自动控制理论第五章频率分析法1.详解
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自控理论第五章频率分析法
Uo(s) Ui (s) T (sUo(s) uo0 ) Uo(s) TsUo(s) Ui (s) Tuo0
1
1 A
Uo (s)
Ts
1[Ui (s)
Tuo0 ]
Ts
[ 1
s
2
2
Tuo0 ]
取拉氏反变换，
uo
(t
)
(uo0
1
AT T 2
2
)e
t T
A sin(t arctanT ) 1 T 22
I ( )
G( j)
G(jω) R2 (ω) I 2 (ω) G(jω)＝arctg I (ω)
R(ω)
幅频特性 相频特性
A( )
()
o
Re R( )
为了直观的、明确的表示在很宽的频率范围内的频率响应， 采用图形表示要比采用函数表示方便地多。因此在频域分析中， 要极为重视频率特性的图形表示方法。
在控制工程中，频率分析法常常是用图解法进行 分析和设计的，因此有必要介绍常用的频率特性的三 种图解表示。
幅相频率特性曲线：即系统幅相曲线或极坐标图。用以在 复平面上描述系统频率特性。也称奈奎斯特(Nyquist)图
Bode图（对数坐标图）：即系统对数频率特性曲线。在对
数坐标中将频率响应的幅频特性与相频特性 分开来表示的图形。
j
ω=∞， φ=-90°
1 （ω=0，φ=0）
0
φ
∣G（jω）∣
（2）对数频率特性曲线(Bode图)
对数频率特性图---Bode图。它是将幅频特性和相频特性分 别用两个图表示，为了在很宽的频率范围内描绘频率特性，坐 标刻度采用对数化的形式。
对数频率特性的定义：
L（ω）= 20 lg ∣G（jω）∣-------- 对数幅频特性 φ（ω）= ∠G（jω） ------------- 对数相频特性
孙炳达版 《自动控制原理》第5章 控制系统的频率特性分析法-1
5.1 频率特性的基本概念
在工程实践中, 往往并不需要准确地计算系 统响应的全部过程，而是希望避开繁复的计算， 简单、直观地分析出系统结构、参数对系统性能 的影响。因此，主要采用两种简便的工程分析方 法来分析系统性能，这就是根轨迹法与频率特性 法，本章将详细介绍控制系统的频率特性法。 控制系统的频率特性分析法是利用系统的频 率特性（元件或系统对不同频率正弦输入信号的 响应特性）来分析系统性能的方法，研究的问题 仍然是控制系统的稳定性、快速性及准确性等， 是工程实践中广泛采用的分析方法，也是经典控 制理论的核心内容。
5.1 频率特性的基本概念
二、频率特性和传递函数之间的关系
( j ) ( s ) s j
频率特性就是在s=jω时的传递函数，它也是 系统或环节的数学模型，描述了系统的运动规律 及其性能。 频率特性可以通过传递函数求取（解析法）， 也可以用专门的仪器、通过实验的方法求取。
5.1 频率特性的基本概念
yss ( j 2) X sin(2t ) 0.35sin(2t 45 )
5.1 频率特性的基本概念
频率特性的物理意义
1、在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比与相位差 是确定的数值，不是频率特性。当输入信号的频率ω在0→∞的 范围内连续变化时，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差 随输入频率的变化规律将反映系统的性能，才是频率特性 。 2、频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数， 与外界因素无关。 3、 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、 电感、弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输 入信号的频率有关。 4、频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力， 一般有“低通滤波”与“相位滞后”作用。
自动控制原理第5章频域分析法
确定方法
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
自控原理课件第5章自动控制系统的频率分析
频率响应曲线和Bode图
