变量与函数知识点

变量与函数知识点

【篇一：变量与函数知识点】

Ⅱ.图象法：用图象表示两个变量之间的函数关系，这种表示函数的

方法叫做图象法．它的优点是能够形象直观地显示出数据的变化规律，为研究函数的性质提供方便，但所画出的图象是近似的、局部的，所以由图象确定的函数往往不够准确．

例如：长春市某天气温随时间变化的图象如图11－1所示，从图象

上能看出温度随时间变化的情况，时间是自变量．

Ⅲ.解析法：用自变量x的各种数学运算构成的式子表示函数y的方

法叫做解析法．它的优点是简明扼要、规范准确，便于理解函数的

性质，但并非适用于所有函数．

例如：正方形的面积用s表示，正方形的边长用a表示，则正方形

的面积公式为s=a2；若周长用p表示，则周长的公式为p=4a，这

就是表示正方形的边长与面积和周长的函数关系，其中正方形的边

长a是自变量，面积s和周长p是因变量．

知识点4 函数关系式

Ⅰ.用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称为函数解析式.

Ⅱ.我们应从以下几个方面来理解函数关系式的概念：

（1）函数关系式是等式．例如：y=2x+3就是一个函数关系式，我

们可以说代数式2x+3是x的函数，但不能说2x+3是函数关系式．（2）函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数．通常等式右

边的代数式中的变量是自变量，等式左边的一个变量表示函数．例如：y=2x2+3中，y是x的函数，x是自变量．

（3）书写函数关系式是有顺序的．例如：y=x-3表示y是x的函数；若x=y+3，则表示x是y的函数．也就是说，求y关于x的函数关

系式，必须用自变量x的代数式表示y，即得到的等式的左边是一个

变量y，右边是一个含x的代数式．

知识点5 自变量的取值范围的确定

Ⅰ.函数自变量的取值范围的确定必须考虑两个方面：首先，自变量

的取值必须使含自变量的代数式有意义；其次，自变量的取值应使

实际问题有意义．这两个方面缺一不可，尤其是后者，同学们在学

习过程中特别容易忽略．因此，在分析具体问题时，一定要细致周

到地从多方面考虑．

例如：y=中，自变量x在代数式中，要使有意义，则自变量的取值范围是x≠0．

Ⅱ.在函数关系式中，自变量的取值要使函数关系有意义，可分下列几种情况：

（1）当函数关系式是一个只含有一个自变量的整式时，自变量的取值范围是全体实数．例如：y=2x-1中，自变量x的取值范围是全体实数．

（3）当函数关系式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数．

（4）当函数关系式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数．

（5）自变量的取值范围可以是有限或无限的，也可以是几个数或单独的一个数．例如：y=中，自变量x的取值范围是x=0；y=中，自变量x的取值范围是x=3．

（6）在一个函数关系式中，当自变量x同时含在分式和二次根式中时，函数自变量的取值范围是它们的公共解．

知识点6 函数值

函数值是指自变量在数值范围内取某个值时，因变量与之对应的确定的值

例如：在正方形的面积公式s=a2中，若a=2；则s＝4；若a=3，则s＝9，这说明4是当a=2时的函数值，9是当a=3时的函数值．典例剖析

基本概念题

例1 下列变量之间的关系不是函数关系的是（）

a．长方形的宽一定，其长与面积 b．正方形的周长与面积

c．等腰三角形的底边与面积 d．球的体积与球的半径

答案：c

基础知识应用题

本节有关的基础知识包括：（1）确定函数关系；（2）求函数值；（3）求函数关系的解析式．

例2 如图11-2所示，图中有几个变量？你能将其中某个变量看成是另一个变量的函数吗？如果能，求出当t=12分时对应的路程s．[分析] 从图中可以看出，有两个变量t与s，而s=vt，v是常量，所以t与s构成函数关系，从图中还可以看出，当t=3分时，s=20，这说明走20米的路程用了3分，则速度v=米/分.

解：从图中看出，有两个变量t和s.

如果把t看作自变量，s看作因变量，

则路程s，速度v，时间t之间的关系式为s=vt．

从图中看出，每取一个t值，都有一个s值与之对应，

当t=3时，s=20，

∴20=3v，∴v=（米/分）.

∴s与t之间的关系式为s=t，

∴可以将s看作t的函数．

又∵s=t，

小结要确定函数关系，就要确定两个变量中，哪个是自变量，哪个是因变量，还要注意到其他的量都必须是常量．求函数值的方法有两种，一种是从图中找出来，另一种是用求代数式的值的方法求出来．

综合应用题

本节知识的综合应用包括：（1）由图象分析现象；（2）由现象确定函数关系；（3）培养识图能力．

例3 李奶奶晚饭以后外出散步，碰到老邻居交谈了一会儿，返回途中，在读报栏前看了一会儿报，如图11-3所示的是据此情况画出的图象，请你回答下列问题．

（1）李奶奶是在什么地方碰到老邻居的？交谈了多少时间？

（2）读报栏大约离家多远？

（3）李奶奶在哪段时间走得最快？你是怎么计算的？

（4）图中反映了哪些变量之间的关系？其中哪个是自变量？哪个是因变量？你能将其中某个变量看成是另一个变量的函数吗？

解：（1）李奶奶是在离家600米处碰到老邻居的，交谈了大约10分．

（2）读报栏大约离家300米．

（3）李奶奶在40～45分这段时间内走得最快，这是因为：

④从35分到40分，她在读报栏读报，也就是读报栏离家大约300米的距离；

（4）从图中反映出了李奶奶外出散步时间与离家距离这两个变量之间的关系，其中外出散步时间是自变量，离家距离是因变量，离家距离是散步时间的函数．

小结该题目要求主动观察某些运动变化过程，体会函数的概念，培养利用函数观点认识世界和解决实际问题的能力．