椭圆中一个三角形最大面积问题

＝
ｙ１ ｘ１
、ｋＯＢ
＝
ｙ２ ｘ２
是关于
ｔ
的二次方程 ④ 的两
根，故由韦达定理知 ｋＯＡ·ｋＯＢ
＋
ｂ２ ａ２
＝
ｂ２（ ｍ２ － ａ２ｋ２） ａ２（ ｍ２ － ｂ２）
＋
ｂ２ ａ２
＝－
ｂ２（ ａ２ｋ２ ＋ ａ２（ ｍ２
ｂ２ －
－ ｂ２
２ｍ２ ）
）
．
因此，当且
仅当
ａ
２
ｋ
２
＋
ｂ２
－
２ｍ２
＝
０
时，ｋＯＡ ·ｋＯＢ
≤
ｂ２ ａ２
（
ｔ
２
＋ ａ２ ２
－ ｔ２）２
＝
１ ａ２ｂ２， ４
故 Ｓ△ＡＯＢ ≤
１ ２
ａｂ，当且仅当 ｔ２
＝ ａ２
－ ｔ２ 即
ｔ
＝
２ ２
ａ
１ 时 Ｓ△ＡＯＢ 取得最大值 ２ ａｂ．
而显然有当且仅当
ｔ
＝
２ ２ ａ 时，直线 ＡＢ 与椭圆 Ｆ
相切于点（
２ ２ ａ，０） （ 或（
－
２ ２ ａ，０） ） ， 因此当且仅当直
４ａ４ ａ２ ｋ２
ｋ２ ｍ２ ＋ ｂ２
）
２
－
４ａ２（ ｍ２ ａ２ ｋ２
－ ｂ２ ＋ ｂ２
）
ùûúú
＝
４ａ２ｂ２（ ｋ２
＋ １）（ａ２ｋ２ ＋ （ａ２ｋ２ ＋ ｂ２） ２
ｂ２
－
ｍ２） ．
又设点
Ｏ
到直线
ＡＢ
的距离为
ｄ，则
ｄ２
＝
ｍ２ ｋ２ ＋
，于 １
是
Ｓ２ △ＡＯＢ
＝
１ ４
ＡＢ
２ ·ｄ２
＝
ａ２ｂ２ｍ２（ ａ２ｋ２ ＋ ｂ２ － （ａ２ｋ２ ＋ ｂ２） ２
ｋＯＢ
＝－
ｂ２ ａ２
（
或
ＯＡ、ＯＢ
分别为椭圆
Ｅ
的长、短半轴）
时
１ Ｓ△ＡＯＢ 取得最大值 ２ ａｂ．
证明 （ⅰ） 当直线 ＡＢ 不过点（０， ± ｂ） 且不与 ｘ
轴垂直时（ 如图 １） ，设 Ａ（ ｘ１，ｙ１） ，Ｂ（ ｘ２，ｙ２） ，直线 ＡＢ 的
方程为 ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｍ（ ｍ ≠ ０，ｍ ≠ ± ｂ） ，即
１ 线 ＡＢ 与椭圆 Ｆ 相切时，Ｓ△ＡＯＢ 取得最大值 ２ ａｂ．
综合（ ⅰ）、（ⅱ），定理 １ 得证．
定理 ２
设椭圆
Ｅ：
ｘ２ ａ２
＋
ｙ２ ｂ２
＝ １（ａ
＞
ｂ
＞
０） 的中
心为 Ｏ，Ａ、Ｂ 是椭圆 Ｅ 上的两点 （ Ａ、Ｂ、Ｏ 不共线） ， 记
ｋＯＡ 、ｋＯＢ 分别为直线 ＯＡ、ＯＢ 的斜率， 则当且仅当 ｋＯＡ ·
Ｏ 不共线） ，若记 Ｐ：直线 ＡＢ 与椭圆 Ｆ 相切，Ｑ：ｋＯＡ·ｋＯＢ
＝
－
ｂ２ ａ２
（或
ＯＡ、ＯＢ
分别为椭圆
Ｅ
的长、短半轴） ，Ｒ：Ｓ△ＡＯＢ
１ 取得最大值 ２ ａｂ， 则由以上两个定理的结论可知， 将
Ｐ、Ｑ、Ｒ 中任一个作为条件，剩余两个中的一个作为结
论，都为一个正确的命题（共有 ６ 个结论，若 Ｒ 作为条件
大值
１ ２
ａｂ．
另将直线 ＡＢ 的方程 ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｍ 代入椭圆 Ｆ 的方程
整理得：
２（ ａ２ｋ２ ＋ ｂ２） ｘ２ ＋ ４ａ２ｋｍｘ ＋ ａ２（２ｍ２ － ｂ２） ＝ ０． ②
设关于 ｘ 的二次方程 ② 根的判别式为 Δ２，则 Δ２ ＝ １６ａ４ ｋ２ ｍ２ － ８ａ２（ ａ２ ｋ２ ＋ ｂ２ ） （２ｍ２ － ｂ２ ）
