《应用多元统计分析》第05章_聚类分析
多元统计分析课件聚类分析
G7
0 34.03
G8
0
（五）类平均法
（Between-group Linkage) 类类间：两类之间的距离为两类样品两 两之间的平均距离
• •
•
• •
•
递推公式
D2（0） G1={X1} G2={X2} G3={X3} G4={X4} G5={X5}
D（1）
G3 G4 G5
2.5 6 8
0 3.5 5.5 0 2 0
D（2）
表3
D(2) G6={X1, X2} G7={X4，X5} G3={X3} G6 0 8 2.5 0 5.5 0 G7 G3
D（3）
表4
D(3) G7={X4,X5 } G8={X1, X2,X3} G7 0 8 0 G8
[ ( xi xi ) ][ ( xj x j ) ]
2 2
n
n
1
1
相似矩阵
第三节 八种系统聚类方法
（hierarchical clustering method）
系统聚类法是诸聚类分析方法中使用最多 的一种，按下列步骤进行：
将n个样品各作为一类
计算n个样品两两之间的距离，构成距离矩阵 合并距离最近的两类为一新类 计算新类与当前各类的距离。再合并、计算 ，直至只有一类为止
样品进行分类。
D（0）
表1
D(0) G1={X1}G2={X2}G3={X3}G4={X4}G5={X5} G1={X1} 0
G2={X2} 1
G3={X3} 2.5
0
1.5 0
G4={X4} 6
G5={X5} 8
5
应用多元统计分析聚类分析
应用多元统计分析聚类分析多元统计分析是一种利用多个变量对数据进行综合分析的方法，通过对各个变量之间的关系进行分析，可以帮助我们了解数据的内在规律，揭示变量之间的相互作用，为问题的解决提供依据和参考。
其中，聚类分析是多元统计分析中的一种方法，它通过将样本数据划分为不同的组别，使得组内的样本之间相似度较高，组间的样本相似度较低，从而实现数据的分类和整理。
聚类分析的过程一般可分为以下几个步骤：1.确定聚类的目标与方法：在进行聚类分析之前，需要明确分析的目标，即希望把样本分成多少个组别，以及采用什么样的分析方法。
2.选择合适的变量和数据：聚类分析需要选择一些具有代表性的变量作为分析对象，并准备好相应的数据。
这些变量可以是数值型、名义型或顺序型的，但需要注意的是，不同类型的变量需要采用不同的距离度量。
3.计算样本间的距离：通过选择合适的距离度量方法，可以度量各个样本之间的相似度或距离，常用的距离度量方法有欧氏距离、曼哈顿距离和相关系数等。
4.执行聚类分析：根据选定的聚类方法，进行聚类分析。
常用的聚类方法有层次聚类和非层次聚类两种，其中层次聚类可以进一步分为凝聚聚类和分裂聚类等。
5.判断聚类结果的合理性：根据实际情况和问题要求，对得到的聚类结果进行合理性检验。
可以通过观察不同聚类组别内的样本特征和组间的差异度，评估聚类结果的合理性。
6.解释和应用聚类结果：根据聚类分析得到的结果，可以对分类的样本进行解释和应用。
例如，可以找到各个类别的典型样本，分析其特征和规律，为问题的解决提供参考和支持。
聚类分析在实际应用中具有很广泛的应用价值。
例如，在市场细分方面，可以利用聚类分析将消费者划分为不同的群体，有针对性地开展精准营销；在医药领域中，可以通过聚类分析将疾病患者划分为不同的病种，帮助医生进行诊断和治疗方案的选择；在社会科学研究中，可以利用聚类分析将受访者划分为不同的人群，通过对不同人群的特征分析，了解社会问题背后的机制和原因。
厦门大学《应用多元统计分析》第05章_聚类分析
在实际聚类过程中，为了计算方便，我们把变量间相似性的 度量公式作一个变换为
或者
dij = 1 ∣cij∣
(5.9)
dij2 = 1 cij2
(5.10)
用表示变量间的距离远近，小则与先聚成一类，这比较符合
人们的一般思维习惯。
第三节 系统聚类分析法
一 系统聚类的基本思想 二 类间距离与系统聚类法 三 类间距离的统一性
聚类分析就是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问 题。通常聚类分析分为Q型聚类和R型聚类。Q型聚类是对样 品进行分类处理，R型聚类是对变量进行分类处理。
第二节 相似性的量度
一 样品相似性的度量 二 变量相似性的度量
一、样品相似性的度量
