1.2排列与组合ppt课件
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人教a版数学【选修2-3】1.2.2《组合1》ppt课件
第一章
1.2
1.2.2
第1课时ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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3． 从 5 本不同书中取出 2 本并成一组和取出 3 本并成一组 的组合数相同吗？为什么？ 4．从含有元素 a 的 n＋1 个不同元素中取出 m 个元素的组
m 合数 Cn ＋1，可以分成两类：一类不含元素 a，从剩余的 n 个元
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组合数公式
思维导航 2．组合的本质是取出的 m 个元素不讲究顺序，也就是说 元素没有位置的要求，因此这 m 个元素的全排列数只对应组合
m 数中的一个， 由此你能得出求 Cn 的计算公式吗？你能不用列举
数数的方法求出前面 3 个问题中的票价种数、积的个数、线段 条数吗？
第一章
1.2
1.2.2
第1课时
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牛刀小试 1．C2 n＝10，则 n 的值为( A．10 C．3
[答案] B
) B．5 D．4
nn－1 [解析] 由题意得 2 ＝10， 解得 n＝5 或 n＝－4(舍去)，故选 B.
第一章
1.2
1.2.2
第1课时
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2．从 9 名学生中选出 3名参加“希望英语”口语比赛，有
( )种不同选法．( A．504 C．84 [答案] C
[解析] 只需从 9 名学生中选出 3 名即可，从而有 C3 9＝ 9×8×7 ＝84 种选法． 3×2×1
高中数学 1.2.2 组合1课件 新人教A版必修1
Anm
Cnm Am m
C
m n
Anm Amm
形成结论
公式
C n m
A n m A m m
n (n1 )(n2 ) (nm1 ) m !
( m，n∈N*，m≤n) 叫做组合数公式，
这个公式如何用阶乘形式表示？
Cnm
n! m!(n m)!
典例讲评
例1 一位教练的足球队共有17名初级学 员，他们中以前没有一人参加过比赛，按 照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上 场队员是11人，问： （1）这位教练从这17名学员中可以形成多
m
时n ，计算
2
C比nn计m算 较方C 便nm .
课堂小结
2.利用组合数性质
Cn m1 Cn m，可C 以n m对1组合数进行合成
与分解，对于组合数的求和问题，要结 合数列的思想方法求解.
作业： P25练习：6. P27习题1.2A组：9，10，11，12.
C
2 10
45
A120 90
典例讲评
例3 在100件产品中有98件合格品， 2 件次品，从这100件产品中任意抽取3件. （1）有多少种不同的抽法？ （2）抽出的3件中恰有1件是次品的抽法 有多少种？ （3）抽出的3件至少有1件是次品的抽法 有多少种？
(1)C1300 161700(2)C2 1 C9 28 9506
C 2 2 0
(2 ) C n 32
2 C n 22
C n 1 2 . C
3 n
典例讲评
例5 证明：
C n 1 2 C n 2 3 C n 3 C n 0 C n 1 C n 2
n C n n C n n1Leabharlann C n 21课堂小结
新人教A版高中数学(选修2-3)1.2《排列与组合》(排列)ppt课件
例2．解方程
A
3 2x
100Ax
2
解：原方程可化为2x(2x-1)(2x-2)=100x(x-1) ∵x≠0,x≠1 ∴ 2x-1=25 解得x=13 经检验x=13 是原方程的根。 例3．证明：A m
=A +mA n+1
。 。
m n
m-1 n
n! n! 证明：右边 m (n m )! (n m 1)! n ! (n m 1) n ! m (n 1)n ! (n m 1)! (n m 1)! (n 1)! Anm1 左 [(n 1) m ]!
