2013届高考数学第一轮专题复习测试卷第十八讲 两角和与差及二倍角公式
高中数学一轮复习(含答案) 4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式一、基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z .两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式 S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4，k ∈Z . 二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角．二、常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.考点一 三角函数公式的直接应用[典例] (1)已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211B.211C.112D ．－112(2)(2019·呼和浩特调研)若sin ()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( )A ．－229B ．－429C.229D.429[解析] (1)因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45， 所以tan α＝sin αcos α＝－34. 所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.(2)因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429. [答案] (1)A (2)B[解题技法] 应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． [题组训练]1．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A ．－23B.23C ．－13D.13解析：选A 因为sin α＝13＋cos α，所以sin α－cos α＝13，所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝－1322＝－23.2．已知sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为________． 解析：因为sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. 因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝－24＋7350. 答案：－24＋7350考点二 三角函数公式的逆用与变形用[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. (2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________. [解析] (1)∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，② ∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°·tan 35°＝3(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝ 3. [答案] (1)－12(2) 3[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)公式的一些常用变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22；sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α. [提醒](1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．(3)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32， 3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．[题组训练]1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2为增函数，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b . 2.已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝________. 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435， ∴3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45. 答案：45 3.化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________．解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：12考点三 角的变换与名的变换考法(一) 三角公式中角的变换[典例] (2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45.若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________． [解析] 由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45，得sin α＝－45，cos α＝－35. 由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213. 由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665. [答案] －5665或1665[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等． 考法(二) 三角公式中名的变换[典例] (2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解] (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α .因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，所以tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.[解题技法] 三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[题组训练]1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝( ) A.12 B.13C.14D.15解析：选C 由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，∴sin θcos θ＝14，∴cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14.2．(2018·济南一模)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，则sin A 的值为( ) A.35 B.45C.35或45D.34解析：选B ∵A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，∴A ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4，∴cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210， ∴sin A ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin π4＝45. 3．已知sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝( ) A.613 B.136C ．－613D ．－136解析：选A ∵sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π，∴cos α＝35.又∵sin (α＋β)cos β＝2， ∴sin(α＋β)＝2cos [(α＋β)－α]．展开并整理，得65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，∴tan(α＋β)＝613.[课时跟踪检测]A 级1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1 B.12C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．若2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89B ．－79C.79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79. 3．(2018·山西名校联考)若cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝( ) A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1解析：选C cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝32cos α＋32sin α＝3cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－1. 4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝( ) A. 3 B. 2 C.22D.33解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝tan 18°＋tan 12°1－tan 18°tan 12°＝33，∴tan 18°＋tan 12°＝33(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝33. 5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－118B.118C ．－1718D.1718解析：选C 由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718. 6．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B.13C ．－23D.23解析：选D cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝23. 7．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值为________．解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.答案：－12 8．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.答案：59．(2017·江苏高考)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：7510．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1. 答案：－111．已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－(2cos 2α－1)－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1. 12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．解：(1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010. ∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010＝91050.B 级1．(2019·广东五校联考)若tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，|θ|<π2，则tan 2θ＝________.解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，∴cos θsin θ＝4cos θ，又∵|θ|<π2，∴sin θ＝14， ∴0<θ<π2，cos θ＝154，tan θ＝sin θcos θ＝115，从而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝157.答案：1572．(2018·江西新建二中期中)已知A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝________.解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35，所以π2<A ＋B <π，π2<B ＋π3<π， 所以sin(A ＋B )＝1－cos 2(A ＋B )＝725，cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－45， 可得cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝cos ⎣⎡⎦⎤(A ＋B )－⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－2425×⎝⎛⎭⎫－45＋725×35＝117125.答案：117125 3．(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π4的值； (2)若cos θ ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin θ＝35， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250.。
2013届高考数学考点回归总复习《第十八讲 两角和与差及二倍角公式 》课件
[反思感悟]二倍角的余弦公式的正用是化倍角为单角,相应三 角函数式项的次数翻倍(即升幂);其逆用则是化二次式为一
答案:A
1 3.已知cos2 , 其中 , 0 , 则sin的值为 2 4 1 1 A. B. 2 2 3 3 C. D. 2 2
1 1 2 2 解析 : cos2 1 2sin , sin . 2 4 1 又 , 0 , sin . 2 4
3 1 【典例3】不查表, 计算 2 64sin 2 20. sin 20 cos 2 20
3cos 2 20 sin 2 20 [解]原式 64sin 2 20 sin 2 20 cos 2 20 ( 3cos 20 sin 20 )( 3cos 20 sin 20 ) 64sin 2 20 1 2 sin 40 4 16 sin80 sin 40 64sin 2 20 sin 2 40 1 cos 40 32cos40 64 32. 2
3.余弦二倍角公式有三种形式,即cos2α=cos2αsin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,由此可得变形公式sin2α= 1 cos 2 1 cos 2 2α= ,cos ,它的双向应用分别起到缩角
2
2
升幂和扩角降幂的作用.
