3.2.2利用空间向量证明平行、
空间向量与平行关系-
(3)①∵u＝(1,1，－1)，a＝(－3,4,1)， ∴u·a＝－3＋4－1＝0， ∴u⊥a， ∴l⊂α 或 l∥α. ②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－6,9)， ∴u＝－13a， ∴u∥a，∴l⊥α.
第三章 空间向量与立体几何
已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－ 2,0)，试求平面α的一个法向量．
第三章 空间向量与立体几何
(2)∵C→1B1＝(2,0,0)， 设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量． 由 n2⊥FC1，n2⊥C→1B1， 得nn22··CF→→C1B11＝＝22yx22＋＝z02＝0 ，得xz22＝＝－0 2y2 ， 令 z2＝2 得 y2＝－1， 所以 n2＝(0，－1,2)，因为 n1＝n2， 所以平面 ADE∥平面 B1C1F.
第三章 空间向量与立体几何
(2)①∵u＝(－1,1，－2)，v＝3，2，－12， ∴u·v＝－3＋2＋1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.5 分 ②∵u＝(3,0,0)，v＝(－2,0,0)， ∴u＝－32v，∴u∥v，∴α∥β.6 分 ③∵u＝(4,2，－3)，v＝(1,4，－2)， ∴u 与 v 不共线也不垂直， ∴α、β 相交但不垂直.8 分
第三章 空间向量与立体几何
1.(1)设 a、b 分别是不重合的直线 l1、l2 的方向向量，判断 l1、 l2 的位置关系．
①a＝(2,3，－1)，b＝(－4，－6,2)． ②a＝(3,0，－1)，b＝(0,5,0)． (2)设 u、v 分别是平面 α、β 的法向量，判断 α、β 的位置关系． ①u＝(1，－1,2)，v＝3，2，－12. ②u＝(0,2,0)，v＝(0，－1,0)．
第三章 空间向量与立体几何
322利用空间向量证明平行
3.证明线面垂直: 直线l, 平面α, 要让l ⊥α,只要在l 上取一个非零 向量p,在α内取两个不共线的向量a、b,问题转化为证明 p⊥a且p⊥b,也就是a·p=0且b·p=0.
4.证明面面平行、面面垂直,最终都要转化为证明线线平行、 线线垂直.
4.证明面面平行的方法 (1)转化为__线__线__平__行__、__线__面__平__行__处理; (2)证明这两个平面的法向量是 _共__线__向_量____.
5.证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量 __互__相__垂__直__.
6.证明线面垂直的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量是 __共__线_向__量___; (2)证明直线与平面内的_两__条_不__共__线__向. 量互相垂直
3.2.2 利用空间向量证明平行、 垂直关系
自 学 导 引 (学生用书P80) 会用空间向量证明线与线、线与面、面与面之间的平行 ,垂
直关系,掌握用向量解决立体几何问题的方法步骤 .
课 前 热 身 (学生用书P80)
1.空间中的平行关系主要有____线__线__平_行_、____线_面__平__行_、 __面_面__平__行___,空间中的垂直关系主要有__线__线_垂__直___、 __线__面__垂__直__、___面__面__垂_直__.
? EF / / AB1, 即EF ? AB1,同理EF ? B1C. 又AB1 ? B1C ? B1, ? EF ? 平面B1AC.
方法3:设正方体的棱长为2,建立如下图所示的空间直角坐标 系,
则A ?2,0,0 ?,C ?0, 2,0 ?, B1 ?2, 2, 2?, E ?2, 2,1?, F?1,1,2?.
3.2.2空间向量与平行.垂直关系
法二 (坐标法) 设 AB 中点为 O，作 OO1∥AA1. 以 O 为坐标原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴， OO1 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系．由已知得
A(－12，0，0)，B(12，0，0)，C(0， 23，0)，N(0， 23，14)，B1(12，0， 1)， ∵M 为 BC 中点，∴M(14， 43，0)．
题型二 证明线线垂直
【例2】 已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的各棱长
都为 1，M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧
棱 CC1 上的点，且 CN＝14CC1.求证：AB1⊥ MN. [思路探索] 解答本题可先选基向量，证明A→B1·M→N＝0 或先 建系，再证明A→B1·M→N＝0.
解 法一 (基向量法)
(3)若直线 l 的方向向量是 u，平面α的法向量是 v，则有 l∥α⇔u⊥v⇔u·v＝0；l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv(k∈R)．
空间垂直关系的向量表示
(1)线线垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b ＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a_⊥__b__⇔ a_·_b_＝__0__⇔ _a_1_b_1＋__a_2b2＋a3b3＝0 (2)线面垂直
设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2， b2，c2)，则l⊥α⇔u∥v⇔ __u_＝__k_v．
(3)面面垂直
设平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝ (a2，b2，c2)，则α⊥β⇔__u_⊥__v_⇔ ___u_·_v＝__0_ ⇔ _a_1_a_2_＋__b_1b_2_＋__c_1_c_2＝__0___ ．
试一试：若平面α与β的法向量分别是a＝(4，0，－2)，
高中数学§3.2立体几何中的向量方法(一)——空间向量与平行关系
§3.2立体几何中的向量方法(一)——空间向量与平行关系课时目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题.2.能用向量语言表述线线，线面，面面的平行关系．1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线________或______的向量，一条直线的方向向量有________个．2．平面的法向量直线l⊥α，取直线l的____________a，则向量a叫做平面α的__________．3．空间中平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，且a2b2c2≠0，则l∥m ⇔______________⇔__________⇔________________________.(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔________⇔__________⇔________________________.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔__________⇔__________⇔________________________.一、选择题1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α的一个法向量的是()A．(0，－3,1) B．(2,0,1)C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)2．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A．(1,2,3) B．(1,3,2)C．(2,1,3) D．(3,2,1)3．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为() A．(1，－1,1) B．(2，－1,1)C．(－2,1,1) D．(－1,1，－1)4．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为() A．(－9，－7,7) B．(18,17，－17)C．(9,7，－7) D．(－14，－19,31)5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．相交B．平行C．垂直D．不能确定6．已知线段AB的两端点的坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则与线段AB平行的坐标平面是()A ．xOyB ．xOzC ．yOzD ．xOy 或yOz二、填空题7．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的单位法向量坐标为________________________．8．已知直线l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，且l ∥α，则m ＝________. 9.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、P 、Q 分别为棱AB 、CD 、BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则 ①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥面DCC 1D 1； ④A 1M ∥面D 1PQB 1.以上结论中正确的是________．(填写正确的序号) 三、解答题10．已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2，0)，试求平面α的一个法向量． 11.如图所示，在空间图形P —ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，CD ∥AB ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，且PB ＝4PM ，∠PBC ＝30°，求证：CM ∥平面P AD .【能力提升】12．