张红岩电路原理(甲)-第八章 经典法

uC (t ) = E ⋅ e
− t RC
t ≥0
t − RC
E
0
duC E i (t ) = C =− e dt R
t≥0
t
−
E R
时间常数 τ = RC 1.量纲 秒
Ω⋅F = Ω⋅ C V A ⋅S = ⋅ =S V A V
0
E
τ
t
2.与结构和参数有关
Req
C
R1 R2
R3
R1 R2
R2
R3
u C ( 0 + ) iL ( 0 + )
uC (0 + ) iL (0 + )以外的电压、电流
及其导数
i1
US
R1 R2
i3 i2
R3
R1 = 3Ω R2 = 2Ω
R3 = 5Ω
8V
uC
解:
所示电路在开关断开之 前处于稳定状态,求 i1 (0 + ) i2 (0 + ) i3 (0 + ) u (0 ) u L (0 + )
Us1
Us1
Is
换路定则:描述换路前( t = 0 −)后 ( t = 0 + )瞬间电路中 电压电流的规律。 换路前后瞬间，若
iC ( t )
u L (t )
uC(0+) =uC(0−)
有限,且无病态结构
iL(0+) =iL(0−)
1 ∫− ∞ i C dt + C
0_
uC (0 + ) =
1 0+ 1 iC dt = ∫ C −∞ C
t
τ
dt
E2 τ − τ = ( − )e R 2
2t
τ E2
1 = CE 2 2 R 2
例 直流电缆
10KV
断开开关后,可 否马上修电缆?
解：
l = 10 km
C = 2 μF
R = 50 × 10 Ω
6
τ = RC = 100 S
t = 300 S
u C ( 0 + ) ⋅ 5%
3τ
= 10 4 × 0 .05 = 500 V
−
R t L
)
2).特点 单一电源时，零状态线性 三、正弦函数激励下的零状态响应 1.RC串联电路
R
t =0
开关闭合，求
dt
uC (t )
i (t )
i
uC C
uC + Ri = uS (t ) RC duC + uC = uS (t )
通解、自由分量
RCS + 1 = 0
S =−
− t RC
uS (t )
∞
1).数学描述
1 Δ
Δ→0
δ (t )
n Δ
Δ
t
Δ n
t
t
2)与 1(t ) 的关系
f (t ) 1 t
Δ→0
f n (t )
1
n→∞
t
1(t ) 1 t
Δ
Δ n
1 Δ
f ′ (t )
Δ
t
δ (t )
n Δ
f n (t )
Δ n
t t
′
Δ→0
d1(t ) δ (t ) = dt
∫− ∞
t
⎧0 δ ( t ) dt = ⎨ ⎩1
通解、自由分量
L S +1 = 0 R
R − t L
S =−
R L
iC h (t ) = ke
特解、强制分量 全解
iC p (t) = IS
= ke
− R t L
iC ( t ) = iC h ( t ) + iC p ( t )
+ IS
初始条件：
iL (0+ ) = iL (0− ) = 0
iL IS t
∫
∞
−∞
f ( t ) δ ( t − t 0 ) dt = f ( t 0 )
δ (t ) = δ (−t )
换路定则和初始值的计算
一、换路定则 基本概念: 换路、病态结构、换路定则 换路: 电源开关的接通或断开 元件参数或电路结构的突然改变 病态结构: 回路 割集 纯电容组成的回路 电容及理想电压源组成的回路 纯电感组成的割集 电感及理想电流源组成的割集
uL
C +
i1
8V
R1
i3
US
uC
iL
R3
uL
t = 0−
iL (0 − ) =
US 8 = = 1A R1 + R 3 3 + 5
u C ( 0 − ) = i L ( 0 − ) R 3 = 1 × 5 = 5V
t = 0+
i1 (0 + ) R1
US
i3 (0 + )
iL (0 + ) = iL (0 − ) = 1A
k + IS = 0
R − t L
k = −IS
R − t L
iC (t ) = I S (1 − e
iL p
)
iR IS
L diL iR = = ISe R dt
− I S iL h
t
3. RL串联电路
R
US uR i
di L + Ri = U S dt
− t US + ke L i = i p + ih = R R