a
4.asinα+bcosα=
b a b
2 2
,tanφ=
二倍角的三角函数
解题准备:本考点的考查基本上是以二倍角公式或变形公式
【赢在高考】2013届高考数学一轮配套练习 3.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 文 苏教版
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式强化训练 1.tan20+tan403+tan20⋅tan40等于( ) A.1 B.33 C.3- D.3 答案:D解析:∵tan60=tan(20+40tan20tan40)1tan20tan40+=,- ∴tan20+tan4033=-tan20tan40,即tan20+tan403+tan20⋅tan403=.2.已知tan ()3αβ+=,tan ()5αβ-=,则tan 2α的值为( )A.47B.47-C.18D.18- 答案:B解析:tan 2α=tan [()()]αβαβ++-tan()tan()41tan()tan()7αβαβαβαβ++-==--+-. 3.已知α为第二象限的角,sin α=35,则tan 2α= . 答案:247- 解析:∵α为第二象限角,sin 35α=, ∴cos 45α=-.∴tan sin 3cos 4ααα==-. ∴tan 2232()2tan 4242371tan 1()4ααα⨯-===----. 4.函数f (x )=sin (2)224x π--sin 2x 的最小正周期是 . 答案:π解析:f (x )=sin (2)24x π+-,故最小正周期为π. 5.函数y =2cos 2x +sin2x 的最小值是 .答案:12解析:f ()=cos2x +sin2x +12=(2)14x π++, 所以最小值为126.已知函数1()2f x =sin2x sin ϕ+cos 2x cos ϕ-12sin ()2ϕπ+(0ϕ<<π),其图象过点1()62π,. (1)求ϕ的值;(2)将函数y =f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )在区间[0]4π,上的最大值和最小值. 解:(1)因为1()2f x =sin2x sin ϕ+cos 2x cos ϕ-12sin ()(02ϕϕπ+<<π), 所以1()2f x =sin2x sin 1(12ϕ++cos2x )cos 12ϕ-cos 12ϕ=sin2x sin 12ϕ+cos2x cos ϕ 12=cos (2)x ϕ-. 又函数图象过点1()62π,, 所以1122=cos (2)6ϕπ⨯-,即cos ()13ϕπ-=, 而0ϕ<<π,所以3ϕπ=. (2)方法一:由函数y =f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数y =g (x )的图象,可知y =1()(2)2g x f x ==cos (4)3x π-. 因为[0]4x π∈,,所以24[]333x πππ-∈-,,故12-≤cos (4)13x π-≤. 所以函数g (x )在区间[0]4π,上的最大值和最小值分别为12和14-. 方法二:y =1()(2)2g x f x ==cos (4)3x π-,x ∈[0]4π,.g ′(x )=-2sin (4)3x π-, 令g ′()0[0]4x x π=,∈,,解得12x π=, 111(0)()()412244g g g ππ=,=,=-, 故函数g (x )在区间[0]4π,上的最大值和最小值分别为12和14-.见课后作业B题组一 和、差、二倍角公式的运用1.函数y =2cos 2()14x π--是( ) A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为2π的奇函数 D.最小正周期为2π的偶函数 答案:A解析:因为y =2cos 2()14x π--=cos (2)2x π-=sin2x 为奇函数22T π,==π,所以选A. 2.函数y =2cos 2x 的一个单调增区间是( ) A.()44ππ-, B.(0)2π,C.3()44ππ,D.(2π,π)答案:D 解析:y =2cos 2x =cos2x +1.题组二 利用公式求特定角的三角函数值3.已知sin 35α=,则cos 2α的值为( ) A.2425- B.725- C.725 D.2425答案:C解析:∵sin 35α=,∴cos 212α=-sin 2725α=. 4.已知tan 2θ=,则sin 2θ+sin θcos 2θ-cos 2θ等于( ) A.43- B.54 C.34- D.45答案:D解析:sin 2θ+sin θcos 2θ-cos 2θ2222sin sin cos 2cos sin cos θθθθθθ+-=+ 22tan tan 24224415tan 1θθθ+-+-===++. 5.设(0)(22αβππ∈,,∈,π),cos 13β=-,sin 7()9αβ+=,则sin α等于( ) A.127 B.527 C.2327 D.13答案:D解析:∵022αβππ<<,<<π, ∴322ππαβ<+<.∴sin β=cos ()αβ+=. sin α=sin [()]αββ+-=sin ()αβ+cos β-cos ()αβ+sin 13β=.6.已知sin α=则sin 4α-cos 4α的值为( ) A.15- B.35- C.15 D.35 答案:B解析:sin 4α-cos 4(α=sin 2α+cos 2)(αsin 2α-cos 2)α =2sin 2321155α-=-=-. 7.已知α为第三象限的角,cos 325α=-,求tan (2)4απ+的值.分析:本题主要考查了角的象限的判断及三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、两角和的正切公式.解:∵α为第三象限的角,2k π+π2k α≤≤π32k π+,∈Z ,∴4k π+2π24k α≤≤π+3π(k ∈Z ).又cos 325α=-,∴sin 425α=,tan 423α=-. ∴tan 1tan21(2)41tan27πααα++==--. 题组三 三角函数公式的综合运用8.函数y =2sin x (sin x +cos x )的最大值为( )A.11D.2 答案:A解析:原式=2sin x cos x +2sin 2x =sin2x -cos2x +1=(2)14x π-+,∴y 1.9.已知函数f (x )=f ′()4πcos x +sin x ,则()4f π的值为 . 答案:1解析:因为f ′(x )=-f ′()4π⋅sin x +cos x , 所以f ′()4f π=-′()4π⋅sin 4π+cos 4πf ⇒′()14π=. 故()4f f π=′()4πcos 4π+sin ()144f ππ⇒=. 10.已知函数f (x )=sin x +sin ()2x x π+,∈R . (1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )的最大值和最小值;(3)若3()4f α=,求sin 2α的值.解:f (x )=sin x +sin ()2x π+=sin x +cos x =()4x π+, (1)f (x )的最小正周期为221T π==π;(2)f (x )最小值为(3)因为3()4f α=,即sin α+cos 34α=. 2⇒sin αcos 716α=-,即sin 7216α=-. 11.(2011北京高考,文15)已知函数f (x )=4cos x sin ()16x π+-. (1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在区间[]64ππ-,上的最大值和最小值. 解:(1)因为f (x )=4cos x sin ()16x π+-=4cos x sin x 12+cos )1x -x +2cos 2x -1=x+cos2x =2sin (2)6x π+, 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为64x ππ-≤≤, 所以22663x πππ-≤+≤.于是,当262x ππ+=,即6x π=时,f (x )取得最大值2;当266x ππ+=-,即6x π=-时,f (x )取得最小值-1.。
2013届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件第20讲两角和与差及二倍角的三角函数
【点评】给出非特殊角，一般考虑化为特殊角或使非特殊角 三角函数值互相抵消，约分求出值．
素材2
计算11＋ －ttaann1155°°的值．
【解析】因为 1＝tan45°， 所 以 11＋－ttaann1155°°＝ 1t－an4ta5n°4＋5°ttaann1155°°＝ tan(45°＋ 15°) ＝ tan60°＝ 3.