在聚类之前，要首先分析样品间的相似性。Q型聚类分析， 常用距离来测度样品之间的相似程度。每个样品有p个指标 （变量）从不同方面描述其性质，形成一个p维的向量。如 果把n个样品看成p维空间中的n个点，则两个样品间相似程 度就可用p维空间中的两点距离公式来度量。两点距离公式 可以从不同角度进行定义，令dij 表示样品Xi与Xj的距离，存 在以下的距离公式：
二、类间距离与系统聚类法
在进行系统聚类之前，我们首先要定义类与类之间的距离， 由类间距离定义的不同产生了不同的系统聚类法。常用的类 间距离定义有8种之多，与之相应的系统聚类法也有8种，分 别为最短距离法、最长距离法、中间距离法、重心法、类平 均法、可变类平均法、可变法和离差平方和法。它们的归类 步骤基本上是一致的，主要差异是类间距离的计算方法不同。 以下用dij表示样品Xi与Xj之间距离，用Dij表示类Gi与Gj 之间的距离。
dij }
min{Dkp , Dkq}
(5.12)
多元统计分析 第5章 聚类分析
余弦相似性 Cosine Similarity
A document can be represented by thousands of attributes,
p (such as each recording the frequency of a particular word keywords) or phrase in the document. xi yi
feature mapping, ... Cosine measure: If d1 and d2 are two vectors (e.g., termfrequency vectors), then cos(d1, d2) = (d1 d2) /||d1|| ||d2|| ,
where indicates vector dot product, ||d||: the length of vector d
d1 = (5, 0, 3, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 0) d2 = (3, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1) d1 d2 = 5*3+0*0+3*2+0*0+2*1+0*1+0*1+2*1+0*0+0*1 = 25 ||d1||= (5*5+0*0+3*3+0*0+2*2+0*0+0*0+2*2+0*0+0*0)0.5=(42)0.5 = 6.481 ||d2||= (3*3+0*0+2*2+0*0+1*1+1*1+0*0+1*1+0*0+1*1)0.5=(17)0.5 = 4.12 cos(d1, d2 ) = 0.94
应用多元统计分析第五章聚类分析
改进的方法：对数据进行标准化，然后再计算距离。
13
第十三页，讲稿共六十六页哦
采用明氏距离需要注意的是：
一定要采用相同量纲的变量。如果各变量 的量纲不同，或当各变量的量纲相同但各 变量的测量值相差悬殊时，不能直接采用 明氏距离。
需要先对数据进行标准化处理，然后再用 标准化处理后的数据计算距离。
最常用的标准化处理方法是：
Dk2p
nq nr
Dk2q
np nr
nq nr
D
2 pq
具体计算过程见参考书2p78-79 。
35
第三十五页，讲稿共六十六页哦
系统聚类法
类平均法——Between-groups Linkage 重心法虽有很好的代表性，但并未充分利用个样品的
信息，因此给出类平均法，它定义两类之间的距离平 方为这两类元素两两之间距离平方的平均，即：
3
第三页，讲稿共六十六页哦
聚类分析
由于不同的指标项对重要程度或依赖关系 是相互不同的，所以也不能用平均的方法， 因为这样会忽视相对重要程度的问题。 所以需要进行多元分类，即聚类分析。 最早的聚类分析是由考古学家在对考古分 类中研究中发展起来的，同时又应用于昆虫 的分类中，此后又广泛地应用在天气、生物 等方面。
聚类中选择变量的要求
和聚类分析的目标密切相关 反映了要分类对象的特征 变量之间不应该高度相关。
6
第六页，讲稿共六十六页哦
如何聚类？
聚类分析就是要找出具有相近程度的点或类聚为一类； 如何衡量这个“相近程度”？ 一种方法是用相似系数，性质越接近的样品，它们的
相似系数的绝对值越接近1，而彼此无关的样品，它 们的相似系数的绝对值越接近于零。比较相似的样品 归为一类，不怎么相似的样品归为不同的类。 另一种方法是将一个样品看作p维空间的一个点，并在 空间定义距离，距离越近的点归为一类，距离较远的 点归为不同的类。
多元统计分析-聚类分析