频率响应曲线是频率分析中常用的图形表示方式之一。它展示了系统在不同频率下的响应强度，并且能够反映系统 的稳定性和增益特性。
Bode图是一种常见的频率响应曲线图，它将系统的增益和相位响应分别绘制在对数纵坐标和对数横坐标上。通过观 察Bode图，我们可以更好地理解系统的频率特性。
在频率分析中，我们关注系统的频率响应和相位响应。频率响应描述了系统对不同频率输入信号的响应强度，而相 位响应描述了系统对不同频率输入信号的相对时间延迟。
频率范围和单位
频率分析涉及到频率的范围和单位。在自动控制系统中，我们通常使用赫兹 （Hz）作为频率的单位。频率范围可以涵盖从几兹到几千赫兹的频段，具 体范围会根据不同的应用而有所不同。
自控原理课件第5章自动 控制系统的频率分析
频率分析是自动控制系统中的重要概念，它帮助我们理解系统如何对不同频 率的输入信号做出响应。本章将介绍频率分析的定义、概念以及应用，以便 更好地理解自动控制系统的特性。
频率分析的定义和概念
频率分析是通过对自动控制系统的输入和输出信号进行频谱分析，来了解系统对不同频率的信号做出响应的过程。 它是研究自动控制系统动态特性的重要工具。
总结和要点
频率分析是理解自动控制系统频率特性的重要方法。它通过频率响应和相位响应来描述系统对不同频率信号的响应。 频率范围和单位、频率响应曲线和Bode图、应用领域以及限制和局限是频率分析中的关键概念。
频率分析的应用
频率分析在许多领域中都有广泛的应用。在音频领域，它可以帮助我们设计 音响系统和调整音乐的音质。在电子通信中，它可以用于信号处理和滤波器 设计。在控制系统中，它可以帮助我们优化系统的性能和稳定性。
频率分析的限制和局限
频率分析虽然是一种有用的工具，但也有其限制和局限性。它通常假设系统是线性时不变（LTI）的，而在实际应用 中，系统可能存在非线性和时变特性。此外，频率分析还需要对系统的输入进行特定频率的激励，这在某些情况下 可能会有一定的困难。
自动控制理论第五章频率特性分析法
自动控制理论
第五章 频率特性分析法
5.2.1.1 幅相频率特性图-Nyquist图 [极坐标图]在极坐标复平面上画出值由零变化到 无穷大时的G(j )矢量，把矢端边成曲线。 [实虚频图]不同频率时和实频特性和虚频特性。
尼奎斯特图 Nyquist
自动控制理论
第五章 频率特性分析法
5.2.1.1 对数频率特性图-Bode图 波德图 (Bode) G ( j) A()e j( )
V() A() sin ()
自动hy 频率特性? 联系系统的参数和结构
X r (t ) A sin wt X r (s)= As /( s w )
2 2
增加2个极点 s jw, s jw
X c (s)= G(s) X r (s)
转角频率处： 低于渐近线3dB 低于或高于转角频 率一倍频程处： 低于渐近线1dB
自动控制理论
第五章 频率特性分析法
一阶微分环节幅相频率特性
G (s) s 1 G ( j) j 1
改变K 幅频曲线升高或降 低相频曲线不变
L() | 20 lg K
() 0
K>1时，分贝数为 正； K<1时，分贝数为 负。
自动控制理论
第五章 频率特性分析法
积分环节幅相频率特性
1 1 j j 1 | G ( j) | 1 G ( j) tg 1 90 0 G ( j)
G (s) 1 Ts 1
第五章 频率特性分析法
惯性环节幅相频率特性
G ( j) 1 T 2 2 1 1 jT 1
1 1 (U )2 V 2 ( )2 2 2
| G ( j) |
自动控制原理 第五章(第一次课)
autocumt@
18
中国矿业大学信电学院 常俊林
ω =1
1 12 + 2 2 e
(− tg
−1 1 2
)j
= 0 . 45 e
− 26 .6 o
c ss (t ) = 2 ⋅ 0 .45 sin t + 30 o − 26 .6 o = 0 .9 sin t + 3 .4 o
autocumt@ 13
(
)
(
)
中国矿业大学信电学院 常俊林
c(t ) = b1e
− s1t
+ ... + bn e
− sn t
+c1e
− jωt
+ c2e
jωt
css (t ) = c1e
− jωt
+ c2 e
jωt
其中: 其中
c1 = C ( s)( s + jω ) s = − jω
