第三章无限长单位脉冲响应滤波器的设计方法

将上式部分系数代入数字滤波器的传递函数：
H(Z)iN 11eA SiT i Z1
, S i --极点
并将 c c /T 代入，得：
H ( Z ) 1 e C /c T Z 1 1 ( e c / c ( 1 3 jT 3 ) )e /2 j Z / 6 1 1 (e c /c ( 1 3 j T 3 ) ) e /2 Z j /1 6
可见，H（Z）与采样周期T有关，T越小，H（Z） 的相对增益越大，这是不希望的。为此，实际应用脉 冲响应不变法时稍作一点修改，即求出H（Z）后，再 乘以因子T,使H（Z）只与 C 有关，即只与fc和fs的相 对值 fc / fs 有关，而与采样频率fs无直接关系。
例如，fs4KH ,fcz1KH与zfs4K 0 H ,fcz1K 0 H的z 数字滤波器具有相同的传递函数，这一结论适合于所 有的数字滤波器设计。
图1为两种设计方法所得到的频响，对于双线性变换法， 由于频率的非线性变换，使截止区的衰减越来越快，最后在折
叠频率处 Z1,形成一个三阶传输零点,这个三阶零点
正是模拟滤波器在 处的三阶传输零点通过映射形成的。
因此,双线性变换法使过渡带变窄,对频率的选择性改善,而脉冲 响应不变法存在混淆,且没有传输零点。
最后得： H (Z ) 1 0 1 ..2 50 7 z 17 1 1 9 0 .1 1 .59 z 7 1 0 0 .5 1 0 .2 5 5 z 1 0 z 4 27 19
b. 双线性变换法
（一）首先确定数字域临界频率c2fcT0.5
（二）根据频率的非线性关系，确定预畸的模拟滤波器临
例1 设采样周期 T25s0 (fs4kh)z,设计一个三阶巴特沃
兹LP滤波器,其3dB截止频率fc=1khz。分别用脉冲响应不变法 和双线性变换法求解。
解：a. 脉冲响应不变法 由于脉冲响不变法的频率关系是线性的，所以可直接按Ωc
=2πfc设计Ha(s)。根据上节的讨论，以截止频率Ωc 归一化的三 阶巴特沃兹 滤波器的传递函数为：
对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式 有
A 1 c ,s 1 c ;A 2 c /3 e j /6
s 2 c ( 1 j3 ) / 2 ; A 3 c /3 e j/ 6 , s 3 c ( 1 j3 ) / 2
界频率
c
2tgc
T 2
2 T
(三 ) s以/c 代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数 H a(s) 1 2 (s/ c) 2 (s 1 / c)2 (s/ c)3
并将c 2/T 代入上式。 （四）将双线性变换关系代入，求H(Z)。
H(Z)Ha(s)sT 21 1 zz 1 1121 1 zz 1 121 11 zz 1 121 1 zz 1 13

1 z 1 3 2 1 z 1
1 z 1 3 1 z 1 2 2 1 z 1
2 1 z 1
1 z 1
3
1 z 1 3 1 z 1 3 2 1 z 1 1 z 1 1 z 1 1 z 1 1 z 1 3
第三章无限长单位脉冲响应滤 波器的设计方法
下面举例讨论应用模拟滤波器低通原型，设计各种数字滤 波器的基本原理，着重讨论双线性变换法。
一．低通变换 通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤：
1）确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频率{ωk}。 2）由变换关系将{ωk}映射到模拟域，得出模拟滤波器的临 界频率值{Ωk}。 3）根据{Ωk}设计模拟滤波器的Ha(s) 4） 把Ha(s) 变换成 H(z)（数字滤波器传递函数）
2 2 z 1 1 2 z 1 z 2

1 z 1 3 3 z 2 1 z 1 1 z 1

1 2
1 z 1 3 3 z2
脉冲响应不变法 双线性变换法
fs/2 图1 三阶Butterworth 数字滤波器的频响
，但为简化运算，减小误差积累，fc数值放到数字滤 波变换后代入。
为进行脉冲响应不变法变换，计算Ha(S)分母多项式的根， 将上式写成部分分式结构：
源自文库
c c / 3 e j/6
c / 3 e j/6
H (s )a

s cs c ( 1 j3 )/2s c ( 1 j3 )/2

1 z 1 3 1 z 1 3 4 1 z 1 1 z 1
1 z 1
3

1 z 1
1 z 1 3 1 2 z 1 z 2 2 2 z 1 1 z 1
1 H(a s)
12s2s2s3 以 s / c代替其归一化频率，得：
1 H a(s)12(s/ c)2(s/ c)2(s/ c)3
也可以查表得到。由手册中查出巴特沃兹多项式 的系数，之后以 s / c 代替归一化频率，即得 Ha(s)。
将 c 2fc 代入，就完成了模拟滤波器的设计
合并上式后两项，并将 c2fcT0.5 代入，计算得：
H (Z ) T 1 1 0 1 .2 .50 7 Z 1 7 1 1 9 0 .1 1 .59 Z 7 1 0 0 .5 1 0 .5 2 5 Z 0 1 4 Z 2 7 1 9