《圆中常见的辅助线的作法》教案
《圆的辅助线》教学设计
教学设计主题名称或活动名称圆的辅助线学科数学时间教学目标1.了解圆的常见辅助线的做法及使用2.掌握并能运用圆的常见辅助线解题3.在做辅助线解题的过程中体会数学知识的运用方式，经历探索解题的过程，体会数学的灵活和奥妙教学重难点连接辅助线并应用证明教学准备电子白板，三角板，圆规教学过程一、复习回顾1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧2.垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧3.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角等弧等弦4.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半5.推论：同弧或等弧所对的圆周角相等半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径6.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线7.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径8.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角二、具体例题操练1.遇到弦时（解决有关弦的问题时）例1.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC=BD练习：如图，AB为⊙O的弦，P是AB上的一点，AB=10cm，PA=4cm，O P=5cm.求⊙O的半径.A C D BOAB POM规律１．有等弧或证等弧时常连等弧所对的弦或做等弧所对的圆心角例２．如图，已知ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｍ、Ｎ分别是ＡＯ、ＢＯ的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，求证：AC BD规律2.有弦中点时常连弦心距规律3.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距规律4.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：⑴连结过弧中点的半径⑵连结等弧所对的弦⑶连结等弧所对的圆心角规律5.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题.规律6.有等弧时常作辅助线有以下几种：⑴作等弧所对的弦⑵作等弧所对的圆心角⑶作等弧所对的圆周角规律7.有弦中点时，常构造三角形中位线.规律8.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可.（连半径，证垂直）⑵如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.（作垂直，证半径）板书设计电子白板展示相关定理黑板分为三部分画图解题A BM O NC D。
《圆中常见的辅助线的作法》教案
C BB A 圆中常见的辅助线的作法 1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
【例1】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。
【例2】如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点，那么OP 的长的取值范围是_________．2． 遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。
【例3】如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4，弦BC=2, ∠B=3． 遇到90°的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用：利用圆周角的性质，可得到直径。
【例4】如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，⊙O的半径是4．遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
【例5】如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，则∠C的度数是________.5．遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。
【例6】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。
6．遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。
【例7】如图所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。
圆中常用辅助线的作法教案
课题：圆中常用辅助线的作法
教学时间：2014年5月22日一课时
教学地点：九年级2班教室
教学内容：圆中常用辅助线的作法。
教学目标：
1．让学生熟悉圆中常用辅助线的作法。
2．灵活应用圆中常用辅助线的作法解决有关问题。
教学重点：
能根据具体问题作出适当的辅助线。
教学难点：
灵活应用圆中常用辅助线的作法解决有关问题。
教学方法：合作探究讲练结合
教学过程：
一．谈话导入：
说明学习本节课的重要性和必要性。
二．新授内容：
1．回顾以前学过的圆中辅助线的作法。
2．分小组合作完成下列四道例题
有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．求
此时的水深。
例2.如图，AD是△ABC外接圆的直径，AD=6cm，∠DAC=∠ABC．
求AC的长．
例3.如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成
30°角，CD与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．
例4.已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC
为直径的⊙O交AB于E点，直线EF⊥AC于F．求证：EF与⊙O相切．
3．小组反馈：
各小组派代表讲解本组所做的题目。
4．小组合作探究完成下列问题
已知（证明）：
辅助线：
应用的性质定理：
方法描述：
5．归纳总结圆中常用辅助线的作法，并出示口诀歌三．课堂练习
题略
1.学生独立完成。
2.学生讲解自认为擅长的题目
四．课堂小结
学生谈谈本节课的收获。
五．布置作业。
数学人教版九年级上册圆中常见的辅助线教学设计
《圆中常见的辅助线》
德兴二中董建平
一，学情分析
经过《圆》一章的学习，同学们已初步掌握与圆相关的知识，但对于需要添加辅助线加以解决的问题仍然不得其解，所以有必要对此做个系统的知识讲解
二，目标
让学生了解并掌握圆中辅助线的添法，并且知道什么时候该怎么添加辅助线
三，内容
五种常见辅助线，五个相关例题，十道作业
四，设计理念
定理+辅助线+典型例题，老师画图引出定理，学生想到辅助线，摆出例题，学生思考并板演，教师点评,最后小结以押韵的形式给出。
数学人教版九年级上册圆中常见的辅助线及作法
板书设计
（留） 反馈案 （至少 4 个图） …… ……
（留）
（可擦）
…… ……
A
A
O B D C
B
O D C
备用图
题目分析： ①分析题目的已知条件，由 AC、DC 的长度可以求出 AD，使用勾股定理 即可； ②求边有困难，可以先求角；求半径或直径，可先求出∠B 的度数， ③再根据知道圆周角及其对弦 AC，转化成模型中的（3）或（4）进行求 解； G
例 2：已知：如图，⊙O 为△ABC 的外接圆， ∠BAC=90°，点 E 在 AB 上，过点 E 作 EF⊥BC， 点 G 在 FE 的延长线上，且 GA=GE. （1） 求证：AG 与⊙O 相切； （2） 若 AC=6，AB=8，BE=3，求线段 OE 的长.
