任意角的三角函数 (2) PPT
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明目标、知重点
都有OM＝x＝cos α.同理，当角α的终边不在x轴上时，以M为始 点、P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正 向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向， 且有负值y；其中y为P点的纵坐标.这样，无论哪种情况都有MP ＝y＝sin α. 小结 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT，分 别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.
明目标、知重点
思考2 设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sin α＋cos α>1吗？ 答 设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为 M，则sin α＝MP，cos α＝OM，OP＝1. 在Rt△OMP中，由两边之和大于第三边得MP＋OM>OP，即 sin α＋cos α>1.
明目标、知重点
明目标、知重点
第一章 三角函数
§1.2 任意角的三函数
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点
1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域. 2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一 个角的正弦、余弦和正切. 3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.
思考3 若α为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律 探究sin2α＋cos2α与1的关系？ 答 当α的终边落在x轴上时，sin α＝0，|cos α|＝1， sin2α＋cos2α＝1； 当α的终边落在y轴上时，|sin α|＝1，cos α＝0，sin2α＋cos2α＝1； 当α的终边不落在坐标轴上时，sin α＝MP，cos α＝OM. 在Rt△OMP中，|MP|2＋|OM|2＝|OP|2＝1. ∴sin2α＋cos2α＝1. 综上所述，对于任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
明目标、知重点
探究点一 三角函数线的概念及其作法
思考1 如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为 P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x都是正数，你能分别用一条线段表 示角α的正弦值和余弦值吗？cos α＝yx怎样表示？
明目标、知重点
答 如图，过角α的终边与单位圆的交点P向x轴作垂线，垂足为M ， 则|MP|＝y＝sin α，|OM|＝x＝cos α. 过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的 终边交于点T，根据正切函数的定义与相似三角 形的知识，借助有向线段OA、AT，有tan α＝AT ＝yx.
明目标、知重点
我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方 向有关.设想将线段的两个端点规定一个为始点， 另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负 值符号.规定：线段从始点到终点与坐标轴同向时 为正方向，反向时为负方向. 即规定当线段OM与x轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向 为负向，且有负值x；其中x为P点的横坐标.这样，无论哪种情况
由图可知：
cos
65π<0，tan
25π>0，sin
2 5π>0.
∵|MP|<|AT|，
∴sin
25π<tan
25π.
明目标、知重点
填要点·记疑点
1.三角函数的定义域 正弦函数y＝sin x的定义域是R；余弦函数y＝cos x的 定义域是R；正切函数y＝tan x的定义域是 {x|x∈R 且 x≠kπ＋π2，k∈Z}.
明目标、知重点
2.三角函数线 如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于 P点.过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切 线交OP的延长线(或反向延长线)于T点.单位圆中的有向线 段 MP 、OM 、 AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切 线.记作：sin α＝ MP ，cos α＝ OM ，tan α＝ AT .
明目标、知重点
反思与感悟 作已知角的正弦线、余弦线、正切线时， 要确定已知角的终边，再画线，同时要分清所画线的 方向，对于以后研究三角函数很有用处.
明目标、知重点
跟踪训练 1
sin
25π，cos
65π，tan
2 5π
从小到大的顺序是
cos
6 5π<
2
2
sin 5π<tan 5π .
解析 分别在单位圆中作出它们的三角函数线，
明目标、知重点
例1 在单位圆中画出满足sin α＝12的角α的终边，并求角α的取值 集合. 解 已知角 α 的正弦值，可知 MP＝12，则 P 点 纵坐标为12.所以在 y 轴上取点0，12.过这点作
x 轴的平行线，交单位圆于 P1，P2 两点，则 OP1，OP2 是角 α 的终边，因而角 α 的集合为{α|α＝2kπ＋π6或 α＝2kπ＋56π，k∈Z}.
明目标、知重点
思考3 当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出 它们的正弦线、余弦线和正切线吗？ 答 如下图：
明目标、知重点
探究点二 三角函数线的应用 导引 三角函数线是三角函数的几何表示，是任意角的三角函数 定义的一种“形”的补充，线段的长度表示了三角函数绝对值的 大小，线段的方向表示了三角函数值的正负. 思考1 若α为任意角，则sin α，cos α的取值范围是多少？ 答 根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律可得 －1≤sin α≤1，－1≤cos α≤1.
明目标、知重点
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明目标、知重点
探要点·究所然 情境导学 角是一个图形概念，也是一个数量概念(弧度数).作为角的函 数——三角函数是一个数量概念(比值)，但它是否也是一个 图形概念呢？换句话说，前面我们学习了任意角的三角函 数，主要从数上研究了它们，能否用几何方式来表示三角 函数呢？这一节我们就来一起研究这个问题.
明目标、知重点
思考2 若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P(x，y)， 则sin α＝y，cos α＝x都是负数，此时角α的正弦值 和余弦值分别用哪条线段表示？如何给线段MP、 OM规定一个适当的方向，使它们的取值与点P的 坐标一致？ 答 过角α的终边与单位圆的交点P，过点P向x轴作垂线，垂足 为M，则，－|MP|＝y＝sin α，－|OM|＝x＝cos α.