一列，共有多少种不同的排法？
解决这个问题，需分3个步骤： 第1步，先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法； 第2步，确定中间的字母，从余下的3个字母中去取，有3种方法； 第3步，确定右边的字母，只能从余下的2个字母中去取，有2种方法． 根据分步计数原理，共有4×3×2＝24
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一 定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个排列． 注意： 1.我们所研究的排列问题，是不同元素的排列，这里既没有 重复元素，也没有重复抽取相同的元素． 2.排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是 “按照一定顺序排列”．“一定顺序”就是与位置有关，这也 是判断一个问题是不是排列问题的重要标志． 3.根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元 素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同．也就是说，如 果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定是不同的 排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同， 那么也是不同的排列． 4.如果m＜n，这样的排列（也就是只选一部分元素作排列）， 叫做选排列；如果m＝n，这样的排列（也就是取出所有元素 作排列），叫做全排列．
高中数学 课件：1.2排列与组合1.2.2组合课件
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 组合的概念及其简单应用
【例1】 判断下列问题是排列问题,还是组合问题. (1)从1,2,3,…,9这9个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三 位数共有多少个? (2)从1,2,3,…,9这9个数字中任取3个,然后把这3个数字相加得到 一个和,这样的和共有多少个? (3)从a,b,c,d这4名学生中选2名学生,去完成同一件工作有多少种 不同的选法? (4)规定每两人相互通话一次,5人共通了多少次电话? (5)5个人相互各写一封信,共写了多少封信? 分析观察取出的元素与顺序有关还是无关,确定是排列问题,还 是组合问题.,是排列问题的有.(填序号)
解析:①无顺序,是组合问题;②2名学生完成两件不同的工作是排
列问题;③单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛,没有顺
序,是组合问题;④争夺冠亚军是有顺序的,是排列问题.
答案:①③ ②④
123
(2)组合数公式:C������������
=
A������������ A������������
123
【做一做 3】 计算:(1)C2108=
;
(2)C939 + C929=
.
解析:(1)C2108
=
C220
=
A220 A22
=
20×2 19=190.
(2)C939
+
C929
=
C1300
=
A1300 A33
=
1003××929××198=161
700.
答案:(1)190 (2)161 700
A.504 B.729 C.84 D.27 解析:只需从 9 名学生中选出 3 名即可,从而有C93 = AA9333=84 种选法. 答案:C
人教a版数学【选修2-3】1.2.2《排列与组合习题课》ppt课件
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
计数原理
第一章
计数原理
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第一章
1.2 排列与组合
1.2.2 组合 第3课时 排列与组合习题课
排列组合应用题
某校为庆祝 2014 年国庆节，安排了一场文艺演 出，其中有 3 个舞蹈节目和 4 个小品节目，按下面要求安排节 目单，有多少种方法： (1)3 个舞蹈节目互不相邻； (2)3 个舞蹈节目和 4 个小品节目彼此相间．
第一章
1.2
1.2.2
第3课时
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[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①题目中涉及3个舞蹈、4个小品共7个节目； ②是同类节目互不相邻的问题． 解答本题的第 (1) 问可以先安排 4 个小品，然后让 3 个舞蹈
“插空”；第(2)问彼此相间时安排方式只能是小品占 1,3,5,7，
1.2
1.2.2
第3课时
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[解析] (1)先在 6 个乒乓球中任取一个， 作为一堆， 有 C1 6种 取法，再从余下的五个乒乓球中任取两个，作为一堆，有 C2 5种 取法，再从余下三个中取三个作为一堆，有 C3 3种取法，故共有
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1.巩固排列、组合的概念，排列数公式，组合数公式以及 组合数的性质． 2 ．准确地应用两个基本原理，正确区分是排列问题还是 组合问题．
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
计数原理
第一章
计数原理
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第一章
1.2 排列与组合
1.2.2 组合 第3课时 排列与组合习题课
排列组合应用题
某校为庆祝 2014 年国庆节，安排了一场文艺演 出，其中有 3 个舞蹈节目和 4 个小品节目，按下面要求安排节 目单，有多少种方法： (1)3 个舞蹈节目互不相邻； (2)3 个舞蹈节目和 4 个小品节目彼此相间．
第一章
1.2
1.2.2
第3课时
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[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①题目中涉及3个舞蹈、4个小品共7个节目； ②是同类节目互不相邻的问题． 解答本题的第 (1) 问可以先安排 4 个小品，然后让 3 个舞蹈