计
1. 如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAD=75°，则 ∠ACD=
A C O B D
A
.
O
O
2. 小 组 合 作 交流： 整理 自主复习 案中添加 的辅助线， 梳理题中 所用的模 型， 补充表 格； （限时 1 分钟）
A
B
B
C
第1题
第2题
第3题
第4题
让学 2. 如图是圆柱形排水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面 AB 宽为 8cm， 3. 抢答： 生上黑板 水面最深地方的高度为 2cm ,则该输水管的半径为 . 画出所作 的辅助线， 3.如图，已知△ABC 内接于⊙O，∠A=60°，⊙O 的半径为 2，则 BC 长为 . 并指出所
圆中常见的辅助线及作法
授课时间 学 习 目 标 重 点 第 15 周 星期五 第 பைடு நூலகம் 节 2016 年 12 月 9 日 专题课 1 课时 1. 通过对圆中常见的辅助线及作法的梳理，建立辅助线作法模型； 2. 准确选用合适的模型恰当添设辅助线； 3. 体验转化、建模和用模的数学思想。 准确运用模型恰当添设辅助线。 1.PPT 课件 2.黑板 教 学 内 容 师生互动 难 点 准确运用模型恰当添设辅助线。
圆的辅助线作法详讲
初中数学“圆中辅助线”添法探究弦与弦心距，密切紧相连.直径对直角，圆心作半径.已知有两圆，常画连心线.遇到相交圆，连接公共弦.遇到相切圆，作条公切线.“有点连圆心，无点作垂线.”切线证明法，规律记心间.圆是初中数学教学重点内容之一,对培养学生的分析能力、逻辑推理能力、解决问题能力有着重要作用.圆的知识是中考必考内容,从基础知识检测到综合解题能力考察都出现在中考数学试卷中.由圆和直线型图形,圆和函数图象可以组合成一些复杂的几何题；由圆的重要性质和平面直角坐标系、函数、方程、面积等知识就组成了综合性强、涉及面广、图形变化大的中考压轴题.在解决此类问题时,常常需要添加辅助线,才能把题中的已知条件和所求问题联系起来,使问题逐层分解,化繁为简,化难为易,从而使解题简便易行.在圆中如何添辅助线？结合自己的教学实践作一些探究.一、根据垂径定理及其推论，过圆心作弦的垂线.例1 半径为5的圆中，求两条长为8和6的平行弦之间的距离.分析:此题没有说明两条平行弦是在圆心的两旁还是同旁，因此要考虑两种情况.解:第一种情况:如图,弦AB 、CD 在圆心O 的同旁. 过O 作OE ⊥AB 于E ，交CD 于F ，则AE=12 AB=3.连结OA 、OC. ∵AB ∥CD,∴OE ⊥CD 于F ，则EF 是平行弦AB 、CD 间的距离. 在Rt △OEA 中，由OA=5,AE=3得OE=3522=4.同理可得OF=3.∴EF=OE-OF=4-3=1.第二种情况:如图,弦AB 、CD 在圆心O 的两旁. 过O 点作OE ⊥AB 于E ，延长EO 交CD 于F. 连结OA 、OC.∵AB ∥CD ，则EO ⊥CD 于F. ∴EF 是平行弦AB 、CD 间的距离.由垂径定理和勾股定理易得：OE=4，OF=3，则EF=OE+OF=7. 启示:有关圆中弦常添的辅助线是过圆心作垂线，利用勾股定理， 依靠垂径定理及其推论解决有关弦的问题.二、连结圆上的有关点，根据同圆（或等圆）中，圆周角、圆心角、弦、弧之间的转换关系，解决问题.例2 已知:在△ABC 中,AB=AC,BD 平分∠ABC,△ABD 的外接圆交BC 于E.求证:AD=EC.分析:连结DE ，由圆周角∠1=∠2,可得AD=DE. 欲证AD=EC ，只要证DE=EC 即可.证明:连结DE.∵BD平分∠ABC,∴∠1=∠2,∴AD=DE.又∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.∵∠3是圆内接四边形ABED的外角,∴∠3=∠ABC.∴∠3=∠C,∴DE=EC,∴AD=EC.