数列的综合应用
高考数学一轮总复习课件：数列的综合应用
又因为an≤15，所以6×1.2n－1≤15， 所以n－1≤5，所以n≤6. 所以an＝611×，1n.2＝n－11，，2≤n≤6，
15，n≥7.
(2)由(1)得，2021年全年的投资额是(1)中数列{an}的前12项 和，所以S12＝a1＋(a2＋…＋a6)＋(a7＋…＋a12)＝11＋6×(1.2＋… ＋1.25)＋6×15＝101＋6×1.2×（1.21－.251－1）≈154.64(万元)．
(1)证明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． 【思路】 (1)已知数列{an}的前n项和Sn与相邻两项an，an＋1间 的递推关系式anan＋1＝λSn－1，要证an＋2－an＝λ，故考虑利用an＋1＝ Sn＋1－Sn消去Sn进行证明． (2)若{an}为等差数列，则有2a2＝a1＋a3，故可由此求出λ，进 而由an＋2－an＝4验证{an}是否为等差数列即可．
【解析】 (1)证明：由已知，得bn＝2an>0. 当n≥1时，bbn＋n 1＝2an＋1－an＝2d. 所以数列{bn}是首项为2a1，公比为2d的等比数列． (2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x －a2)，它在x轴上的截距为a2－ln12. 由题意，a2－ln12＝2－ln12，解得a2＝2. 所以d＝a2－a1＝1，所以an＝n，bn＝2n，anbn2＝n·4n.
比数列．所以an＋1＝45＋－25190n.
(3)因为an＋1>60%，即
4 5
＋
－25
9 10
n
>
3 5
，则
9 10
n
<
1 2
，所以
n(lg9－1)<－lg2，n>1－lg22lg3≈6.572 1.
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案第一章：数列的概念与应用1.1 数列的定义与表示方法引导学生了解数列的概念，理解数列的表示方法，如通项公式、列表法等。
通过实际例子，让学生掌握数列的性质，如项数、公差、公比等。
1.2 数列的求和公式介绍等差数列和等比数列的求和公式，让学生理解其推导过程。
通过例题，让学生学会运用求和公式解决实际问题，如计算数列的前n项和等。
第二章：数列的性质与应用2.1 数列的单调性引导学生了解数列的单调性，包括递增和递减。
通过实际例子，让学生学会判断数列的单调性，并运用其解决相关问题。
2.2 数列的周期性介绍数列的周期性概念，让学生理解周期数列的性质。
通过例题，让学生学会运用周期性解决实际问题，如解数列的方程等。
第三章：数列的极限与应用3.1 数列极限的概念引导学生了解数列极限的概念，理解数列极限的含义。
通过实际例子，让学生掌握数列极限的性质，如保号性、夹逼性等。
3.2 数列极限的计算方法介绍数列极限的计算方法，如夹逼定理、单调有界定理等。
通过例题，让学生学会运用极限计算方法解决实际问题，如求数列的极限值等。
第四章：数列的级数与应用4.1 数列级数的概念引导学生了解数列级数的概念，理解级数的特点和分类。
通过实际例子，让学生掌握级数的基本性质，如收敛性和发散性等。
4.2 数列级数的计算方法介绍数列级数的计算方法，如比较法、比值法、根值法等。
通过例题，让学生学会运用级数计算方法解决实际问题，如判断级数的收敛性等。
第五章：数列的应用举例5.1 数列在数学建模中的应用引导学生了解数列在数学建模中的应用，如人口增长模型、存货管理模型等。
通过实际例子，让学生学会运用数列建立数学模型，并解决实际问题。
5.2 数列在物理学中的应用介绍数列在物理学中的应用，如振动序列、量子力学中的能级等。
通过例题，让学生学会运用数列解决物理学中的问题，如计算振动序列的周期等。
第六章：数列在经济管理中的应用6.1 数列在投资组合中的应用引导学生了解数列在投资组合中的作用，如资产收益的序列分析。
数列的综合应用
高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专 题 讲
nf(n＋1) 1 (3)由题知，bn＝ f n ＝3n，
解
1 n(n＋1) n(n＋1)
1
11
专
则Tn＝3×
2
＝
6
，
∴பைடு நூலகம்n＝
6(n－n＋
)． 1
题
111
1
1111 1
11
训 练
∴
T1＋T2＋
T3＋…
＋Tn
＝
6(1－
2＋2－
3＋3
－
4＋…
＋n－n＋
) 1
∴
1 a＝2，f(x)＝
(12)x.
高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专 题
又点(n－1，
an n2
)(n∈ N*)(在函数f(x)＝ ax的图象上，
讲 解
从
而ann2＝21n－
1，即
an＝
n2 2n－
1.