多元统计分析-聚类分析聚类分析是⼀个迭代的过程对于n个p维数据，我们最开始将他们分为n组每次迭代将距离最近的两组合并成⼀组若给出需要聚成k类，则迭代到k类是，停⽌计算初始情况的距离矩阵⼀般⽤马⽒距离或欧式距离个⼈认为考试只考 1,2⽐较有⽤的⽅法是3,4,5,8最喜欢第8种距离的计算 欧式距离 距离的⼆范数 马⽒距离 对于X1, X2均属于N(u, Σ) X1,X2的距离为 (X1 - X2) / sqrt(Σ)那么不同的聚类⽅法其实也就是不同的计算类间距离的⽅法1.最短距离法 计算两组间距离时，将两组间距离最短的元素作为两组间的距离2.最长距离法 将两组间最长的距离作为两组间的距离3.中间距离法 将G p,G q合并成为G r 计算G r与G k的距离时使⽤如下公式 D2kr = 1/2 * D2kp + 1/2 * D2kq + β * D2pq β是提前给定的超参数-0.25<=β<=04.重⼼法 每⼀组都可以看成⼀组多为空间中点的集合，计算组间距离时，可使⽤这两组点的重⼼之间的距离作为类间距离 若使⽤的是欧⽒距离 那么有如下计算公式 D2kr = n p/n r * D2kp + n q/n r * D2kq - (n p*n q / n r*n r ) * D2pq5.类平均法 两组之间的距离 = 组间每两个样本距离平⽅的平均值开根号 表达式为D2kr = n p/n r * D2kp + n q/n r * D2kq6.可变类平均法 可以反映合并的两类的距离的影响 表达式为D2kr = n p/n r *(1- β) * D2kp + n q/n r *(1- β) * D2kq + β*D2pq 0<=β<17.可变法 D2kr = (1- β)/2 * (D2kp + D2kq) + β*D2pq8.离差平⽅和法 这个⽅法⽐较实⽤ 就是计算两类距离的话，就计算，如果将他们两类合在⼀起之后的离差平⽅和 因为若两类本⾝就是⼀类，和本⾝不是⼀类，他们的离差平⽅和相差较⼤ 离差平⽅和:类中每个元素与这⼀类中的均值距离的平⽅之和 若统⼀成之前的公式就是 D2kr = (n k + n p)/(n r + n k) * D2kp + (n k + n q)/(n r + n k) -(n k)/(n r + n k) * * D2pq⼀些性质 除了中间距离法之外，其他的所有聚类⽅法都具有单调性 单调性就是指每次聚类搞掉的距离递增 空间的浓缩和扩张 D(A)>=D(B) 表⽰A矩阵中的每个元素都不⼩于B D(短) <= D(平) <= D(长) D(短，平) <= 0 D(长，平) >= 0 中间距离法⽆法判断。
应用多元统计分析 聚类分析 PPT
p
X p X p )
nq nr
( X k X k
2 X k X q
X q X q )
n p nq nr
(X
p X
p
2 X p X q
X q X q )
np nr
Dk2p
nq nr
Dk2q
n p nq nr2
Dp2q
（5.19）
【例5、2】针对例5、1的数据,试用重心法将它们聚类。 (1)样品采纳欧氏距离,计算样品间的平方距离阵D2(0),见表5、4
dij }
min{Dkp , Dkq}
(5、12)
最短距离法进行聚类分析的步骤如下:
(1)定义样品之间距离,计算样品的两两距离,得一距离
阵记为D(0) ,开始每个样品自成一类,显然这时Dij = dij。 (2)找出距离最小元素,设为Dpq,则将Gp和Gq合并成一个 新类,记为Gr,即Gr = ｛Gp,Gq｝。 (3)按(5、12)计算新类与其它类的距离。
1、明考夫斯基距离
p
dij (q) (
X ik X jk )q 1/ q
k 1
(5、1)
明考夫斯基距离简称明氏距离,按的取值不同又可分成:
欧氏距离是常用的距离,大伙儿都比较熟悉,然而前面差不多 提到,在解决多元数据的分析问题时,欧氏距离就显示出了它
的不足之处。一是它没有考虑到总体的变异对“距离”远近 的影响,显然一个变异程度大的总体估计与更多样品近些,既 使它们的欧氏距离不一定最近;另外,欧氏距离受变量的量纲 影响,这对多元数据的处理是不利的。为了克服这方面的不 足,可用“马氏距离”的概念。
G1
G2
G3
G4
G1
0
G2
多元统计课件第5章 聚类分析
表5.2
合并， （3）在D（1）中最小值是 34＝D48＝2，由于 4与G3合并， ） ，由于G ）中最小值是D 又与G 合并，因此G 合并成一个新类G 又与 8合并，因此 3、G4、G8合并成一个新类 9，其与其 它类的距离D ） 见表5.3 它类的距离 （2） ，见表