2．二倍角公式
sin 2 ④ __________ . cos 2 ⑤ __________ ⑥ __________ 1 2 sin2 . tan 2 ⑦ __________ .
3．辅助角公式
a sin bcos ⑧ __________，其中tan b .
2 会“正用”“逆用”“变形用”．
3．常见变换公式有：cos2 1 cos2 ，
2
sin2 1 cos2 ，
2
tan tan tan( )(1 tan tan )等．
4．三角函数求值的常见题型有两类： 给角求值和给式求值．
1．准确选用两角和与差及二倍角公式的关键是 观察、分析角之间的和、差与二倍关系，同时
应注意角之间的差别是 的整数倍时仍可运用 2
和、差公式与二倍角公式进行三角恒等式变形， 最后运用诱导公式实现目标解决． 2．角的变换常见途径有： ( ) ， 2 ( ) ( )， 2 等．对公式
二 化简求值
【例 2】求csoins1100°°－4cos10°的值．
【解析】csoins1100°°－4cos10° ＝cos10°－s4ins1in01°0°cos10° ＝cos10s°i－n120s°in20° ＝cos10°－s2isni1n03°0°－10° ＝cos10°－2sin30°csoins1100°°＋2cos30°sin10° ＝cos10°－cossin1100°＋° 3sin10°＝ 3.
高考数学一轮复习第三章第三节两角和与差及二倍角三角函数公式课时作业文(含解析)
第三节两角和与差及二倍角三角函数公式1 A.— B. 21 3 C.2 D .兀 答案:4,「. si n 2 0 = ?故选 D.1.计算 1-2sin 222.5 22.故选B.答案：B22.设 tan ( a + 3 )=5，tan 3 —A 3r 3A.—B.— 18 221313C^T D .- _ — 18 22解析： tann a + — 4 =tan ( a + 答案： B1 4，则 tan 7tna + —的值是（322.n cos^2— sin 12 n cos^2 + sin 12 =(4.右 tan=4，贝U sin 2 0 =(tan 0A.1B.1 C.3 D. 解析: 由tan0+tan 01= 4 得, sin 0 2 2sin 0 + cos 0cos cos 0 sin 0 sin 0 cos 04,即12sin 2解析: 原式=cos 45 O7t4卩）7t 7t3.求值:答案：Dsin 47 —sin 17 cos 30cos 17 °A.sin 47 ° —sin 17 ° cos 30cos 17 °sin (17°+ 30°)—sin 17 ° cos 30 cos 17 °sin 17° cos 30 ° + cos 17 ° sin 30 ° —sin 17 ° cos 30C.* 1 *D. _32解析:6.已知a,316 13A. —B. —65 6556 33C. lD. —65 65解析：••■ cos2cos 2 a725 cos(5 小a + 3) = 13，则sin 3=()• •• cos a = 5,sin a =厂・5■/ cos( a+ 3 ) 5 12=13 ,•( a + 3 )为锐角，Si n( a +3 )= 13.• sin 3 = sin [(a + 3 )—a ] = sin( a + 3)COS a —COS(a + 3 )sin12 3 5 4 16丄，丄—x x _ .故选A.13 5 13 5 65答案：A7. (2013 •上海卷)若cos xcos y + sin xsin y解析：cos x cos y+ sin x sin y = cos( x —y)=1 小=贝U cos(2x —2y) = ____________13，所以cos 2( x—y) = 2cos (x—y)—8. sin a-,cos 3 = 5，其中2a = 2cos a25'3 4又a为锐角,解析：0, n33a ,3€2 ， sina= 5,cos3= 5,44• •• cos asin53 =5.• •• cos(a + 3) = c os a cos 3--sin as in 3 = 0.n故nT a , 3 € 0, p,• • 0va + 3 Vn,a + 3= 2答案：n22sin a+ 1 sin 2 a13答案：兀 x 匹谑2 10.y 2 答案：冇n（1）求f 6的值;2(2) f (x ) = cos x + sin x cos x 1 + cos 2 x 1= 2+ 小sin 2 x 21 1=一+一 (sin 2 2 2x + cos 2 x ) 1 + 2 =2 + 2sinn 2x + 4 ,9.已知tan a=2,则2” _ 2sin a +1 3sin 解析：. sin 2 a 2si n a 2 2 2 2a + cos a 3tan a + 13X2+ 1 132X2 = 4.cos a 2tan a 10.已知a 为锐角，且 cosa + — = 5，贝U sin 4 57t解析：因为 a 为锐角，所以因为cos n 3+ —= 4 5,所以sin n a ------4贝U sin a = sinn n+4 — 4 =sin acos n一—cos4na+ 4 sin22- 311.已知函数f （x ） =cos 2x + sin xcos xR.⑵若sin a35, n且a€7t7tn解析：（1） f 6= cos 2p+ sin6n6 cos 67t1 — cos 2a n 1 2 .f 2 +24 = 2 +2 sinn n +12+4=+ 22sinsin1-2 + cos因为sin 35,n ，所以cos a一一7t所以f 2+24= 2+3 1—X———X5 2 52012.已知函数f(x) = sin > 0）的最小正周期为n(1)求3的值;na€ 0，g，3€1 5nf 23 + P1213，求sin ( a+ 3 )的值.解析: (1) V 函数f(x) = sin 3Xn+E的最小正周期为2n3 =n，(2)由(1)得f(x) = sinn 2x + —x +6 ，1 n• f -2a +6 = sin2 - ；a +=sin na = cosno, 2,• sin a =叮1 —cos45.=sinn . 1212 + 6 =sin( n+ 3 )= —sin 3=—13,• sin12 3 13•/ 3€7t…cos —\/1 —sin23 = 13'• sin( oc+3 ) = sin a cos 3 + cos a sin 34 =-X 53 12+5 X13= 65'1613cos 17 °1=sin 30 ° =故选 C.答案：C13。
2013高中数学高考真题分类：考点16-两角和与差的正弦、余弦和正切公式、简单的三角恒等变换
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考点16 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、简单的三角恒等变换一、选择题1. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ6）已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（ ）A.16B.13C.12D.23【解题指南】利用“降幂公式”将2cos ()4πα+化简，建立与sin 2α的关系，可得结果.【解析】选A.因为21cos 2()1cos(2)1sin 242cos ()4222ππααπαα++++-+===，所以2211sin 213cos ()4226παα--+===，选A. 2.（2013·江西高考文科·Ｔ3）若sin 23α=，则cosa=（ ） A.23- B.13- C. 13D. 23【解题指南】利用二倍角的余弦公式即可. 【解析】选C.2cos 12sin 2αα=-=213-=13.3（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ12）已知函数()=cos sin 2,f x x x 下列结论中错误的是（ ） A ．()(),0y f x π=的图像关于中心对称B.()2y f x x π==的图像关于对称C.()f x D.()f x 既是奇函数，又是周期函数【解析】选C.x x x x x x x f 32sin 2sin 2sin cos 22sin cos )(-===，令x t sin =，11≤≤-t ，则322)(t t t g -=，262)(t t g -='.令062)(2=-='t t g ，解得33-=t 或33=t .比较两个极值点和两个端点0)1(=-g ，0)1(=g ，0)33(<-g ，934)33(=g ，)(x f 的最大值为934，故C 错误 4. （2013·重庆高考理科·Ｔ9）=- 40tan 50cos 4 ( )A.1 【解题指南】先切化弦,然后通分化简求解即可.