专 题
(n＋ 1)2 n2 2n＋ 1 (2)由 bn＝ 2n －2n＝ 2n 得，
训
练
111
1
Tn，试比较T1＋T2＋T3＋…＋Tn与 6的大小．
高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专 题
∴f(n＋ 1)＝
1 3
f(n)(n∈ N*)，∴数列{f(n)}(n∈ N*)是以
讲
解
1
1
f(1)＝3为首项，3为公比的等比数列，
专 题
∴f(n)＝13×(13)n－ 1，即f(n)＝(13)n(n∈ N*)．
＝6(1－ 1 )． n＋ 1
∵
n∈
高三数学二轮复习数列的综合应用课件
P2
P1
Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，
求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1
所围成的区域的面积Tn．
O
x 1 x2
x3
x4
x
已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2．
（1）求数列{xn}的通项公式；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，
（1）求S1，S2及数列{Sn}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn ＝
1
7
≤|Tn|≤ ．
3
9
−1
，且{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，
已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝2an＋1，其中Sn为{an}的前n项和(n∈N*)．
（1）求S1，S2及数列{Sn}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn ＝
Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝
xn＋1所围成的区域的面积Tn．
y
P4
P3
P2
P1
O
x1 x2
x3
x4
x
数列求和的
基本方法
01
公式法
02
分组求和法
03
错位相减法
04
倒序相加法
05
裂项相消法
考点2：数列与不等式综合问题
已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝2an＋1，其中Sn为{an}的前n项和(n∈N*)．
1
7
≤|Tn|≤ ．
3
9
−1
，且{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，
高中数学-数列综合应用
数列综合应用知识精要一、数列求和数列求和的常用方法1、公式法（1）直接利用等差数列、等比数列的前n 项公式求和；①等差数列的前n 项和公式：②等比数列的前n 项和公式：（2）一些常见的数列的前n 项和：○1(1)12342n n n ++++++=； ○22222(1)(21)1236n n n n ++++++=； ○32462(1)n n n ++++=+； ○4213521n n ++++-=； ○52233332(1)(1)123[]24n n n n n ++++++==。
2、倒序相加法如果一个数列{}n a ，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的。
3、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的；4、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；注：用裂项相消法求数列前n 项和的前提是：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提。
5、分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减；6、并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。
形如(1)()n n a f n =-类型，可采用两项合并求解。
二、数列的综合应用1、解答数列应用题的步骤：（1）审题——仔细阅读材料，认真理解题意；（2）建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么；（3）求解——求出该问题的数学解；（4）还原——将所求结果还原到实际问题中。
2、数列应用题常见模型（1）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差；（2）等比数列：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比。
数列的综合运用
数列的综合运用考纲要求：掌握常见数列应用问题的解法； 掌握数列与其它知识的综合应用.教材复习1.解决数列应用问题的步骤：2.数列应用题的常见模型：等差模型、等比模型、混合模型、生长模型（如分期付款）、递推模型.基本知识方法1.解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和()d q 的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．2.深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n 项和公式的内在联系是解题的关键．3.解题时，还要注重数学思想方法的应用，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“化归转化”.典例分析：考点一 等差数列、等比数列的综合应用 问题1．(全国Ⅰ文)设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=()1求{}n a ，{}n b 的通项公式；()2求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．考点二 数列与函数、方程、不等式的综合应用问题2．（江西）等差数列{}n a 各项均为正整数，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 中，11b =，且2264b S =，{}n a b 是公比为64的等比数列．()1求n a 与n b ；()2求证1211134n S S S +++<.问题3．（安徽文）设函数()sin 2xf x x =+的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{}n x .