Aω = G ( s) ⋅ ( s + j ω ) s = − jω ( s + jω )( s − jω )
[ a (ω ) c (ω ) + b (ω ) d (ω )] + j[ b (ω ) c (ω ) − a (ω ) d (ω )] = c 2 (ω ) + d 2 (ω )
autocumt@ 9 中国矿业大学信电学院 常俊林
5-1 频率特性
b(ω )c(ω ) − a(ω )d (ω ) ϕ (ω ) = arctg a(ω )c(ω ) + b(ω )d (ω )
自ห้องสมุดไป่ตู้控制原理
r (t ) = 2 sin(t + 30 )
自控原理课件 第5章-自动控制系统的频率分析
52
γ和kg可以用来作为控制系统的开环频域性能指标。 在分析设计一个控制系统时，系统的性能常用γ与kg 的定量值来描述。 在使用时，γ和kg通常是成对使用的，但有时也 使用一个裕量指标，如用相角裕量γ来分析控制系统 的性能指标。这时对于系统的绝对稳定性的分析没 有什么影响，但是在γ较大，而kg较小的情况下。对 于系统动态性能的影响是很大的。
5
6
综上所述，求解系统频率特性主要有三种方法： (1)根据系统的微分方程求解稳态解。通过求解正 弦输入信号的稳态输出分量与输人情号的复数比得 到系统的频率特性。 (2)由于系统的频率特性是传递函数的特殊情况， 以s=jω代人传递函数，即得系统的 频率特性。 (3)通过实验方法测定。对于线性稳定系统，当输 入正弦信号的频率不断变化时，记录相应的输出， 绘出系统的幅频特性与相频特性，即得到系统的频 率特性。 注意：频率特性同传递函数一样，也是一种数学 模型，它也包含了系统的结构与参数，反映了系统 的结构性能。 7
49
50
51
2. 相角裕量 设幅频特性过零分贝时的频率为ωc，(幅值穿越频率)，则定 义相角裕量γ为 γ＝180º +φ(ωc) (5．34) 相角裕量γ指明了如果系统是不稳定系统，那么系统的 开环相频特性还需要改善多少量就成为稳定的了。如果系统 是不稳定的，与上述描述相反。 对于某一控制系统，若相角裕量γ大于零，幅值裕量kg大于1， 则系统稳定，并且γ和kg的值越大，系统稳定程度越好；苦γ 小于零，kg小于1，则系统不稳定。 一阶、二阶系统的γ总是大于零，而kg无穷大。因此， 理论上讲系统不会不稳定。但是，某些一阶和二阶系统的数 学模型是在忽略了一些次要因素后建立的，实际系统常常是 高阶的，其幅值裕度不可能无穷大。因此，开环增益太大， 系统仍可能不稳定。
γ和kg可以用来作为控制系统的开环频域性能指标。 在分析设计一个控制系统时，系统的性能常用γ与kg 的定量值来描述。 在使用时，γ和kg通常是成对使用的，但有时也 使用一个裕量指标，如用相角裕量γ来分析控制系统 的性能指标。这时对于系统的绝对稳定性的分析没 有什么影响，但是在γ较大，而kg较小的情况下。对 于系统动态性能的影响是很大的。
5
6
综上所述，求解系统频率特性主要有三种方法： (1)根据系统的微分方程求解稳态解。通过求解正 弦输入信号的稳态输出分量与输人情号的复数比得 到系统的频率特性。 (2)由于系统的频率特性是传递函数的特殊情况， 以s=jω代人传递函数，即得系统的 频率特性。 (3)通过实验方法测定。对于线性稳定系统，当输 入正弦信号的频率不断变化时，记录相应的输出， 绘出系统的幅频特性与相频特性，即得到系统的频 率特性。 注意：频率特性同传递函数一样，也是一种数学 模型，它也包含了系统的结构与参数，反映了系统 的结构性能。 7
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2. 相角裕量 设幅频特性过零分贝时的频率为ωc，(幅值穿越频率)，则定 义相角裕量γ为 γ＝180º +φ(ωc) (5．34) 相角裕量γ指明了如果系统是不稳定系统，那么系统的 开环相频特性还需要改善多少量就成为稳定的了。如果系统 是不稳定的，与上述描述相反。 对于某一控制系统，若相角裕量γ大于零，幅值裕量kg大于1， 则系统稳定，并且γ和kg的值越大，系统稳定程度越好；苦γ 小于零，kg小于1，则系统不稳定。 一阶、二阶系统的γ总是大于零，而kg无穷大。因此， 理论上讲系统不会不稳定。但是，某些一阶和二阶系统的数 学模型是在忽略了一些次要因素后建立的，实际系统常常是 高阶的，其幅值裕度不可能无穷大。因此，开环增益太大， 系统仍可能不稳定。
