出同一面”， 现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率 P（B/A）。 解：S={正正、正反、反正、反反}， A={正正、正反、反正}， B={正正，反反}， A已经发生（抛两次硬币后，知道至少有一次正面）， 那么掷出同一面的概率是1/3。
统计基础试题——概率与概率分布
第六章概率与概率分布一、填空题1．随机变量按其取值情况可以分为和两类。
2．任一离散型随机变量的分布都必须满足以下两个条件：条件一是，条件是。
3．某种考试有10道判断题，若有一个对题目毫无所知的人，对10道题任意猜测，猜对的题目数为X，则X服从分布，其猜对6题的概率是，及格（猜对6题以上）的概率是。
4．正态分布的概率密度函数曲线的图形是一个曲线，它是关于直线对称的。
5．大数定律也称。
其中最著名的是大数定律和大数定律。
6．中心极限定理是指在一定条件下，大量相互独立的随机变量的分布是以为极限的一系列定理的总称。
最常用的中心极限定理有中心极限定理和中心极限定理。
二、单项选择题1．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，反之，如果已知P（A）=1，P（B）=0，则（）A．A为必然事件，B为不可能事件B．A为必然事件，B不必为不可能事件C．A不必为必然事件，B为不可能事件D．都不一定2．设X～N（μ，σ2），Y=aX+b，则Y服从（）。
A．N（aμ+b，σ2）B．N（aμ，aσ2）C．N（aμ+b，a2σ2）D．N（aμ，bσ2）3．一张考卷上有5道选择题，每道题有4个备选答案，其中有一个答案是正确的，若有一个对题目毫无所知的学生，对5道题任意猜测，则其至少猜对4道题的概率为（）。
A．1/64 B．1/62 C．1/66 D．1/684．已知一批计算机元件的正品率为80%，现随机抽取n个样本单位，其中χ为正品数，则χ的分布服从（）。
A．正态分布B．二项分布C．泊松分布D．超几何分布5．某工厂生产的零件出厂时每200个装一盒，这种零件分为合格和不合格两类，合格率为约为99%。
设每盒中的不合格数为X，则X通常服从（）。
A．正态分布B．二项分布C．泊松分布D．超几何分布6．甲、乙两人在同样条件下各生产100天，在一天中出现废品的概率分布分别如下：如果以废品数的多少作为衡量技术高低的标准,试评定两人技术的高低（）。
《概率》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
概率考纲要求1.了解随机现象和概率的统计定义，理解必然事件和不可能事件的意义.2.知道概率的性质，理解古典概率模型的含义，掌握求古典概型的方法，并会求古典概型的概率.3.知道互斥事件，会用概率加法公式求互斥事件的概率.4.认识n 次独立重复实验模型，并记住n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率公式，并会简单应用.5.了解随机变量、离散型随机变量及其概率分布；能写出简单的离散型随机变量的概率分布.6.了解二项分布，能写出简单的二项分布. 知识点一：随机事件的概率 1.随机事件的相关概念随机现象：在相同条件下具有多种可能结果,而事先又无法确定会出现哪种结果的现象称为随机现象.随机试验：研究随机现象所进行的观察和试验称为随机试验.随机事件：随机试验的结果称为随机事件，简称事件，常用大写字母A ,B ,C 等来表示. 必然事件：在一定条件下，必然发生的事件称为必然事件，用Ω来表示. 不可能事件：在一定条件下，不可能发生的事件称为不可能事件，用∅来表示. 基本事件：在随机试验中不能再分的最简单的随机事件称为基本事件. 复合事件：可以用基本事件来描述的随机事件称为复合事件. 2.频率与概率频数：设在n 次重复试验中，事件发A 生了m 次（0 ≤m ≤n ），m 称为事件A 的频数. 频率：事件A 的频数在试验的总次数中所占的比例mn，称为事件A 发生的频率. 事件A 发生的概率：当试验次数充分大时，如果事件发A 生的频率mn总稳定在某个常数附近，那么就把这个常数叫做事件A 发生的概率,记作)(A P . 事件A 发生的概率的性质：（1）对于必然事件Ω，()1=P Ω； （2）对于不可能事件∅，0)(=∅P ； （3）0≤P (A )≤1. 知识点2： 古典概型 1. 古典概型：（1）定义：如果一个随机试验的基本事件只有有限个，并且各个基本事件发生的可能性都相等，那么称这个随机试验属于古典概型.特征：试验的所有可能结果的个数是有限的；每个结果出现的机会均等.（2）在古典概型中，若试验共包含有n 个基本事件，并且每一个事件发生的可能性都相同，事件A 包含m 个基本事件，那么事件A 发生的概率()m P A n =2.