“插空”；第(2)问彼此相间时安排方式只能是小品占 1,3,5,7，
1.2
1.2.2
第3课时
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[解析] (1)先在 6 个乒乓球中任取一个， 作为一堆， 有 C1 6种 取法，再从余下的五个乒乓球中任取两个，作为一堆，有 C2 5种 取法，再从余下三个中取三个作为一堆，有 C3 3种取法，故共有
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1.巩固排列、组合的概念，排列数公式，组合数公式以及 组合数的性质． 2 ．准确地应用两个基本原理，正确区分是排列问题还是 组合问题．
排列与组合ppt课件
数。
从10个不同字母中取出 5个字母的所有排的个
数。
从8个不同数字中取出4 个数字的所有排列的个
数。
从n个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个
数。
03
CHAPTER
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
"!"表示阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1。
3
排列组合在计算机科学中的应用
计算机科学中，排列组合用于算法设计和数据结 构分析。
排列与组合的未来发展
排列与组合理论的发展方向
随着数学和其他学科的发展，排列与组合理论将不断发展和完善，出现更多新 的公式和定理。
排列与组合的应用前景
随着科学技术的发展，排列与组合的应用领域将更加广泛，特别是在计算机科 学、统计学和信息论等领域的应用将更加深入。
在计算排列和组合时，使用的 公式和方法也不同。
02
CHAPTER
排列的计算方法
排列的公式
01
02
03
排列的公式
P(n, m) = n! / (n-m)!， 其中n是总的元素数量， m是需要选取的元素数量 。
排列的公式解释
表示从n个不同元素中取 出m个元素的所有排列的 个数。
排列的公式应用
适用于计算不同元素的排 列组合数，例如计算从n 个不同数字中取出m个数 字的所有排列的个数。
该公式用于计算从n 个不同元素中选取k 个元素（不放回）的 组合数。
组合的计算方法
直接使用组合公式进行计算。 当n和k较大时，需要注意计算的复杂性和准确性。
可以使用数学软件或在线工具进行计算。
从10个不同字母中取出 5个字母的所有排的个
数。
从8个不同数字中取出4 个数字的所有排列的个
数。
从n个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个
数。
03
CHAPTER
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
"!"表示阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1。
3
排列组合在计算机科学中的应用
计算机科学中，排列组合用于算法设计和数据结 构分析。
排列与组合的未来发展
排列与组合理论的发展方向
随着数学和其他学科的发展，排列与组合理论将不断发展和完善，出现更多新 的公式和定理。
排列与组合的应用前景
随着科学技术的发展，排列与组合的应用领域将更加广泛，特别是在计算机科 学、统计学和信息论等领域的应用将更加深入。
在计算排列和组合时，使用的 公式和方法也不同。
02
CHAPTER
排列的计算方法
排列的公式
01
02
03
排列的公式
P(n, m) = n! / (n-m)!， 其中n是总的元素数量， m是需要选取的元素数量 。
排列的公式解释
表示从n个不同元素中取 出m个元素的所有排列的 个数。
排列的公式应用
适用于计算不同元素的排 列组合数，例如计算从n 个不同数字中取出m个数 字的所有排列的个数。
该公式用于计算从n 个不同元素中选取k 个元素（不放回）的 组合数。
组合的计算方法
直接使用组合公式进行计算。 当n和k较大时，需要注意计算的复杂性和准确性。
可以使用数学软件或在线工具进行计算。
2019-2020年人教A版高中数学选修2-3：1.2排列与组合1.2.1排列课件 (共29张PPT)
课时作业
[自主梳理] 1．排列的有关概念 (1)定义：一般地，从 n 个 不同 元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一定的顺序 排成一列，叫作从 n 个 不同 元素中取出 m 个元素的一个排列． (2)相同排列：两个排列相同，当且仅当两个排列的元素 完全相同 ，且元素的 排列顺序 也相同．
2．排列数与排列数公式
后面，则他可选的密码个数共有( )
A．A66
B．A68
C．A35＋A33
D．A35·A33
解析：分两步．第一步选 3 个数字安排在后三位，有 A35种方法，第二步把 3 个字母
安排在前三位，有 A33种方法，故共有 A35·A33个密码．
答案：D
探究三 “在”与“不在”的问题 [典例 3] 7 位同学站成一排． (1)若甲站在中间的位置，则共有多少种不同的排法？ (2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (3)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ (4)甲不能站排头、乙不能站排尾的排法共有多少种？ [解析] (1)先考虑甲站在中间，有 1 种排法，再在余下的 6 个位置排另外 6 位同学， 共 A66＝720 种排法． (2)先考虑甲、乙站在两端，有 A22种排法，再在余下的 5 个位置排另外 5 位同学，有 A55种排法，共 A22A55＝240 种排法．
1.2 排列与组合 1.2.1 排 列重点：排列的概念；排列数公
2.了解排列数的概念．
式；用排列知识解决简单的实
3.掌握排列数公式的推导方法．
际问题．
4.能用排列知识解决简单的实际问题. 难点：排列数公式的推导方法.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要 表现在某元素不排在某个位子上或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法 主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子．
[自主梳理] 1．排列的有关概念 (1)定义：一般地，从 n 个 不同 元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一定的顺序 排成一列，叫作从 n 个 不同 元素中取出 m 个元素的一个排列． (2)相同排列：两个排列相同，当且仅当两个排列的元素 完全相同 ，且元素的 排列顺序 也相同．