【解析】选C.40cos 40sin 40cos 50cos 440cos 40sin 50cos 440tan 50cos 4-=-=-40cos )3010sin(10cos 240cos 40sin 80sin 240cos 40sin 40cos 40sin 4+-=-=-=40cos 10sin 2110cos 23340cos 10sin 2310cos 2340cos 10cos 2110sin 2310cos 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=--= .340cos 40cos 3==5. （2013·辽宁高考文科·Ｔ6）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ6）相同 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 若1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且,a b >则B ∠=（ ）25....6336A B C D ππππ 【解题指南】利用正弦定理，将边化为角，借助式子的特点，利用和角公式与相关的诱导公式解决问题 【解析】选A. 据正弦定理，设sin sin sin a b ck A B C===，则sin ,sin ,sin .a k Ab k Bc k C ===将它们代入1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=整理得1sin cos cos sin ,2A C A C +=即1sin(),2A C +=又sin()sin()sin ,A C B B π+=-=所以1sin 2B =因为,a b >所以B ∠必为锐角，所以.6B π∠=二、填空题6.（2013·四川高考文科·Ｔ14）和（2013·四川高考理科·Ｔ13）相同 设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，则tan 2α的值是____________。
(浙江专用)高考数学大一轮复习课时184.3两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式课件
α 2
cos
α 2
2
;
tan α =
2
sin α
1 cosα =
1 cos α
sin α .
3.角的拆分与组合
(1)用已知角表示未知角
例如,2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),
α=(α+β)-β=(α-β)+β,
α=
4
α
-4
= α
3
+
3
.
(2)互余与互补关系
例如,
3
α
2
,tan
α=2,则cos
α
4
=
3 10
10 .
解析
因为α∈
0,
2
,且tan
α=sin α
cos α
=2,所以sin
α=2cos
α,又sin2n α= 2 5 ,cos α=
5
5 5
,则cos
α
4
=cos
αcos
+sin
4
αsin
=
4
5×
5
2 + 2 5 × 2= 3 10.
5
3
∴tan
α=tan[(α+β)-β]= tan(α β)
1 tan(α
tan β β) tan β
=
1
2 5
1 3
21
1
=17
,
53
∴tan(α-β)= tan α tan β
1 tan α tan β
=
1
1 1 17 3 1 1
=-
7 26
.
高考一轮课时训练理两角和与差二倍角公式及简单
第三节 两角和与差、二倍角公式及简单的三角恒等变换一、选择题1.⎝⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.322．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝35，那么cos 2β的值为( )A.725B.1825 C ．－725 D ．－18253．(2009年上海预考)已知0<α<π，sin α＋cos α＝12 ，则cos 2α的值为( ) A.74 B ．－74C ．±74D ．－344．(2008年湖南卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值是( )A ．1 B.1＋32C.32D ．1＋ 3 5．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－1二、填空题6．(2009年淄博模拟)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. 7．已知α，β均为锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝13，则cos(α－β)＝______.8.(2009年青岛模拟)2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如右图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于________．三、解答题9．已知cos ()α＋β＝45，cos ()α－β＝－45，且32π<α＋β<2π，π2<α－β<π，分别求cos 2α和cos 2β的值．10．(2009年培正中学月考)设f (x )＝6cos 2x －3sin 2x . (1)求f (x )的最大值及最小正周期；(2)若锐角α满足f (α)＝3－23，求tan 45α的值．参考答案1．D 2.A 3.B 4.C5．解析：∵α为第三象限角，∴sin α<0，cos α<0， 则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝－1－2 ＝－3. 答案：B6．－5665 7.59728．解析：图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴ 每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，则⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2512ab ＝6，∴ 两条直角边的长分别为3,4，直角三角形中较小的锐角为θ，cos θ＝45，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝725. 答案：7259．解析：∵3π2<α＋β<2π，π2<α－β<π，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋β＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋β＝－35， sin ⎝⎛⎭⎫α－β＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β＝35， 所以cos 2α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋β＋⎝⎛⎭⎫α－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋βcos ⎝⎛⎭⎫α－β－sin ⎝⎛⎭⎫α＋βsin ⎝⎛⎭⎫α－β＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×35＝－725； cos 2β＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋β－⎝⎛⎭⎫α－β＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋βcos ⎝⎛⎭⎫α－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋βsin ⎝⎛⎭⎫α－β＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×35＝－1. 10．解析：(1)f (x )＝61＋cos 2x 2－3sin 2x＝3cos 2x －3sin 2x ＋3＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －12sin 2x ＋3＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3.故f (x )的最大值为23＋3； 最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由f (α)＝3－23，得23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＋3＝3－23，故cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝－1. 又由0<α<π2得π6<2α＋π6<π＋π6，故2α＋π6＝π，解得α＝512π.从而tan 45α＝tan π3＝ 3.。
2013年状元360数学(人教A版必修1)一轮复习课件(理科)3.3三角恒等变换、求值和简化(一)
Acos Asin
B B
＝
sinB－A cosB－A
＝
tan(B－A)＝1t＋antBan－BttaannAA＝1＋2－2×34 34＝12.
