3.2.2利用空间向量证明平行、

1 1 M N (0, , ) 2 2 设 平 面 A 1B D 的 法 向 量 为 n x , y , z 则 n A1 D 0 且 A1 B 0 y z 0 得 取 x 1, 则 y 1, z 1 x z 0 n 1,1,1 .
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4.证明面面平行的方法 线线平行 线面平行 (1)转化为__________、__________处理; 共线向量 (2)证明这两个平面的法向量是__________.
5.证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量 互相垂直 __________.
6.证明线面垂直的方法 共线向量 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量是__________; 两条不共线向量互相垂直 (2)证明直线与平面内的__________.
CE⊥面ABB1A1.
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另取AB1中点M,得MD∥CE. ∴MD⊥面ABB1A1. 又∵MD⊂面AB1D,
∴面AB1D⊥面ABB1A1.
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方 法 2 : 取 A B , A C , A A1为 空 间 基 底 , 另 取 A B 1中 点 M , A B 中 点 E , 则 由 题 意 可 得 CE DM , 1 D M C E ( C A C B ). 2 1 D M A A1 ( C A C B ) A A1 2 1 1 ( C A A A1 C B A A1 ) 0, D M A B ( C A C B ) A B 2 2 1 ( C A A B C B A B ) 0, 2 D M A B , D M A A1 , DM AB 即 且 AB AA1 A D M A A1 D M 平 面 A B B 1A 1. 又 D M 面 A B 1D , 面 A B 1D 面 A B B 1A 1 .
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3.证明线面平行的方法 垂直 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量___________. (2)证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量 共线 __________. (3)利用共面向量的定理,即证明直线的方向向量与平面内两 共面向量 个不共线的向量是__________.
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规律技巧:(1)方法1是传统的几何法证明,利用线面垂直的性 质及判定,需添加辅助线. 方法2选基底,将相关向量用基底表示出来,然后利用向量的计
算来证明.
方法3建立空间直角坐标系,利用向量,且将向量的运算转化为 实数(坐标)的运算,以达到证明的目的. (2)几何的综合推理有时技巧性较强,而向量代数运算属程序 化操作,规律性较强,但有时运算量大,两种处理方法各有优
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分 析 2 : 建 立 直 角 坐 标 系,证 明MN 与 平 面 A 1B D 的 法 向 量 垂 直 .
证 明 : 如 上 图 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 A x yz. 设 棱 长 为 1, 则 可 求 得 A 1 0, 0,1 , B 1, 0, 0 , D 0,1, 0 , M (1,1, 1 2 ), N (1, 1 2 ,1).
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3.证明线面垂直:直线l,平面α,要让l⊥α,只要在l上取一个非零 向量p,在α内取两个不共线的向量a、b,问题转化为证明 p⊥a且p⊥b,也就是a·p=0且b·p=0. 4.证明面面平行、面面垂直,最终都要转化为证明线线平行、 线线垂直.
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典例剖析
(学生用书P80)
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题型一 证明线面平行 例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是C1C、B1C1的 中点,求证:MN∥平面A1BD. 分析:分析1,如下图,易知MN∥DA1 因此得方法1.
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证明 :
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1 1 M N C 1 N C 1 M C 1 B 1 C 1C 2 2 1 1 ( D 1 A1 D 1 D ) D A1 , 2 2 M N / / D A1 . M N 平 面 A 1B D , M N 平 面 A 1B D .
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题型二 证明线面垂直 例2:如下图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是
BB1、D1B1的中点.
求证:EF⊥平面B1AC.
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分析:转化为线线垂直或利用直线的方向向量与平面的法向 量平行.
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证明:方法1:设A1B1的中点为G, 连结EG,FG,A1B.
方法3:设正方体的棱长为2,建ຫໍສະໝຸດ Baidu如下图所示的空间直角坐标 系,
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则 A 2, 0, 0 , C 0, 2, 0 , B 1 2, 2, 2 , E 2, 2,1 , F 1,1, 2 . E F (1,1, 2 ) ( 2, 2,1) ( 1, 1,1). A B1 ( 2, 2, 2 ) ( 2, 0, 0 ) (0, 2, 2 ). A C (0, 2, 0 ) ( 2, 0, 0 ) ( 2, 2, 0 ). 而 E F A B1 ( 1, 1,1) (0, 2, 2 ) 1 0 1 2 1 2 0 . E F A C 1, 1,1 2, 2, 0 2 2 0 0, E F A B 1 , E F A C.又 A B 1 A C A , E F 平 面 B 1 A C.