启示:有关圆上非特殊点，常作点与点连线.三、当题目中有直径这一条件时，常利用“直径所对的圆周角是直角”添加辅助线.例3 已知:在Rt△ABC中∠ABC=90º,以AB为直径作☉O交AC于D，DE切☉O于D且交BC于E. 求证:BE=EC.证明:连结BD.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90º，△BDC为Rt△.又∵∠ABC=90º，AB是☉O的直径，∴BC切☉O于点B.又∵DE切☉O于D,∴BE=DE，则∠BDE=∠DBE.∵∠1+∠BDE=90º，∠C+∠DBE=90 º,∴∠1=∠C，∴DE=EC.∴BE=EC.启示:有关圆中直径，常构造直径所对的圆周角是直角添加辅助线. 四、作过切点的半径（或直径）.当题中有切线时，常连结过切点的半径或直径，利用切线与它垂直的特点.有时也作过切点的弦，沟通弦切角与圆心角、圆周角之间的联系.例4 已知:在Rt △ABC 中,∠C=90º,BC 是☉O 的直径，AB 交☉O 于D ，DE 切☉O 于D ，交AC 于E. 求证：OE ∥BA.证明:连结OD.∵DE 切☉O 于D, ∴∠EDO=90 º.又∵∠C=90 º，OC=OD ， OE=OE, ∴Rt △ECO ≌RtEDO. ∴∠1=∠2= 12 ∠COD.又∵∠B= 12 ∠COD,∴∠1=∠B. ∴OE ∥BA.例5 已知:如图点O ′为∠AOB 角平分线上一点,以O ′为圆心作☉O ′与OA 相切于点E. 求证:☉O ′与OB 相切.证明:过点O ′作O ′F ⊥OB 于F ，连结O ′E. ∵OA 切☉O ′于点E,∴O ′E ⊥OA 于点E;O ′E 为☉O ′的半径. 又∵点O ′为∠AOB 角平分线上的点, ∴O ′E=O ′F.∴☉O′与OB相切.启示:关于圆中切线，常用辅助线是：（1）切点与圆心连线要领先，过切点作弦，莫忘弦切角.（2）要证一条线为圆的切线时，只要过圆心作这条线的垂线，证垂线段等于这个圆的半径.五、当题中有两圆相切时，首先考虑的是过切点作两圆的公切线，由此沟通弦切角与圆周角之间的联系.有时也作两圆的连心线，利用切点在连心线上沟通圆心距与两圆半径之间的联系.例 6 已知:两圆外切于点P,一条割线分别交两圆于A、B、C、D 四点.求证:∠APD+∠BPC=180º.证明:过切点P作两圆的公切线MN.则∠BPM=∠A，∠CPM=∠D.∵∠APD+∠A+∠D=180º,∴∠APD+∠BPM+∠CPM=180º.∵∠BPM+∠CPM=∠BPC,∴∠APD+∠BPC=180º.例7 已知：两圆内切于点P,大圆的弦AD交小圆于B、C两点.求证:∠APB=∠CPD.证明:过点P作公切线TP.则∠APT=∠D ,∠BPT=∠BCP.∵∠APB=∠BPT-∠APT,∠CPD=∠BCP-∠D,∴∠APB=∠CPD.启示:两圆相切,过切点作公切线,再利用弦切角定理等知识解之.六、两圆相交时，作两圆的公共弦，以两圆的公共弦作为“桥梁”沟通两圆的圆周角和其他角之间的联系.例8 已知:☉O1与☉O2相交于A、B两点,E为☉O1上的一点,EF 切☉O1于点E,EA、EB的延长线交☉O2于C、D两点.求证:EF∥CD.证明:连结AB，则∠1=∠2.∵四边形ABDC是☉O2的内接四边形,∴∠2=∠D.∴∠1=∠D.∴EF∥CD.启示:两圆相交，试连公共弦，有时也作连心线.七、代数、几何的综合题型.解代数、几何的综合题型时,根据问题的特点和需要,由数形结合,于数思形,以形助数,适时转化,变通.运用数形结合的思想方法,结合图形特征添加辅助线.下题是集三角形、圆、一次函数、二次函数为一体的综合性较强的试题.它要求学生不仅需要掌握必要的基础知识和较高的基本技能,而且要有较强的数形结合思想,才能在解题过程中切中要害,迎刃而解.例9 已知:如图,在Rt△AOC中，直角边OA在X轴负半轴上，OC 在Y轴正半轴上，点F在AO上,以点F为圆心的圆与Y轴、AC边相切，切点分别为O、D,☉F与X轴的另一个交点为E.