2．排列数与排列数公式
后面，则他可选的密码个数共有( )
A．A66
B．A68
C．A35＋A33
D．A35·A33
解析：分两步．第一步选 3 个数字安排在后三位，有 A35种方法，第二步把 3 个字母
安排在前三位，有 A33种方法，故共有 A35·A33个密码．
答案：D
探究三 “在”与“不在”的问题 [典例 3] 7 位同学站成一排． (1)若甲站在中间的位置，则共有多少种不同的排法？ (2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (3)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ (4)甲不能站排头、乙不能站排尾的排法共有多少种？ [解析] (1)先考虑甲站在中间，有 1 种排法，再在余下的 6 个位置排另外 6 位同学， 共 A66＝720 种排法． (2)先考虑甲、乙站在两端，有 A22种排法，再在余下的 5 个位置排另外 5 位同学，有 A55种排法，共 A22A55＝240 种排法．
1.2 排列与组合 1.2.1 排 列重点：排列的概念；排列数公
2.了解排列数的概念．
式；用排列知识解决简单的实
3.掌握排列数公式的推导方法．
际问题．
4.能用排列知识解决简单的实际问题. 难点：排列数公式的推导方法.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要 表现在某元素不排在某个位子上或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法 主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子．
1.2排列与组合PPT
1.2.1排列及其排列数
排列的定义：
一般的，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素， 按照一定的顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个排列。
排列的特征 (1)排列问题实际包含两个过程：
①先从n个不同元素中取出m个不同的元素;
②再把这m个不同元素按照一定的顺序排成一列.
(2)两个排列相同的条件： ①元素完全相同; ②元素的排列顺序也相同.
各1本，共有多少种不同的送法？ A53 = 60(种)
（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，
共有多少种不同的送法？
53 = 125(种)
有限制条件的排列问题
1 特殊元素、特殊位置问题 例5 用 0 到 9 这十个数字，可以组成多少个没有重 复数字的三位数？
解法一：直接法 对排列方法分步思考。
3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相 同，而且元素的排列顺序也完全相同。
4、m＝n时的排列叫全排列。 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好
采用“树形图”。
排列数： 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排
列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排
列数。用符号Anm 表示。
正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示，
所以n个不同元素的全排列数公式可以写成
Ann n！
另外，我们规定 0!＝1
例1 计算：
（1）A130 16（12）5A11548 （3）A1188 A1133
我们发现：A158 A1188 A1133 这个结果有一般性吗？
Am n (n 1) (n 2) (n m 1) n
例如123与
213为什么是 不同的排列。
排列的定义：
一般的，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素， 按照一定的顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个排列。
排列的特征 (1)排列问题实际包含两个过程：
①先从n个不同元素中取出m个不同的元素;
②再把这m个不同元素按照一定的顺序排成一列.
(2)两个排列相同的条件： ①元素完全相同; ②元素的排列顺序也相同.
各1本，共有多少种不同的送法？ A53 = 60(种)
（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，
共有多少种不同的送法？
53 = 125(种)
有限制条件的排列问题
1 特殊元素、特殊位置问题 例5 用 0 到 9 这十个数字，可以组成多少个没有重 复数字的三位数？
解法一：直接法 对排列方法分步思考。
3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相 同，而且元素的排列顺序也完全相同。
4、m＝n时的排列叫全排列。 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好
采用“树形图”。
排列数： 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排
列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排
列数。用符号Anm 表示。
正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示，
所以n个不同元素的全排列数公式可以写成
Ann n！
另外，我们规定 0!＝1
例1 计算：
（1）A130 16（12）5A11548 （3）A1188 A1133
我们发现：A158 A1188 A1133 这个结果有一般性吗？
Am n (n 1) (n 2) (n m 1) n
例如123与
213为什么是 不同的排列。
1.2排列与组合PPT课件
C
4 7
⑵
C
7 10
CA (3 )已 知3 2,求 n．
n
n
(4)求 C33n8-n+C231n+n的值.
例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，
(1)列出所有各场比赛的双方； （2)列出所有冠亚军的可能情况.