互斥事件：（1）定义：在随机试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件或互不相容事件 （2）和事件：在随机试验中，若事件C 发生意味着事件A 与事件B 中至少有一个发生，则把事件C 称为事件A 与事件B 的和事件,记作C AB =（3）互斥事件的概率加法公式：互斥的事件A 和事件B 中至少有一个发生的概率()()()P A B P A P B =+知识点3：离散型随机变量及其分布 1.随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量的取值来表示，这个变量的取值带有随机性，并且取这些值的概率是确定的，那么这个变量叫做随机变量，通常用小写希腊字母ξ、η等表示，或用大写英文字母，,,X Y Z 等表示. 2.离散型随机变量的概念如果随机变量的所有可能取值可以一一列出，则这种随机变量称为离散型随机变量. 3.离散型随机变量的概率分布（1）离散型随机变量的概率分布的定义离散型随机变量ξ的所有可能取值1x ，2x ，3x …，i x …与其对应的概率(x )i i P p ξ==（i =1，2，3，…）所有组成的表叫做随机变量ξ的概率分布（分布列）. 离散型随机变量概率分布的性质. ① 0(1,2,3,)i p i =≥；②1231i p p p p +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=.（2）计算离散型随机变量的概率分布的主要步骤为 ①写出随机变量的所有取值；②计算出各个取值对应的随机事件的概率； ③列出表格.注意验证0(1,2,3,)i p i =≥以及121i p p p ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=.知识点4：二项分布 1.n 次独立重复实验定义：在相同条件下，重复进行n 次试验，如果每次试验的结果与其他各次试验的结果无关，那么这n 次重复试验叫做n 次独立重复试验. 2.n 次伯努利实验定义：在n 次独立重复试验中，如果每次试验的可能结果只有两个，且它们相互对立，即只考虑两个事件A 和A ，并且在每次试验中事件A 发生的概率都相同，这样的n 次独立重复试验叫做n 次伯努利试验. 3.伯努利公式如果在每次试验中事件A 发生的概率()P A p =，事件A 不发生的概率()1P A p =-，那么在n 次伯努利试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为k n k k n n p p k P --=)1(C )((其中0,1,2,,k n =⋅⋅⋅).4.二项分布如果在一次试验中某事件A 发生的概率的p ,随机变量ξ为n 次独立试验中事件发A 生的次数，那么随机变量ξ的概率分布为其中n k p ,,2,1,0,10 =<<我们将这种形式的随机变量ξ的概率分布叫做二项分布．称随机变量ξ服从参数为n 、p 的二项分布，记为(,)B n p ξ．二项分布是以伯努利试验为背景的重要分布． 题型一 基本概念例1 一口袋中有10个小球，其中有8个白球、2个黑球,从中任取3个小球,有以下事件：①3个都是白球. ②至少有一个是黑球. ③3个都是黑球. ④至少有一个白球.其中随机事件是 ；必然事件是 ；不可能事件是 . 分析：本题考察定义的理解及“至少”的含义. 随机事件有①②； 必然事件有④； 不可能事件有③. 解答：①②，④，③ 题型二 古典概型例2 同时抛掷两颗骰子，则所得点数之和为7的概率为 .分析：本题考查古典概型，试验发生包含的事件是抛掷两颗骰子，共有6⨯6=36种结果，满足条件的事件是点数之和为7，可以列举出所有的事件：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)共有6种结果，根据古典概型概率公式得到61=P . 解答：61. 题型三 互斥事件例3 某地区年降水量在50~100mm 范围内的概率为0.21，在100~150mm 范围内的概率为0.22，则年降水量在50~155mm ，范围内的概率为多少？ 分析：应用互斥事件的概率加法公式 解答：0.43题型四 独立重复试验及概率例4 一枚硬币连续抛掷3次，恰好有两次正面向上的概率为（ ）.A.18B.38C.12 D.23分析：设事件A =｛正面向上｝，则()P A =12，抛掷3次相当于做3次独立重复试验，恰好有两次正面向上的概率为2123113(2)228P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解答：B .题型五 离散型随机变量的概率分布例5 从含有8个正品、2个次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽取一个，用ξ表示抽到次品的次数，求: （1） ξ的概率分布.（2） 至多有一次抽到次品的概率.