若tanA=34,☉F的半径为32. （1）、求过A 、C 两点的一次函数解析式；（2）、求过E 、D 、O 三点的二次函数解析式； （3）、证明（2）中抛物线的顶点在直线AC 上.分析：解本题（1）（2）两问的关键是求A 、C 、E 、D 、O 五个点 的坐标.解：（1）过切点D 作☉F 的半径DF ，则∠ADF=90º. 在Rt △ADF 中，由tanA=34 和半径DF=32 得AD=2.∴AF=AD 2+DF 2= 52，则AO=AF+FO=4.在Rt △AOC 中，由AO=4和tanA=34，得OC=3，AC=5.则A 、C 两点的坐标为:A （-4，0），C （0，3）. 设:所求一次函数解析式为y=kx+b. 由A 、C 两点的坐标求得k=34 ，b=3.∴所求一次函数的解析式为:y=34x+3.(2)过点D 作DG ⊥AO 于G ，则Rt △ADG ∽Rt △ACO. ∴AD AC =DG CO ，即25 =DG 3 得DG=65 .由于点D 在AC 上， 把DG=65 代入y=34 x+3，可求得D 点的横坐标为:- 125.∵OE=2OF=2×32=3,∴E 、D 、O 三点的坐标为:E （-3，0），D （- 125 ，65 ）、0（0，0）.设:过E 、D 、O 三点的二次函数解析式为y=ax 2+bx+c.则: 9a-3b+c=0, a=- 56,14425 a- 125 b+c= , b=- 52 , c=0, c=0 . ∴所求二次函数解析式为:y=- 56 x 2- 52x.（3）由y=- 56 x 2 - 52 x 易得抛物线的顶点坐标为:（- 32 ，158 ）.经检验得,点（- 32 ，158 ）在直线y = 34 x + 3上.∴抛物线y=- 56 x 2 - 52x 的顶点在直线AC 上.启示:本题的辅助线是通过图形特征，挖掘题中的明显和隐含条件，而达到目的.综上所述，在解决涉及到圆的问题时，只要添加适当的辅助线，就能把题中的已知条件和问题巧妙地连接起来，达到化繁为简，化难为易的目的，从而使问题的解决简便易行.[课后冲浪]一、证明解答题16．已知：P 是⊙O 外一点，PB ，PD 分别交⊙O 于A 、B 和C 、D ，且AB=CD.求证：PO 平分∠BPD ．17．如图，ΔABC 中，∠C=90°，圆O 分别与AC 、BC 相切于M 、N ，点O 在AB 上，如果AO=15㎝，BO=10㎝，求圆O 的半径.18．已知：□ABCD 的对角线AC 、BD 交于O 点，BC 切⊙O 于E 点.求证：AD 也和⊙O 相切.ABCDO E19．如图，学校A 附近有一公路MN ，一拖拉机从P 点出发向PN 方向行驶，已知∠NPA=30°，AP=160米，假使拖拉机行使时，A 周围100米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时，则受噪音影响的时间是多少秒？20．如图，A 是半径为1的圆O 外的一点，OA=2，AB 是圆O 的切线，B 是切点，弦BC ∥OA ，连结AC ，求阴影部分的面积.A21．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD ，垂足为E,BF ⊥CD ，垂足为F.求证：DE=CF.22．如图，O 2是⊙O 1 上的一点，以O 2为圆心，O 1O 2为半径作一个圆交⊙O 1 于C ，D ．直线O 1O 2分别交⊙O 1 于延长线和⊙O 1 ，⊙O 2于点A 与点B ．连结AC ，BC ．⑴求证：AC=BC ；⑵设⊙O 1 的半径为r ，求AC 的长．⑶连AD ，BD ，求证：四边形ADBC 是菱形；⑷当r=2时，求菱形ADBC 的面积．23．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，连AC 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线EF ，交BC 于E 点.求证：OE //AC.A...N三、探索题24．已知：图a，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：（1）DC是⊙O的切线，（2）过D点作DE⊥AB，图b所示，交AC于P点，请考察P点在DE的什么位置？并说明理由.B 图aB 图b。