（Ⅰ）求数列{}n x ；（Ⅱ）设{}n x 的前n 项和为n S ，求sin m S .考点三 数列的实际应用问题4．（湖南）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.（Ⅰ）用d 表示1a ，2a ，并写出1n a 与n a 的关系式；（Ⅱ）若公司希望经过m （m ≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值（用m 表示）.考点四 数列与其他知识综合问题5．（陕西）如图，从点()10,0P 作x 轴的垂线交曲线xy e =于点1(0,1)Q ，曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ．再从2P 做x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：11,P Q ；22,P Q ；…；,n n P Q ，记k P 点的坐标为(,0)k x （0,1,2,,k n =）．（1）试求k x 与1k x -的关系（2k n 剟）；（2）求112233||||||||n n PQ PQ PQ PQ ++++．课后作业：1.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．2.（东北师大附中高三月考）数列}{n a 的前n 项和记作n S ，满足1232-+=n a S n n ，)(*N n ∈．()1证明数列}3{-n a 为等比数列；并求出数列}{n a 的通项公式． ()2记n n na b =，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求n T ．走向高考：1.（湖北）若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且103=++c b a ，则a = .A 4 .B 2 .C 2- .D 4-2. (天津)设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =.A 2 .B 4 .C 6 .D 83.（海南）已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，则2()a b cd+的最小值是 .A 0 .B 1 .C 2 .D 44.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++=5.(全国Ⅰ)等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为6.（北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和. 已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为 ，这个数列的前n 项和的计算公式为7.（四川）设函数()2cos f x x x =-，{}n a 是公差为8π的等差数列， 125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=，则2313[()]f a a a -=.A 0.B 2116π.C 218π.D 21316π8.（安徽）如图，互不-相同的点12,,,n A A X 和12,,,n B B B 分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等.设.n n OA a =若121,2,a a ==则数列{}n a 的通项公式是9. (浙江文）若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列.()1求数列124,,S S S 的公比;()2若24S =，求{}n a 的通项公式.10.（四川文）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立.（Ⅰ）求1a ，2a 的值；（Ⅱ）设10a >，数列110{lg }na a 的前n 项和为n T ，当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值.11. (陕西文) 已知实数列{}n a 是等比数列，其中71a =，且451a a +，，6a 成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，证明：128n S <(123)n =，，，．。
数列的综合应用
数列的综合应用1、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥。
⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。
⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅L (2)n ≥。
⑹已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。
特别地，（1）形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。
（2）形如11n n n a a ka b --=+的递推数列都可以用倒数法求通项。
注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
2、数列求和的常用方法：（1）公式法：①等差数列求和公式； ②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.； ③常用公式：1123(1)2n n n ++++=+L222112(1)(21)6n n n n +++=++L ，33332n(n+1)1+2+3++n =[]2L .（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性 ，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k =-++； ③2211111()1211k k k k <=---+，211111111(1)(1)1k k k k k k k k k-=<<=-++--； ④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ； ⑤2122(1)2(1)11n n n n n n n n n +-=<<=--+++-.（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。
数列的综合应用
数列的综合应用数列是数学中重要的概念之一，它在各个领域中都有着广泛的应用。
数列的综合是数列中各个数值的求和运算，可以帮助我们解决很多实际问题。
