2013届高考数学第一轮专题复习测试卷第十八讲 两角和与差及二倍角公式

第十八讲 两角和与差及二倍角公式
一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．已知cos ⎝⎛α－π6＋sin α＝4
53，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π
6的值是( )
A ．－23
5 B.23
5
C ．－4
5 D.4
5
解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫α－π
6＋sin α＝4
5 3
∴32cos α＋32sin α＝453，3⎝⎛⎭⎫
12cos α＋32sin α＝453，
3⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π
6＋α＝4
53，∴sin ⎝⎛⎭⎫π
6＋α＝45，
∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋7
6π＝－sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－4
5.
答案：C
2．已知cos ⎝⎛⎭⎫π
6－α＝3
3，则cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π
6的值是( ) A.2＋3
3 B ．－2＋3
3 C.2－3
3 D.－2＋3
3
解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π
6－α
＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.
而sin 2⎝⎛⎭⎫α－π
6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－13＝23， 所以原式＝－33－23＝－2＋3
3.
答案：B
3．若sin α＝5
5，sin β＝10
10，且α、β为锐角，则α＋β的值为(
) A ．－π4 B.π
4
C ．±π4 D.π3
解析：解法一：依题意有cos α＝
1－⎝⎛⎭⎫552＝255
， cos β＝1－⎝⎛⎭⎫10102＝31010， ∴cos(α＋β)＝255×31010－55×1010＝22
＞0. ∵α，β都是锐角，∴0＜α＋β＜π，∴α＋β＝π4
. 解法二：∵α，β都是锐角，且sin α＝
55＜22
， sin β＝1010＜22， ∴0＜α，β＜π4，0＜α＋β＜π2
∴cos α＝
1－⎝⎛⎭⎫552＝255， cos β＝1－⎝⎛⎭⎫10102＝31010
， sin(α＋β)＝
55×31010＋1010×255＝22. ∴α＋β＝π4
. 答案：B
4．在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513
，则cos C 的值是( ) A.
1665 B.5665 C.1665或5665 D ．－1665
解析：在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，cos A ＝450，cos B ＝513＞0，得0＜A ＜π2，0＜B ＜π2
，从而sin A ＝35，sin B ＝1213
， 所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )
＝sin A ·sin B －cos A ·cos B
＝35×1213－45×513＝1665
，故选A. 答案：A
5．若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )
A ．0
B ．±3
C ．0或 3
D ．0或±3
解析：由cos2θ＋cos θ＝0得2cos 2θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1或12
.当cos θ＝－1时，有sin θ＝0；当cos θ＝12时，有sin θ＝±32
.于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－ 3. 答案：D
评析：本题主要考查三角函数的基本运算，同角三角函数关系式以及倍角公式．解题关键是熟练掌握公式，并注意不能出现丢解错误．
6．(2011·海口质检)在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( )
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
解析：sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ＝sin[(A －B )＋B ]＝sin A ≥1，又sin A ≤1，∴sin A ＝1，A ＝90°，故△ABC 为直角三角形．
答案：A
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)
7.2cos10°－sin20°sin70°
的值是________． 解析：原式＝2cos(30°－20°)－sin20°sin70°
＝
2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70° ＝3cos20°cos20°＝ 3. 答案： 3
8．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4则cos2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α(α∈⎝⎛⎭⎫0，π4)＝________. 解析：∵cos2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α－sin 2
α22(sin α＋cos α)
＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)
22(sin α＋cos α)
＝2(cos α－sin α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－α.
又α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则π4
α∈⎝⎛⎭⎫0，π4. 由cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1213，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝513
. ∴原式＝
1013. 答案：1013
9．(1＋3tan10°)·cos40°＝________.
解析：(1＋3tan10°)cos40°＝⎝
⎛⎭
⎫1＋3sin10°cos10°cos40° ＝
3sin10°＋cos10°cos10°·cos40° ＝
2sin(10°＋30°)cos10°·cos40° ＝2sin40°cos40°cos10°＝sin80°cos10°＝1. 答案：1
10．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则角α＝________.
解析：依题意有cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，
即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(sin β＋cos β)．
∵α、β均为锐角 ∴sin β＋cos β≠0，必有cos α＝sin α
∴α＝π4
. 答案：π4
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)
11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相
交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为210，255
.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解：由已知得cos α＝
210，cos β＝255.∵α，β为锐角， ∴sin α＝1－cos 2α＝
7210sin β＝1－cos 2β＝55. ∴tan α＝7，tan β＝12
. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12
＝－3. (2)∵tan2β＝2tan β1－tan 2β＝2×
1
21－⎝⎛⎭⎫122＝43， ∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan2β1－tan α·tan2β＝7＋431－7×43＝－1.
∵α、β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4. 12．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2
(1)求tan2α的值；
(2)求β的值．
分析：由已知可求sin α，进而可求tan α，tan2α；由角的关系入手，利用角的变换β＝α－(α－β)可求得cos β. 解：(1)由cos α＝17，0<α<π2
，
得sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫172＝437. ∴tan α＝sin αcos α＝437×71
＝4 3. 于是tan2α＝
2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2
. 又∵cos(α－β)＝1314
， ∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝
3314
由β＝α－(α－β)，得
cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1314＋437×3314＝12
. 所以β＝π3
. 13．已知0<β<π4<α<34
π，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值． 解：∵π4<α<3π4， ∴－3π4<－α<－π4，－π2<π4－α<0. 又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－45
. 又∵0<β<π4，∴3π4<3π4
＋β<π. 又∵sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513，
∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝－1213
， ∴sin(α＋β)＝－cos ⎣⎡⎦
⎤π2＋(α＋β) ＝－cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4β－⎝⎛⎭⎫π4
－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋βcos ⎝⎛⎭⎫π4－α－sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋βsin ⎝⎛⎭
⎫π4－α
＝－⎝⎛⎭⎫－
1213×35－513×⎝⎛⎭⎫－45 ＝3665＋2065＝5665
. 评析：三角函数的给值求值问题
解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(3)常见的配角技巧
α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α.。