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.13.如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝60°，P A⊥平面ABCD，P A＝AC＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．平行关系的常用证法（1）证明线线平行只需要证明表示两条直线的向量满足实数倍数关系，如证明AB ∥CD只需证AB →＝λCD →.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外．证面面平行可转化证两面的法向量平行．(2)证明线面平行问题或面面平行问题时也可利用立体几何中的定理转化为线线平行问题，再利用向量进行证明．§3.2 立体几何中的向量方法(一)——空间向量与平行关系知识梳理1．平行 重合 无数 2．方向向量 法向量3．(1)a∥b a ＝λb a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2(a 2b 2c 2≠0)(2)a∥u a·u ＝0 a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0(3)u∥v u ＝k v a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2(a 2b 2c 2≠0)作业设计1．D [只要是与向量n 共线且非零的向量都可以作为平面α的法向量．故选D.]2．A [∵AB →＝(2,4,6)，而与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量，故选A.]3．C [显然a 与b 不平行，设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧a·n ＝0，b·n ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝0，5x ＋6y ＋4z ＝0. 令z ＝1，得x ＝－2，y ＝1，∴n ＝(－2,1,1)．]4．B [设B (x ，y ，z )，AB →＝(x －2，y ＋1，z －7) ＝λ(8,9，－12)，λ>0.故x －2＝8λ，y ＋1＝9λ，z －7＝－12λ， 又(x －2)2＋(y ＋1)2＋(z －7)2＝342， 得(17λ)2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.∴x ＝18，y ＝17，z ＝－17，即B (18,17，－17)．]5．B [可以建立空间直角坐标系，通过平面的法向量AB →和MN →的关系判断．]6．C [AB →＝(0,5，－3)，AB 与平面yOz 平行．]7.⎝⎛⎭⎫33，33，33或⎝⎛⎭⎫－33，－33，－338．－8解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量与α的法向量垂直．∴(2，m,1)·⎝⎛⎭⎫1，12，2＝2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8. 9．①③④解析 ∵A 1M →＝AM →－AA 1→＝D P →－DD 1→＝D 1P →， ∴A 1M ∥D 1P .∵D 1P ⊂面D 1PQB 1，∴A 1M ∥面D 1PQB 1. 又D 1P ⊂面DCC 1D 1，∴A 1M ∥面DCC 1D 1. ∵B 1Q 为平面DCC 1D 1的斜线，∴B 1Q 与D 1P 不平行，∴A 1M 与B 1Q 不平行． 10．解 ∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，∴AB →＝(1，－2，－4)，AC →＝(2，－4，－3)， 设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )．依题意，应有n ·AB →＝0，n ·AC →＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －4z ＝02x －4y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y z ＝0. 令y ＝1，则x ＝2.∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)．11．证明 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz . 方法一∵∠PBC ＝30°，PC ＝2， ∴BC ＝23，PB ＝4.于是D (1,0,0)，C (0,0,0)，A (4,23，0)，P (0,0,2)． ∵PB ＝4PM ，∴PM ＝1，M ⎝⎛⎭⎫0，32，32.∴CM →＝⎝⎛⎭⎫0，32，32，DP →＝(－1,0,2)，DA →＝(3，23，0)．设CM →＝x DP →＋y DA →，其中x ，y ∈R .则⎝⎛⎭⎫0，32，32＝x (－1,0,2)＋y (3,23，0)．∴⎩⎨⎧－x ＋3y ＝023y ＝322x ＝32，解得x ＝34，y ＝14.∴CM →＝34DP →＋14DA →，∴CM →，DP →，DA →共面．∵CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD .方法二 由方法一可得CM →＝⎝⎛⎭⎫0，32，32，DP →＝(－1,0,2)，DA →＝(3,23，0)．设平面P AD的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有，即⎩⎨⎧－x ＋2z ＝03x ＋23y ＝0.令x ＝1，解得z ＝12，y ＝－32.故n ＝⎝⎛⎭⎫1，－32，12.又∵CM →·n ＝⎝⎛⎭⎫0，32，32·⎝⎛⎭⎫1，－32，12＝0.∴CM →⊥n ，又CM ⊄平面P AD . ∴CM ∥平面P AD .12．证明 方法一 ∵B 1C →＝A 1D →，B 1∉A 1D ，∴B 1C ∥A 1D ，又A 1D ⊂平面ODC 1， ∴B 1C ∥平面ODC 1.方法二 ∵B 1C →＝B 1C 1→＋B 1B →＝B 1O →＋OC 1→＋D 1O →＋OD →＝OC 1→＋OD →. ∴B 1C →，OC 1→，OD →共面．又B 1C ⊄平面ODC 1，∴B 1C ∥平面ODC 1. 方法三建系如图，设正方体的棱长为1，则可得 B 1(1,1,1)，C (0,1,0)， O ⎝⎛⎭⎫12，12，1，C 1(0,1,1)， B 1C →＝(－1,0，－1)，OD →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，－1，OC 1→＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则得⎩⎨⎧－12x 0－12y 0－z 0＝0， ①－12x 0＋12y 0＝0， ②令x 0＝1，得y 0＝1，z 0＝－1，∴n ＝(1,1，－1)． 又B 1C →·n ＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0， ∴B 1C →⊥n ，且B 1C ⊄平面ODC 1， ∴B 1C ∥平面ODC 1.13．解 方法一 当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC . ∵BF →＝BC →＋12CP →＝AD →＋12(CD →＋DP →)＝AD →＋12(AD →－AC →)＋32(AE →－AD →)＝32AE →－12AC →. ∴BF →、AE →、AC →共面． 又BF ⊄平面AEC ， ∴BF ∥平面AEC . 方法二如图，以A 为坐标原点，直线AD 、AP 分别为y 轴、z 轴，过A 点垂直于平面P AD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系．由题意，知相关各点的坐标分别为A (0,0,0)，B ⎝⎛⎭⎫32a ，－12a ，0，C ⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，0，D (0，a,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫0，23a ，13a . 所以AE →＝⎝⎛⎭⎫0，23a ，13a ，AC →＝⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，0， AP →＝(0,0，a )，PC →＝⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，－a ，BP →＝⎝⎛⎭⎫－32a ，12a ，a .设点F 是棱PC 上的点，PF →＝λPC →＝⎝⎛⎭⎫32aλ，12aλ，－aλ，其中0<λ<1， 则BF →＝BP →＋PF →＝⎝⎛⎭⎫32a λ－1，12a 1＋λ，a 1－λ，令BF →＝λ1AC →＋λ2AE →即⎩⎪⎨⎪⎧λ－1＝λ1，1＋λ＝λ1＋43λ2，1－λ＝13λ2.解得λ＝12，λ1＝－12，λ2＝32，即λ＝12时，BF →＝－12AC →＋32AE →，即F 是PC 的中点时，BF →、AC →、AE →共面．又BF ⊄平面AEC ，所以当F 是棱PC 的中点时，BF∥平面AEC.。
利用空间向量证明平行、垂直问题PPT精品课件
②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－
3 5
v，
∴u∥v，∴α∥β.
③∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，
∴u与v不共线，也不垂直，
∴α与β相交但不垂直．
(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，
∴u·a＝－6＋8－2＝0，
∴u⊥a，∴l⊂α或l∥α.
②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，∴u＝－
贝 多 芬
你知道托尔斯泰哪些 文学代表作？
它们在俄国历史上起 过什么作用？
托尔斯泰晚年为什么 选择“平民化”的道
“我要扼住命运的咽喉，它决不能使我 完全屈服”
——贝多芬
1.当时贝多芬遇到了怎样的厄 运？
2.他是怎样“扼住命运的咽 喉”？
《吃土豆的人》
哪一首乐曲标志着贝多芬在艺术 上和思想上的成熟？
b，∴a∥b，∴l1∥l2.