本文将探讨数列的综合应用，从数学角度分析其在现实生活中的具体应用。
一、数列的定义和性质在介绍数列的综合应用之前，我们首先需要了解数列的基本定义和性质。
数列是按照一定规律排列的一组数，其中每个数称为数列的项。
根据数列的性质，我们可以将数列分为等差数列和等比数列两种常见类型。
1. 等差数列：等差数列中的任意两个相邻项之差都相等，这个固定的差值称为公差。
等差数列的一般形式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
2. 等比数列：等比数列中的任意两个相邻项之比都相等，这个固定的比值称为公比。
等比数列的一般形式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
二、数列的综合应用数列的综合应用广泛存在于日常生活和各个学科领域中，下面将从几个具体问题场景中介绍数列的应用。
1. 汽车里程计算假设一辆汽车从起点出发，每小时行驶的里程数分别是12公里、15公里、18公里、21公里...... 如果想知道5个小时内总共行驶了多少公里，我们可以使用等差数列的综合公式来计算。
首先确定首项a1=12，公差d=3（每小时增加3公里），然后带入数列综合公式Sn =(n/2)[2a1+(n-1)d]，代入n=5进行计算得出结果为75公里。
因此，这辆汽车在5个小时内共行驶了75公里。
2. 学生成绩评估假设某学生在数学考试中的成绩分别是80分、85分、90分、95分......，如果想知道前10次考试的总分，我们可以使用等差数列的综合公式进行计算。
首先确定首项a1=80，公差d=5（每次考试分数增加5分），然后带入数列综合公式Sn = (n/2)[2a1+(n-1)d]，代入n=10进行计算得出结果为875分。
因此，这名学生前10次数学考试的总分为875分。
数列的综合应用总结
数列的综合应用总结数列作为数学中常见的一种数学对象，在各个领域中都有着广泛的应用。
本文将对数列的综合应用进行总结和分析，包括数列的定义、数列求和的方法以及数列在实际问题中的应用等方面。
一、数列的定义数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的有序集合。
一般用an表示数列中的第n个数，其中n为正整数，称为项号。
数列的通项公式表示了数列中任意一项与项号之间的关系。
二、数列求和的方法1.等差数列求和等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等差数列的前n项和Sn可以通过等差数列求和公式来计算，即Sn =(a1 + an) * n / 2。
2.等比数列求和等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
等比数列的前n项和Sn可以通过等比数列求和公式来计算，即Sn =(a1 * (1 - q^n)) / (1 - q)，当|q| < 1时成立。
3.其他数列求和方法除了等差数列和等比数列，还存在一些特殊的数列，它们的求和方法也各不相同。
比如斐波那契数列、调和数列等，它们的求和方法需要根据具体的问题和数列的规律来确定。
三、数列在实际问题中的应用数列的应用广泛存在于实际问题的建模和解决过程中。
下面以几个具体的应用场景来说明数列在实际问题中的应用。
1.金融领域在金融领域中，利率、投资回报率等与时间相关的指标可以使用数列进行建模。
比如等额本息还款方式下，每期的还款金额就可以通过等差数列求和来计算。
2.物理学领域在物理学中，许多物理现象的变化过程可以用数列进行描述。
比如自由落体运动的位移、速度、加速度等物理量随时间的变化可以用等差数列或等比数列来表示和推导。
3.计算机科学领域在算法设计和数据处理中，数列也有着重要的应用。
比如在排序算法中，快速排序、归并排序等算法利用了数列的递推和分治思想来实现高效的排序。
四、总结数列作为一种常见的数学对象，具有广泛的应用价值。
第26讲-数列求和及数列的综合应用(解析版)
第26讲-数列求和及数列的综合应用(解析版)第26讲-数列求和及数列的综合应用(解析版)数列是数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将讨论数列求和的方法以及数列在各个领域中的综合应用。
一、数列求和方法介绍1.1 等差数列求和公式等差数列是数列中最常见的一种类型，它的每一项与前一项之差都相等。
对于一个等差数列a，其中首项为a1，公差为d，一共有n项。
那么等差数列的求和公式为：Sn = (n/2) * (2a1 + (n-1)d)其中Sn表示等差数列的前n项和。
1.2 等比数列求和公式等比数列是另一种常见的数列类型，它的每一项与前一项的比值都相等。
对于一个等比数列b，其中首项为b1，公比为q，一共有n项。
那么等比数列的求和公式为：Sn = b1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中Sn表示等比数列的前n项和。
1.3 平方数列求和公式平方数列是指数列中每一项都是前一项的平方。
对于平方数列c，其中首项为c1，一共有n项。
那么平方数列的求和公式为：Sn = (2^(n+1) - 1) * c1其中Sn表示平方数列的前n项和。
二、数列的综合应用2.1 数列在几何问题中的应用数列在几何问题中有着广泛的应用。
比如，在计算几何中，我们经常需要计算等差数列的前n项和来求解某些图形的周长或面积。
在解答这类问题时，我们可以先通过观察找到数列的公差和首项，然后利用等差数列的求和公式求解。
2.2 数列在金融问题中的应用数列在金融问题中也有着重要的应用。
比如，在投资领域，我们经常需要计算等比数列的前n项和来求解复利问题或者计算某种投资的总收益。
同样地，我们可以通过观察数列的首项和公比，然后利用等比数列的求和公式来进行计算。
2.3 数列在自然科学中的应用数列在自然科学中也扮演着重要的角色。
在物理学中，等差数列的前n项和可以用来计算运动物体的位移和速度。
在化学中，平方数列可以用来计算物质的化学计量位移。
三、总结数列求和方法为我们解决各类实际问题提供了有效的工具。