圆中常见辅助线的作法---九年级数学上册
圆中常见辅助线的作法---九年级数学上册1、遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
作用：①利用垂径定理；②圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
【例题】如图, 在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 二点。
求证：AC = BD证明: 过O作OE⊥AB于E，则OE⊥CD，∵OE过O，∴由垂径定理得：AE=BE，CE=DE，∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD．故答案为：过O作OE⊥AB于E，则OE⊥CD，∵OE过O，∴由垂径定理得：AE=BE，CE=DE，∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD．2、遇到90度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点作用：利用圆周角的性质，可得到直径。
【例题】如图，在Rt△ABC中,∠BCA = 90 o ,以BC为直径的⊙O交AB于E,D为AC中点，连结BD交⊙O于F。
求证：BC/BE=CF/EF证明：连结CE．∵BC为⊙O的直径，∴∠BFC为90°，∠BEC为90°．又∵∠ACB＝90°，∴∠ECB=∠BAC.∵∠ECB=∠BAC ，∠EFB=∠ECB，∴∠BAC=∠EFB.∵∠BAC=∠EFB ，∠ABD公用，∴△BEF∽△BDA.∴EF/BE=AD/BD.∵∠BFC=∠ACB=90°，∠CBD公用，∴△CBF∽△DBC.∴CDBD=CFBC.∵D为AC中点，∴AD=CD，∴EF/BE=CF/BC.∴BC/BE=CF/EF.3、遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。
4. 遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
5. 遇到有切线时①添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。
专题课教学课件圆的辅助线
第18页，共31页。
圆的辅助线
六，圆切线判定方法
①已知△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB切于点D，试猜想:
AC与⊙O的位置关系. A
相切
过圆心作该直线的垂线
在△ADO和△AEO中
D
E
90° 90°
全等三角形 角平分线
B
C
等三腰线中合三O点一角形
∠BAO=∠CAO ∠B∠AAOD=O∠=C∠AAOEO=90°
点A的坐标为，
(0,1)点C的坐标为，(21
,
3) 2
第11页，共31页。
圆的辅助线
四，90圆° 周角
D
圆周角
C
B
O
① 连接两条弦没 有公共点的另外两 个端点，得到直径
A
②构造出一个 直角三角形
第12页，共31页。
圆的辅助线
五，作连心线。
A
B
第13页，共31页。
圆的辅助线
五，作连心线 如图，⊙A和⊙B外切于P点，⊙A的半径为r，⊙B的半径为3r，CD为⊙A、 ⊙B的外公切线，C、D为切 线，C、D为切点，求（1）CD的长；（2）CD于弧PC所围成的阴影部分的面积.