②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，
∴a·b＝0，∴a⊥b，
∴l1⊥l2.
③∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，
∴a与b不共线，也不垂直，∴l1与l2相交或异面．
(2)①u＝(1，－1,2)，v＝3，2，－12 ，
∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.
A．(2,3,1)
B．(1，－1,2)
C．(1,2,1)
D．(1,0,3)
解析：A→D＝xA→B＋yA→C＝(x＋y，x＋2y，x－y)， 对四个选项逐个检验，只有当(x＋y，x＋2y，x－y)＝
(1,0,3)时有解xy＝ ＝2－1 . 答案：D
1．注意用向量中的有关公式及变形，借助建立直角坐 标系将复杂的几何问题化为简单的代数问题．
3-2-2 向量法在空间平行关系中的应用
CC1 的中点，求证：四边形 B1EDF 是平行四边形．
第三章
3.2
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-1
[分析]
→ 欲证四边形 B1EDF 是平行四边形，只须证B1E＝
→ → → FD(或B1F＝ED)，利用长方体中棱的平行关系和中点 E、F 可 用加减运算法则证明．
[证明]
以 D 为原点，DA、DC、DD1 为 x 轴、y 轴、z 轴
建立直角坐标系如图． 1 设正方体棱长为 1，则 B(1,1,0)，M(1,1， )，C(0,1,0)， 2 A1(1,0,1)， ∵N 是 A1C 中点，
1 1 1 → → 1 1 1 → ∴N2，2，2，DB＝(1,1,0)，NM＝2，2，0＝2DB，
λv1＋μv2 对 β 内任一向量 a，有 a＝____________.· 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-1
重点难点展示
第三章
3.2
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-1
重点：用直线的方向向量与平面的法向量来表示空间中的 平行关系；共面向量定理与线面平行的联系． 难点：如何实现线面位置关系与向量运算的联系．
∴四边形 B1EDF 是平行四边形．
第三章
3.2
第2课时
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正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， M、 分别是棱 BB1 和对 点 N 角线 CA1 的中点，求证：MN∥BD.
第三章
3.2
第2课时
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利用空间向量证明平行
利用空间向量证明平行平行是向量的重要性质之一，通过利用空间向量可以证明向量之间的平行关系。
在三维空间中，我们可以用向量表示空间中的点和线，向量的方向和长度性质可以用来描述空间中的各种几何关系，包括平行。
首先，让我们定义两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的起点都在原点$O$。
假设这两个向量平行，我们可以利用以下空间向量的性质进行证明。
根据向量的叉乘公式，我们可以得到以下等式：$(a_2b_3-a_3b_2)\vec{i}+(a_3b_1-a_1b_3)\vec{j}+(a_1b_2-a_2b_1)\vec{k}=0$由于向量$\vec{i}$，$\vec{j}$，$\vec{k}$是线性无关的，所以上述等式成立的充分必要条件是：$a_2b_3-a_3b_2=0$$a_3b_1-a_1b_3=0$$a_1b_2-a_2b_1=0$以上等式即为判断向量$\vec{a}$和$\vec{b}$平行的条件式。
如果这三个条件式都成立，那么我们可以断定$\vec{a}$和$\vec{b}$平行。
在利用空间向量证明平行时，还需要注意以下几点：1.向量的起点需要相同，因为平行关系是两个向量共线的特殊情况，共享起点是判断平行性的前提条件。
2.以上证明的方法适用于三维空间，对于二维空间中的向量，只需要考虑平面内的坐标，即去掉$z$轴的分量即可。
证明的方法和步骤类似。
3.利用向量的坐标分量进行证明时，要注意考虑向量的方向。
如果两个向量的方向相反，那么它们的叉积为零，同样能够证明它们是平行的。
总之，通过利用空间向量的共线性和叉乘公式，我们可以证明两个向量是否平行。
这是一种简单但有效的方法，在几何学和向量分析中得到了广泛应用。
3.2.2 利用向量证明空间中的垂直关系
垂直关系
一、基础知识
1、立体几何中如何证明两条直线垂直？
①利用定义：证明两直线所成角为 900； ②利用线面垂直的性质来证明线线垂直.
线面垂直的性质:如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线 垂直该平面内的任一直线.
αA
l B
Q C
lα AB α
l
BB1，CD 的中点，求证：D1F⊥平面 ADE.
【解析】如图,以 O 为原点建立空间直角
z
D1
C1 坐标系.设棱长为 2，由题意可得
A1
D(0,0,0),D1(0,0,2),F(0,1,0),A(2,0,0),
B1
E(2,2,1)
D xA
E C
y
D1F (0,1,2),DE (2,2,1),DA (2,0,0)
C.l1⊥l2
D.不能确定
2.设平面α的法向量为a (1,2,2) ，平面β的法向量为
b (2,4,k)，若α⊥β，则 k=( B )
A.2
B.-5
C.4
D.-2
3.已知平面α内的两个向量a (2,2,1),b (2,0,0)，则平面的一个
法向量是( A )
A.(0,1,2) B.(1,0,2) C.(1, 2, 1) D.(0,0, 2)
(1)l⊥m
(2)l//m
答案： (1)α β
(2)α //β
设两个平面α,β的法向量分别为a ,b ,则
α β ab ab0
二、自我检测
C 1、直线 l1,l2 的方向向量分别为a (1,2,2),b (2,3,2) ，则( )
利用空间向量证明平行问题
例题2:在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，求证：平面A1BD//平面CB1D1
以A为坐标原点建立空间坐标系如图， 证明：
z
A1
D1 C1
设正方体棱长为1，则 A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C (1,1, 0), D(0,1, 0)
B1
A B
D
y
A1 (0, 0,1), B1 (1, 0,1), C1 (1,1,1), D1 (0,, , 0), F (0, , )., EF (a, 0, ) 2 2 2 2
平面SAD的法向量为 EF / /平面SAD.
n (0,1,0)
b EF n a 0 0 1 0 0 2
EF n
P
M
A
D N C
B
设平面CB1 D1的法向量为n ( x, y, z),
x
C
在平面A1 BD中， A1 B (1,0, 1), A1 D (0,1, 1) n A1 B 11 1 0 1 (1) 0 n A1 D 1 0 11 1 (1) 0
CB1 (0, 1, 1), CD1 (1,0,1). n CB1 y z 0 , 令z 1, 则n (1,1,1) n CD1 x z 0
n A1 B, n A1 D
即n也是平面A1 BD的法向量。
平面A1 BD / /平面CB1 D1
归纳：运用空间向量的知识来证明平行问题 的步骤 1.在空间图形中建立适当的空间直角坐标系。 ---即寻找三条两两垂直且相交于一点的直线， 若有，则建立满足右手系的空间直角坐标系； 若没有，则需要作辅助线。 2.写出空间图形中各点的空间坐标。
2015年高考复习 用向量证明空间的平行关系(公开课)
题型一
利用方向向量和法向量判定线面位置关系
【例1】 1。设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根
据下列条件判断l1，l2的位置关系：
①a＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)； ②a＝(5，0，2)，b＝(0，1，0)；
解：①∵a＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)， ∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2. ②∵a＝(5，0，2)，b＝(0，1，0)， ∴ a· b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
3 | n | 2
练习 1： 已知 AB (2, 2,1), AC (4,5, 3), 求平面 ABC 的 单位法向量.