1 2 1 2 2 D = Dkp + Dkq + βD pq 2 2
2 kr
(−1／4 ≤ β ≤ 0) − ／
(5.15)
如果采用最短距离法， 设Dkq＞Dkp，如果采用最短距离法，则Dkr = Dkp，如果采用 最长距离法， 如图5.2所示 所示， 最长距离法，则Dkr = Dkq。如图 所示，(5.15)式就是取它 式就是取它 最长距离与最短距离）的中间一点作为计算D 的根据。 们（最长距离与最短距离）的中间一点作为计算 kr的根据。
它的重心是 X r =
D =
2 kr
np nr
D +
2 kp
nq nr
D −
2 kq
n p nq n
2 r
2 D pq
（5.18） ）
） 式表示的类 G k 与新类 G r 这里我们应该注意， 这里我们应该注意， 实际上 5.18） （ 的距离为： 的距离为：
2 Dkr = ( X k − X r )′( X k − X r )
Dkr =
X i ∈Gk , X j ∈Gr
max
dij
d ij , max d ij }
= max{
X i ∈Gk , X j ∈G pj
max
xi ∈Gk , x j ∈Gq
多元统计分析聚类分析PPT课件
(2)顺序尺度。指标度量时没有明确的数量表示，只
有次序关系，或虽用数量表示，但相邻两数值之间的差距 并不相等，它只表示一个有序状态序列。如评价酒的味道， 分成好、中、次三等，三等有次序关系，但没有数量表示。
cij cosij
x x n
k1
ki
kj
x x n
k1
k2ik n1
2 kj
d2 ij
1Ci2j
五、距离和相似系数选择的原则
一般说来，同一批数据采用不同的亲疏测度指标，会得 到不同的分类结果。
产生不同结果的原因，主要是由于不同的亲疏测度指标 所衡量的亲疏程度的实际意义不同，也就是说，不同的亲 疏测度指标代表了不同意义上的亲疏程度。因此我们在进 行聚类分析时，应注意亲疏测度指标的选择。
4．对数变换 对数变换是将各个原始数据取对数，将原始数据的对数 值作为变换后的新值。即：
x* ij
logxi(j)
三、样品间亲疏程度的测度
研究样品或变量的亲疏程度的数量指标有
两种，一种叫相似系数，性质越接近的变量
或样品，它们的相似系数越接近于1或一l，而 彼此无关的变量或样品它们的相似系数则越接 近于0，相似的为一类，不相似的为不同类；
通常，选择亲疏测度指标时，应注意遵循的基本原则主 要有：
(1)所选择的亲疏测度指标在实际应用中应有 明确的意义。如在经济变量分析中，常用相 关系数表示经济变量之间的亲疏程度。
(2)亲疏测度指标的选择要综合考虑已对样本观测数据实施 了的变换方法和将要采用的聚类分析方法。 如在标准化变换之下，夹角余弦实际上就是相关系数； 又如若在进行聚类分析之前已经对变量的相关性作了处理， 则通常就可采用欧氏距离，而不必选用斜交空间距离。此 外，所选择的亲疏测度指标，还须和所选用的聚类分析方 法一致。 如聚类方法若选用离差平方和法，则距离只能选用欧氏距 离。
应用多元统计分析聚类分析详解演示文稿
2．马氏距离
设Xi与Xj是来自均值向量为 ，协方差为∑ =（＞0）的总体
G中的p维样品，则两个样品间的马氏距离为
di2j (M ) (Xi X j )Σ1(Xi X j )
(5.5)
马氏距离又称为广义欧氏距离。显然，马氏距离与上述各种 距离的主要不同就是它考虑了观测变量之间的相关性。如果 各变量之间相互独立，即观测变量的协方差矩阵是对角矩阵， 则马氏距离就退化为用各个观测指标的标准差的倒数作为权 数的加权欧氏距离。马氏距离还考虑了观测变量之间的变异 性，不再受各指标量纲的影响。将原始数据作线性变换后， 马氏距离不变。
应用多元统计分析聚类分析详解演示文稿
优选应用多元统计分析聚类分析
但历史上这些分类方法多半是人们主要依靠经验作定性分类， 致使许多分类带有主观性和任意性，不能很好地揭示客观事 物内在的本质差别与联系；特别是对于多因素、多指标的分 类问题，定性分类的准确性不好把握。为了克服定性分类存 在的不足，人们把数学方法引入分类中，形成了数值分类学。 后来随着多元统计分析的发展，从数值分类学中逐渐分离出 了聚类分析方法。随着计算机技术的不断发展，利用数学方 法研究分类不仅非常必要而且完全可能，因此近年来，聚类 分析的理论和应用得到了迅速的发展。
3．兰氏距离
dij (L)
1p p k 1