解答：（1）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，且383107(0)15C P C ξ===， 1228310715C C P C ξ=（=1）=， 21283101(2)15C C P C ξ===. 所以ξ的概率分布为（2）至多有一次抽到次品的概率为715+715=1415. 题型六 二项分布例6 在人寿保险中，设一个投保人能活到65岁的概率为0.6，求三个投保人中活到65岁的人数ξ的概率分布．解答：记A ={一个投保人能活到65岁}，则A ={一个投保人活不到65岁}．于是()0.6,()10.60.4P A P A ==-=．且随机变量(3,0.6)B ξ．因此0333(0)0.6(10.6)0.064P C =⋅⋅-=， 11233(1)0.6(10.6)0.288P C =⋅⋅-=，22133(2)0.6(10.6)0.432P C =⋅⋅-=，33033(3)0.6(10.6)0.216P C =⋅⋅-=.所以，三个投保人中能活到65岁的人数ξ的概率分布为一、选择题1．在10张奖券中，有1张一等奖，2张二等奖，从中任意抽取1张，则中一等奖的概率为（ ）． A.310 B.15 C.110 D.132.甲乙两人进行一次射击，甲击中目标的概率为0.7，乙击中的概率为0.2，那么甲乙两人都没击中的概率为（ ）．A. 0.24 B .0.56 C. 0.06 D. 0.863.某人从一副不含大小王扑克牌中（52张）任意取一张出来，他抽到黑桃或是红桃的概率为（ ）．A. 0B.152 C. 1352 D. 124.书包里有中文书5本，英文书3本，从中任集抽取2本，则都抽到中文书的概率是（ ）． A.15 B.25 C.12 D.5145.一个口袋中有5个红球，7个白球，每次取出一个，有放回取三次，观察球的颜色属于（ ）．A.重复试验B.古典概型C. 3次独立重复试验概率模型D.以上都不是 6.同时抛掷三枚硬币，三枚出现相同一面的概率为（ ）．A12 B 14 C 16 D 187．某品牌种子的发芽率是0.8，在试验的5粒种子中恰有4粒发芽的概率是（ ）． A.410.8(10.8)- B.140.8(10.8)-C.41450.8(10.8)C -D.44150.8(10.8)C -8.下列变量中不是随机变量的是（ ）． A. 射手射击一次的环数 B. 在一个标准大气压下100时会沸腾 C. 城市夏季出现的暴雨次数 D. 某班期末考试数学及格人数9.若从标有3，4，5，6，7的5张卡片中任取3张，取得奇数的个数为ξ，则随机变量ξ的可能取值的个数是（ ）．A .0 B. 1 C. 2 D .3 10.已知离散型随机变量ξ的概率分布为则n 的值为（ ）．A .0.31 B. 0.25 C. 0.26 D. 0.2 二、判断题：1. 某人参加射击比赛，一次射击命中的环数为（奇数环）是随机事件( )2. 在重复进行同一试验时，随着试验总次数的增加，事件A 发生的频率一般会越来越接近概率. ( )3. 任一事件A ,其发生的概率为()P A ，则有0≤P (A )≤1 . ( )4. 必然事件的概率为0.( )5. 袋子里有3颗红球6颗白球，从中任取一颗是白球的概率是13.( ) 6. 盒内装有大小相同的3个白球1个黑球，从中摸出2个球，则两个球全是白球的概率是12. ( )7. 同时抛掷3枚硬币，三枚出现相同一面的概率是18. ( )8. 同宿舍8人抓阄决定谁负责周一值日是随机试验.( )9. 运动员进行射击训练，考察一次射击命中的环数，命中2环的概率是110. （）10. 甲、乙两台机床，它们因故障停机的概率分别为0.01和0.02，则这两台机床同时因故障停机的概率为0.03. ( )三、填空题1．在10件产品中有3件次品，若从中任取2件，被抽到的次品数用ξ表示，则2ξ=表示的随机事件为．2．盒中有3个白色的球和5个红色的球，任取出一个球，取出的是红色的概率为．3.10件产品中有2件次品，任取3件，设取出的3件产品中所含正品数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为．4．从甲、乙、丙3人中，任选2人参加社会实践，甲被选中的概率为．5．某气象站天气预报的准确率为0.8，一周中播报准确的次数为ξ，则2ξ=的概率为．（用式子表示）四、解答1．口袋里装有3个黑球与2个白球，任取3个球，求取到的白球的个数ξ的概率分布．2.口袋里装有4个黑球与1个白球，每次任取1个球，有放回地取3次，求所取过的3个球中恰有两个黑球的概率.高考链接1.(2014年) 已知离散型随机变量ξ的概率分布为则(1)Pξ==( )．A .0.24 B. 0.28 C.0.48 D.0.522.(2019年) 一口袋里装有4个白球和4个红球现在从中任取3个球，则取到既有白球又有红球的概率 .3.(2018年) 若将一枚硬币抛3次，则至少出现一次正面的概率为 .4.