方法点拨：此类问题解题时一般要先观察、尝试待求三角 函数式能否进行化简，若能利用三角公式进行化简，则可大大 减少计算量.
掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的 正弦、余弦、正切公式，能正确运用公式进行简单的三角函数 式的化简、求值与证明，化简与求值一般是往特殊角、同角的 方向化，化同角是应遵循的原则.
分析 已知角π4＋α，π4－β2，要求角 α＋β2的值，利用配角法， α＋β2＝π4＋α－π4－β2，利用两角和的余弦公式求得．
解析 ∵0<α<π2，∴4π<α＋π4<34π.
∵cosπ4＋α＝13，∴sinπ4＋α＝2
3
2 .
又∵－π2<β<0，∴π4<π4－β2<π2，
(1)求csoins22αα＋ ＋scions
2α 的值； 2α
(2)求 tanα－54π的值．
分析 由于题目给出了角 α 的范围，故由 sin α 就可求出 cos α，tan α 的值，从而 sin 2α，cos 2α 的值都可求得．
解析 ∵0＜α＜π2，sin α＝45， ∴cos α＝35，tan α＝43. (1)原式＝csoisn22αα＋＋c2ossi2nαα－cosisnα2α＝2×12652＋ 95－22451265＝20. (2)tanα－54π＝1t＋antaαn－αt·atann545π4π＝431－ ＋143＝17.
∴sicnoαs －2απ4＝
cos2α－sin2α 22sin α－cos α
高考数学总复习 第三章第3课时 两角和与差及二倍角的正弦、余弦和正切公式课时闯关(含解析)
（福建专用）2013年高考数学总复习 第三章第3课时 两角和与差及二倍角的正弦、余弦和正切公式课时闯关（含解析）一、选择题1．(2010·高考课标全国卷)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－7210 B.7210C ．－210D.210解析：选A.由于α是第三象限角且cos α＝－45，∴sin α＝－35，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4 ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－35＝－7102. 2．sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32解析：选B.原式＝sin163°sin223°＋cos163°cos223°＝cos(163°－223°)＝cos(－60°)＝12.3．在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形解析：选A.sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ＝sin[(A －B )＋B ]＝sin A ≥1，又sin A ≤1，∴sin A ＝1，A ＝90°，故△ABC 为直角三角形．4．已知cos α＝－45且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( ) A ．－17 B ．－7C.17D ．7 解析：选C.因为cos α＝－45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以sin α＝35，tan α＝－34，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝1－341＋34＝17.5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝( )A ．－78B ．－14C.14D.78解析：选A.∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝14.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78. 二、填空题6．cos π5cos 2π5的值是________．解析：原式＝12sin π5·2sin π5cos π5cos 2π5＝14sinπ5·2sin 2π5cos 2π5＝14sinπ5sin 45π＝14.答案：147．(2010·高考大纲全国卷Ⅱ)已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝________.解析：∵tan(π＋2α)＝－43，∴tan2α＝－43＝2tan α1－tan 2α， ∴tan α＝－12或tan α＝2.又α在第二象限，∴tan α＝－12.答案：－128．(2012·泉州质检)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－35，则sin2x ＝________.解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝22(sin x ＋cos x )＝－35， 所以sin x ＋cos x ＝－325，∴(sin x ＋cos x )2＝1＋sin2x ＝1825，故sin2x ＝－725.答案：－725三、解答题9．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12.(1)求tan α的值；(2)求sin2α－cos 2α1＋cos2α的值．解：(1)法一：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1＋tan α1－tan α. 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12，有1＋tan α1－tan α＝12.解得tan α＝－13.法二：tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－tan π41＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtanπ4＝12－11＋12×1＝－13.(2)法一： sin2α－cos 2α1＋cos2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin α－cos α2cos α＝tan α－12＝－13－12＝－56. 法二： 由(1)，tan α＝－13，得sin α＝－13cos α.∴sin 2α＝19cos 2α，1－cos 2α＝19cos 2α.∴cos 2 α＝910.于是cos2α＝2cos 2α－1＝45，sin2α＝2sin αcos α＝－23cos 2α＝－35.代入得sin2α－cos 2α1＋cos2α＝－35－9101＋45＝－56.10．(2012·厦门调研)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，且－π2＜α＜0，试求sin α的值．解：由已知得12sin α＋32cos α＋sin α＝－435，即32sin α＋12cos α＝－45，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45， 因为－π2＜α＜0，所以－π3＜α＋π6＜π6，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. 所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝－45×32－35×12＝－3＋4310.一、选择题1．如果tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )A.36B.1316C.322D.1322 解析：选C.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝α＋β－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π41＋α＋β⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322. 2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则cos2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( )A.85 B.58 C.45D.65解析：选D.由已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22cos α－22sin α＝35，∴cos α－sin α＝325，又cos2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2α－sin 2αcos π4cos α＋sin π4sin α＝2(cos α－sin α)＝65.二、填空题3．求值：sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝________. 解析：令θ＋15°＝α，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α－3cos α＝0.答案：04．(2012·厦门调研)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log 5tan αtan β的值是________．解析：sin αcos β＋cos αsin β＝12，①sin αcos β－cos αsin β＝13.②由①②解得sin αcos β＝512，③cos αsin β＝112.④③÷④得tan αtan β＝5，∴log5tan αtan β＝2. 答案：2 三、解答题5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为210、255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知：cos α＝210，cos β＝255，因α、β为锐角，从而sin α＝1－cos 2α＝7210.同理可得sin β＝55.因此tan α＝7，tan β＝12. 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－－12＝－1.又0<α<π2，0<β<π2，故0<α＋2β<3π2，从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝3π4.6．已知α、β为锐角，a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12.(1)若a·b ＝22，a·c ＝3－14，求2β－α的值； (2)若a ＝b ＋c ，求tan α的值． 解：(1)因为a·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝22，① a·c ＝12cos α－12sin α＝3－14，② 又因为0<α<π2，0<β<π2，所以－π2<α－β<π2.由①得α－β＝±π4，由②得α＝π6.由于α、β为锐角，所以β＝512π，从而2β－α＝23π.(2)由a ＝b ＋c 可得⎩⎪⎨⎪⎧cos β＝cos α－12， ③sin β＝sin α＋12. ④③2＋④2得cos α－sin α＝12(0<α<π4)，所以2sin αcos α＝34.又因为2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝34， 所以3tan 2α－8tan α＋3＝0，又因为0<α<π4，所以0<tan α<1，所以tan α＝8－82－4×3×36＝8－286＝4－73.。