自动控制原理简明版第5章频率法课件
03
相角裕度是指系统相角特性曲线在穿越频率处的相角与-180°之间的 差值，它反映了系统对相位滞后的容忍程度。
04
幅值裕度是指系统幅频特性曲线在穿越频率处的幅值与0dB之间的差 值，它反映了系统对幅值变化的容忍程度。
04
CATALOGUE
闭环系统性能分析
闭环系统时域性能指标
上升时间 峰值时间
超调量 调节时间
频率法校正设计
超前校正设计原理及方法
原理
通过引入一个相位超前的校正环节，以改善系统的动态性能。超前校正环节具有正的相角特性，可以 补偿系统中由于惯性环节、滞后环节等引起的相位滞后，从而提高系统的相位裕度和截止频率，使系 统具有更好的稳定性和快速性。
方法
超前校正设计通常包括确定超前校正环节的传递函数、选择适当的超前时间常数和超前角等步骤。具 体实现时，可以根据系统的性能指标要求，通过试凑法或解析法确定超前校正环节的参数。
对数频率特性曲线（Bode图）
包括对数幅频特性和对数相频特性两部分。对数幅频特性表示系统对正弦输入信号的放大倍数随频率变化的情况 ；对数相频特性表示系统对正弦输入信号的相位滞后随频率变化的情况。通过Bode图可以直观地了解系统的频 率响应特性。
03
CATALOGUE
频率域稳定性判据
奈奎斯特稳定判据
02 通过研究系统的频率特性，可以深入了解系统的 性能，并为系统设计提供指导。
03 频率法还可以用于控制系统的设计和优化，提高 系统的性能指标。
02
CATALOGUE
线性系统频率特性
传递函数与频率特性关系
传递函数定义
描述线性定常系统动态特性的数学模型，表达了系统输出 与输入之间的复数域关系。
频率特性定义
相角裕度是指系统相角特性曲线在穿越频率处的相角与-180°之间的 差值，它反映了系统对相位滞后的容忍程度。
04
幅值裕度是指系统幅频特性曲线在穿越频率处的幅值与0dB之间的差 值，它反映了系统对幅值变化的容忍程度。
04
CATALOGUE
闭环系统性能分析
闭环系统时域性能指标
上升时间 峰值时间
超调量 调节时间
频率法校正设计
超前校正设计原理及方法
原理
通过引入一个相位超前的校正环节，以改善系统的动态性能。超前校正环节具有正的相角特性，可以 补偿系统中由于惯性环节、滞后环节等引起的相位滞后，从而提高系统的相位裕度和截止频率，使系 统具有更好的稳定性和快速性。
方法
超前校正设计通常包括确定超前校正环节的传递函数、选择适当的超前时间常数和超前角等步骤。具 体实现时，可以根据系统的性能指标要求，通过试凑法或解析法确定超前校正环节的参数。
对数频率特性曲线（Bode图）
包括对数幅频特性和对数相频特性两部分。对数幅频特性表示系统对正弦输入信号的放大倍数随频率变化的情况 ；对数相频特性表示系统对正弦输入信号的相位滞后随频率变化的情况。通过Bode图可以直观地了解系统的频 率响应特性。
03
CATALOGUE
频率域稳定性判据
奈奎斯特稳定判据
02 通过研究系统的频率特性，可以深入了解系统的 性能，并为系统设计提供指导。
03 频率法还可以用于控制系统的设计和优化，提高 系统的性能指标。
02
CATALOGUE
线性系统频率特性
传递函数与频率特性关系
传递函数定义
描述线性定常系统动态特性的数学模型，表达了系统输出 与输入之间的复数域关系。
频率特性定义
自动控制原理 第五章 频率法
斜率：-20db/dec （每十倍频程 -20db）
转折频率：1/T 对数相频：
W 0
υ （w） 0 -45° -90°
υ (w) =∠G(jw) =∠[1/ (1+jTw)] = 自动控制原理
tg-1Tw
1/T ∞
蒋大明
惯性环节
1/T处误差最大： 误差 = 实际值 - 近似值 = -20lg (1+T2w2)1/2︱w=1/T - 0
jυ (w)
lg G(jw) = lg A(w) + jυ (w)lg e
= lg A(w) + j0.434υ (w) 两张图：对数幅频特性, 对数相频特性
自动控制原理
蒋大明
对数频率特性
对数幅频特性图 纵坐标：L(w) = 20lg | G(jw) | = 20 lg A(w) 单位：分贝(db)
自动控制原理 蒋大明
幅相频率特性
绘制方法: 1. G(jw) = A(w) e 计算幅值,
jυ (w)
幅角相对简单,
但计算幅角时有时会遇到多值性的问题.