C
EF
A
DG B
第3页，共31页。
圆的辅助线
一，作弦心距
AB是⊙O的直径，PO⊥AB交⊙O于点P，弦PC与AB相交于点D，求证2：PO 2 = PC ·PD
P
E A
DO
弦心距
B
∠EPO=∠OPD ∠PEO=∠POD=90°
Rt△PEO∽Rt△POD
C 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦.
PE = PO PO PD
要想证明是切线，半径垂线仔细辩：有点连圆心，无点作垂线.
圆中常见辅助线及作法
H
五、课后反思
1.谈谈收获和体会：从知识、思想、方法方面 谈
2.评选优秀师友组
六、课堂检测（5分钟）
1.六位同学做第一题 2.其他人从2、3题选作（2题加5颗心，3题加 10颗心）
四、巩固提高（想出思路即可）
1.自主学习
5分钟
2.师友讨论
3分钟
3.同学展示时认真聆听提出质疑和补充不同的想
法
5分钟
已知：如图，在△ABC 中，D 是 AB边 上一点 ，⊙O 过D,B,C 三点， ∠DOC=2∠ACD=90°
（1）求证：直线AC 是⊙O的切线；
（2）如果 ∠ACB，⊙O 的半径为 2， 求BD 的 长．
二、总结归纳
1．解决有关弦的问题时 常常作弦心距构造垂径定理；利用弦的一半、 弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定 理求有关量。
二、总结归纳
1．解决有关弦的问题时 常常作弦心距构造垂径定理；利用弦的一半、 弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定 理求有关量。
2．遇到有直径时（作直径）
常常添加直径所对的圆周角，利用圆周角 的性质得到直角或直角三角形。
常常添加直径所对的圆周角，利用圆周角 的性质得到直角或直角三角形。
2．遇到有直径时（作直径）
常常添加直径所对的圆周角，利用圆周角 的性质得到直角或直角三角形。
3．遇到切线时 在解决有关切线问题时，常作过切点的半
径，利用切线的性质定理得垂直
3．遇到切线时 在解决有关切线问题时，常作过切点的半
径，利用切线的性质定理得垂直
A
B
2．遇到有直径时（作直径）
常常添加直径所对的圆周角，利用圆周角 的性质得到直角或直角三角形。
A
B
圆中常见的辅助线的作法学案
圆中常见的辅助线的作法第二初中于晓光一、复习目标1、归纳圆中常见的辅助线的做法。
2、依据题目特点灵活运用各种辅助线完成圆的证明和计算。
二、知识再现（思考下列各题，说说你抓住了题目的那些特点作了怎样的辅助线，作这样的辅助线你构造了什么特殊图形？）1、如图，AB是⊙O的直径，∠C＝35°，则∠ABD＝°2、如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，AC=3cm，则⊙O的直径= cm。
3、如图PA切⊙O 于点A，PO交⊙O 于点B，若PA=4，PB=2，则⊙O的半径= 。
4、如图，AE平分∠CAB,点O在射线AE上，以O为圆心画圆于AC相切于D点。
判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由。
5、如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠B= ∠D=30°。
AD是⊙O的切线吗？为什么？三、方法归纳：四、小试牛刀（根据我们归纳的方法，先分析题目的特点，再作恰当的辅助线加以解决）1、已知：△ABC内接于⊙O，∠C=40°，则∠OAB= °2如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=20°，过C点作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E= °3、如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于D,AC=5，DC=3，2AB。
求则⊙O的直径= 。
44、如图，直线AB交⊙O于AB两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于点D,过点D作DE ⊥MN于E。
（1）、请说明DE是⊙O的切线。
（2）、若DE=6，AE=3,求⊙O的半径五、大显身手（先独立解决，后小组交流，看看彼此的方法一样吗？说说是什么条件启发你作那样的辅助线的。
）1、如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以腰AB为直径作⊙O交BC于点P，过点P作PE⊥AC于E，(1)、PE是⊙O的切线吗？为什么？（2）、若BC=10，PE=4，求AB的长。
2、如图，⊙O的直径AB=10cm，BC=5cm，∠ACB的平分线交⊙O与D，交AB于E，且PC=PE。
初三圆中常见的辅助线的教学提纲
CBBA圆中常见的辅助线的作法1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
【例1】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。
【例2】如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点，那么OP 的长的取值范围是_________．2． 遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。
【例3】如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4，弦BC=2,∠B=3． 遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用：利用圆周角的性质，可得到直径。
【例4】如图，AB 、AC 是⊙O 的的两条弦，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，⊙O 的半径是4．遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
【例5】如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，则∠C的度数是________.5．遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。
【例6】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。
6．遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。
【例7】如图所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。
部编人教版九年级数学上册2 圆中常用的作辅助线的八种方法(课件)
∴AD2＋BC2＝4R2.