X ik X jk X ik X jk
(5.6)
它仅适用于一切Xij>0的情况，这个距离也可以克服各个指标 之间量纲的影响。这是一个自身标准化的量，由于它对大的
奇异值不敏感，它特别适合于高度偏倚的数据。虽然这个距
离有助于克服明氏距离的第一个缺点，但它也没有考虑指标 之间的相关性。
1．明考夫斯基距离
p
dij (q) (
2019年多元统计分析聚类分析.ppt
应聘者得分如下
应聘者 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X 28 18 11 21 26 20 16 14 24 22 Y 29 23 22 23 29 23 22 23 29 27 Z 28 18 16 22 26 22 22 24 24 24
例如,对上市公司的经营业绩进行分类；
例如，根据经济信息和市场行情，客观地对 不同商品、不同用户及时地进行分类。
•
•
注意:初始距离用欧式距离则有下列 递推公式
D2（0）
G1
G2
G3
G4
G5
G1={X1} 0
G2={X2} 1
0
G3={X3} 6.25 2.25 0
G4={X4} 36 25
12.25 0
G5={X5} 64 49
30.25 4
0
D2（1）
G6
G3
G4
G5
G6={X1, X2} 0
G3={X3}
（八）离差平方和法(ward法） 定义Gp与Gq的距离：Dp2q Sr Sp Sq
可以证明离差平方和的聚类公式为
D2（0） G1
G2
G3
G4
G5
G1={X1} 0
G2={X2} 0.5 0
G3={X3} 3.125 1.125 0
G4={X4} 18 12.5
6.125 0
G5={X5} 32 24.5 15.125 2
•
x11•
d 12
•
•
x21•
• •
•
递推公式
D（0）
表1
D(0)
G1
G2
G3
G4
G5
G1={X1} 0
厦门大学应用多元统计分析第5聚类分析
min
xi Gk ,x j Gq
dij }
min{Dkp , Dkq}
(5.12)
最短距离法进行聚类分析的步骤如下：
（1）定义样品之间距离，计算样品的两两距离，得一距离 阵记为D（0） ，开始每个样品自成一类，显然这时Dij = dij。
（2）找出距离最小元素，设为Dpq，则将Gp和Gq合并成一个 新类，记为Gr，即Gr = ｛Gp，Gq｝。 （3）按（5.12）计算新类与其它类的距离。 （4）重复（2）、（3）两步，直到所有元素。并成一类为 止。如果某一步距离最小的元素不止一个，则对应这些
4．距离选择的原则
一般说来，同一批数据采用不同的距离公式，会得到不同 的分类结果。产生不同结果的原因，主要是由于不同的距离 公式的侧重点和实际意义都有不同。因此我们在进行聚类分 析时，应注意距离公式的选择。通常选择距离公式应注意遵 循以下的基本原则：
（1）要考虑所选择的距离公式在实际应用中有明确的意义。如欧氏 距离就有非常明确的空间距离概念。马氏距离有消除量纲影响的作 用。
在生物、经济、社会、人口等领域的研究中，存在着大量量 化分类研究。例如：在生物学中，为了研究生物的演变，生 物学家需要根据各种生物不同的特征对生物进行分类。在经 济研究中，为了研究不同地区城镇居民生活中的收入和消费 情况，往往需要划分不同的类型去研究。在地质学中，为了 研究矿物勘探，需要根据各种矿石的化学和物理性质和所含 化学成分把它们归于不同的矿石类。在人口学研究中，需要 构造人口生育分类模式、人口死亡分类状况，以此来研究人 口的生育和死亡规律。
k 1
（3）切比雪夫距离（ q ）
dij
()
max
1k p
X ik
应用多元分析之聚类分析
用聚类分析探究现实中的物以类聚人以群分研究目的：用聚类分析的方法，尝试对现实中的人群进行分类，然后与现实中已存在的小团队相比较，探究此方法用于人群分类的可行性研究意义：因为此次的数据只来自本班的同学，样本小，代表性差，更多的只是满足一下自己的好奇心，并没有太大的意义。
自己只是想试试看能不能成功分类，并借此方法验证一下的自己想法，要是能成功，就权当给大家作为一个交友参考研究步骤：首先，选取本班同学作为样本，一是收集数据方便，二是因为这样更容易得知自己结果的可靠性如何然后给与每个同学附以各项属性值，由于是学生，成绩将被列为第一属性，其次再加入性别、身高体重等指标值。