2. G(jw) = P(w) + 计算实部, jQ(w)
虚部相对复杂.
自动控制原理
蒋大明
二、对数频率特性（Bode图）
通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形— —对数频率特，也称Bode图。 G(jw) = A(w) e
自动控制原理
蒋大明
一阶不稳定环节
一阶不稳定环节的对数幅频特性与惯性环节的完全一样；相频则有所 不同，是在-180至-90范围内变化.
L ( )
0 -20
1
10
(a )
( )
0o
自动控制理论最新版精品课件第5章 频率法
5-1 频率特性的概念
一、频率特性的基本概念
➢频率响应：系统对正弦输入的稳态响应。
u1 U1 sint
在稳态情况下，输出电压 u2 U2 sinωt
1
•
U2
•
U1
jC
R 1
jC
1
1 j RC
1
1 jT
➢频率特性的定义：
该电路的频率特性
零初始条件的线性系统或环节，在正弦信号作用下， 稳态输出与输入的复数比。
➢与传递函数的关系：
G(j) G(s) s j
•
A() G(j)
U2
•
G( j )
A( )e j ( )
U1
1
1 (T )2
() G(j)
•
•
U 2 U1 arctan(T)
A(ω) 称幅频特性，φ(ω)称相频特性，G(jω) 称为幅相频率 特性。
二、频率特性的求取
➢已知系统的运动方程，输入正弦函数求其稳态解，取输出稳
特征点1: n 时
A,
An 1 2
n
2
特征点2: 令
dA d 0
1 0
0.3
0.5 0.707
r
n
谐振频率 r n 1 2 2 0.707
1
2
谐振峰值 Ar 2 1 2
0.5 0.3
0 0.707，出现谐振
0.707 阶跃响应既快又稳，比较理想（也称为“二阶最佳”）
G( j )
1
1
n
2 n2
2
2
2
n
2
j 1
2 n2
2 n
2 2
n
2
自动控制原理第五章
第五章 频域分析法目的：①直观，对高频干扰的抑制能力。
对快(高频)、慢(低频)信号的跟踪能力。
②便于系统的分析与设计。
③易于用实验法定传函。
§5.1 频率特性一. 定义)()()()(1n p s p s s s G +⋅⋅⋅+=θ在系统输入端加一个正弦信号：t R t r m ωsin )(⋅=))(()(22ωωωωωj s j s R s R s R m m -+⋅=+⋅=↔ 系统输出：))(()()()()(1ωωωθj s j s R p s p s s s Y m n-+⋅⋅+⋅⋅⋅+=t j t j e A e A t y t y ωω⋅+⋅+=↔-瞬态响应)()(1若系统稳定，即)(s G 的极点全位于s 左半平面，则 0)(l i m 1=∞→t y t稳态响应为：tj tj ss eA eA t y ωω⋅+⋅=-)(而)(21)()(22ωωωωωj G R jj s s R s G A m j s m -⋅-=+⋅+⋅⋅=-=)(21)()(22ωωωωωj G R jj s s R s G A m j s m ⋅=-⋅+⋅⋅== ∴t j m tj m ss e j G R je j G R j t y ωωωω⋅⋅+⋅-⋅-=-)(21)(21)( =])()([21t j t j m e j G e j G R jωωωω-⋅--⋅⋅ 又)(s G 为s 的有理函数，故)()(*ωωj G j G -=，即φωωj e j G j G )()(= φωωj e j G j G -=-)()(∴][)(21)()()(φωφωω+-+--⋅=t j t j mss e e j G R jt y =)sin()(φωω+⋅⋅t j G R m =)sin(φω+⋅t Y m可见：对稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，其稳态响应也是一个同频率的正弦信号。
其幅值是输入正弦信号幅值的)(ωj G 倍，其相移为)(ωφj G ∠=。
自动控制原理第五章频率法
频率响应的分析方法
频域分析法
通过求解系统的传递函数，得到系统的频率响应曲线，进而分析 系统的动态性能。
时域分析法
通过求解系统的微分方程，得到系统的时域响应，进而分析系统 的动态性能。