(2016年) 从1，2，3，4，5中任选3个数字组成一个无重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为 .5.(2017年) 取一个正方形及其外接圆，在圆内随机取一点，该点取自正方形内的概率为．积石成山1.某单选题要求从A 、B 、C 、D 四个选项中，选择一个正确答案，假设考生不会，随机地选择了一个答案，则他答对此题的概率是（）．A.1B.12C.13D.142. 某乐队有11名乐师，其中男乐师7人，现该乐队要选出一名指挥,则选出的指挥为女乐师的概率为（）．A.711B14C.47D.4113. 已知A 、B 是互斥事件，若1()5P A=,1()2P A B+=，则()P B的值是（）．A .45B.710C.310D.1104. 袋中装有3个黑球和2个白球一次取出两个球，恰好是黑白球各一个的概率（）．A. 15B.310C.25D.355. 5人站成一排照相，其中甲乙二人相邻的概率为（）．A. 25B.35C.15D.146. 一个箱子中有6个除了颜色之外完全一样的球，其中2个是红色的，4个是黑色的，那么在里面随机拿出一个是红色的概率是多少？（）．A. 12B.13C.14D.167. 掷一枚质地均匀且六面上分别有1，2，3，4，5，6点的骰子，则向上一面点数大于4的概率为（）．A. 12B.13C.23D.148. 抛掷一枚质地均匀的骰子，则向上一面出现偶数点概率是（）．A.12B.13C.16D.19.把一枚均匀的硬币连抛5次，得到5次国徽向上的概率为（）．A. 132B.532C.316D.313210.一副扑克牌去掉大小王，任意抽出一张不是黑桃的概率为（）．A. 14B .13C.12D.34概率答案一、选择题二、判断题三、填空题1.｛任抽2件，有2件次品｝.2. 58解析：151858CpC==.3. 1，2，3.4. 23解析：枚举法：选派方法有（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙）共3种，其中甲被选中有2种，故所求概率为 23P =.5. 22570.8(10.8)C ⨯⨯-解析：设A =｛播报一次，准确｝，则()0.8P A =,所以2257(2)0.8(10.8)P C ξ==⨯⨯-四、解答题1. 分析：任取3球属于古典概型，服从的分布为离散型随机变量的概率分布. 解：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，则3032351(0)10C C P C ξ===, 2132353(1)5C C P C ξ===, 1232353(2)10C C P C ξ===. 所以概率分布为2. 分析：本题为有放回的抽取，是伯努利试验，服从二项分布. 解：设所取过的3个球中含有黑球的个数为随机变量ξ，则43,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，于是 21234148(2)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .高考链接1.B2.67解析：古典概率模型，则从中任意取3个球，取到既有白球又有红球的概率为122144443867C C C C C +=.3.78解析：试验发生包含的事件是将一枚硬币抛掷三次，共有328=（种）结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是反面，有1种结果，则至少一次正面向上的概率是17188-=.4.25解析：从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复的三位数，基本事件总数3560n P ==，这个三位数是偶数包含的基本事件个数122424m C P ==,∴这个三位数是偶数的概率为242605mPn===.5. 2π解析：设正方形的边长为11S=正方形，∴222Sππ⎛=⨯=⎝⎭外接圆∴该点取自正方形内部的概率为122Pππ==.积石成山。
数学第六章例题
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二、条件概率和乘法公式（练习题）
从三雄两雌共５只小白鼠中任意选出两只做 实验，若已知选出了１只雌鼠，求另１只也是雌 鼠的概率？
1 则 P ( A2 | A1 ) = . 4
解：设 A1 = {第一只是雌鼠}，A2 = {第二只是雌鼠}，
2 C2 2 C5
1 P ( A1 A2 ) = 1 = . 或 P ( A2 | A1 ) = C2 4 P ( A1 ) 1 C5
故 P ( A B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A B )
= P ( A) + P ( B ) − P ( AB ) = (1 − 0.3) + (1 − 0.25) − (1 − 0.2)]
= 0.65.
