第四类可积函数

则 － 厂 （ ｚ ）在 ［ ａ ， ６ ］可积 。
第ｉ ６卷 第 １期
张子 选 ， 李志萍 ： 第 四类 可积 函数
２ ５
推论 ２ 若 有界 函数 － 厂 （ ｚ ） 在［ ｎ ， ６ ］ 上 的不 连续
点 的全 体为 （ ｚ ： 一 １ ， ２ ， …） ， 且 ｌ ｉ ｍｘ 一 Ｃ∈ ［ ｎ ， ６ ］ ；
加 分点 口和ａ＋ ， 得到［ ａ ， ６ ］ 的一个 分法 △， 则 在分
法 △下所有 对应振 幅 ≥ 的子 区间长度 之和
＜号 ＋ ２ Ｎ × 一 ｅ ，
而存 在 ［ ｎ＋ ， ６ ］的一个分 法 △ ， 使
由可积 的第 三充要条 件知 ， － 厂 （ ｚ ） 在［ ｎ ， ６ ］可 积 。
故存在Ｎ∈ ， 对任意 ＞Ｎ， 有 Ｅ［ ｎ ， ｎ 十吾） 。
下 面分别 利用 函数 可积 的第二 充要条 件 和第 三 充要 条件 嘲 来证 明该定 理 。
在 ［ ｎ ＋ 专 ， ６ ］ 中 ， （ ｚ ） 只 有 有 限 个 （ 最 多 Ｎ 个 ） 不 连
续点 ， 从 而对 于任 一 分 法 ， 与 这 Ｎ 个 不 连 续 点 相 关
绝大 多数 数学分 析教 材上都 会 给出三 类可积 函 数＿ 】 ］ ， 它们 分别 是 定义 在 ［ ｎ ， ６ ］上 的连 续 函数 、 只有
有 限个 间断点 的有 界 函数 和单 调 函数 ， 但 还有 一 类
∑叫 △ ｚ ＜ｅ ，
△
而 对于 ［ 。 ， 。＋ ）的任 一分法 ， 总有
证法 １ 因 函数 ， （ ｚ ） 在［ 口， ６ ］有界 ， 故可设
ｌ 厂（ ｚ ）１ ≤Ｍ
又 因 为
～ ’
（ ｎ ≤ ｚ≤ ６ ） ，
的小 区 间最 多 只 有 ２ Ｎ 个， 在其 有 ≥ 。 不 妨 设
厂 （ ｚ ） 在 ［ 。 ， ａ ＋ 专 ） 的 振 幅 ∞ ≥ 。 作 十 号 ， ６ ］ 的 分
，
使对 应
＜ ． 在分
的基础 上± 曾
嫡 对 伍 音 饷
、 故 对任 意 的 ｅ ＞０ ， 定存 在 Ｎ Ｅ
针 音 ， 对任 意 、 ＞ Ｎ，
有ｚ Ｅ Ｅ ａ ， ａ ＋ ） ， 于是在 ［ ｎ ＋ ， ６ ］中 ， ，（ ｚ ） 只 有有 限 个不连 续点 ， 故－ 厂 （ ｚ ） 在［ ＋ ， ６ ］可积 。 从
第 １ ６ 卷第 １ 期
２ ０ １ ３年 １月
高 等 数 学 研 究
Ｓ ＴＵＤＩ ＥＳ Ｉ Ｎ Ｃ ０Ｌ ＬＥＧＥ Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ ＣＳ
Ｖｏ Ｉ ． １ ６ ， Ｎｏ ． １
Ｊ ａ ｎ ． ，２ ０ １ ３
ｍ ，，
第 四类可 积 函数
张子 选 ，李 志 萍
（ １ ． 东 北 大 学 秦 皇 岛分 校 数 学 与 统 计 学 院 ，河 北 秦 皇 岛 ０ ６ ６ ０ ０ ４ ； ２ ． 东 北 大 学秦 皇 岛分 校 经 贸 学 院 ，河 北 秦 皇 岛 ０ ６ ６ ０ ０ ４ ）
Ｚ
在 ［
口
６
］
可
Baidu Nhomakorabea
一
口
摘
要 利 用 函 数 可 积 的第 二 和第 三充 要 条 件 ， 可 证 明 一 类 具有 可 列 无穷 个 不 连 续 点 的 函数 的 可 积 性 ． 为 区
（
一
１
１ ， ２ ， …） ，
（ 此 时－ ｚ — ｎ ＋ 南为 分 点 ） ， 记 为△ ， 于 是 有
∑ ｚ ：∑ｗ ｉ Ａ ｘ ＋∑ △ － ｚ ＜２ ｓ ．
△ △
则 函数 厂 （ ｚ ）在［ Ｏ ， １ ］可积 。 下面 将给 出这类 函数 可
积 性 的证 明 。 ’
∞ ｚ ＜ ２ Ｍ ￣ 一 ｅ ．
比较 简单 的 函数 在 闭 区 间［ ｎ ， ６ ］上 也 可 积 ， 但 并 不
是 上述 三类 可 积 函 数 。 比如 ， 若 函数 ， （ ｚ ）在 ［ ０ ， １ ］
上有 界 ， 不连续 点 为
一 一
把△ 和△ 的分点 合起来 ， 构成 ［ ｎ ， ６ ］ 的一个 新 分法
别 于 常 见 的 三 类 可 积 函数 ， 称 此 类 函 数 为 第 四类 可 积 函数 ． 实 例 说 明 第 四类 可 积 函数 是普 遍 存 在 的 。
关 键 词 可 积 函数 ； 不连续点 ； 充 要条 件
中图分类号 ０１ ７ ２ ． ２ 文 献标 识码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ ０ ８ — １ ３ ９ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ — ０ ０ ２ ４ — ０ ２
类 似的 ， 有下 面的推论 。
收 稿 日期 ： ２ ０ １ １ ０ １ — ２ ９ ； 修 改 日期 ： ２ ０ １ ２ — １ １ － ３ ０
推论 １ 若有 界 函数 ， （ ． ｚ ） 在［ ｎ ， ６ ］上的不 连续
点的全 体为 ｛ ｚ ： 一 １ ， ２ ， …｝ ， 且
ｌ ｉ ｍｘ 一 ｂ，
作者简介 ： 张 子选 （ １ ９ ７ ７－ －） ， 女， 河南虞城人， 硕 士， 讲师 ， 主 要 从 事 应
用 统 计研 究 ．Ｅ ｍａ ｉ ｌ ： ｚ ｈ ａ ｎ ｇ ｚ ｘ ３ ３ ９ ＠１ ２ ６ ． ｃ ｏ ｍ 李志萍（ １ ９ ７ ９－ －） ， 女， 山西 文 水 人 ， 硕士， 讲师 ， 主 要 从 事 企 业 管 理研 究．Ｅ ｍａ ｉ ｌ ： ｌ ｉ ｚ ｚ ｙ ０ ６ ２ ４ ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｎ ｒ
由可积 的第 二充要 条件 知 ， － 厂 （ ） 在［ ｎ ， ６ ］可 积 。 证法 ２ 对任 意 ￡ ＞０ ， 任 意 ＞ ０ ， 由于
ｌ ｉ ｍｘ 一 ｎ，
定理 １ 若 有界 函数 ， （ ｚ ） 在［ 口 ， ６ ］ 上 的不 连续
点 的全体 为 ｛ ３ ７ ： 一 １ ， ２ ， …） ， 且