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z )
则 n AB ， n AC . ( x, y, z ) (2, 2,1) 0 2 x 2 y z 0 y 2 x ∴ ① ∴ 即 ( x, y, z ) (4,5, 3) 0 4 x 5 y 3z 0 z 2 x 1 2 2 2 ∵ x y z 1 ②∴由①②得 x 3 1 2 2 1 2 2 ，） ）. ∴平面 ABC 的单位法向量为 ( ， 或 ( ， ， 3 3 3 3 3 3
2。设u，v分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件
判断α，β的位置关系；
②u＝(3，0，0)，v＝(－2，0，0)；
1 ①u＝(－1，1，－2)，v＝(3，2，－ )； 2
1 (2)①∵u＝(－ 1， 1，－2)，v＝(3，2，－ )， 2 ∴ u· v＝－ 3＋2＋ 1＝0，∴ u⊥ v，∴α ⊥β . ②∵ u＝(3， 0，0)，v＝(－ 2，0，0)， 3 ∴ u＝－ v，∴u∥ v，∴ α∥ β. 2 (3)①∵u＝(2，2，－ 1)， a＝(－ 6，8， 4)， ∴ u· a＝－ 12－4＋16＝ 0，
3.2 向量法解决平行问题
AP t a
2、平面的法向量
换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面
的法向量
l
平面 α的向量式方程
a AP 0
a
P
A
总结:如何求平面的法向量
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 ) ⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
n1·D→A＝2x1＝0， 即n·A→E＝2y1＋z1＝0，
x1＝0， 得
z1＝－2y1.
令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2). 因为F→C1·n1＝－2＋2＝0，所以F→C1⊥n1. 又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
(2)平面ADE∥平面B1C1F. 证明 —C—1B→1＝(2,0,0)，设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量.
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l a // u a u
l
a
A
u
C B
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则 （3） u v u v 0
β
u
v
α
四、平行关系：
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ，平面 ,
－2x＋y＋3z＝0， 即
x－y＝0，
x＝3z，
解得
令 z＝1，则 x＝y＝3.
x＝y.
故平面ABC的一个法向量为n＝(3,3,1).
题型二 利用空间向量证明平行问题
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法3.2.2利用向量解决平行、垂直问题讲义
3.2.2 利用向量解决平行、垂直问题1．用向量方法证明空间中的平行关系(1)证明线线平行设直线l，m的方向向量分别是a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔□01a∥b⇔□02 a＝λb⇔□03a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)证明线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔□04a⊥u⇔□05a·u＝0⇔□06a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)证明面面平行①设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔□07u∥v⇔u＝λv⇔□08a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．②由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．2．用向量方法证明空间中的垂直关系(1)证明线线垂直设直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量u2＝(a2，b2，c2)，则l1⊥l2⇔□09u1⊥u2⇔□10u1·u2＝0⇔□11a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)证明线面垂直设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔□12 u∥v⇔□13u＝λv(λ∈R)⇔□14a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(3)证明面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔□15u ⊥v⇔□16u·v＝0⇔□17a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( )(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．( )答案 (1)× (2)√ (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若直线l 1的方向向量为u 1＝(1,3,2)，直线l 2上有两点A (1,0,1)，B (2，－1,2)，则两直线的位置关系是________．(2)若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为________．(3)已知两平面α，β的法向量分别为u 1＝(1,0,1)，u 2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________．(4)若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．答案 (1)垂直 (2)垂直 (3)垂直 (4)－10探究1 利用空间向量解决平行问题例1 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .[证明] (1)如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0，0,1)，B 1(2,2,2)， 所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →， 即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)因为C 1B 1→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量． 由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得 ⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F . 拓展提升利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系； (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．【跟踪训练1】 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．求证：PQ ∥RS .证明 证法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .则P (3,0,1)，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S (0,4,1)， PQ →＝(－3,2,1)，RS →＝(－3,2,1)，∴PQ →＝RS →，∴PQ →∥RS →，即PQ ∥RS . 证法二：RS →＝RC →＋CS →＝12DC →－DA →＋12DD 1→，PQ →＝PA 1→＋A 1Q →＝12DD 1→＋12DC →－DA →，∴RS →＝PQ →，∴RS →∥PQ →，即RS ∥PQ . 探究2 利用空间向量解决垂直问题例2 如图，在四棱锥E －ABCD 中，AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，AB ＝BC ＝CE ＝2CD ＝2，∠BCE ＝120°.求证：平面ADE ⊥平面ABE .[证明] 取BE 的中点O ，连接OC ，则OC ⊥EB ， 又AB ⊥平面BCE .∴以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz .如图所示．则由已知条件有C (1，0,0)，B (0，3，0)，E (0，－3，0)，D (1,0,1)，A (0，3，2)． 设平面ADE 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则n ·EA →＝(a ，b ，c )·(0,23，2)＝23b ＋2c ＝0，n ·DA →＝(a ，b ，c )·(－1，3，1)＝－a ＋3b ＋c ＝0.令b ＝1，则a ＝0，c ＝－3， ∴n ＝(0,1，－3)．∵AB ⊥平面BCE ，∴AB ⊥OC ，又OC ⊥EB ，且EB ∩AB ＝B ，∴OC ⊥平面ABE ， ∴平面ABE 的法向量可取为m ＝(1,0,0)． ∵n ·m ＝(0,1，－3)·(1,0,0)＝0， ∴n ⊥m ，∴平面ADE ⊥平面ABE . 拓展提升利用向量法证明几何中的垂直问题的两条途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的垂直关系． (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行证明．证明线面垂直时，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．在判定两个平面垂直时，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.【跟踪训练2】 如右图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明 证法一：设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1→＝b ，则EF →＝EB 1→＋B 1F →＝12(BB 1→＋B 1D 1→)＝12(AA 1→＋BD →)＝12(AA 1→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )，∵AB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b .∴EF →·AB 1→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b ) ＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0. ∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1，同理，EF ⊥B 1C . 又AB 1∩B 1C ＝B 1， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法二：设正方体的棱长为2，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2,2,1)，F (1,1,2)．∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1,1)．AB 1→＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)，∴EF →·AB 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF →⊥AB 1→，EF →⊥AC →， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC . 又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法三：同法二得AB 1→＝(0,2,2)，AC →＝(－2,2,0)， EF →＝(－1，－1,1)．设面B 1AC 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则AB →1·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝－1，∴n ＝(1,1，－1)，∴EF →＝－n ，∴EF →∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC . 探究3 与平行、垂直有关的探索性问题例3 如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得平面AMC ⊥平面BMC ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：如图，以O 为原点，以射线OD 为y 轴的正半轴，射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)， AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，由此可得AP →·BC →＝0，所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC .(2)假设存在满足题意的M ，设PM →＝λPA →，λ≠1，则PM →＝λ(0，－3，－4)．BM →＝BP →＋PM →＝BP →＋λPA →＝(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，AC →＝(－4,5,0)．设平面BMC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面APC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧BM →·n 1＝0，BC →·n 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4x 1－(2＋3λ)y 1＋(4－4λ)z 1＝0，－8x 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝2＋3λ4－4λy 1，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，2＋3λ4－4λ.由⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0，AC →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y 2＋4z 2＝0，－4x 2＋5y 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝54y 2，z 2＝－34y 2，可取n 2＝(5,4，－3)，由n 1·n 2＝0，得4－3×2＋3λ4－4λ＝0，解得λ＝25，故PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－65，－85，AM →＝AP →＋PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，95，125，所以AM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3. 拓展提升利用向量解决探索性问题的方法对于探索性问题，一般先假设存在，利用空间坐标系，结合已知条件，转化为代数方程是否有解的问题，若有解满足题意则存在，若没有满足题意的解则不存在．【跟踪训练3】 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.(1)求证：BC 1⊥平面AB 1C ；(2)在AB 上是否存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1.解 (1)证明：由已知AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，因而△ABC 是∠ACB 为直角的直角三角形，由三棱柱是直三棱柱，则CC 1⊥平面ABC ，以CA ，CB ，CC 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，从而CA →＝(3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)，则BC 1→·CA →＝(0，－4,4)·(3,0,0)＝0，则BC 1→⊥AC →，所以BC 1⊥AC .又四边形BCC 1B 1为正方形，因而BC 1⊥B 1C .又∵B 1C ∩AC ＝C ，∴BC 1⊥平面AB 1C .(2)假设存在点D (x ，y,0)，使得AC 1∥平面CDB 1，CD →＝(x ，y,0)，CB 1→＝(0,4,4)， 设平面CDB 1的法向量m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝0，m ·CB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧xa ＋yb ＝0，4b ＋4c ＝0.令b ＝－x ，则c ＝x ，a ＝y ，所以m ＝(y ，－x ，x )，而AC 1→＝(－3,0,4)，则AC 1→·m ＝0，得－3y ＋4x ＝0.① 由D 在AB 上，A (3,0,0)，B (0,4,0)得x －3－3＝y4，即得4x ＋3y ＝12，② 联立①②可得x ＝32，y ＝2，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，0，即D 为AB 的中点． 综上，在AB 上存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1，点D 为AB 的中点．1.利用向量证明线线平行的两种思路一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基底思路，通过向量的线性运算，利用共线向量定理证明.2.向量法证明线线垂直的方法用向量法证明空间中两条直线相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量相互垂直．具体方法为：(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，证明其数量积为0.(2)基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来．利用数量积运算说明两向量的数量积为0.3.向量法证明线面垂直的方法(1)向量基底法，具体步骤如下：①设出基向量，用基向量表示直线的方向向量；②找出平面内两条相交直线的方向向量并分别用基向量表示；③分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.(2)坐标法，具体方法如下：方法一：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示；④分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.方法二：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③求平面的法向量；④说明平面的法向量与直线的方向向量平行.4.证明面面垂直的两种思路一是证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为线面垂直；二是证明两平面的法向量垂直.1．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面( ) A．xOy平行B．xOz平行C．yOz平行D．yOz相交答案 C解析 因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz .2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确 答案 A解析 ∵v ＝－3u ，∴α∥β.3．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z 等于( )A ．3B ．6C ．－9D ．9 答案 C解析 ∵l ⊥α，v 与平面α平行，∴u ⊥v ，即u ·v ＝0，∴1×3＋3×2＋z ×1＝0，∴z ＝－9.4．在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，在如图所示的空间直角坐标系中，下列向量中是平面PAB 的法向量的是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12 B ．(1，2，1) C ．(1,1,1) D ．(2，－2,1) 答案 A解析 PA →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)，设平面PAB 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则x －2＝0，即x ＝2；－x ＋y ＝0，即y ＝x ＝2.所以n ＝(2,2,1)．因为⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12＝12n ，所以A正确．5．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱BB 1的中点，在棱DD 1上是否存在点P ，使MD ⊥平面PAC?解 如图，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12.假设存在P (0,0，x )满足条件，则PA →＝(1,0，－x )，AC →＝(－1,1,0)．设平面PAC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ PA →·n ＝0，AC →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－xz 1＝0，－x 1＋y 1＝0.令x 1＝1得y 1＝1，z 1＝1x ，即n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，1x ， 由题意MD →∥n ，由MD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1，－12，得x ＝2， ∵正方体棱长为1，且2>1，∴棱DD 1上不存在点P ，使MD ⊥平面PAC .。
3.2立体几何中的向量方法 第1课时 空间向量与平行关系 课件
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3.2 第1课时
解
(1)∵ a＝ (2,3，－1)，b＝(－ 6，－ 9,3) 1 ∴a＝－3b，∴a∥b，∴l1∥l2.
(2)∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，∴a· b≠0 且 a≠kb(k∈R)， ∴a，b 既不共线也不垂直，即 l1 与 l2 相交或异面． 1 (3)∵u＝(1，－1,2)，v＝3，2，－2， ∴u· v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，即 α⊥β. (4)∵u＝(2， －3,4)， v＝(4， －2,1)， ∴u· v≠0 且 u≠kv(k∈R)， ∴u 与 v 既不共线也不垂直，即 α 和 β 相交但不垂直． (5)∵a＝(0，－8,12)，u＝(0,2，－3)， 1 ∴u＝－4a，∴u∥a，即 l⊥α.
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3.2 第1课时
跟踪训练 2 用向量方法证明： 平面外一条直线与此平面内 的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 已知：直线 l，m 和平面 α，其中 l⊄α，m⊂α，且 l∥m， 求证：l∥α.
证明 设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面 α 的 法向量分别为 u. 因为 l∥m，所以 a＝kb，k∈R. 又因为 u⊥α，m⊂α，所以 u⊥b， 因此 u· b ＝ 0， u· a＝ u· kb＝0.所以 l∥α.
3.2 第1课时
探究点一 利用方向向量和法向量判定线面的位置关系 问题 1 对于一条确定的直线和一个确定的平面， 它的方向 向量及法向量有几个？
答案 一条直线的方向向量有无数多个，它们都是共线 向量；一个平面的法向量也有无数多个，它们也都是共 线向量．平面的法向量可看作平面的垂线的方向向量。
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空间向量与平行、垂直关系
第三章
空间向量与立体几何
1 1 → ∴MN· n＝ 2， 0， 2 · (1，－ 1，－ 1)＝0，
→ ∴MN⊥ n. 又 MN 不在平面 A1BD 内， ∴ MN∥平面 A1BD.
栏目 导引
第三章
空间向量与立体几何
1 → 1→ 1 → → → 法二：∵ MN ＝ C1N － C1M ＝ C1B1 － C1C ＝ 2 2 2 1→ → → → → (D1A1－D1D)＝ DA1，∴MN∥DA1， 2 又 MN 不在平面 A1BD 内， ∴ MN∥平面 A1BD.