解：(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁
（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁
C 第 一 步 ，3（ 4 ） 个 ； 4
A 第 二 步 ，3（ 6 ） 个 ； 3
A C A 根 据 分 步 计 数 原 理 ， 3 4
3 3
4 3 .
A 从 而 3 C A C 4
3
C43 34 3
P3 4
P3 3
如何计算:
m n
-
34
概念讲解 组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．
从0到9这十个数字中任取三个数字的排列
A3 10
其中以0为排头的排列数为
A
2 9
.
∴
所求的三位数的个数是
A A 3 10
2 9
1 0 9 8 - 9 8
有约束条件的排列问题
例5：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位 数，其中小于50000的偶数共有多少个？
一般地，求从 n个不同元素中取出 m个元素的排
列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这 n个不同元素中取出 m个元素
的组合数 C
m n
．
第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数
A
m n
．
根据分步计数原理，得到： AnmCnmAm m
因此：C n mA A m n m mnn 1 n2 m !nm 1
人教a版数学【选修2-3】1.2.2《组合2》ppt课件
2 构成一个平行四边形，故共有 C2 C 8 10＝1 260(个)．
[答案] B
[解析] 至少 2 件次品包含两类： (1)
3 共 C2 3C197种，
2 件次品， 3 件正品，
2 (2)3 件次品，2 件正品，共 C3 C 3 197种， 3 3 2 由分类加法计数原理得抽法共有 C2 3C197＋C3C197，故选 B.
第一章
1.2
1.2.2
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
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5．在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共
10条，这两组平行线相互不平行． (1)它们共能构成________个平行四边形； (2)共有________个交点． [答案] 1 260 80
[解析]
(1)第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能
3 ． (2013· 福州文博中学高二期末 ) 某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4位朋友，每位朋 友1本，则不同的赠送方式共有( A．4种 ) B．10种
C．18种
[答案] B
D．20种
第一章
1.2
1.2.2
第2课时
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第一章
1.2
1.2.2
第2课时
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(4)辩证地看待“元素”与“位置” 排列组合问题中的元素与位置，要视具体情况而定，有时 “定元素选位置”，有时“定位置选元素”． (5)把实际问题抽象成组合模型
课件7： 1.2.2 第一课时 组合与组合数公式及组合数的两个性质
1.2 排列与组合 1.2.2 组 合
第一课时 组合与组合数公式及组合数的两个性质
知识点一 组合与组合数 从1,3,5,7中任取两个数相除或相乘．
问题1：所得商和积的个数相同吗？ 答：不相同． 问题2：它们是排列吗？ 答：从1,3,5,7中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列．
新知自解 1.组合
[思路点拨] 要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元 素是否与顺序有关．
解: (1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先 谁后，没有顺序的区别．
(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、 乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的．
(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别． (4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序 区别的．
解：(1)从 10 名教师中选出 2 名去参加会议的选法数就是从 10 个不同的元素 中取出 2 个元素的组合数，即 C210＝120××19＝45 种． (2)从 6 名男教师中选 2 名，有 C26种选法，从 4 名女教师中选 2 名，有 C24种 选法．根据分步乘法计数原理可知，共有不同的选法 C26C24＝90 种．
问题 3：你能得出计算 C24的公式吗？ 答：能．因为 A24＝C24A22，所以 C42＝AA2422.
问题4：试用列举法求从1,3,5,7中任取两个元素的组合数． 答：1、3,1、5,1、7,3、5,3、7,5、7，共6种．
问题5：你能把问题3的结论推广到一般吗？
答：可以，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数可由以下两个步骤得到： 第一步，从这 n 个不同元素中取出 m 个元素，共有 Cmn 种不同的取法； 第二步，将取出的 m 个元素全排列，共有 Amm种不同的排法． 由分步乘法计数原理知，Amn ＝Cmn ·Amm，故 Cmn ＝AAmnmm.
第一课时 组合与组合数公式及组合数的两个性质
知识点一 组合与组合数 从1,3,5,7中任取两个数相除或相乘．
问题1：所得商和积的个数相同吗？ 答：不相同． 问题2：它们是排列吗？ 答：从1,3,5,7中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列．
新知自解 1.组合
[思路点拨] 要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元 素是否与顺序有关．
解: (1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先 谁后，没有顺序的区别．
(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、 乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的．
(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别． (4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序 区别的．
解：(1)从 10 名教师中选出 2 名去参加会议的选法数就是从 10 个不同的元素 中取出 2 个元素的组合数，即 C210＝120××19＝45 种． (2)从 6 名男教师中选 2 名，有 C26种选法，从 4 名女教师中选 2 名，有 C24种 选法．根据分步乘法计数原理可知，共有不同的选法 C26C24＝90 种．
问题 3：你能得出计算 C24的公式吗？ 答：能．因为 A24＝C24A22，所以 C42＝AA2422.