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案章节一：数列的概念与性质1.1 数列的定义1.2 数列的性质1.3 数列的通项公式1.4 等差数列与等比数列章节二：数列的求和2.1 等差数列求和2.2 等比数列求和2.3 数列的错位相减法2.4 数列的分组求和章节三：数列的极限3.1 数列极限的定义3.2 数列极限的性质3.3 数列极限的运算3.4 无穷小与无穷大章节四：数列的收敛性与发散性4.1 数列的收敛性4.2 数列的发散性4.3 数列收敛性的判断方法4.4 数列发散性的判断方法章节五：数列的应用5.1 数列在数学分析中的应用5.2 数列在概率论中的应用5.3 数列在数论中的应用5.4 数列在其他领域的应用《数列综合应用举例》教案（续）章节六：等差数列的应用6.1 等差数列在数学分析中的应用6.2 等差数列在物理中的应用6.3 等差数列在经济学中的应用6.4 等差数列在其他领域的应用章节七：等比数列的应用7.1 等比数列在数学分析中的应用7.2 等比数列在生物学中的应用7.3 等比数列在金融学中的应用7.4 等比数列在其他领域的应用章节八：数列的插值与逼近8.1 数列插值的概念与方法8.2 数列逼近的概念与方法8.3 等差数列与等比数列的插值与逼近8.4 数列插值与逼近在其他领域的应用章节九：数列的级数展开9.1 数列级数的概念9.2 数列级数的收敛性与发散性9.3 数列级数展开的方法9.4 数列级数展开在数学分析中的应用章节十：数列的应用实例分析10.1 数列在数学建模中的应用10.2 数列在信号处理中的应用10.3 数列在数据分析中的应用10.4 数列在其他学科中的应用实例分析《数列综合应用举例》教案（续）章节十一：数列与函数的关系11.1 数列与函数的定义11.2 数列与函数的性质11.3 数列与函数的转化11.4 数列与函数在数学分析中的应用章节十二：数列的线性表征12.1 数列的线性表征方法12.2 数列的线性表征性质12.3 数列的线性表征应用12.4 数列的线性表征在其他领域的应用章节十三：数列的矩阵表示13.1 数列矩阵表示的概念13.2 数列矩阵表示的性质13.3 数列矩阵表示的运算13.4 数列矩阵表示在数学分析中的应用章节十四：数列的变换与映射14.1 数列变换的概念与方法14.2 数列映射的概念与方法14.3 等差数列与等比数列的变换与映射14.4 数列变换与映射在其他领域的应用章节十五：数列研究的现代方法15.1 数列研究的现代方法概述15.2 数列研究的计算机方法15.3 数列研究的随机方法15.4 数列研究的其他现代方法重点和难点解析本教案《数列综合应用举例》涵盖了数列的基本概念、性质、求和、极限、收敛性与发散性，以及数列在各个领域的应用。
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案一、教学目标1. 让学生掌握数列的基本概念和性质，包括等差数列、等比数列等。
2. 培养学生运用数列知识解决实际问题的能力，提高学生的数学思维水平。
3. 通过对数列综合应用的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的综合素质。
二、教学内容1. 等差数列的应用：等差数列的求和公式、等差数列的通项公式等。
2. 等比数列的应用：等比数列的求和公式、等比数列的通项公式等。
3. 数列的极限：数列极限的定义、数列极限的性质等。
4. 数列的收敛性：收敛数列的定义、收敛数列的性质等。
5. 数列的应用举例：如数列在实际问题中的应用，如人口增长、放射性衰变等。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解数列的基本概念、性质和应用。
2. 运用案例分析法，分析数列在实际问题中的应用。
3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力。
4. 设置课后习题，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
四、教学步骤1. 引入数列的基本概念，讲解等差数列和等比数列的定义和性质。
2. 引导学生运用数列知识解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。
3. 讲解数列的极限和收敛性，分析数列在实际中的应用。
4. 组织学生进行小组讨论，分享数列在实际问题中的应用案例。
5. 通过课后习题，检查学生对数列知识的掌握程度。
五、教学评价1. 课后习题的完成情况，检验学生对数列知识的掌握。
2. 课堂讨论的参与度，评估学生的团队协作能力和思维水平。
3. 学生对数列应用案例的分析，评估学生的实际应用能力。
4. 定期进行教学质量调查，了解学生的学习需求，调整教学方法。
六、教学资源1. 教学PPT：制作数列综合应用的教学PPT，包含数列的基本概念、性质、应用案例等内容。
2. 案例素材：收集数列在实际问题中的应用案例，如人口增长、放射性衰变等。
3. 课后习题：编写具有代表性的课后习题，检验学生对数列知识的掌握。
4. 教学视频：寻找相关的教学视频，如数列的极限、收敛性的讲解等，辅助学生理解难点内容。
等差数列的综合应用 课件
等差数列前n项和的最值问题
数列{an}是等差数列，a1＝50，d＝－0.6. (1)从第几项开始有 an<0； (2)求此数列的前 n 项和的最大值． 【思路探究】 (1)怎样求 an？an<0 的含义是什么？不等式 的解集的含义是什么？ (2)能否用二次函数的方法处理前 n 项和的最值问题？由 an 的变化可以推测吗？
(2)S 偶－S 奇＝50d＝100，∴d＝2.
【答案】 (1)9 (2)2
等差数列前 n 项和性质小结： 1．等差数列{an}中，公差为 d，前 k 项的和为 Sk，则 Sk， S2k－Sk，S3k－S2k，…，Smk－S(m－1)k，…构成公差为 k2d 的等差数 列． 2．等差数列{an}中，公差为 d： (1)若共有 2n 项，则 S2n＝n(an＋an＋1)； S 偶－S 奇＝nd；S 偶∶S 奇＝an＋1∶an. (2)若共有 2n＋1 项，则 S2n＋1＝(2n＋1)an＋1； S 偶－S 奇＝－an＋1；S 偶∶S 奇＝n∶(n＋1)．
(2)若 a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或 0)，所以 将这些项相加即得 Sn 的最大值.
等差数列前n项和的性质
(1)在等差数列{an}中，若 S4＝1，S8＝4，则 a17＋ a18＋a19＋a20＝________.
(2)有一个共有 100 项的等差数列，其奇数项与偶数项之和 分别为 100 和 200，则公差 d＝________.
等差数列前n项和Sn的最值
【问题导思】 1．你能把等差数列的前 n 项和公式写成 Sn 关于 n 的二次 函数的形式吗？ 【提示】 能，Sn＝d2n2＋(a1－d2)n. 2．这个关系式有何特点？ 【提示】 是二次项系数为2d，图象过原点的二次函数．
等比数列及数列的综合应用
等比数列及数列的综合应用等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列。
数列的综合应用是指将数列的概念和性质应用到实际问题中，解决具体的实际问题。
下面我会详细介绍等比数列的性质以及数列的综合应用。
首先，我们先来了解等比数列的性质。
等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列，记作：a，ar，ar²，ar³，...，其中a为首项，r为公比。
等比数列的通项公式为：an = a * r^(n-1)，其中an为数列的第n项。
