《圆中常见的辅助线的作法》教案

O

C

B A

O C B

A

O C B A 圆中常见的辅助线的作法

1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的

端点的半径。

作用：①利用垂径定理；

②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；

③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求

有关量。

【例1】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。【例2】如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点，那

么OP 的长的取值范围是_________．

2．遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。

【例3】如图，AB 是⊙O

的直径，AB=4，弦BC=2, ∠B= 3．遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。

作用：利用圆周角的性质，可得到直径。

【例4】如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，⊙O的半径是

4．遇到弦时

常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一

点和弦的两个端点。

作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。【例5】如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，则∠C的度数是________.

5．遇到有切线时

（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。

【例6】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB?的延长线于D，求证：AC=CD．

（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：可构成弦切角，从而利

用弦切角定理。

6．遇到证明某一直线是圆的切线时

（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证

垂足到圆心的距离等于半径。

【例7】如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，AC ⊥L 于C ，BD ⊥L 于D ，且AC+BD=AB 。

求证：直线L 与⊙O 相切。

（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）

，再证其

与直线垂直。【例8】如图，△ABO 中，OA= OB ，以O 为圆心的圆经过AB 中点C ，且分别交OA 、OB 于点E 、F ．

求证：AB 是⊙O 切线；

7．遇到两相交切线时（切线长）

常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。

作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；②垂直关系；③全等、相似三角形。

A

B C

D

E P

O

【例9】如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE 的周长为12，则PA长为______________

8．遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得：①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；②内心到三角形三条边的距离相等。

【例10】如图，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=

【例11】如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距

离．

9．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。