问题4：试用列举法求从1,3,5,7中任取两个元素的组合数． 答：1、3,1、5,1、7,3、5,3、7,5、7，共6种．
问题5：你能把问题3的结论推广到一般吗？
答：可以，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数可由以下两个步骤得到： 第一步，从这 n 个不同元素中取出 m 个元素，共有 Cmn 种不同的取法； 第二步，将取出的 m 个元素全排列，共有 Amm种不同的排法． 由分步乘法计数原理知，Amn ＝Cmn ·Amm，故 Cmn ＝AAmnmm.
高二数学排列1省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
思索10：排列与数列有何共性和个性？
共性：都有顺序； 个性：数列中旳元素必须是数，各元素
能够相同，元素个数能够有无数个.
探究（二）：排列数概念与公式
思索1：从a，b，c，d四个元素中任取两 个作排列，一共可得到多少个排列？12个
思索2：从4个不同元素中取出2个元素旳 全部不同排列共有12个，我们称从4个不 同元素中取出2个元素旳排列数是12，一 般地，排列数是什么概念？
思索5：三位数123与213是否相同？怎样 列举出这24个不同旳三位数？
123 132 124 142 134 143 213 231 214 241 234 243 312 321 314 341 324 342 412 421 413 431 423 432
思索6：假如将1，2，3，4都看作元素， 并分别用字母a，b，c，d表达，那么上 述排数问题旳本质是什么？ 从4个不同元素旳a，b，c，d中任取3个， 按照一定旳顺序排成一列，求共有多少 种不同旳排列措施. 思索7：上述两个事例都可归结为排列问 题，一般地，排列是什么概念？
1.2 排列与组合 1.2.1 排列 第一课时
问题提出tp1 25730
1.分类加法旳一般计数原理是什么？
假如完毕一件事有n类不同方案，在第 1类方案中有m1种不同旳措施，在第2类 方案中有m2种不同旳措施，…，在第n 类方案中有mn种不同旳措施，那么完毕 这件事旳措施总数为
N＝m1＋m2＋…＋mn
2.分步乘法旳一般计数原理是什么？
假如完毕一件事需要n个环节，做第1步 有m1种不同旳措施，做第2步有m2种不 同旳措施，…，做第n步有mn种不同旳 措施，那么完毕这件事旳措施总数为
N＝m1×m2×…×mn
3.利用两个计数原理能够求出某些 简朴问题旳措施数，但对于求较复杂问 题旳措施数，还需要建立高层计数理论 才干有效处理.其中计算有序问题旳措施 数就是排列原理.
《排列与组合自》课件
排列的计算公式
P(n, m) = n! / (n-m)!， 其中"!"表示阶乘。
排列的特性
排列与取出元素的顺序有 关，顺序不同则排列不同 。
组合的定义
组合的定义
从n个不同元素中取出m（ m≤n）个元素并成一组， 叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合。
组合的计算公式
C(n, m) = n! / [m!(n-m)!] ，其中"!"表示阶乘。
组合在生活中的应用
组合在生活中也有着广泛的应用，如购物时选择不同的商 品组合、旅游时选择不同的景点组合等。通过学习组合， 我们可以更好地理解这些组合的原理，从而在实际生活中 更好地运用。
在金融领域，组合的应用也十分重要。例如，在投资组合 中，投资者可以通过选择不同的投资项目进行组合，以实 现风险和收益的平衡。此外，在保险、风险管理等领域， 组合也发挥着重要的作用。
《排列与组合》PPT 课件
• 排列与组合的定义 • 排列的计算方法 • 组合的计算方法 • 排列与组合的应用 • 排列与组合的注意事项
目录
01
排列与组合的定义
排列的定义
01
02ห้องสมุดไป่ตู้
03
排列的定义
从n个不同元素中取出m （m≤n）个元素按照一定 的顺序排成一列，叫做从 n个不同元素中取出m个 元素的一个排列。
组合的公式
组合的公式
C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
解释
C(n,k)表示从n个不同元素中选取k个元素的不同方式的数目。
组合的计算实例
计算C(5,2)
从5个不同元素中选取2个元素的不同方式的 数目。
计算过程
C(5,2) = 5! / (2!3!) = (5x4) / (2x1x3x2x1) = 10。
《排列与组合自》课件
组合可以看作排列的一个特例
当一个组合中的元素都是相邻的时候，这个组合可以看作是 一个排列。
05
排列与组合的扩展知识
排列与组合的数学原理
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照一定的顺 序排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的排列。
排列的计算公式
$A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
03
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式
C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
组合公式的推导
通过数学归纳法证明组合公式。
组合公式的应用
利用组合公式计算从n个不同元素中取出k个元素 的组合数。
组合的实例
01
02
03
组合实例1
从5个不同的人中选出3个 人组成一个小组，有多少 种不同的选法？
用P(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元 素的排列数。
排列的计算公式
P(n,m)=n×(n-1)×…×(n-m+1)
排列的特性
与元素的顺序有关，与元素的取出方式有 关。
组合的定义
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n） ，不考虑顺序，称为从n个不同元素中取