一般来说，等比数列的公比r可以是正数、负数或零。
如果公比r大于1，则数列是递增的，每一项大于前一项；如果公比r介于0到1之间，则数列是递减的，每一项小于前一项；如果公比r小于-1，则数列交替增减；如果公比r介于-1到0之间，则数列也是交替增减的。
在数列的综合应用中，等比数列可以帮助我们求解一些与实际生活相关的问题。
下面我将通过几个例子来说明等比数列的应用。
例1：小明每个月养鱼，第一个月养了2条鱼，从第二个月起，每个月的鱼的数量是前一个月的2倍。
问第n个月养了多少条鱼？这个问题可以用等比数列来解决。
首先，我们知道第一个月养了2条鱼，所以首项a=2，公比r=2。
根据等比数列的通项公式an = a * r^(n-1)，我们可以求得第n个月养的鱼的数量。
例如，求解第5个月养的鱼的数量，我们可以代入n=5得到an = 2 * 2^(5-1) = 2 * 2^4 = 2 * 16 = 32，所以第5个月养了32条鱼。
例2：某商场的招待所有100个房间，第一个房间的价格是200元，从第二个房间起，每个房间的价格都是前一个房间的80%。
问最后一个房间的价格是多少？这个问题也可以用等比数列来解决。
首先，我们知道第一个房间的价格是200元，所以首项a=200，公比r=0.8。
根据等比数列的通项公式an = a * r^(n-1)，我们可以求得最后一个房间的价格。
例如，求解最后一个房间的价格，我们可以代入n=100得到an = 200 * 0.8^(100-1) ≈0.00029元，所以最后一个房间的价格约为0.00029元。
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案第一章：数列的概念与性质1.1 数列的定义引导学生理解数列的概念，理解数列是一种特殊的函数。
通过实例让学生了解数列的基本形式，如等差数列、等比数列等。
1.2 数列的性质引导学生学习数列的基本性质，如数列的项数、首项、末项、公差、公比等。
通过实例让学生掌握数列的性质，并能够运用性质解决实际问题。
第二章：数列的求和2.1 等差数列的求和引导学生学习等差数列的求和公式，理解公差、首项、末项与求和的关系。
通过实例让学生掌握等差数列的求和方法，并能够运用求和公式解决实际问题。
2.2 等比数列的求和引导学生学习等比数列的求和公式，理解公比、首项、末项与求和的关系。
通过实例让学生掌握等比数列的求和方法，并能够运用求和公式解决实际问题。
第三章：数列的极限3.1 数列极限的概念引导学生理解数列极限的概念，理解数列极限与数列收敛的关系。
通过实例让学生了解数列极限的性质，如保号性、单调性等。
3.2 数列极限的计算引导学生学习数列极限的计算方法，如夹逼定理、单调有界定理等。
通过实例让学生掌握数列极限的计算方法，并能够运用极限的概念解决实际问题。
第四章：数列的应用4.1 数列在数学分析中的应用引导学生学习数列在数学分析中的应用，如级数、积分等。
通过实例让学生了解数列在数学分析中的重要性，并能够运用数列解决实际问题。
4.2 数列在其他学科中的应用引导学生学习数列在其他学科中的应用，如物理学、经济学等。
通过实例让学生了解数列在不同学科中的作用，并能够运用数列解决实际问题。
第五章：数列的综合应用5.1 数列在经济管理中的应用引导学生学习数列在经济管理中的应用，如库存管理、成本分析等。
通过实例让学生了解数列在经济管理中的重要性，并能够运用数列解决实际问题。
5.2 数列在工程科技中的应用引导学生学习数列在工程科技中的应用，如信号处理、结构分析等。
通过实例让学生了解数列在工程科技中的作用，并能够运用数列解决实际问题。
数列的综合应用课件
工具
第五章
数列
栏目导引
(2)到第 12 个月的本利和为
1 100×12＋2×12×12＋1×5.1%＝1 597.8 元．
(3)设每月初应存入 x 元，则有
1 x12＋2×12×12＋1×5.1%＝2 000，x≈125.2.
－
解析： 依题意 1＋21＋22＋„＋2n 1≥100， 1－2n ∴ ≥100，∴2n≥101，∴n≥7， 1－2 则所求为 7 秒钟．
答案： B
工具
第五章
数列
栏目导引
4 ． 若 A 、 B 、 C 成 等 差 数 列 ， 则 直 线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 必 过 点 ________． 解析： ∵2B＝A＋C，∴A－2B＋C＝0， ∴直线Ax＋By＋C必过点(1，－2)．
an 1 1 解析： (1)∵an＋1＝ 且 a1＝1，∴ ＝1＋a ， an＋1 an＋1 n
1 1 ∴ － ＝1，∴a 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列， n an＋1 an
1
1 1 ∴ ＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＝ . an n
工具
第五章
数列
栏目导引
1 1 1 (2)证明：∵an＝n，an＋1＝ ，a ＝ ， n＋1 n＋2 n＋2 1 1 － an＋2－an＋1 n＋2 n＋1 n ∴弦 AnAn＋1 的斜率 kn＝ ＝ 1 ＝ ， 1 an＋1－an n＋2 － n＋1 n n＋1 n＋1n＋2－nn＋3 n ∴kn＋1－kn＝ － ＝ n＋3 n＋2 n＋3n＋2 ＝ 2 ＞0. n＋2n＋3
工具
第五章
第七章第五节 数列的综合应用课件
B．S5＝S6－1
C．S2019＝F2021－1
D．S2019＝F2020－1
AC [根据题意有 Fn＝Fn－1＋Fn－2(n≥3)，所以 S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1 ＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1 ＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…所以 S2019＝F2021－1.]
(1)求{an}的通项公式； (2)记 bm 为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前 100 项和 S100.
解析： (1)设{an}的公比为 q，由题设得 a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8. 解得 q＝12 (舍去)，q＝2，所以 a1＝2. 所以{an}的通项公式为 an＝2n. (2)由题设及(1)知 b1＝0，且当 2n≤m<2n＋1 时，bm＝n. 所以 S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋ (b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63) ＝480.