根轨迹法
通过绘制系统的极点轨迹图，分析系统的稳定性，并得到系统的 频率响应特性。
03
频率响应的特性
稳定性分析
判断系统稳定性的依据
频率响应是指控制系统对不 同频率输入信号的输出响应 特性。
频率响应的测量方法
通过测量控制系统在不同频 率下的输出信号，可以得到 系统的频率响应特性。
频率响应的分析
通过对频率响应的分析，可 以了解系统的动态特性和稳 定性。
控制系统中的稳定性分析
稳定性定义
如果一个系统受到扰动 后能够回到原来的平衡 状态，则称该系统是稳 定的。
频率特性的表示方法
极坐标图
01
通过极坐标图表示频率特性的幅度和相位角。
Bode图
02
通过Bode图表示频率特性的对数幅度和相位角随频率的变化关
系。
Nyquist图
03
通过Nyquist图表示频率特性的极点和零点随频率的变化关系。
02
频率响应分析
频率响应的定义
01
频率响应是指在稳态下，线性定常系统对不同频率的正弦输 入的稳态输出。
频率响应的极点和零点位置。
稳定裕度
衡量系统稳定性的指标，包括相位裕度和幅值 裕度。
稳定判据
基于频率响应的极点和零点位置，判断系统是否稳定的准则。
动态特性分析
动态响应过程
系统受到正弦波输入信号后，频率响应随时 间变化的过程。
动态性能指标
衡量系统动态响应性能的指标，如超调和调 节时间、峰值时间等。
自动控制原理第5章 频率特性分析法
Kce jt
Kce jt
Kc
Gs s
X
j s
j s
j
s j
G j
2j
X
Kc
Gs s
X
j s
j s
j
s j
G
j
2j
X
e e G j G s s j G j G j jG j B() j
知识要点
频率特性是一种数学模型,主要包括三种图形：
幅相频率特性曲线（又称极坐标或Nyquist曲线）， 利用Nyquist稳定判据可由开环频率特性判别闭环系 统的稳定性
对数频率特性曲线（又称Bode图），用相位裕度和幅 值裕度来反映系统的相对稳定性。
对数幅相频率特性曲线（又称Nichols曲线），利用 等M圆和等N圆可由开环频率特性求闭环频率特性， 进而定性或定量分析系统的时域响应。
G(s)
N(s) D(s)
s
p1
s
N(s)
p2
s
pn
设 pi互不相同的实数
若： x(t) X sin t,
则X (s)
X s2 2
s
X
js
j
Y (s)
s
N (s)
p1 s
pn
s
X
j s
j
第一节 频率特性的基本概念
一、频率特性的定义
R
+
+
自动控制原理第五章频率分析法
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12
(2) 频率特性与微分方程的关系 已知线性定常系统的微分方程为
a y
i0 i n
n
(i )
(t ) b j x( j ) (t )
j 0
m
(5-15)
类似于拉氏变换将微分方程两边作傅氏变换可得
[ai ( j) ] Y ( j) [b j ( j) j ] X ( j)
bm s m bm1s m1 ... b1s b0 G( s) n s an 1s n 1 ... a1s a0
这是一个复自变量s的复变函数。 由于 s j ，令s的实部为零时，就可以得到另外一个复 变函数G(j)，表为
G( j) G(s) |s j
（5-1）
复变函数G(j)的自变量为频率，因此将其称为频率特性。
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4
G(j) 以实部和虚部可以表为
G( j) P() (j)的实部；
Q() Im[G( j)] ，为G(j)的虚部。
另外还可以用G(j)的模和幅角来表示为
因此，当频率 从-0及从0++时，G(j)正负频率 的曲线是实轴对称的。通常只画出正频率的曲线即可， 即图中的实线所示。 同理，幅频特性A()是的偶函数，而相频特性() 是的奇函数。
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16
G(j)的极坐标图绘制时需要取的增量逐点作出，因 此不便于徒手作图。一般情况下，依据作图原理，可以粗 略地绘制出极坐标图的草图。在需要准确作图时，可以借 助于计算机辅助绘图工具来完成G(j)的极坐标图绘制。 G(j)的极坐标图经常用于频域稳定性分析的作图中。