R diL − t uL (t) = L = L = −I0R ⋅ e dt − E ⋅ e
0
R − t L
t
−E
时间常数 1.量纲 秒
L τ= R
E R
H V A = S =S Ω A V
2.与结构和参数有关
R1
Req
L
τ
0
t
R3 R2
R1 R2
R2
R3
Req = R3 + R1
3.一般表达式
uC (0− ) = 0
iL (0− ) = 0
通解、特解、自由分量、强制分量、暂态分量、稳态分量
二、阶跃函数激励下的零状态响应 1.RC串联电路
R
t =0
开关闭合，求
RC
uC (t )
i (t )
i
uC C
uC + Ri = U S
duC + uC = U S dt
1 RC
U S uC (0 − ) = 0
8V u ( 0 ) C +
R2
i2 (0 + )
R3
iL (0 + )
uC (0 + ) = uC (0 − ) = 5V
i1 (0 + ) = 0
i3 (0 + ) = iL (0 + ) = 1A
u L (0 + )
i2 ( 0 + )
= i1 ( 0 + ) − i3 ( 0 + ) = − 1A
概述
电路的过渡过程
一 、基本概念 1. 激励和响应 激励:作用在电路中的电源或信号，也称输入。 响应:电源作用下，电路中所产生的电流或电压, 也称输出。 2. 强迫状态和稳定状态 强迫状态:电路在电源作用下，经过相当长的时间, 由电源强迫建立起来的状态,既电压 、电流的分 布。
I
Us1
R
U S1 I= R
Req = R3 + R1
3.一般表达式
u C (t ) = E ⋅ e
− t RC
t≥0
− t
u C (t ) = u C ( 0 + ) ⋅ e
τ
4.特点 零输入线性 5.能量
∞
∞
W = ∫ i 2 Rdt =
0
∫
∞ 0
0
E −τ 2 (− ⋅ e ) Rdt = R =
t
E2 R
∫
∞
0
e
−2
斜率
2) 物理意义 开关
1V
2 1
1(t ) • 1V
3) 1(t)的运算 延时 1(t − t ) = ⎧0 ⎨ 0
t < t0 ⎩1 t > t0
1( t − t 0 ) 1
t0
t
倒置
⎧0 − t < 0 1(−t ) = ⎨ ⎩1 − t > 0
⎧0 t > 0 ⎨ ⎩1 t < 0
1
1(−t )
= uC (0 − )
∫
0+
0−
i C dt
1 0+ 1 0− iL (0 + ) = ∫ − ∞ u L dt = ∫ − ∞ u L dt + L L 1 0+ ∫0 − u L dt = iL (0 − ) L
二、初始值的计算 时的值 初始值: 电路中电压、电流在 t = 0 + 独立初始值: 非独立初始值:
t < 0 t > 0
= 1(t )
3)性质
δ (t ) δ (t − t0 ) Aδ (t − t0 )
f (t )δ (t ) = f (0)δ (t )
f (t )δ (t − t0 ) = f (t0 )δ (t − t0 )
∫
∞ −∞
∫
∞
−∞
f ( t )δ ( t ) dt =
f ( 0 )δ ( t ) dt = f ( 0 )
三 几种常用的函数 1. 斜坡函数
r (t )
⎧0 t < 0 r (t ) = ⎨ ⎩t t > 0
t
2.阶跃函数 单位阶跃
⎧0 t < 0 1(t ) = ⎨ ⎩1 t > 0
1(t )
1
t
1) 数学描述
1
Δ→0
1
1(t )
Δ n
Δ
t
t
n→∞
1
t
⎧ ⎪0 t<0 ⎪n Δ ⎪ ⎨Δ 0 < t < n ⎪ ⎪ Δ ⎪1 t> ⎩ n
k = −U S
t
u (0 初始条件：
C
+
) = uC (0 − ) = 0
t
u C (t ) = U S − U S e
−
τ
= U S (1 − e
− t
−
t
τ
)
du C U S i = C = e dt R
τ
1).一般表达式
u C (t ) = U S − U S e
− t
τ
= U S (1 − e
0 t0 0 t0
0 t0
f (t ) ⋅1(t )
t
t
相加
⎧ E 0 < t < t0 E ⋅1(t ) − E ⋅1(t − t0 ) = ⎨ t > t0 ⎩0
E −E
t0
E
t t0 t
3.冲激函数 工程上定义
