2017_2018学年高中数学第四章函数应用章末复习课学案北师大版必修1

第四章函数应用

学习目标 1.体会函数与方程之间的联系，会用二分法求方程的近似解.2.了解指数函数、幂函数、对数函数的增长差异.3.巩固建立函数模型的过程和方法，了解函数模型的广泛应用．

1．对于函数y＝f(x)，x∈D，使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)，x∈D的零点．

2．方程的根与函数的零点的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

3．函数的零点的存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0.

(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]内若不连续，则f(a)·f(b)＜0与函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点个数没有关系(即：零点存在性定理仅对连续函数适用)．

(2)连续函数y＝f(x)若满足f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点不一定有f(a)·f(b)＜0，若y＝f(x)为单调函数，则一定有f(a)·f(b)＜0.

4．二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验．

5．解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力．一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面．求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：

类型一函数的零点与方程的根的关系及应用

例1 已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是____________．

反思与感悟(1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图像研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图像的交点个数进行判断．

跟踪训练1 若函数f (x )＝2x

－2x

－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是

( ) A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3)

D ．(0,2)

类型二 用二分法求函数的零点或方程的近似解

例2 在下列区间中，函数f (x )＝e x

＋4x －3的零点所在的区间为( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14

C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，34 反思与感悟 (1)根据f (a 0)·f (b 0)<0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解再确定初

始区间．

(2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间对应的结果是相同的，但二分的次数相差较大．

(3)取区间中点c ，计算中点函数值f (c )，确定新的零点区间，直到所取区间(a n ，b n )中，|a n －b n |<ε，那么区间(a n ，b n )内任意一个数都是满足精度ε的近似解．

跟踪训练2 已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0，且a ≠1)，当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *

，则n ＝__________. 类型三 函数模型及应用

例3 如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2

(k ＞0)表示的

曲线上，其中k 与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程；

(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

反思与感悟 在建立和应用函数模型时，准确地把题目要求翻译成数学问题(如最大射程翻译成y ＝0时求x 的最大值)非常重要．另外实际问题要注意实际意义对定义域、取值范围的影

响．

跟踪训练3 某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝e kx ＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．

1．已知函数f(x)＝a x－x－a(a＞0，a≠1)，那么函数f(x)的零点有( )

A．0个B．1个

C．2个D．至少1个

2.如图所示是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x之间函数关系的图像．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )

3．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )

A．(a，b)和(b，c)内

B．(－∞，a)和(a，b)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内

D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

4．设函数f(x)＝log3x＋2

x

－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是________．

5．已知方程2x＝10－x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝______.

1．对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图像、确定方程的根；对于连续函数，利用零点存在性定理，可用来求参数的取值范围．

2．函数模型的应用实例的基本题型

(1)给定函数模型解决实际问题；

(2)建立确定的函数模型解决问题；

(3)建立拟合函数模型解决实际问题．

3．函数建模的基本过程如图：