都有OM＝x＝cos α.同理，当角α的终边不在x轴上时，以M为始 点、P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正 向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向， 且有负值y；其中y为P点的纵坐标.这样，无论哪种情况都有MP ＝y＝sin α. 小结 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT，分 别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.
明目标、知重点
思考2 设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sin α＋cos α>1吗？ 答 设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为 M，则sin α＝MP，cos α＝OM，OP＝1. 在Rt△OMP中，由两边之和大于第三边得MP＋OM>OP，即 sin α＋cos α>1.
明目标、知重点
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第一章 三角函数
§1.2 任意角的三函数
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点
1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域. 2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一 个角的正弦、余弦和正切. 3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.
思考3 若α为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律 探究sin2α＋cos2α与1的关系？ 答 当α的终边落在x轴上时，sin α＝0，|cos α|＝1， sin2α＋cos2α＝1； 当α的终边落在y轴上时，|sin α|＝1，cos α＝0，sin2α＋cos2α＝1； 当α的终边不落在坐标轴上时，sin α＝MP，cos α＝OM. 在Rt△OMP中，|MP|2＋|OM|2＝|OP|2＝1. ∴sin2α＋cos2α＝1. 综上所述，对于任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
明目标、知重点
探究点一 三角函数线的概念及其作法
思考1 如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为 P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x都是正数，你能分别用一条线段表 示角α的正弦值和余弦值吗？cos α＝yx怎样表示？
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答 如图，过角α的终边与单位圆的交点P向x轴作垂线，垂足为M ， 则|MP|＝y＝sin α，|OM|＝x＝cos α. 过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的 终边交于点T，根据正切函数的定义与相似三角 形的知识，借助有向线段OA、AT，有tan α＝AT ＝yx.
明目标、知重点
我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方 向有关.设想将线段的两个端点规定一个为始点， 另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负 值符号.规定：线段从始点到终点与坐标轴同向时 为正方向，反向时为负方向. 即规定当线段OM与x轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向 为负向，且有负值x；其中x为P点的横坐标.这样，无论哪种情况
由图可知：
cos
65π<0，tan
25π>0，sin
2 5π>0.
∵|MP|<|AT|，
∴sin
25π<tan
25π.
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1.三角函数的定义域 正弦函数y＝sin x的定义域是R；余弦函数y＝cos x的 定义域是R；正切函数y＝tan x的定义域是 {x|x∈R 且 x≠kπ＋π2，k∈Z}.
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2.三角函数线 如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于 P点.过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切 线交OP的延长线(或反向延长线)于T点.单位圆中的有向线 段 MP 、OM 、 AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切 线.记作：sin α＝ MP ，cos α＝ OM ，tan α＝ AT .
明目标、知重点
反思与感悟 作已知角的正弦线、余弦线、正切线时， 要确定已知角的终边，再画线，同时要分清所画线的 方向，对于以后研究三角函数很有用处.
明目标、知重点
跟踪训练 1
sin
25π，cos
65π，tan
2 5π
从小到大的顺序是
cos
6 5π<
2
2
sin 5π<tan 5π .
解析 分别在单位圆中作出它们的三角函数线，
明目标、知重点
例1 在单位圆中画出满足sin α＝12的角α的终边，并求角α的取值 集合. 解 已知角 α 的正弦值，可知 MP＝12，则 P 点 纵坐标为12.所以在 y 轴上取点0，12.过这点作
x 轴的平行线，交单位圆于 P1，P2 两点，则 OP1，OP2 是角 α 的终边，因而角 α 的集合为{α|α＝2kπ＋π6或 α＝2kπ＋56π，k∈Z}.
明目标、知重点
思考3 当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出 它们的正弦线、余弦线和正切线吗？ 答 如下图：
明目标、知重点
探究点二 三角函数线的应用 导引 三角函数线是三角函数的几何表示，是任意角的三角函数 定义的一种“形”的补充，线段的长度表示了三角函数绝对值的 大小，线段的方向表示了三角函数值的正负. 思考1 若α为任意角，则sin α，cos α的取值范围是多少？ 答 根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律可得 －1≤sin α≤1，－1≤cos α≤1.
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探要点·究所然 情境导学 角是一个图形概念，也是一个数量概念(弧度数).作为角的函 数——三角函数是一个数量概念(比值)，但它是否也是一个 图形概念呢？换句话说，前面我们学习了任意角的三角函 数，主要从数上研究了它们，能否用几何方式来表示三角 函数呢？这一节我们就来一起研究这个问题.
明目标、知重点
思考2 若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P(x，y)， 则sin α＝y，cos α＝x都是负数，此时角α的正弦值 和余弦值分别用哪条线段表示？如何给线段MP、 OM规定一个适当的方向，使它们的取值与点P的 坐标一致？ 答 过角α的终边与单位圆的交点P，过点P向x轴作垂线，垂足 为M，则，－|MP|＝y＝sin α，－|OM|＝x＝cos α.