出m个元素的组合。
组合的计算公式
《排列与组合》PPT课件
目录
• 排列与组合的定义 • 排列的计算方法 • 组合的计算方法 • 排列与组合的区别与联系 • 排列与组合的扩展知识
01
排列与组合的定义
排列的定义
排列的定义
排列的表示
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）， 按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同 元素中取出m个元素的排列。
当一个组合中的元素都是相邻的时候，这个组合可以看作是 一个排列。
05
排列与组合的扩展知识
排列与组合的数学原理
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照一定的顺 序排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的排列。
排列的计算公式
$A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
03
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式
C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
组合公式的推导
通过数学归纳法证明组合公式。
组合公式的应用
利用组合公式计算从n个不同元素中取出k个元素 的组合数。
组合的实例
01
02
03
组合实例1
从5个不同的人中选出3个 人组成一个小组，有多少 种不同的选法？
用P(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元 素的排列数。
排列的计算公式
P(n,m)=n×(n-1)×…×(n-m+1)
排列的特性
与元素的顺序有关，与元素的取出方式有 关。
组合的定义
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n） ，不考虑顺序，称为从n个不同元素中取
出m个元素的组合。
组合的计算公式
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目录
• 排列与组合的定义 • 排列的计算方法 • 组合的计算方法 • 排列与组合的区别与联系 • 排列与组合的扩展知识
01
排列与组合的定义
排列的定义
排列的定义
排列的表示
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）， 按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同 元素中取出m个元素的排列。
人教a版数学【选修2-3】1.2.1《排列2》ppt课件
第一章
1.2
1.2.1
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
2．5名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须排在一起
的不同排法有(
A．70 C．36 [答案] C
)
B．72 D．12
[解析] 甲、乙、丙先排好后视为一个整体与其他 2 个同
3 学进行排列，共有 A3 A 3 3＝36 种排法．
3 ．间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减
不合要求 的排列数． 去__________ 捆绑 法，相离问题 ______ 插空 法，定元、定位 4 ．相邻元素 ______ 优先排 法，至多、至少______ 间接 法，定序元素__________ 最后排 法． ________
第一章
1.2
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
第一章
计数原理
第一章
计数原理
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
第一章 1.2 排列与组合
1.2.1 排列
1.2
1.2.1
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
明确问题的限制条件，能够解决含有特殊元素 ( 或特殊位 置)的排列问题，会用间接法求解有限制条件的排列问题．
第一章
1.2
1.2.1
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
mAm n－1 __________
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n!
(m 1)!(n m 1)!
＝ m1
(m 1)!
(n
n! m)(n
m
1)!
＝
n! m!(n
m)!
∴
C mn
m1 nm
C
m1 n
12
组合数的两个性质：
性质1：
C
m n
C nm n
性质2：
Cm n1
C
m n
C
m n
1
例3 计算：（1）C74和 C73
（2）C1300 和 C939 C929
（3）C86 C84 2C85
（4）C96 C160 C95
（5）C9964
C 95 97
C 96 98
C 97 99
解:原式
(C86 C85 ) (C85 C84) =
C96
C
5 9
C160
C140
210
(4)原式 (C96 C95 ) C160 C160 C160 0
A32 6
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加 某天一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙； 甲、丙； 共3种 乙、丙.
3
两个问题有什么联系和区别？ 问题一：
从已知的3个不同元素中每次取出2个元 素,按照一定的顺序排成一列. 有是顺序的， 是排列.