出于简单考虑，暂且各项属性指标的权重相同庞启升阎天一沈海生陈云辉王博张鹏彭嘉鑫吕嘉杰戴赟林志长齐天骄郭占豪曾志斌郑炜强江睿谢妙芬张丹丹杨洁刘航罗亘乐蔡咏璇何柳依张晨芳李月连邓韵诗佘小芸李秋慧申瑜晗郑良妹周红梅蔡倩华梁靖怡梁彩红王雅薇李倚锋张火琼卓杨媚郑婵丽张蔼容吴小英李琛丁冬恒唐光叡0.51.01.52.02.5表1-3 重心法d在此次模型中，为什么要加入成绩呢，因为一般在一起玩耍的小伙伴成绩都不会相差太远，但实际情况中，对于成绩很好与成绩很差的同学这个规律就不太适用，所以这也是模型的不合理之处，虽然将数据做了标准化的处理，但从分析出的结果来看，成绩很好的更多的是被归为一类，但这个与我们现实情况并不相符。
其次，我为什么加入体侧的成绩，因为体侧的成绩可以反映一个人的身体素质与热爱运动的程度，一般喜欢运动的会与喜欢运动的一起，不喜欢运动的一般更多会选择同样不喜欢运动的作伴，但是这个体侧数据体现更多的是反映体能的数据而非兴趣爱好，所以这是数据本身的不合理之处，但由于没有更好的数据，所以求其次，因此反映到结果上当然也是次的。
至于为什么想加入身高体重，则完全是个人猜想，毕竟有个形象理论嘛，就是人们在社交中会更倾向与自己形态相似的人，所以加进去只是想看看有没有改善结果，事实证明，结果并没有太大的改善，至于原因还有待研究由上图四个表得知，最长距离法与类平均法分类的准确度相对较高。
多元统计分析——聚类分析
多元统计分析——聚类分析多元统计分析中的聚类分析(Cluster Analysis)是一种将相似的个体或对象归为一类的数据分析方法。
聚类分析的目的是通过寻找数据中的相似性来识别或发现存在的模式和结构，可以帮助我们理解和解释数据中的复杂性。
聚类分析在许多领域中都得到了广泛的应用，例如市场细分、社会学、生物学、医学等。
聚类分析的基本原理是将数据样本根据其相似性归为不同的组或类。
相似性可以通过计算数据之间的距离或相似度来度量。
常用的距离度量方法有欧氏距离、曼哈顿距离、闵可夫斯基距离等，相似度度量方法有相关系数、夹角余弦等。
在聚类分析中，我们通常将相似的样本放在同一类别中，不相似的样本放在不同类别中。
聚类分析可以分为两种类型：层次聚类和划分聚类。
层次聚类是一种将数据样本分层次地组织成树状结构的聚类方法。
划分聚类则是将数据样本划分为预先确定的K个不重叠的类的聚类方法。
其中最常用的层次聚类算法有聚合法和分裂法，最常用的划分聚类算法是K均值算法。
聚类分析的基本步骤包括数据准备、相似度度量、类别划分和结果解释。
在数据准备阶段，需要选择合适的变量和样本。
相似度度量是聚类分析的核心，不同的距离或相似性度量方法可能会导致不同的聚类结构。
类别划分可以根据层次聚类算法或划分聚类算法来进行。
结果解释则是对聚类结果进行分析和解释，常用的方法包括聚类矩阵、平均距离图、树状图等。
聚类分析的优势在于能够帮助我们理解数据中的结构和模式，发现数据中的共性和差异性。
聚类分析可以为我们提供有关样本之间的关系和特征的重要信息。
此外，聚类分析还可以帮助我们进行市场细分和目标市场选择、发现新的疾病群和药物靶点等。
然而，聚类分析也存在一些局限性。
首先，聚类结果可能会受到初始聚类中心选择的影响。
其次，聚类结果的解释需要结合领域知识和专家判断，可能存在主观性。
此外，聚类分析对数据的样本大小和变量数目也有一定的要求，数据的维度增加会导致计算量的增加。
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3．兰氏距离
1 p X ik X jk dij ( L) p k 1 X ik X jk
(5.6)
1）它仅适用于一切Xij>0的情况，这个距离也可以克服各个 指标之间量纲的影响。 2）这是一个自身标准化的量，由于它对大的奇异值不敏感， 它特别适合于高度偏倚的数据。 虽然这个距离有助于克服明氏距离的第一个缺点，但它也没 有考虑指标之间的相关性。
This is a dissimilarity matrix
Mahalanobis 距离实例
二、变量相似性的度量（相似性测度）
研究样品间的相似性常用距离，研究指标（变量）
间的相似性常用的有：夹角余弦与相关系数
1、夹角余弦 两变量Xi与Xj看作p维空间的两个向量，这两个向量间的夹 角余弦可用下式进行计算
2．马氏距离 设Xi与Xj是来自均值向量为 ，协方差为∑ =（＞0）的总体 G中的p维样品，则两个样品间的马氏距离为
2 dij (M ) (Xi X j )Σ1 (Xi X j )
(5.5)