9
二、条件概率和乘法公式（例题） 例. 某种疾病能导致心肌受损害. 若第一次患该病， 心肌受损害的概率为0.3，第一次患该病心肌未受 损害而第二次患该病时，心肌受损害的概率为0.6， 求某人患该病两次心肌未受损害的概率？ 解：设 A i = {第 i 次患该病心肌受损害}，i = 1 ， 2.
因 P ( A) = 0.3 ， P ( B ) = 0.25 ， P ( AB ) = 0.2 ，
故 P( A B) = P( A B) = 1 − P( A B)
= 1 − [ P ( A) + P ( B ) − P ( AB )]
= 1 − [0.3 + 0.25 − 0.2] = 0.65.
a a (a + b − 1)! 解：P ( A) = = . a+b (a + b )!
第k个 k－ 1 个
4
a＋ b－ k 个
概率与概率分布
故乘客候车小于5min的概率为
1 P(0 5) dx 0.5 0 10
5
2、正态分布 一、 概念和公式的引出 正态分布 如果随机变量 的密度函数为
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
( x (,))
其中 , ( 0) 为参数，则称随机变量 服从参数为
如果随机变量 取值为0，1，2，…，n，其概率 分布为
k P( k ) Cn p k (1 p) nk (k 1,2,, n)
则称 服从参数为n,p的二项分布，记作
～B(n, p)
三、进一步练习 练习[摸球]
练习 [使用寿命] 按规定，某种型号电子元件的使用 寿命超过1500小时的为一级品．已知某大批产品的一 级品率为0.2，现从中随机地抽查10只，设10只元件 中一级品的只数为 ，求 的概率分布．
“出现正面”这一随机事件．
3.2.1 离散型随机变量及其分布
一、案例 二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
案例 [取球]
上面我们已经知道随机变量可以表示随机试验的
结果，有些随机试验的结果可用随机变量的取值按 一定顺序列出．如掷一枚骰子，可用 取值1，2，…，6来表示所有结果．
二、 概念和公式的引出 离散型随机变量
k 10 k
的概率分布为
10 k
P( k ) C (0.2) (0.8)
(k 1,2, ...)
3．泊松分布 二、 概念和公式的引出 泊松分布 如果随机变量 的概率分布为
P( k )
k
k!
e
( 0, k 0,1,2,, n)
则称 服从参数为 的泊松分布，记作
概率论第六章习题解答(全)
1 P{0.3 2 ( X Y ) 2 0.3 2} 1 (0.3 2) (0.3 2) 2 2 (0.3 2) 2 2 (0.42) 2(1 0.6628) 2 0.3372 0.6744
4、 （1） 设 X 1 , X 2 , , X 6 样本是来自总体 N (0,1) ， Y ( X1 X 2 X 3 ) ( X 4 X 5 X 6 ) ，
(
1 10 i1 2 2 ) e 2
( xi )2
10
又
X
1 10 1 10 1 10 X i ， E( X ) E( X i ) E( X i ) 10 i 1 10 i 1 10 i 1 1 10 1 D( X ) D( X i ) 2 10 i 1 10
i 1 5 i 1 5 5
1 (1 P{
i 1 5
X i 12 10 12 }) 2 2
5
1 (1 (1)) 1 (1)
i 1 i 1
1 (0.8413)5 1 04215 0.5285
3、求总体 N (20,3) 的容量分别为 10,15 的两个独立样本均值差的绝对值不超过 0.3 的概率。 解 则 设容量为 10 的样本均值为 X ，样本容量为 15 的样本均值为 Y ，
且
X1 X 2 2 2 2 ， X 3 X 4 X 5 相互独立，于是由 t 分布的定义知 2 X1 X 2 X1 X 2 3 2 t (3) 2 2 2 2 X3 X4 X5 2 ( X X 2 X 2 ) 12 3 4 5 3