（5-5）
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8
RC网络频率特性的两条曲线A()和()如图5-3所示。
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5.从低频段第一个转折频率开始做斜直线，该直线
的斜率等于过A点直线的斜率加这个环节的斜率（惯
性环节加-20，振荡环节加-40，一阶微分环节加+20 的斜率），这样过每一个转折频率都要进行斜率的 加减。 6.高频段最后的斜线的斜率应等于-20(n-m) dB/ 十倍频程。 7.若系统中有振荡环节，当<0.4时，需对L()进 行修正。
④
G(j)曲线与负实轴交点坐标，是一个关键点，
高频段，即ωT>>1时
L( ) 20lg( 2T 2 ) 40lg(T )
当ω增加10倍
L( ) 40lg10Tω 40 40lgTω
即高频渐近线是一条斜率为-40dB/dec的直线。当 1 ω ωn T
L( ) 40lg T 40lg1 0(dB)
1 2
振荡环节再分析
L(ω)dB
20lg
1 2 1 2
2 k n G (s ) 2 S 2 S 2 n n (0＜ ＜0.707) 0＜ ＜0.5
20 lg 1 2
= 0.5
0.5＜ ＜1 ω
20lgk
0dB
ωr ωn
[-40]
2 1 2 ωr= n
1. 将开环传递函数化为各典型环节传递函数相乘的形 式，并将分子分母中各因式常数项系数化为1。转化为 开环对数幅频特性；
2.确定出系统开环增益K，并计算 20lg K 。
3.确定各有关环节的转折频率，并把有关的转折频率 标注在半对数坐标的横轴上。 4.在半对数坐标上确定=1(1/s)且纵坐标等于20lgK dB的 点A。过A点做一直线，使其斜率等于-20νdB/dec。当ν=0, ν=1, ν=2时，斜率分别是(0，-20，-40)dB/dec。
L( ) dB
40 20
0 40
0.7
0.3 0.2
( )
180 90 0
0.7
0.3 0.2
1 10T
1 T
10 T
8. 延迟环节
传函 频率特性 幅频 相频
典型环节频率特性总结：
1. 2. 零阶因子可以传输任何频率信号而不失真（比例）； 微分因子具有相位超前特性， 增大时幅值 A( ) 增大， 具有高通特性；
叠加作图
系统开环对数幅频特性为各典型环节对数 幅频特性叠加 系统开环对数相频特性为各典型环节对数 相频特性叠加
例：已知系统开环传函为
试绘制其开环伯德图 解： 比例
一阶微分
积分环节
一阶惯性
比例环节 一阶微分 积分
一阶惯性
一阶惯性
比例环节 一阶微分 积分环节
一阶惯性
转折渐进作图
绘制对数幅频特性曲线的步骤：
友情提醒:φ (ωn)= - 90o
振荡环节的幅频特性为
其中
1 T 2 T ： g 1 T 2 T
2 2 2
G( j )
1
2
1 g
2
2
2
2
当出现揩振峰值时， G( j )
有最大值，即 g 有最
2. 积分环节 传函
频率特性
幅频
相频
3. 微分环节 传函
频率特性 幅频 相频
4. 惯性环节 传函
频率特性
幅频
相频
处应有最大误差
近似对数幅频特性： 当 <<
1 时，T << 1 ，略去 (T )2 则得 T
L( ) 20lg
T
2
1 20lg1 0
称为相频截止频率g。
例：已知系统的开环伯德图为
dB L( ) -40 0 10 31.6 -20
试写出其传递函数。 解：
100 (0.0316 s 1) G ( s) 2 s
2. 开环极坐标图绘图
其中
极坐标图的起点（ω=0）
由于
极坐标图的终点
极坐标图穿越点
坐标轴 穿越点 坐标轴 穿越点
谐振频率ωr及谐振峰值Mr都与ζ有关。ζ越小, ωr
越接近ωn, Mr将越大。当>0.707时，r为虚数，说明
不存在谐振峰值，幅频特性单调衰减。当=0.707时， r=0，Mr=1。<0.707时，r>0，Mr>1。 0时，r n，Mr∞。谐振时，G(jω)的相角为
G jωr tg
小值。
得到 式中
dg ω d 2 2 2 2 1 T ω 2ζTω 0 dω dω