(2)若弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根
(AD>BC)，求⊙O的半径及点O到AD的距离．
解：过点O作OF⊥AD于点F. ∵弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两根(AD>BC)， ∴AD＝5，BC＝1. 由(1)知，AD2＋BC2＝4R2，
证明：如图，连接CO，交DB于点E， ∴∠O＝2∠CDB＝60°. 又∵∠OBE＝30°， ∴∠BEO＝180°－60°－30°＝90°. ∵AC∥BD，∴∠ACO＝∠BEO＝90°，即OC⊥AC. 又∵点C在⊙O上，
∴AC是⊙O的切线．
(2)求由弦CD，BD与
︵ BC
所围成的阴影部分的面积(结果
∴52＋12＝4R2，∴R＝
26 2.
∵∠EAD＝90°，OF⊥AD，∴OF∥EA.
又∵O 为 DE 的中点，
∴OF＝12AE＝12BC＝12，
即点 O 到 AD 的距离为12.
返回
方法 4 证切线时辅助线作法的应用
4．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且
与OA的延长线交于点D.判断CD与⊙O的位置关系，
∴∠APO＝30°.∴PO＝2AO.
∵在Rt△APO中，AO2＋PA2＝PO2，
∴AO2＋3＝(2AO)2.
又∵AO＞0，∴AO＝1，即⊙O的半径为1.
返回
方法 8 巧添辅助线计算阴影部分的面积 9．(中考·自贡)如图，点B，C，D都在⊙O上，过点
C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，且 ∠CDB＝∠OBD＝30°，DB＝ 6 3 cm. (1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)求DE的长．
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O
C
B A
O C B
A
O C B A 圆中常见的辅助线的作法
1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）
常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的
端点的半径。
作用：①利用垂径定理；
②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；
③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求
有关量。
【例1】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。
【例2】如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点，那
么OP 的长的取值范围是_________．
2．遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。
【例3】如图，AB 是⊙O
的直径，AB=4，弦BC=2, ∠B= 3．遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用：利用圆周角的性质，可得到直径。
【例4】如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，⊙O的半径是
4．遇到弦时
常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一
点和弦的两个端点。
作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
【例5】如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，则∠C的度数是________.
5．遇到有切线时
（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。
【例6】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB?的延长线于D，求证：AC=CD．
（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：可构成弦切角，从而利
用弦切角定理。
6．遇到证明某一直线是圆的切线时
（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证
垂足到圆心的距离等于半径。
【例7】如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，AC ⊥L 于C ，BD ⊥L 于D ，且AC+BD=AB 。
求证：直线L 与⊙O 相切。
（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）
，再证其
与直线垂直。
【例8】如图，△ABO 中，OA= OB ，以O 为圆心的圆经过AB 中点C ，且分别交OA 、OB 于点E 、F ．
求证：AB 是⊙O 切线；
7．遇到两相交切线时（切线长）
常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。
作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；②垂直关系；③全等、相似三角形。
A
B C
D
E P
O
【例9】如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE 的周长为12，则PA长为______________
8．遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。
作用：利用内心的性质，可得：①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；②内心到三角形三条边的距离相等。
【例10】如图，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=
【例11】如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距
离．
9．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。