因此所求常数为
C
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10、一家超市所作的一项调查表明，有 80%的顾客到超市是来购买食品，60%的 人是来购买其他商品，35%的人既购买食 品也购买其他商品。设A=顾客购买食品， B=顾客购买其他商品。则某顾客来超市购 买食品的条件下，也购买其他商品的概率 为（）
分析：事件AB是否存在联系，求P(AB) 分析：事件AB是否存在联系，求P(AB)
6、抛掷一枚硬币，观察其出现的是正面还是反 面，并将事件A定义为：事件A=出现正面，这一 事件的概率记作P(A)，则概率P(A)=1/2的含义是 （ ） A抛掷多次硬币，恰好有一半结果正面朝上 B抛掷两次硬币，恰好有一次结果正面朝上 C抛掷多次硬币，出现正面的次数接近一半 D抛掷一次硬币，出现的恰好是正面 7、若一事件取值的概率为1，这这一事件被称 为—— 8、抛掷一枚骰子，并考察其结果，其点数为1点 或2点或3点或4点或5点或6点的概率为——
设有50件产品，其中5件次品，现从这50 件中任意取出2件，求两件都是合格品的 概率；求两件都是次品的概率。
设有50件产品，其中5件次品，现Байду номын сангаас这50 件中任意取出2件，可以看成是分两次抽取， 每次只抽取一件，假如：（1）采取不放回 抽样，即第一次抽出的样品不再放回去参 与下次的抽取；（2）采取有放回抽样，即 第一次抽出的样品又放回去参加下次抽取。
第六章（一）概率与概率分布 练习
1、一项实验中所有可能结果的集合称为—— 2、每次实验可能出现也可能不出现的事件称 为（） A必然事件 B样本空间 C随机事件 D不可能 事件 3、抛3枚硬币，用0表示反面，1表示正面，其 样本空间为 ＝｛ ｝ 4、随机抽取一只灯泡，观察其使用寿命t，其 样本空间为 ＝｛ ｝ 5、观察一批产品的合格率p，其样本空间为 ＝｛ ｝
加法公式 互斥事件的加法 设有50件产品，其中5件次品，现从这50 件中任意取出2件，求至少抽到一件次品的 频率。
相容事件的加法 将分别写有0－9这十个数的小球装入一容 器众，搅拌之后任意摇出一个小球，观察 其数字，试求出现奇数或大于4的数的概率。
条件概率的乘法公式 某公司下属甲、乙两个工厂生产同种产品， 甲厂生产产品400件，其中一级品为200件； 乙厂生产产品600件，其中一级品360件。 若要从该公司的全部产品中任意抽取一件， 1、试求已知抽出产品为一级品的条件下该 产品出自甲厂的概率。2、试求已知抽出产 品出自甲厂的条件下为一级品的概率。
9、一家计算机软件开发公司的人事部门最 近做了一项调查，发现在最近两年离职的 公司员工中有40%是因为对工资不满意， 有30%是因为对工作不满意，有15%是因 为他们对工资和工作都不满意。设A=员工 离职是因为对工资不满意；B=员工离职是 因为对工作不满意。则两年内离职的员工 中，离职原因是因为对工资不满意、或者 对工作不满意、或者二者皆有的概率为（）
12、一家报纸的发行部已知在某社区有 75%的住户订阅了该报纸的日报，而且还 知道某个订阅日报的住户订阅其晚报的概 率为50%。设A=某住户订阅了日报；B=某 个订阅了日报的住户订阅了晚报，则该住 户既订阅日报又订阅晚报的概率为（——） A0.75 B0.50 C0.375 D0.475
18、设Z服从标准正态分布， 则P（0≤Z≤1.2）=（ ） 19、设Z服从标准正态分布， 则P（—0.48≤Z≤0）=（ ） 20、设Z服从标准正态分布， 则P（Z>1.33）=（ ）
21、若掷一枚骰子，考虑两个事件：A： 骰子的点数为奇数；B：骰子的点数大于 等于4，则条件概率P（A/B）=（） A1/3 B1/6 C1/2 D1/4
古典概率 例：设有50件产品，其中有5件次品。现 从这50件中任意取出2件，求抽到的两件 均为合格品的概率是多少？抽到的两件 均为次品的概率是多少？