1 ωr 1 2ζ 2 ωn 1 2ζ 2 T
1 0 ζ 2
1 ωn T
将 1 2 2 代入 r n 因此，在
2 d g d g ，不难求得 ， 0 d 2 d 2
2
r 处 g 具有最小值，亦即
G j
此
刻具有最大值。将 1 2 2 代入幅频特性 G j r中， r n
得谐振峰为
Mr
M r G j r 1 2 1 2
频率特性的数学表示及作图
频率特性的数学表示
实频特性
虚频特性
幅频特性
相频特性
频率特性的作图之极坐标图
当频率ω 从-∞变到+ ∞时，G(j ω)在由虚轴 与实轴构成的复平面上走过的轨迹即为极 坐标图
频率特性的作图之极坐标图
特点：曲线实轴对称 不便于徒手绘图
ω为隐变量 展示不清晰
频率特性的作图之对数坐标图
Ac A Ar
稳态输出的相位与输入相位之差,称为相频特性。
引例：RC 电路如图所示
采用复数符号表示
频率特性
ui
A
特点为：频率与输 入信号的频率相同； 幅值较输入信号有 一定衰减；相位存 在一定延迟。
uo
A’
直观上讲：
系统的稳态正弦输出信号的复数符号与
输入正弦信号的复数符号之比，称为系
(1) 可以将幅值的乘除转化为加减。 (2) 可以采用简便方法绘制近似的对数幅频曲线。 (3) 扩大了研究问题的视野。在一张图上，既画 出频率特性的中、高频段特性，又能画出其低频 特性，而低频特性对分析、设计控制系统来说是 极其重要的。
§5.2 典型环节的频率特性
1. 比例环节
传函 频率特性 幅频 相频
阻尼比的大小决定了谐振峰值的幅值。
相角
是ω和ζ的函数。ω=0， ω 0
；
当 ω ω 时，不管ζ值的大小， ω 90o ；当 n ω=∞时， ω 180o 。相频曲线对-90°的弯曲点 是斜对称的。
7. 二阶微分环节
传函
频率特性 幅频 相频
例：已知系统开环传函为
试绘制其极坐标图 解：
K大
K小
系统开环幅相特性的特点
① 当频率=0时，其开环幅相特性完全取决于比例 环节K和积分环节个数ν。
② 0型系统起点为正实轴上一点,I型及I型以上系统
起点幅值为无穷大,相角为-ν· 90。 ③ 当频率=时，若n>m(即传递函数中分母阶次大 于分子阶次)，各型系统幅相曲线的幅值等于0，相 角为-(n-m)· 90。
惯性环节的伯德图
1 , L ( ) 3 dB, 45 特征点： T
5. 一阶微分环节 传函
频率特性
幅频 相频
1
6. 二阶振荡环节 传函
频率特性
幅频
相频
振荡环节G(jω)曲线 （Nyquist曲线）
j 1 0
A(r )
1 2 1 2
A(n )
ω=1
ω=2
ω=2.5
ω=4
基本概念
系统的频率响应定义为系统对正弦输入信号的 稳态响应。
r(t)
系统
c(t)
一个稳定的系统，假设有一正弦信号输入
r (t ) Ar sin t
其稳态输出可写为
c(t ) Ac sin( t )
Ac-稳态输出的振幅 -稳态输出的相角
稳态输出的振幅与输入振幅之比,称为幅频特性。
1 说明 ω ωn T 频率。
为二阶系统(振荡环节)的转折
10
0.1
0.2 0.3
L( )
0
0.7 1
10
dB
0
0.1
0.2 0.3 0.7
1
( ) 90
180 0.1
0.2
0.4
0.6 0.8 1
2
4
6
8
10
/n
可见：当频率接近 ω ωn 时，将产生谐振峰值。
幅频特性 曲线
相频特性 曲线
对数幅频 特性曲线
伯德图
对数相频 特性曲线
对数幅频特性曲线 L()
纵轴
60 40 20
横轴
0 1
1 10
2 100
3
1000
对数幅频特性曲线 L()
对数相频特性曲线 φ()
纵轴： () 横轴：
对数坐标图优点：
可以叠加作图 可以采用折线作图 可以展宽频带
统的频率特性。
基本概念
系统传函 令 得系统的频率特性
频率特性的定义
输入r(t) 输出c(t) 定义:线性定常系统的频率特性为输出信号的 付氏变换 C(j) 与输入信号的付氏变换
傅式变换
R(j)之比，表示为
动态数学模型
频率特性和传递函数、微分方程的置换关系图
讨论：
付氏变换的存在条件
频率特性与微分方程的关系 频率特性为线性定常系统在频域中数学模型 付氏变换与拉氏变换的关系 付氏变换是拉氏变换在s = j 时的特例