所以 n＋Sn－2an＝n＋2n＋1－n－2－2(2n－1)＝0，所以 n＋Sn＝2an，即 n， an，Sn 成等差数列．
数列与其他知识的交汇
(开放型)(2020·山东省高三月考)在①Sn＝2bn－1，②－4bn＝bn－ 1(n≥2)，③bn＝bn－1＋2(n≥2)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题 中．若问题中的 k 存在，求出 k 的值；若 k 不存在，说明理由．
因为 Sn＝2bn－1，所以 Sn－1＝2bn－1－1(n≥2)，
两式相减并整理得 bn bn－1
＝2(n≥2)，
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第十六节 数列的综合应用[自我反馈]1．已知正项等差数列{a n }满足：a n ＋1＋a n －1＝a 2n (n ≥2)，等比数列{b n }满足：b n ＋1b n －1＝2b n (n ≥2)，则log 2(a 2＋b 2)＝( )A ．－1或2B ．0或2C ．2D ．1解析：选C 由题意可知，a n ＋1＋a n －1＝2a n ＝a 2n ， 解得a n ＝2(n ≥2)(由于数列{a n }每项都是正数)， 又b n ＋1b n －1＝b 2n ＝2b n (n ≥2)，所以b n ＝2(n ≥2)，log 2(a 2＋b 2)＝log 24＝2.2．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时.若a 6＝1，则m 所有可能的取值为( )A ．{4,5}B ．{4,32}C ．{4,5,32}D ．{5,32}解析：选C a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时，注意递推的条件是a n (而不是n )为偶数或奇数．由a 6＝1一直往前面推导可得a 1＝4或5或32.3．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＝6，若将a 1，a 4，a 5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________．解析：由题意知等差数列{a n }的公差d ＝a 3－a 12＝2，则a 4＝8，a 5＝10，设所加的数为x ，依题意有(8＋x )2＝(2＋x )(10＋x )，解得x ＝－11.答案：－114．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．解析：设每天植树的棵数组成的数列为{a n }， 由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2， 所以由题意可得21－2n1－2≥100，即2n ≥51，而25＝32,26＝64，n ∈N *，所以n ≥6. 答案：65．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2，数列{b n }为等比数列，且首项b 1＝1，b 4＝8.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c n ＝ab n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 解：(1)∵数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2， ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1亦满足上式， 故a n ＝2n －1(n ∈N *)．又数列{b n }为等比数列，设公比为q ， ∵b 1＝1，b 4＝b 1q 3＝8，∴q ＝2. ∴b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)c n ＝ab n ＝2b n －1＝2n －1.T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1) ＝(21＋22＋ (2))－n ＝21－2n1－2－n .所以T n ＝2n ＋1－2－n .考向一 等差数列与等比数列的综合问题【典例1】(2016·济南模拟)已知{a n }是等差数列,满足a 1=3,a 4=12,数列{b n }满足b 1=4,b 4=20,且{b n -a n }是等比数列.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式. (2)求数列{b n }的前n 项和. 【母题变式】1.若本例题条件“{b n -a n }是等比数列”变为“{b n -a n }是等差数列”,其他条件不变,求数列{b n }的通项公式.2.若本例题条件“b 1=4,b 4=20,且{b n -a n }是等比数列” 变为“a n +2a n-1=,求数列{b n }的通项公式.【规律方法】等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标,确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题,如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序. (2)注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中,如果 等比数列的公比不能确定,则要看其是否有等于1的可 能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一 个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的. 提醒:在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分 类讨论,分类解决问题后还要注意结论的整合. 【变式训练】(2016·天津模拟)已知等差数列{a n }的 公差和首项都不等于0,且a 2,a 4,a 8成等比数列,则15923a a a a a +++= ( )A.2B.3C.5D.6【加固训练】1.等比数列{a n }的公比为q,前n 项和为S n ,若S n+1,S n ,S n+2成等差数列,则公比q 为 ( ) A.-2 B.1 C.-2或1 D.2或-12.(2016·泰安模拟)已知数列{a n }是公差大于零的等 差数列,数列{b n }为等比数列,且a 1=1,b 1=2,b 2-a 2=1, a 3+b 3=13.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式. (2)设c n =a n a n+1,求数列n 1c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n. 因为d>0,所以d=2,q=2,a n =1+2(n-1)=2n-1,b n =2× 2n-1=2n ,即a n =2n-1(n ∈N *),b n =2n (n ∈N *).考向二 数列中的图表问题【典例2】(1)(2016·德州模拟)将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … … … … …按照以上排列的规律,第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________.(2)(2016·太原模拟)下表是一个由正数组成的数表,数表中各行依次成等差数列,各列依次成等比数列,且公比都相等,已知a 1,1=1,a 2,3=6,a 3,2=8.求数列{a n,2}的通项公式.【解题导引】(1)求出第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为原数列的第几项,再求解.(2)构造方程组求出等差数列的公差与等比数列的公比.(2)设第一行组成的等差数列的公差是d,各列依次组成的等比数列的公比是q(q>0),则a 2,3=qa 1,3=q(1+2d)q(1+2d)=6, a 3,2=q 2a 1,2=q 2(1+d)q 2(1+d)=8, 解得d=1,q=2.a 1,2=2a n,2=2×2n-1=2n .【规律方法】数列中常见的图表问题及解题关键(1)分组型:数列的通项公式已知,将其按照一定的规则排列而成.解决这类问题的关键是找出图表或数阵中的项在原数列中的位置.