教学评价与分析 本节课的教学设 计 符 合 学 生 的 实 际， 体 现 了 以 学 生为本的教学理念，教学中通过学生的试验引出问题， 利用表格填写试验结果，清晰地展现出试验结果间的 关系，根据学生没有学习排列组合知识的情况，较直观 的介绍了一些求基 本 事 件 总 数 的 方 法， 为 求 概 率 奠 定 了良好的基础，遵循了学生的认知规律，利用从特殊到
一般的思想方法，归纳总结出了求古典概型的计算公 式，这是本节课的一个亮点．
从课堂教学实践来看，师生之间，生生之间相互讨 论，交流热烈，目标达成度高． 例题的选择适当， 起到了 巩固概念，培养数学思想方法的目的． 课后检测目的清 楚，难度适中，既能复习巩固知识，又利于以后的学习， 这也是本节一个亮点．不足的是，在概念和公式的推导 过程中不够简练，以至于没有充足的时间进行随堂练 习．
得最大值
１ ２
ａｂ．
（ⅱ） 当直线 ＡＢ 与 ｘ 轴垂
直时（如图 ２），设直线 ＡＢ 的方
程为 ｘ ＝ ｔ（０ ＜ ｔ ＜ ａ），代入
椭圆 Ｅ 的方程可得 ＡＢ ＝
２ｂ ａ２ － ｔ２ ．又点 Ｏ 到直线 ａ
图２
ＡＢ 的距离 ｄ ＝ ｔ ，于是
Ｓ２ △ＡＯＢ
＝
１ ４
ＡＢ
２ ·ｄ２
＝ ｂ２ｔ２（ ａ２ － ｔ２） ａ２
（ｙ
－ ｋｘ） ２ ｍ２
＝
１． Leabharlann ③将 ③ 式代入 Ｅ 的方程得
ｂ２ ｘ２
＋
ａ２ ｙ２
－
ａ２ｂ２（ ｙ － ｍ２
ｋｘ） ２
＝
０，
上式整理后两边同除以 ｘ２ 得
ａ２（ ｍ２ － ｂ２） ｔ２ ＋ ２ａ２ｂ２ｋｔ ＋ ｂ２（ ｍ２ － ａ２ｋ２） ＝ ０（ 其中
ｔ＝
ｙ ｘ
）
．
④
由 于 ｋＯＡ
中学教研（ 数学） ，２０１１（１２） ．
２９
ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ 中学数学杂志 ２０１４ 年第 ５ 期
４．同时掷两个质地均匀的骰子，所得点数之积为 ６ 的概率为 ．
５．思考题：抛掷一枚质地均匀的骰子，由骰子的点 数为奇数还是偶数 来 决 定 乒 乓 球 比 赛 中 的 发 球 权， 公 平吗？ 同时抛掷两枚质地均匀的骰子，由两枚骰子的 点数之和为奇数还是偶数来决定乒乓球比赛中的发球 权，公平吗？
时应改为：Ｓ△ＡＯＢ
＝
１ ２ ａｂ）．
参考文献 ［１］ 姜坤崇．相似椭圆的性质又探［ Ｊ］ ． 数学通讯，２０１１（ ４）
（ 下半月） ． ［２］ 姜坤崇．对 ２０１１ 年高考山东卷理科 ２２（ Ⅰ） 题的研究
［ Ｊ］ ．数学教学，２０１２（２） ． ［３］ 姜坤崇．椭圆的“姊妹椭圆” 与“ 姊妹圆” 及其性质［ Ｊ］．
ｍ２） ．
所以
Ｓ２ △ＡＯＢ
－
１ ａ２ｂ２ ４
＝ ａ２ｂ２ｍ２（ ａ２ｋ２ ＋ ｂ２ － ｍ２） （ａ２ｋ２ ＋ ｂ２） ２
－
１ ａ２ｂ２ ４
＝－
ａ２ｂ２（ ａ２ｋ２ ＋ ４（ ａ２ ｋ２
ｂ２ － ２ｍ２） ２ ＋ ｂ２） ２
≤
０．
因此当且仅当 ａ２ ｋ２ ＋ ｂ２ － ２ｍ２ ＝ ０ 时，Ｓ△ＡＯＢ 取得最
由于 ｘ１、ｘ２ 为方程 ① 的两根，故由韦达定理得
２８
ｘ１
＋
ｘ２
＝－
ａ
２ａ２ ２ ｋ２
ｋｍ ＋ｂ
２
，ｘ
１
ｘ
２
＝
ａ２（ ｍ２ ａ２ ｋ２
－ ＋
ｂ２ ｂ２
）
．
所以 ＡＢ ２
＝ （ｋ２ ＋ １）（ｘ１ － ｘ２） ２
＝ （ｋ２ ＋ １）［（ｘ１ ＋ ｘ２） ２ － ４ｘ１ｘ２］
＝
（ ｋ２
＋
１）
éëêê
（
２ｍ２ ＝ ０ 可得 ｋ ＝ ± ｂ ，此时直线 ＡＢ 过点（ ± ａ，０） ，从而 ａ