⎧0 t ≠ 0 δ (t ) = ⎨ ⎩∞ t = 0
且
∫− ∞ δ ( t ) ⋅ dt = 1
L
稳定状态:电源是直流或正弦交流时，所达到的 状态。 动态电路：凡以微分方程描述的电路。 3.过渡过程:动态电路的结构或参数发生变化，电 路从一个强迫状态转变到另外一个强迫状态，一 般需要经历一定过程，这个过程称为过渡过程。
二 计算过渡过程的方法 1. 经典法:微分方程，时域 2.运算法:拉氏变换，频域 3.积分法:卷积和杜阿美积分，零状态响应、时域 4.状态变量法:大型网络
uC (0 − ) = 0
uS (t ) = U m sin(ωt + ψ )
1 RC
u C h ( t ) = ke St = ke
特解
Im = Um R− j 1 ωC = Um ∠ψ − φ Z UC m = − j
1 ⋅ Im ωC
UC m
Um = ∠ψ − φ − 900 Z ωC
uC p
iL
L
uL
开关 1
2
一、RC 电路
R0 1 i 2 E R
C
t=0
uC
开关从1到2，求
u C (t ) i (t )
1 RC
uC + Ri = 0
RCS + 1 = 0
− t RC
duC + uC = 0 RC dt
S =−
u C ( t ) = ke St = ke
u C ( 0 + ) = uC (0 − ) = E
uL (0+ ) = uC (0+ ) + i2 (0+ )R2 −i3(0+ )R3 = −2V
作业
8－1，3，
一阶电路的零输入响应
一、基本定义 一阶电路、零输入响应、时间常数 一阶电路:电路中只有一个独立的储能元件 零输入响应:外加激励为零时的响应
U s1 U s1
R K 1 E 2
i
R C uC K 1 E 2
L
i (0 + ) = i (0 − ) = 0
− t US (1 − e L ) i= R i ip US R
R R − t L
u R = U S (1 − e
) uL
− t di uL = L = U S e L dt
R
uR US t
US − R
ih
t
1).一般表达式
i = i ( ∞ )( 1 − e
t
相乘
⎧0 t < 0 E ⋅1(t ) = ⎨ ⎩E t > 0
1(t − t0 )
E ⋅1(t )
E
t
E ⋅1(t − t0 )
E
t0 t
f (t )
f (t ) t f (t ) ⋅1(t ) f (t ) f (t ) ⋅1(t − t0 ) t f (t ) f (t − t0 ) ⋅1(t − t0 )
二、RL电路
t =0
R 1 2 E R L
开关从1到2，求
diL RiL + L =0 dt
u L (t )
iL (t )
iL
uL
LS + R = 0
− R t L
S =−
R L
i L ( t ) = ke
E iL (0 + ) = iL (0 − ) = = I 0 R
E R
t E −R L i L (t ) = e R
E −Lt iL (t ) = e R
iL (t ) = iL (0
+
R
t≥0
)e
−
t
τ
= I0e
−
t
τ
t≥0
4.特点 零输入线性
5.能量
W = ∫ i 2 Rdt =
0
∞
∫
∞
0 ∞ 0
RI 02 e
−2
t
τ
dt
2 0
= RI (− )e 2
2 0
τ
−
2t
τ
1 2 = RI = LI 0 2 2
பைடு நூலகம்
τ
一阶电路的零状态响应 一、基本概念 零状态：初始能量为零
通解、自由分量
RCS + 1 = 0
S =−
− t RC
u C h ( t ) = ke St = ke
特解、强制分量
uC p (t ) = U S
US
uC
uC p
全解
u C (t ) = u C h (t ) + u C p (t )
−US
uC h
= U S + ke − RC
0 = US + k
−
t
τ
)
2).特点 单一电源时，零状态线性 3).能量
W R = ∫ i Rdt = ∫
2 0
∞
∞
0
US e ( R
−
t RC
1 2 = WC ) dt = CU S 2
2
2. RL并联电路
iR IS iL
i R + iL = I S
L
u R L diL = iR = R R dt
R
L diL + iL = I S R dt