则有 D(0， 0， 0)， A(2， 0，0)， C(0， 2， 0)， C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2， 2，2)， → 所以FC1 ＝ (0， 2， 1)， → → DA＝ (2，0，0)，AE＝ (0， 2， 1)．
栏目 导引
第三章
空间向量与立体几何
(1)设 n1＝ (x1， y1， z1)是平面 ADE 的法向量， → → 则 n1⊥DA， n1⊥AE， → n1· DA＝ 2x1＝ 0 即 ，得 → n1·AE＝ 2y1＋ z1＝0
(－3，－9，0)．
栏目 导引
第三章
空间向量与立体几何
解：(1)a· b＝ 1× 8＋ (－ 3)×2＋ (－ 1)× 2＝0， ∴直线 l1， l2 垂直． 1 (2)∵ u＝－ v，∴ u∥ v，即平面 α， β 平行． 3
栏目 导引
第三章
空间向量与立体几何
典题例证技法归纳
题型探究 求平面的法向量
栏目 导引
第三章
空间向量与立体几何
z3＝－2 令 x3＝ 2，∴ ，∴ n3＝ (2，－ 1，－ 2)．(10 y3＝－ 1
利用空间向量证明平行问题
0 ,
r 令y 1,则n (0,1, 0)
Q
uunur
DS
r
EF 0
1
b
0
0
2
uuur r EF n
EF / /平面SAD.
例题2:在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，求证：平面A1BD//平面CB1D1
z
A1
D1
证明：以A为坐标原点建立空间坐标系如图，
设正方体棱长为1，则
jchay
2.立体几何中的平行关系的向量表示
rr
设的直 法线 向量l, m分的别方为向ur，向 vr量分，别则为有a以，下 br，结平论面：，
(1)线线平行r： r r r l / /m a / /b a kb
a
l
r u
(2)线面平行r ：r r r
r v
l / / a u a u 0
平面A 1
BD
/
/平面CB1 D1
归纳：运用空间向量的知识来证明平行问题 的步骤
1.在空间图形中建立适当的空间直角坐标系。 ---即寻找三条两两垂直且相交于一点的直线， 若有，则建立满足右手系的空间直角坐标系； 若没有，则需要作辅助线。
2.写出空间图形中各点的空间坐标。
3.利用空间向量的关系来证明相关的平行问题.
当堂训练
E
1.如图，已知正方形ABCD
M
与矩形ACEF所在的平面互相
F
垂直，AB= 2，AF=1,M是EF C
B
的中点.求证：AM//平面BDE.
D
2.如图，四棱锥O-ABCD中， 底面ABCD是边长为1的菱形， ∠ABC=450,OA⊥底面ABCD, OA=2,M为OA的中点，N为BC 的中点. 求证：MN//平面OCD
第3章3.2 立体几何中的向量方法(一)平行关系
第11页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 ∵AD，AB，AS 是三条两两垂直 的线段，∴以 A 为原点，以A→D，A→B，A→S的方向 为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 A(0，0，0)，D(12，0，0)，C(1，1，0)，S(0， 0，1)，A→D＝(12，0，0)是平面 SAB 的法向量，
2．用向量方法证明空间中的平行关系
线线 平行
设直线 l1，l2 的方向向量分别是 a，b，则要证明 l1∥l2，只需证 明 a∥b，即 a＝kb(k∈R)
①设直线 l 的方向向量是 a，平面 α 的法向量是 u，则要证明
l∥α，只要证明 a⊥u，即 a·u＝0
②根据线面平行判定定理在平面内找一个向量与已知直线的 线面平行
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【思路分析】 直线的方向向量与平面的法向量的关系和直 线与平面位置关系之间的内在联系是 l∥α⇔a⊥u，l⊥α⇔a∥u.
第22页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 ①∵u＝(2，2，－1)，a＝(－3，4，2)， ∴u·a＝－6＋8－2＝0，∴u⊥a. ∴直线 l 和平面 α 的位置关系是 l⊂α或 l∥α. ②∵u＝(0，2，－3)，a＝(0，－8，12)， ∴u＝－14a，∴u∥a，∴l⊥α. ③∵u＝(4，1，5)，a＝(2，－1，0)， ∴u 和 a 既不共线，也不垂直． ∴l 与 α 斜交．
第2页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
要点 3 空间平行关系的向量表示 (1)线线平行． 设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2， c2)，则 l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． (2)线面平行． 设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量为 u ＝(a2，b2，c2)，则 l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．
高中数学 3.2.2平面的法向量与平面的向量表示配套课件 新人教B版选修21
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
【学习要求】 1．理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量． 2．会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直． 3．理解并会应用三垂线定理及其逆定理，证明有关垂直问题． 【学法指导】
在证明过程中，体会向量法与几何法证明的不同之处．从不同 的角度阐明数学证明的原理，培养我们善于探索、独立思考、 集体交流的好习惯.
第十二页，共28页。
研一研·问题探究、课堂(kètáng)
3.2.2
更高效
跟踪训练 2 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2，E、
F 分别是 BB1、DD1 的中点，求证：
(1)FC1∥平面 ADE；
(2)平面 ADE∥平面 B1C1F.
证明 (1)建立如图所示空间直角坐标系
Dxyz，
研一研·问题(wèntí)探究、课堂
3.2.2
更高效
例2 在四面体 ABCD 中，AB⊥平面 BCD，BC＝CD，∠BCD
＝90°，∠ADB＝30°，E、F 分别是 AC、AD 的中点，求
证：平面 BEF⊥平面 ABC.
证明 建系如图，设 A(0,0，a)，
则易得 B(0,0,0)，C
23a，
23a，0，
练一练·当堂检测(jiǎn cè)、目标达成 落实处
3.2.2
3．已知 l∥α，且 l 的方向向量为(2，m,1)，平面 α 的法向量 为1，12，2，则 m＝________. 解析 ∵(2，m,1)·1，12，2＝2＋12m＋2＝0. ∴m＝－8.
答案 －8
第二十五页，共28页。
练一练·当堂检测(jiǎn cè)、目标达成
3.2.2
问题 2 根据下列条件，判断相应的直线与平面、平面与平 面的位置关系． (1)直线 l 的方向向量、平面 α 的法向量分别是 a＝(3,2,1)， n＝(－1,2，－1)； (2)平面 α、β 的法向量分别是 n1＝(1,3,0)，n2＝(－3，－9,0)； (3)平面 α、β 的法向量分别是 n1＝(1，－3，－1)，n2＝(8,2,2)． 解 (1)∵a＝(3,2,1)，n＝(－1,2，－1)， ∴a·n＝－3＋4－1＝0，∴a⊥n，∴l⊂α 或 l∥α.