ＯＡ、ＯＢ 分别为椭圆 Ｅ 的长、短半轴．
（ ⅲ） 当直线 ＡＢ 与 ｘ 轴垂直时，易证（ 证明从略） ：
２ 当且仅当直线 ＡＢ 过点（ ± ２ ａ，０） （ 此时直线 ＡＢ 与椭
圆 Ｆ 相切于点（ ±
２ ２ ａ，０） ） 时，ｋＯＡ ·ｋＯＢ
＝－
ｂ２ ａ２
．
又由定理 １ 证明中已得结论知，当且仅当 ａ２ｋ２ ＋ ｂ２
－ ２ｍ２ ＝ ０ 时直线 ＡＢ 与椭圆 Ｆ 相切，故当且仅当 ｋＯＡ ·
ｋＯＢ
＝－
ｂ２ ａ２
时直线
ＡＢ
与椭圆
Ｆ
相切．
（ ⅱ） 当直线 ＡＢ 过点（０， ± ｂ） 时，不妨设过点（０，
ｂ） ，则由直线 ＡＢ 与椭圆 Ｆ 相切的充要条件 ａ２ｋ２ ＋ ｂ２ －
（ 本课例曾获得教育部课程教材研究所教材实验优质课 评选一等奖）
作者简介 王勇，男 １９７７ 年 １１ 月生，中学一级教师． 袁 莉，１９７７ 年 ５ 月生，中学一级教师．
椭圆中一个三角形最大面积问题
上海市宝山区宝林路宝林六村 ４２ 号 １０１ 室 ２０１９９９ 姜坤崇
问题
设椭圆
Ｅ：
ｘ２ ａ２
＋
ｙ２ ｂ２
＝ １（ａ
＞
ｂ
＞
０） 的中心
为 Ｏ，Ａ、Ｂ 是椭圆上的两点（Ａ、Ｂ、Ｏ 不共线），求 △ＡＯＢ
面积的最大值．
对于这个问题，笔者经过探讨，得到了如下两个有
趣的结论． 定理 １
设椭圆
Ｅ：
ｘ２ ａ２
＋
ｙ２ ｂ２
＝ １（ａ
＞
ｂ
＞
０） 的中
心为 Ｏ，Ａ、Ｂ 是椭圆 Ｅ 上的两点（ Ａ、Ｂ、Ｏ 不共线） ，则当
中学数学杂志 ２０１４ 年第 ５ 期 ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ
＝ ８ａ２ｂ２（ ａ２ｋ２ ＋ ｂ２ － ２ｍ２） ． 于是，当且仅当 ａ２ｋ２ ＋ ｂ２ － ２ｍ２ ＝ ０ 时，直线 ＡＢ 与
椭圆 Ｆ 相切．
综上，当且仅当直线 ＡＢ 与椭圆 Ｆ 相切时，Ｓ△ＡＯＢ 取
且
仅当直线
ＡＢ
与椭圆
Ｆ：
ｘ２ ａ２
＋
ｙ２ ｂ２
＝
１ ２
相切时，Ｓ△ＡＯＢ 取
１ 得最大值 ２ ａｂ．
证明 （ⅰ） 当直线 ＡＢ 不
与 ｘ 轴 垂 直 时 （ 如 图 １）， 设
Ａ（ ｘ１，ｙ１） ，Ｂ（ ｘ２，ｙ２） ， 直 线 ＡＢ 的方程为 ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｍ（ ｍ ≠ ０），代
入椭圆 Ｅ 的方程整理得
＝
－
ｂ２ ａ２
．
综上可得，当且仅当
ｋＯＡ ·ｋＯＢ
＝－
ｂ２ ａ２
（
或
ＯＡ、ＯＢ
分
别为椭圆 Ｅ 的长、短半轴） 时直线 ＡＢ 与椭圆 Ｆ 相切，从
而 由定理 １ 的结论得，当且仅当 ｋＯＡ·ｋＯＢ
＝
－
ｂ２ ａ２
（
或
ＯＡ、
ＯＢ 分别为椭圆 Ｅ 的长、短半轴） 时 Ｓ△ＡＯＢ 取得最大值
１ ２
ａｂ．
最后作一点说明：设 Ａ、Ｂ 是椭圆 Ｅ 上的两点（Ａ、Ｂ、
（ ａ２ｋ２ ＋ ｂ２） ｘ２ ＋ ２ａ２ｋｍｘ ＋
图１
ａ２（ ｍ２ － ｂ２） ＝ ０． ①
由于直线 ＡＢ 与椭圆 Ｅ 有两个公共点，故关于 ｘ 的
二次方程 ① 有两个不相等的实数根，设方程 ① 根的判
别式为 Δ１，则 Δ１ ＝ ４ａ４ｋ２ｍ２ － ４ａ２（ ａ２ｋ２ ＋ ｂ２） （ ｍ２ － ｂ２） ＝ ４ａ２ｂ２（ ａ２ｋ２ ＋ ｂ２ － ｍ２） ＞ ０， 所以 ａ２ｋ２ ＋ ｂ２ － ｍ２ ＞ ０．