年高考数学总复习 第三章第3课时 两角和与差及二倍角的正弦、余弦和正切公式课时闯关(含解析)
（福建专用）2013年高考数学总复习 第三章第3课时 两角和与差及二倍角的正弦、余弦和正切公式课时闯关（含解析）一、选择题1．(2010²高考课标全国卷)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－7210 B.7210C ．－210D.210解析：选A.由于α是第三象限角且cos α＝－45，∴sin α＝－35，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4 ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－35＝－7102. 2．sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32解析：选B.原式＝sin163°sin223°＋cos163°cos223°＝cos(163°－223°)＝cos(－60°)＝12.3．在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形解析：选A.sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ＝sin[(A －B )＋B ]＝sin A ≥1，又sin A ≤1，∴sin A ＝1，A ＝90°，故△ABC 为直角三角形．4．已知cos α＝－45且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( ) A ．－17 B ．－7C.17D ．7 解析：选C.因为cos α＝－45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以sin α＝35，tan α＝－34，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝1－341＋34＝17.5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝( )A ．－78B ．－14C.14D.78解析：选A.∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝14.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－1＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78. 二、填空题6．cos π5cos 2π5的值是________．解析：原式＝12sin π5²2sin π5cos π5cos 2π5＝14sinπ5²2sin 2π5cos 2π5＝14sinπ5sin 45π＝14.答案：147．(2010²高考大纲全国卷Ⅱ)已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝________.解析：∵tan(π＋2α)＝－43，∴tan2α＝－43＝2tan α1－tan 2α， ∴tan α＝－12或tan α＝2.又α在第二象限，∴tan α＝－12.答案：－128．(2012²泉州质检)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－35，则sin2x ＝________.解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝22(sin x ＋cos x )＝－35， 所以sin x ＋cos x ＝－325，∴(sin x ＋cos x )2＝1＋sin2x ＝1825，故sin2x ＝－725.答案：－725三、解答题9．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12.(1)求tan α的值；(2)求sin2α－cos 2α1＋cos2α的值．解：(1)法一：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1＋tan α1－tan α. 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12，有1＋tan α1－tan α＝12.解得tan α＝－13.法二：tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－tan π41＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtanπ4＝12－11＋12³1＝－13.(2)法一： sin2α－cos 2α1＋cos2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin α－cos α2cos α＝tan α－12＝－13－12＝－56. 法二： 由(1)，tan α＝－13，得sin α＝－13cos α.∴sin 2α＝19cos 2α，1－cos 2α＝19cos 2α.∴cos 2 α＝910.于是cos2α＝2cos 2α－1＝45，sin2α＝2sin αcos α＝－23cos 2α＝－35.代入得sin2α－cos 2α1＋cos2α＝－35－9101＋45＝－56.10．(2012²厦门调研)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，且－π2＜α＜0，试求sin α的值．解：由已知得12sin α＋32cos α＋sin α＝－435，即32sin α＋12cos α＝－45，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45， 因为－π2＜α＜0，所以－π3＜α＋π6＜π6，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. 所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝－45³32－35³12＝－3＋4310.一、选择题1．如果tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )A.36B.1316C.322D.1322解析：选C.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ α＋β －⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan α＋β －tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan α＋β tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝25－141＋25³14＝322. 2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则cos2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( )A.85B.58C.45D.65解析：选D.由已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22cos α－22sin α＝35，∴cos α－sin α＝325，又cos2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2α－sin 2αcos π4cos α＋sin π4sin α＝2(cos α－sin α)＝65.二、填空题3．求值：sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝________. 解析：令θ＋15°＝α，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α－3cos α＝0.答案：04．(2012²厦门调研)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log 5tan αtan β的值是________．解析：sin αcos β＋cos αsin β＝12，①sin αcos β－cos αsin β＝13.②由①②解得sin αcos β＝512，③cos αsin β＝112.④③÷④得tan αtan β＝5，∴log5tan αtan β＝2. 答案：2 三、解答题5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为210、255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知：cos α＝210，cos β＝255，因α、β为锐角，从而sin α＝1－cos 2α＝7210.同理可得sin β＝55.因此tan α＝7，tan β＝12. 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7³12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－ －3 ³12＝－1.又0<α<π2，0<β<π2，故0<α＋2β<3π2，从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝3π4.6．已知α、β为锐角，a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12.(1)若a²b ＝22，a²c ＝3－14，求2β－α的值； (2)若a ＝b ＋c ，求tan α的值． 解：(1)因为a²b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝22，① a²c ＝12cos α－12sin α＝3－14，② 又因为0<α<π2，0<β<π2，所以－π2<α－β<π2.由①得α－β＝±π4，由②得α＝π6.由于α、β为锐角，所以β＝512π，从而2β－α＝23π.(2)由a ＝b ＋c 可得⎩⎪⎨⎪⎧cos β＝cos α－12， ③sin β＝sin α＋12. ④③2＋④2得cos α－sin α＝12(0<α<π4)，所以2sin αcos α＝34.又因为2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝34， 所以3tan 2α－8tan α＋3＝0，又因为0<α<π4，所以0<tan α<1，所以tan α＝8－82－4³3³36＝8－286＝4－73.。