马氏距离又称为广义欧氏距离。 1）考虑了观测变量之间的相关性。若各变量之间相互独立， 即观测变量的协方差矩阵是对角矩阵，则马氏距离退化为用 各个观测指标的标准差的倒数作为权数的加权欧氏距离 2）考虑了观测变量之间的变异性，不受指标量纲影响
维空间中的一个点，n个样品就是p维空间中的n个 点，则第i样品与第 j 样品之间的距离记为dij
距离测度须满足的条件
（1）对称性
dij＝dji0
（2）三角不等式 dij dik＋djk （3）dij0 则 样品i样品j
一、样品相似性的度量
在聚类之前，要首先分析样品间的相似性。Q型聚类分析，
常用距离来测度样品之间的相似程度。每个样品有p个指标 （变量）从不同方面描述其性质，形成一个p维的向量。如 果把n个样品看成p维空间中的n个点，则两个样品间相似程 度就可用p维空间中的两点距离公式来度量。两点距离公式 可以从不同角度进行定义，令dij 表示样品Xi与Xj的距离，存 在以下的距离公式： 1．明考夫斯基距离
为了克服定性分类存在的不足，人们把数学方法引入分类中，
形成了数值分类学。后来随着多元统计分析的发展，从数值 分类学中逐渐分离出了聚类分析方法。
聚类分析就是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问
题。与回归分析、判别分析一起被称为多元分析的三大方法。
聚类分析数据格式
第一节 引言
聚类分析就是根据研究对象的特征，按照一定的规则，对研 究对象进行分类，相似的归为一类，不相似的归为不同类。
4．距离选择的原则
（1）要考虑所选择的距离公式在实际应用中有明确的意
义。如欧氏距离就有非常明确的空间距离概念。马氏距 离有消除量纲影响的作用。 （2）要综合考虑对样本观测数据的预处理和将要采用的 聚类分析方法。如在进行聚类分析之前已经对变量作了 标准化处理，则通常就可采用欧氏距离。 （3）要考虑研究对象的特点和计算量的大小。实际中， 聚类分析前不妨试探性地多选择几个距离公式分别进行 聚类，然后对聚类分析的结果进行对比分析，以确定最 合适的距离测度方法。
第五章 聚类分析
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 引言 相似性的量度 系统聚类分析法 K均值聚类分析 实例分析与计算机实现
第一节 引言
“物以类聚，人以群分”。对事物进行分类，是人们认识事 物的出发点，也是人们认识世界的一种重要方法。因此， 分类学已成为人们认识世界的一门基础科学。
在生物、经济、社会、人口等领域的研究中，存在着大量
距离测度（举例）
距离测度（举例）
Proximity Matrix Case 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 .000 3.000 1.732 4.583 4.123 2.236 3.742 7.141 6.481 7.141 8.367 11.225 2 3.000 .000 3.742 2.449 4.690 1.414 1.000 4.243 4.123 4.472 5.568 8.307 3 1.732 3.742 .000 4.690 5.477 2.449 4.123 7.874 7.416 7.616 9.110 11.958 4 4.583 2.449 4.690 .000 5.477 2.828 1.732 4.243 5.568 3.162 6.083 7.937 5 4.123 4.690 5.477 5.477 .000 5.099 5.385 7.211 7.416 6.782 8.888 10.724 Euclid ean Distance 6 7 2.236 3.742 1.414 1.000 2.449 4.123 2.828 1.732 5.099 5.385 .000 1.732 1.732 .000 5.477 3.873 5.196 4.243 5.477 3.873 6.708 5.292 9.539 7.874 8 7.141 4.243 7.874 4.243 7.211 5.477 3.873 .000 3.000 2.449 2.236 4.123 9 6.481 4.123 7.416 5.568 7.416 5.196 4.243 3.000 .000 5.196 2.449 6.000 10 7.141 4.472 7.616 3.162 6.782 5.477 3.873 2.449 5.196 .000 4.583 5.196 11 8.367 5.568 9.110 6.083 8.888 6.708 5.292 2.236 2.449 4.583 .000 3.742 12 11.225 8.307 11.958 7.937 10.724 9.539 7.874 4.123 6.000 5.196 3.742 .000