高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.2 空间线面关系的判定1数学教案
3.2.2 空间线面关系的判定设空间两条直线l 1，l 2的方向向量分别为e 1，e 2，两个平面α1，α2的法向量分别为n 1，n 2，则有下表：思考：否垂直？[提示] 垂直1．若直线l 的方向向量a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交B [∵n ＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a ， ∴n ∥a ，∴l ⊥α.]2．已知不重合的平面α，β的法向量分别为n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，－1，n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，－1，13，则平面α与β的位置关系是________．平行 [∵n 1＝－3n 2，∴n 1∥n 2，故α∥β.]3．设直线l 1的方向向量为a ＝(3,1，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－1,3,0)，则直线l 1与l 2的位置关系是________．垂直 [∵a·b ＝(3,1，－2)·(－1,3,0)＝－3＋3＋0＝0，∴a⊥b ，∴l 1⊥l 2.] 4．若直线l 的方向向量为a ＝(－1,2,3)，平面α的法向量为n ＝(2，－4，－6)，则直线l 与平面α的位置关系是________．垂直 [∵n ＝－2a ，∴n ∥a ，又n 是平面α的法向量，所以l ⊥α.]利用空间向量证明线线平行【例1】 如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．[证明] 以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，C 1(0,1,1)，F ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，FC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，EC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12， ∵AE →＝FC 1→，EC 1→＝AF →， ∴AE →∥FC 1→，EC 1→∥AF →，又∵F ∉AE ，F ∉EC 1，∴AE ∥FC 1，EC 1∥AF ， ∴四边形AEC 1F 是平行四边形．1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． 2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直． 1．长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面对角线B 1D 1，A 1B 上的点，且D 1E ＝2EB 1，BF ＝2FA 1.求证：EF ∥AC 1.[证明] 如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c ，则得下列各点的坐标：A (a ，0,0)，C 1(0，b ，c )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，23b ，c ，F ⎝⎛⎭⎪⎫a ，b 3，23c . ∴FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，b 3，c 3，AC 1→＝(－a ，b ，c )，∴FE →＝13AC 1→.又FE 与AC 1不共线，∴直线EF ∥AC 1.利用空间向量证明线面、面面平行[探究问题]在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？ 提示：可设几何体的棱长为1或a ，再求点的坐标．【例2】 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .[思路探究][证明] 法一：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，于是DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，即⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝x ＋z ＝0，n ·DB →＝x ＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD .法二：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，∴MN →∥DA 1→，∴MN ∥平面A 1BD .法三：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12DA →－12A 1A →＝12()DB →＋BA→－12()A 1B →＋BA →＝12DB →－12A 1B →.即MN →可用A 1B →与DB →线性表示，故MN →与A 1B →，DB →是共面向量，故MN ∥平面A 1BD . 1．本例中条件不变，试证明平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.[证明] 由例题解析知，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)， 则CD 1→＝(0，－1,1)，D 1B 1→＝(1,1,0)， 设平面CB 1D 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥CD 1→m ⊥D 1B 1→，即⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD 1→＝－y 1＋z 1＝0，m ·D 1B 1→＝x 1＋y 1＝0，令y 1＝1，可得平面CB 1D 1的一个法向量为m ＝(－1,1,1)，又平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)． 所以m ＝－n ，所以m ∥n ，故平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.2．若本例换为：在如图所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE ⊥EB ，AD ∥EF ，EF ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，EF ＝3，AE ＝BE ＝2，G 是BC 的中点，求证：AB ∥平面DEG .[证明] ∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ， ∴EF ⊥AE ，EF ⊥BE .又∵AE ⊥EB ，∴EB ，EF ，EA 两两垂直．以点E 为坐标原点，EB ，EF ，EA 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (2,4,0)，F (0,3,0)，D (0,2,2)，G (2，2,0)，∴ED →＝(0,2,2)，EG →＝(2,2,0)，AB →＝(2,0，－2)．设平面DEG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ED →·n ＝0，EG →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，2x ＋2y ＝0，令y ＝1，得z ＝－1，x ＝－1，则n ＝(－1,1，－1)， ∴AB →·n ＝－2＋0＋2＝0，即AB →⊥n . ∵AB ⊄平面DEG ， ∴AB ∥平面DEG .1．向量法证明线面平行的三个思路(1)设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a ⊥u ，即a ·u ＝0.(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v ，则α∥β⇔μ∥v .向量法证明垂直问题【例3】 如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE . [思路探究] 建系→求相关点的坐标→求相关向量的坐标→判断向量的关系→确定线线、线面关系[证明] AB ，AD ，AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA ＝AB ＝BC ＝1， 则P (0,0,1)． (1)∵∠ABC ＝60°， ∴△ABC 为正三角形，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12. 设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得AC →·CD →＝0， 即y ＝233，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0，∴CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0.又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，∴AE →·CD →＝－12×14＋36×34＝0，∴AE →⊥CD →，即AE ⊥CD .(2)法一：∵P (0,0,1)，∴PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1.又AE →·PD →＝34×233＋12×(－1)＝0，∴PD →⊥AE →，即PD ⊥AE . ∵AB →＝(1,0,0)，∴PD →·AB →＝0.∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .法二：AB →＝(1,0,0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)．∵PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，显然PD →＝33n .∴PD →∥n ，∴PD →⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE . 1．证明线线垂直常用的方法证明这两条直线的方向向量互相垂直． 2．证明线面垂直常用的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量； (2)证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直． 3．证明面面垂直常用的方法 (1)转化为线线垂直、线面垂直处理； (2)证明两个平面的法向量互相垂直．2．在例3中，平面ABE 与平面PDC 是否垂直，若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．[解] 由例3，可知CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0，PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，设平面PDC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝－12x ＋36y ＝0，m ·PD →＝233y －z ＝0，令y ＝3，则x ＝1，z ＝2，即m ＝(1，3，2)，由例3知，平面ABE 的法向量为n ＝(0,2，－3)， ∴m·n ＝0＋23－23＝0，∴m⊥n . 所以平面ABE ⊥平面PDC .1．应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．3．(1)证明线面垂直问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来证明． (2)证明面面垂直问题，常转化为线线垂直、线面垂直或两个平面的法向量垂直. 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( ) (3)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内所有直线的方向向量的数量积为0.( )(4)两个平面垂直，则其中一个平面内的直线的方向向量与另一个平面内的直线的方向向量垂直．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，a 与b 分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152D [∵l 1∥l 2，∴a ∥b ， ∴存在λ∈R ，使a ＝λb ， 则有2＝3λ，4＝λx,5＝λy ， ∴x ＝6，y ＝152.]3．已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，－2,3)，且α⊥β，则x ＝________.－5 [∵α⊥β，∴a ⊥b ， ∴a ·b ＝x －4＋9＝0， ∴x ＝－5.]4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，证明：平面B 1ED ⊥平面B 1BD . [证明] 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，DB 1→＝(1,1,1)，DE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝0且y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝1，x ＝1，∴n 1＝(1,1，－2)．同理求得平面B1BD的法向量为n2＝(1，－1,0)，由n1·n2＝0，知n1⊥n2，∴平面B1DE⊥平面B1BD.。
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1 1 M N (0, , ) 2 2 设 平 面 A 1B D 的 法 向 量 为 n x , y , z 则 n A1 D 0 且 A1 B 0 y z 0 得 取 x 1, 则 y 1, z 1 x z 0 n 1,1,1 .
第11页 共 61 页
题型一 证明线面平行 例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是C1C、B1C1的 中点,求证:MN∥平面A1BD. 分析:分析1,如下图,易知MN∥DA1 因此得方法1.
第12页 共 61 页
证明 :
第13页 共 61 页
1 1 M N C 1 N C 1 M C 1 B 1 C 1C 2 2 1 1 ( D 1 A1 D 1 D ) D A1 , 2 2 M N / / D A1 . M N 平 面 A 1B D , M N 平 面 A 1B D .