2013年高考数学试题分类解析考点16 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、简单的三角恒等变换
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考点16 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、简单的三角恒等变换一、选择题1. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ6）已知2sin 23α=，则2co s ()4πα+=（ ）A.16 B.13 C.12 D.23【解题指南】利用“降幂公式”将2cos ()4πα+化简，建立与sin 2α的关系，可得结果.【解析】选A.因为21cos 2()1cos(2)1sin 242cos ()4222ππααπαα++++-+===， 所以2211sin 213cos ()4226παα--+===，选A. 2.（2013·江西高考文科·Ｔ3）若sin 2α=cosa=（ ） A.23- B.13- C.13 D. 23【解题指南】利用二倍角的余弦公式即可. 【解析】选C.2cos 12sin 2αα=-=213-=13.3（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ12）已知函数()=cos sin 2,f x x x 下列结论中错误的是（ ） A ．()(),0y f x π=的图像关于中心对称 B.()2y f x x π==的图像关于对称C.()2f x D.()f x 既是奇函数，又是周期函数【解析】选C.x x x x x x x f 32sin 2sin 2sin cos 22sin cos )(-===，令x t sin =，11≤≤-t ，则322)(t t t g -=，262)(t t g -='.令062)(2=-='t t g ，解得33-=t 或33=t .比较两个极值点和两个端点0)1(=-g ，0)1(=g ，0)33(<-g ，934)33(=g ，)(x f 的最大值为934，故C 错误4. （2013·重庆高考理科·Ｔ9）=- 40tan 50cos 4 ( ) A.B.C. 3D. 221【解题指南】先切化弦,然后通分化简求解即可.【解析】选C.40cos 40sin 40cos 50cos 440cos 40sin 50cos 440tan 50cos 4-=-=-40cos )3010sin(10cos 240cos 40sin 80sin 240cos 40sin 40cos 40sin 4+-=-=-=40cos 10sin 2110cos 23340cos 10sin 2310cos 2340cos 10cos 2110sin 2310cos 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=--= .340cos 40cos 3==5. （2013·辽宁高考文科·Ｔ6）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ6）相同 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 若1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且,a b >则B ∠=（ ）25....6336A B C D ππππ 【解题指南】利用正弦定理，将边化为角，借助式子的特点，利用和角公式与相关的诱导公式解决问题 【解析】选A. 据正弦定理，设sin sin sin a b ck A B C===，则sin ,sin ,sin .a k A b k B c k C ===将它们代入1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=整理得1sin cos cos sin ,2A C A C +=即1sin(),2A C +=又sin()sin()sin ,A C B B π+=-=所以1sin 2B =因为,a b >所以B ∠必为锐角，所以.6B π∠=二、填空题6.（2013·四川高考文科·Ｔ14）和（2013·四川高考理科·Ｔ13）相同 设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，则tan 2α的值是____________。
一轮复习数学试题选编 两角和与差的三角函数及二倍角公式(学生版)
江苏省2014届一轮复习数学试题选编7：两角和与差的三角函数及二倍角公式填空题1 ．（2012年江苏理）设α为锐角,若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则)122sin(π+a 的值为____. 2 ．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）已知π2cos()23α-=,则cos α=________. 3 ．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）在锐角△ABC 中,tan A = t + 1,tan B = t -1,则t 的取值范围是_______.4 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））在△ABC 中,若sin 2cos(),tan sin BA B B A=+则的最大值为_____________. 5 ．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）已知113cos ,cos()714ααβ=-=,且02πβα<<<,则cos β=_________.6 ．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）已知5,,36ππαβ⎛⎫∈⎪⎝⎭,若455sin ,cos 65613ππαβ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()sin αβ-的值 为_________.7 ．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）设()αβ∈0π，，，且5sin()13αβ+=,1tan 22α=．则cos β的值为 ▲ ． 8 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）已知32cos()23απ+=-,则cos 2α=________. 9 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）已知01cos(75)3α+=,则0cos(302)α-的值为__________.10．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）已知θ为锐角,4sin(15)5θ+=,则cos(215)θ-=_________.11．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）在ABC △中,已知4cos 5A =,1tan()2A B -=-,则tan C 的值是____.12．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）设()αβ∈0π，，,且5sin()13αβ+=, 1tan 22α=.则cos β的值为____.13．（2011年高考（江苏卷））已知,2)4tan(=+πx 则x x2tan tan 的值为__________14．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）已知ααcos 21sin +=,且)2,0(πα∈,则)4sin(2cos παα-的值为________.15．（江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题）已知10cos()410πθ+=,(0,)2πθ∈,则sin(2)4πθ-的值为________.16．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）已知θ是第二象限角,且4sin 5θ=,则tan()24θπ-的值为________.17．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）已知,8173cos 72cos 7cos ,4152cos 5cos ,213cos===ππππππ,根据这些结果,猜想出的一般结论是______________________________________________.18．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）已知函数)8(12cos 22cos 2sin tan 21)(2πf x xx x x f 则-+=的值为________.解答题19．（江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题 ）如图,在直角坐标系xOy 中,锐角ABC ∆内接于圆.122=+y x 已知BC 平行于x 轴,AB 所在直线方程为)0(>+=k m kx y ,记角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .(1)若,23222b c a ac k -+=求B C A 2sin 2cos 2++的值; (2)若,2=k 记),23(),20(πβπβπαα<<=∠<<=∠xOB xOA 求)sin(βα+的值.O BxyCA20．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知,αβ均为锐角,且3sin 5α=,1tan()3αβ-=-. (1)求sin()αβ-的值; (2)求cos β的值.21．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）已知α,β∈(0,π),且tan α=2,cos β=-7210. (1)求cos2α的值; (2)求2α-β的值.22．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）在平面直角坐标系xoy 中，点)cos,21(2θP 在角α的终边上，点2(sin,1)Q θ-在角β的终边上，且21-=⋅OQ OP⑴求θ2cos 的值；⑵求sin()αβ+的值。