在实际聚类过程中，为了计算方便，我们把变量间相似性的度量公式作
一个变换为 dij = 1 ∣cij∣ 或者 dij2 = 1 cij2 (5.10) 用表示变量间的距离远近，小则与先聚成一类。 (5.9)
补充： 注意事项
数据的标准化问题：以距离测度度量相似性时，聚
类变量的量纲对度量结果的影响较大，所以在计算 相似测度之前，通常要进行标准化处理
This is a dissimilarit y matrix
距离测度（举例）
Proximity Matrix Case 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 .000 2.000 1.000 4.000 4.000 2.000 3.000 5.000 6.000 5.000 7.000 8.000 2 2.000 .000 3.000 2.000 3.000 1.000 1.000 3.000 4.000 3.000 5.000 6.000 3 1.000 3.000 .000 3.000 5.000 2.000 3.000 6.000 7.000 5.000 8.000 9.000 4 4.000 2.000 3.000 .000 5.000 2.000 1.000 4.000 5.000 2.000 6.000 7.000 5 4.000 3.000 5.000 5.000 .000 4.000 4.000 5.000 6.000 6.000 7.000 8.000 Chebychev Distance 6 7 2.000 3.000 1.000 1.000 2.000 3.000 2.000 1.000 4.000 4.000 .000 1.000 1.000 .000 4.000 3.000 5.000 4.000 4.000 3.000 6.000 5.000 7.000 6.000 8 5.000 3.000 6.000 4.000 5.000 4.000 3.000 .000 2.000 2.000 2.000 3.000 9 6.000 4.000 7.000 5.000 6.000 5.000 4.000 2.000 .000 3.000 2.000 4.000 10 5.000 3.000 5.000 2.000 6.000 4.000 3.000 2.000 3.000 .000 4.000 5.000 11 7.000 5.000 8.000 6.000 7.000 6.000 5.000 2.000 2.000 4.000 .000 3.000 12 8.000 6.000 9.000 7.000 8.000 7.000 6.000 3.000 4.000 5.000 3.000 .000
量化分类研究。 据各种生物不同的特征对生物进行分类 据各地区城镇居民生活中的收入和消费情况分类 据各种矿石的化学和物理性质和所含化学成分分类 人口生育分类模式、人口死亡分类状况
第一节 引言
但历史上这些分类方法多半是人们主要依靠经验作定性分类
（主观性和任意性）准确性不好把握（特别是对于多因素、 多指标的分类问题）。
dij (q) ( X ik X jk )
k 1
p
q 1/ q
(5.1)
明考夫斯基距离简称明氏距离，按的取值不同又可分成：
（1）绝对距离（ q 1 ）
dij (1) X ik X jk
k 1 p
(5.2)
（2）欧氏距离（ q 2 ）
dij (2) ( X ik X jk )
聚类的目的。根据已知数据，计算各样品或变量之间亲疏关
系的统计量（距离或相关系数）。根据某种准则（最短距离 法、最长距离法、中间距离法、重心法），使同一类内的差 别较小，而类与类之间的差别较大，最终将样品或变量分为 若干类。
聚类的种类
根据分类的原理可将聚类分析分为：
系统聚类（层次聚类）与快速聚类（K均值法）（有 序聚类法、图论聚类法、模糊聚类法） 根据分类的对象可将聚类分析分为： 系统Q型与R型（即样品聚类clustering for individuals 与变量聚类clustering for variables)