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证明:以D为坐标原点,以DA,DC,DD1为坐标轴建系如右图, 则B(2,2,0),D1(0,0,3), E(1,2,0),C1(0,2,3),
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B D 1 ( 2, 2, 3), D E (1, 2, 0 ), E C 1 ( 1, 0, 3). 设 B D1 D E E C 1 , 即 2, 2, 3 1, 2, 0 1, 0, 3 , 得 2, 2 2, 解 得 1, 1. 3 3, B D 1与 D E , E C 1 共 面 , 又 B D 1 面 C 1 D E , B D 1 面 C 1 D E .
点,不能偏废.
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变 式 训 练 2 : 如 下 图 ,四 棱 锥 P A B C D 中, 底 面 A B C D 为 直 角 梯 形 , C B A B A D 9 0 , B C B A A D 1, P A 平 面 A B C D , P A 1. 求 证 : C D 平 面 P A C. 1 2
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分析:由判定定理,只要证明CD垂直于面PAC中的两条相交直 线即可,或者用向量法证明CD的方向向量与平面PAC的法 向量平行.
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证明:方法1:如下图,分别以AB、AD、AP所在直线为x,y,z轴 建立空间直角坐标系, 则C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1),
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题型三 证明面与面垂直 例3:三棱柱ABC-A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱,D是侧
棱CC1的中点.
求证:平面AB1D⊥平面ABB1A1. 分析:转化为线线垂直、线面垂直或者利用法向量垂直.
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证明:方法1:取AB的中点E. ∵三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱, ∴CE⊥AB且AA1⊥CE,得
3.2.2 利用空间向量证明平行、
垂直关系
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自 学 导 引 (学生用书P80) 会用空间向量证明线与线、线与面、面与面之间的平行,垂 直关系,掌握用向量解决立体几何问题的方法步骤.
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课前热身
(学生用书P80)
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线线平行 线面平行 1.空间中的平行关系主要有__________、__________、 面面平行 线线垂直 __________,空间中的垂直关系主要有__________、 线面垂直 面面垂直 __________、__________. 2.证明两条直线平行,只要证明这两条直线的方向向量是 共线向量 __________即可.
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7.证明面面垂直的方法 线面垂直 线线垂直 (1)转化为__________、__________; 互相垂直 (2)证明两个平面的法向量__________.
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名师讲解
(学生用书P80)
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1.利用空间向量证明线与面平行:只要在平面α内找到一条直 线的方向向量为b,已知直线的方向向量为a,问题转化为证 明a=λb即可. 2.利用空间向量证明两条异面直线垂直:在两条异面直线上各 取一个向量a、b,只要证明a⊥b,即a·b=0即可.
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A C (1,1, 0 ), C D ( 1,1, 0 ), A P 0, 0,1 , C D A C 1 1 1 1 0, C D A C , 同 理 C D A P 0, C D A P , C D 平 面 P A C.
则FG∥A1D1,EG∥A1B.
∵A1D1⊥平面A1B.∴FG⊥平面A1B. ∴AB1⊂平面A1B,∴FG⊥AB1, ∴A1B⊥AB1,∴EG⊥AB1.∴EF⊥AB1. 同理EF⊥B1C.又AB1∩B1C=B1, ∴EF⊥平面B1AC.
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方 法 2 : 设 A B a , A D c , A A1 b , 1 则 E F E B1 B1 F ( B B1 B1 D 1 ) 2 1 1 ( A A1 B D ) ( a b c ), 2 2 A B1 A B A A1 a b . 1 E F A B1 ( a b c ) ( a b ) 2 1 2 1
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1 1 MN n 0 0 2 2 M N n , 又 M N 平 面 A 1B D . M N 平 面 A 1B D .
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变式训练1:ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,侧棱长为3,底面边 长为2,E是棱BC的中点,求证:BD1∥平面C1DE.
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方 法 2 : 建 系 同 方 法 1, n AP 0 设 平 面 P A C 的 法 向 量 n x , y , z , , n AC 0 x 0 y 0 z 0 x y 0 y x , 令 x 1, 平 面 P A C 的 一 个 法 向 量 n 1, 1, 0 , C D ( 1,1, 0 ) n . C D n , C D 平 面 P A C .
b
2
a c a c b
2 2
2 E F / / A B1 , 又 A B 1 B 1C B 1 , E F 平 面 B 1A C .
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b
a
2
0 0 0.

即 E F A B 1 , 同 理 E F B 1C .