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第十八讲 两角和与差及二倍角公式一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．已知cos ⎝⎛α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235C ．－45 D.45解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝45 3∴32cos α＋32sin α＝453，3⎝⎛⎭⎫12cos α＋32sin α＝453，3⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝453，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋76π＝－sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－45.答案：C2．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值是( ) A.2＋33 B ．－2＋33 C.2－33 D.－2＋33解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.而sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－13＝23， 所以原式＝－33－23＝－2＋33.答案：B3．若sin α＝55，sin β＝1010，且α、β为锐角，则α＋β的值为() A ．－π4 B.π4C ．±π4 D.π3解析：解法一：依题意有cos α＝1－⎝⎛⎭⎫552＝255， cos β＝1－⎝⎛⎭⎫10102＝31010， ∴cos(α＋β)＝255×31010－55×1010＝22＞0. ∵α，β都是锐角，∴0＜α＋β＜π，∴α＋β＝π4. 解法二：∵α，β都是锐角，且sin α＝55＜22， sin β＝1010＜22， ∴0＜α，β＜π4，0＜α＋β＜π2∴cos α＝1－⎝⎛⎭⎫552＝255， cos β＝1－⎝⎛⎭⎫10102＝31010， sin(α＋β)＝55×31010＋1010×255＝22. ∴α＋β＝π4. 答案：B4．在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( ) A.1665 B.5665 C.1665或5665 D ．－1665解析：在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，cos A ＝450，cos B ＝513＞0，得0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，从而sin A ＝35，sin B ＝1213， 所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A ·sin B －cos A ·cos B＝35×1213－45×513＝1665，故选A. 答案：A5．若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或 3D ．0或±3解析：由cos2θ＋cos θ＝0得2cos 2θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1或12.当cos θ＝－1时，有sin θ＝0；当cos θ＝12时，有sin θ＝±32.于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－ 3. 答案：D评析：本题主要考查三角函数的基本运算，同角三角函数关系式以及倍角公式．解题关键是熟练掌握公式，并注意不能出现丢解错误．6．(2011·海口质检)在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ＝sin[(A －B )＋B ]＝sin A ≥1，又sin A ≤1，∴sin A ＝1，A ＝90°，故△ABC 为直角三角形．答案：A二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7.2cos10°－sin20°sin70°的值是________． 解析：原式＝2cos(30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70° ＝3cos20°cos20°＝ 3. 答案： 38．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4则cos2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α(α∈⎝⎛⎭⎫0，π4)＝________. 解析：∵cos2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α－sin 2α22(sin α＋cos α)＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝2(cos α－sin α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－α.又α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则π4α∈⎝⎛⎭⎫0，π4. 由cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1213，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝513. ∴原式＝1013. 答案：10139．(1＋3tan10°)·cos40°＝________.解析：(1＋3tan10°)cos40°＝⎝⎛⎭⎫1＋3sin10°cos10°cos40° ＝3sin10°＋cos10°cos10°·cos40° ＝2sin(10°＋30°)cos10°·cos40° ＝2sin40°cos40°cos10°＝sin80°cos10°＝1. 答案：110．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则角α＝________.解析：依题意有cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(sin β＋cos β)．∵α、β均为锐角 ∴sin β＋cos β≠0，必有cos α＝sin α∴α＝π4. 答案：π4三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解：由已知得cos α＝210，cos β＝255.∵α，β为锐角， ∴sin α＝1－cos 2α＝7210sin β＝1－cos 2β＝55. ∴tan α＝7，tan β＝12. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)∵tan2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， ∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan2β1－tan α·tan2β＝7＋431－7×43＝－1.∵α、β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4. 12．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2(1)求tan2α的值；(2)求β的值．分析：由已知可求sin α，进而可求tan α，tan2α；由角的关系入手，利用角的变换β＝α－(α－β)可求得cos β. 解：(1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫172＝437. ∴tan α＝sin αcos α＝437×71＝4 3. 于是tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2. 又∵cos(α－β)＝1314， ∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝3314由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. 所以β＝π3. 13．已知0<β<π4<α<34π，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值． 解：∵π4<α<3π4， ∴－3π4<－α<－π4，－π2<π4－α<0. 又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－45. 又∵0<β<π4，∴3π4<3π4＋β<π. 又∵sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513，∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝－1213， ∴sin(α＋β)＝－cos ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β) ＝－cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4β－⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋βcos ⎝⎛⎭⎫π4－α－sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋βsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－⎝⎛⎭⎫－1213×35－513×⎝⎛⎭⎫－45 ＝3665＋2065＝5665. 评析：三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)常见的配角技巧α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α.。