CE⊥面ABB1A1.
第33页 共 61 页
另取AB1中点M,得MD∥CE. ∴MD⊥面ABB1A1. 又∵MD⊂面AB1D,
∴面AB1D⊥面ABB1A1.
第34页 共 61 页
方 法 2 : 取 A B , A C , A A1为 空 间 基 底 , 另 取 A B 1中 点 M , A B 中 点 E , 则 由 题 意 可 得 CE DM , 1 D M C E ( C A C B ). 2 1 D M A A1 ( C A C B ) A A1 2 1 1 ( C A A A1 C B A A1 ) 0, D M A B ( C A C B ) A B 2 2 1 ( C A A B C B A B ) 0, 2 D M A B , D M A A1 , DM AB 即 且 AB AA1 A D M A A1 D M 平 面 A B B 1A 1. 又 D M 面 A B 1D , 面 A B 1D 面 A B B 1A 1 .
第15页 共 61 页
1 1 MN n 0 0 2 2 M N n , 又 M N 平 面 A 1B D . M N 平 面 A 1B D .
第16页 共 61 页
变式训练1:ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,侧棱长为3,底面边 长为2,E是棱BC的中点,求证:BD1∥平面C1DE.
第31页 共 61 页
题型三 证明面与面垂直 例3:三棱柱ABC-A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱,D是侧
棱CC1的中点.
求证:平面AB1D⊥平面ABB1A1. 分析:转化为线线垂直、线面垂直或者利用法向量垂直.
第32页 共 ∵三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱, ∴CE⊥AB且AA1⊥CE,得
则FG∥A1D1,EG∥A1B.
∵A1D1⊥平面A1B.∴FG⊥平面A1B. ∴AB1⊂平面A1B,∴FG⊥AB1, ∴A1B⊥AB1,∴EG⊥AB1.∴EF⊥AB1. 同理EF⊥B1C.又AB1∩B1C=B1, ∴EF⊥平面B1AC.
第22页 共 61 页
方 法 2 : 设 A B a , A D c , A A1 b , 1 则 E F E B1 B1 F ( B B1 B1 D 1 ) 2 1 1 ( A A1 B D ) ( a b c ), 2 2 A B1 A B A A1 a b . 1 E F A B1 ( a b c ) ( a b ) 2 1 2 1
第29页 共 61 页
A C (1,1, 0 ), C D ( 1,1, 0 ), A P 0, 0,1 , C D A C 1 1 1 1 0, C D A C , 同 理 C D A P 0, C D A P , C D 平 面 P A C.
3.2.2 利用空间向量证明平行、
垂直关系
第1页 共 61 页
自 学 导 引 (学生用书P80) 会用空间向量证明线与线、线与面、面与面之间的平行,垂 直关系,掌握用向量解决立体几何问题的方法步骤.
第2页 共 61 页
课前热身
(学生用书P80)
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线线平行 线面平行 1.空间中的平行关系主要有__________、__________、 面面平行 线线垂直 __________,空间中的垂直关系主要有__________、 线面垂直 面面垂直 __________、__________. 2.证明两条直线平行,只要证明这两条直线的方向向量是 共线向量 __________即可.
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题型二 证明线面垂直 例2:如下图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是
BB1、D1B1的中点.
求证:EF⊥平面B1AC.
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分析:转化为线线垂直或利用直线的方向向量与平面的法向 量平行.
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证明:方法1:设A1B1的中点为G, 连结EG,FG,A1B.
方法3:设正方体的棱长为2,建立如下图所示的空间直角坐标 系,
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则 A 2, 0, 0 , C 0, 2, 0 , B 1 2, 2, 2 , E 2, 2,1 , F 1,1, 2 . E F (1,1, 2 ) ( 2, 2,1) ( 1, 1,1). A B1 ( 2, 2, 2 ) ( 2, 0, 0 ) (0, 2, 2 ). A C (0, 2, 0 ) ( 2, 0, 0 ) ( 2, 2, 0 ). 而 E F A B1 ( 1, 1,1) (0, 2, 2 ) 1 0 1 2 1 2 0 . E F A C 1, 1,1 2, 2, 0 2 2 0 0, E F A B 1 , E F A C.又 A B 1 A C A , E F 平 面 B 1 A C.
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规律技巧:(1)方法1是传统的几何法证明,利用线面垂直的性 质及判定,需添加辅助线. 方法2选基底,将相关向量用基底表示出来,然后利用向量的计
算来证明.
方法3建立空间直角坐标系,利用向量,且将向量的运算转化为 实数(坐标)的运算,以达到证明的目的. (2)几何的综合推理有时技巧性较强,而向量代数运算属程序 化操作,规律性较强,但有时运算量大,两种处理方法各有优
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分析:由判定定理,只要证明CD垂直于面PAC中的两条相交直 线即可,或者用向量法证明CD的方向向量与平面PAC的法 向量平行.
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证明:方法1:如下图,分别以AB、AD、AP所在直线为x,y,z轴 建立空间直角坐标系, 则C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1),
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证明:以D为坐标原点,以DA,DC,DD1为坐标轴建系如右图, 则B(2,2,0),D1(0,0,3), E(1,2,0),C1(0,2,3),
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B D 1 ( 2, 2, 3), D E (1, 2, 0 ), E C 1 ( 1, 0, 3). 设 B D1 D E E C 1 , 即 2, 2, 3 1, 2, 0 1, 0, 3 , 得 2, 2 2, 解 得 1, 1. 3 3, B D 1与 D E , E C 1 共 面 , 又 B D 1 面 C 1 D E , B D 1 面 C 1 D E .
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7.证明面面垂直的方法 线面垂直 线线垂直 (1)转化为__________、__________; 互相垂直 (2)证明两个平面的法向量__________.
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名师讲解
(学生用书P80)
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1.利用空间向量证明线与面平行:只要在平面α内找到一条直 线的方向向量为b,已知直线的方向向量为a,问题转化为证 明a=λb即可. 2.利用空间向量证明两条异面直线垂直:在两条异面直线上各 取一个向量a、b,只要证明a⊥b,即a·b=0即可.
b
2
a c a c b
2 2
2 E F / / A B1 , 又 A B 1 B 1C B 1 , E F 平 面 B 1A C .
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b
a
2
0 0 0.
即 E F A B 1 , 同 理 E F B 1C .
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分 析 2 : 建 立 直 角 坐 标 系,证 明MN 与 平 面 A 1B D 的 法 向 量 垂 直 .
证 明 : 如 上 图 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 A x yz. 设 棱 长 为 1, 则 可 求 得 A 1 0, 0,1 , B 1, 0, 0 , D 0,1, 0 , M (1,1, 1 2 ), N (1, 1 2 ,1).
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4.证明面面平行的方法 线线平行 线面平行 (1)转化为__________、__________处理; 共线向量 (2)证明这两个平面的法向量是__________.
5.证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量 互相垂直 __________.
6.证明线面垂直的方法 共线向量 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量是__________; 两条不共线向量互相垂直 (2)证明直线与平面内的__________.