问题二： 从已知的3个不同元素中每次取出2个 元素,并成一组。 没有顺序， 是组合。
4
组合定义: 一般地,从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成
一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
组合的特征：
（1）每个组合中元素互不相同；
（2）“只取不排”——无序性；
（3）组合相同即元素相同； 排列与组合有什么共同点与不同点？
?
共同点：都是从n个不同元素中任意 取出 m 个元素，
第2步,将取出的m个元素做全排列,共有 Amm 种 不同的排法.
Anm
C
m n
•
Amm
Cnm
Anm Amm
10
组合数公式
Cnm
Anm Amm
nn 1n 2
m!
n m 1
n,m∈N*,并且m≤n.
Anm
n
n!
m!
规定：Cn0 =1
C
m n
n!
m!n m!
11
例1．计算：（1）C
4 7
C74
7654 4!
35
（2）C 38n 3n
C 3n 21 n
3n 38 n 21 n 3n
9.5 n 10.5,
n N ,n 10
原式=
C
28 30
C
30 31
C
2 30
ห้องสมุดไป่ตู้
C
1 31
466
例2．求证：C mn
m1 nm
C
m n
1
C mn
n! m!(n
m )!
m 1 nm
C
m1
n
m 1 nm
方法，小结：要区分排列与组合问题，先确定完成的
是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，若交换两
个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即与顺
序有关的是排列；若交换两个元素的位置对结果没有
影响，则是组合问题，即与顺序无关的是组合.
6
组合数的定义：
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取 出m个元素的组合数
不同点：排列与元素的顺序有关， 而组合与元素的顺序无关。
5
例1：判断下列各个事件是组合问题还是排 列问题?
(1)从10个人里选3个代表去开会，共有多少种选法?
组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备
多少种车票?
排列问题排列问题
有多少种不同的火车票价？ 组合问题 (需3)握10手人多聚少会次，?见面后组每合排题两问列人题问之间要握手相互问候,共
或, 原式 C96 (C96 C95 ) C95 0
(5)原式
C 93 96
C 94 96
C 95 97
C 96 98
C 97 99
C 93 96
C 94 97
C 95 97
C 96 98
C 97 99
C 93 96
C 95 98
C 96 98
C 97 99
C 93 96
C 96 99
C 97 99
记作Cmn
例如从4个不同元素中取出3个元素的组合数表
示为 C43
那么，如何计算呢？前面已经提到，组合与排 列有相互联系，能否利用这种关系，通过排列 数来求组合数呢？
7
下面我们还是先分析一下从a, b, c, d这4个元素 中选3个元素的组合与排列的关系：
从“元素相同顺序不同的两个组合相同”， 以及“元素相同顺序不同的两个排列不同” 得到启发，我们以“元素相同”为标准将排 列分类，并建立其排列与组合之间的如下对 应关系：
C 93 96
C 97 100
C 93 96
C3 100
C936
18820
13
例4
解方程(1)
Cx2 x 27
C5x5 27
解 (1)原方程化为：x2 x 5x 5,或x2 x 27 (5x 5)
x2 6x 5 0, 或x2 4x 32 0, x1 1, x2 5, x3 4, x4 8,
x2 x N ,5x 5 N 且 x2 x 27,5x 5 27 x 8 不合题意，舍去， x 1, x 4, x 5.
(2)
C n1 n3
C n1 n1
Cn n1
C n2 n
解：原方程化为：C
2 n
3
C
2 n1
C
1 n1
C
2 n
C
2 n
2
C
1 n
2
C
2 n
2
C
2 n
C
(二)
1
1.2.2 组 合
教学目标： 1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式； 2.能正确认识组合与排列的联系与区别. 3.通过本节的学习，培养学生是辩证唯物主义观点. 重 点：理解组合的意义. 难 点：掌握组合数的计算公式.
2
情境创设
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加 某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名 同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
1 n
2
C
2 n
n4
14
组合的简单应用：
例1 一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中
以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛时一
个足球队的上场队员是11人.问:
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员
上场方案?
(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守
8
组合
ab c ab d ac d bc d
abc acb
abd adb
acd adc
bcd bdc
排列 b排a c列 c a b bca cba bad dab bda dba
cad dac cda dca
cbd dbc cdb dcb
C
3 4
×
A33 = A43
9
求从n个不同元素中取出m个元素的排列数, 可看作以下2个步骤得到: 第1步,从这n个不同元素中取出m个元素,共有Cnm 种不同的取法;