(2)混排型:图表或数阵中的行与列分别对应不同的数列.解决这类问题的关键是找出各个数列,将所求问题所在行或列的基本量求出.(3)递推公式型:图表或数阵是按某种递推关系得到的,解决这类问题的关键是求出递推公式,再由递推公式求出通项公式.【变式训练】(2016·青岛模拟)下面给出了一个三角形数阵,已知每一列的数成等差数列,从第3行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i 行第j 列数为a ij (i,j ∈N *),则a 43=______. 【加固训练】1.(2016·北京模拟)已知a n=( 13)n,把数列{a n}的各项排列成如下的三角形形状. a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 ………………………记A(m,n)表示第m 行的第n 个数,则A(10,12)= ( ) 2.(2016·合肥模拟)正整数按下列方法分组:{1},{2,3, 4},{5,6,7,8,9},{10,11,12,13,14,15,16},…,记第n组中各数之和为A n ;由自然数的立方构成下列数组:{03, 13},{13,23},{23,33},{33,43},…,记第n 组中后一个数 与前一个数的差为B n ,则A n +B n =______.【解析】由题意知,前n 组共有1+3+5+…+(2n-1)=n 2个数,所以第n-1组的最后一个数为(n-1)2,第n 组的第一个数为(n-1)2+1,第n 组共有2n-1个数,所以根据等差数列的前n 项和公式可得 3.(2016·保定模拟)将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 ……记表中的第一列数a 1,a 2,a 4,a 7,…构成的数列为{b n }, b 1=a 1=1. S n 为数列{b n }的前n 项和,且满足n2n n n2b b S S -=1(n ≥2). (1)证明数列n 1S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列,并求数列{b n }的通项公式.(2)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当a81=491时,求上表中第k(k≥3)行所有项的和.考向三数列的实际应用问题【典例3】(2016·日照模拟)某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购车,银行贷款的年利息为10%,按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息).若这笔款要分10年等额还清,每年年初还一次,并且以贷款后次年年初开始归还,问每年应还多少元【规范解答】设每年还款x元,需10年还清,那么各年还款利息情况如下:第10年付款x元,这次还款后欠款全部还清;第9年付款x元,过1年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)元;第8年付款x元,过2年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)2元;…第1年付款x元,过9年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)9元.10年后应还款总数为20000(1+10%)10.【一题多解】第1次还款x元之后欠银行20000(1+10%)-x=20000×1.1-x,第2次还款x元后欠银行[20000(1+10%)-x](1+10%)-x=20000×1.12-1.1x-x,…【规律方法】解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型:理解题意,看是哪类数列模型,一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型.基本特征见下表:(2)准确解决模型:解模就是根据数列的知识,求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等,在解模时要注意运算准确.(3)给出问题的回答:实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案,在解题中不要忽视了这点.易错提醒:解决数列应用问题,要明确问题属于哪一种类型,即明确是等差数列问题还是等比数列问题,是求a n还是S n,特别是要弄清项数.【变式训练】某市2015年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2015年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%(参考数据:1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)答:到2024年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房的面积构成数列{b n},由题意可知,{b n}是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则b n=400×1.08n-1.由题意可知a n>0.85b n,有250+(n-1)×50>400×1.08n-1×0.85.当n=5时,a5<0.85b5,当n=6时,a6>0.85b6,即满足上述不等式的最小正整数n为6.答:到2020年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.【加固训练】1.(2016·成都模拟)《张丘建算经》卷上第22题为:今有女善织,日益功疾,且从第2天起,每天比前一天多织相同量的布,若第1天织5尺布,现在一月(按30天计)共织390尺布,则每天比前一天多织______尺布.()2.某工业城市按照“十二五”(2011年至2015年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求,进行减排治污.现以降低SO2的年排放量为例,原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨,已知该城市2011年SO2的年排放量约为9.3万吨.(1)按原计划,“十二五”期间该城市共排放SO2约多少万吨(2)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召,决定加大减排力度.在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下,自2013年起,SO2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p,为使2020年这一年SO2的年排放量控制在6万吨以内,求p的取值范围.答:按原计划,“十二五”期间该城市共排放SO2约为43.5万吨.答:SO2的年排放量每年减少的百分率p的取值范围为(4.94%,1).考向四数列与函数、不等式的综合问题【考情快递】【考题例析】命题方向1:数列与函数的综合问题【典例4】(2014·陕西高考)设f n (x)=x+x 2+…+x n -1,n ∈N,n ≥2.命题方向2:数列与不等式的综合问题【典例5】(2014·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=3a n +1. (1)证明 n 1{a }2+ 是等比数列,并求{a n }的通项公式.(2)证明:12n 1113.a a a 2++⋯+< 【技法感悟】1.解决函数与数列的综合问题的基本思路(1)数列是一类特殊的函数,它的图象是一群孤立的点;因此可考虑借助数形结合的思想思考数列问题.(2)可将数列问题转化为函数问题,借助函数的知识,如单调性、最值来解决. 2.数列中不等式的处理方法(1)函数方法:即构造函数,通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式,通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式.(2)放缩方法:数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到. (3)比较方法:作差或者作商比较. 【题组通关】1.(2016·济南模拟)已知等比数列{a n }的首项a 1=2014, 公比为q=12,记b n=a 1a 2a 3…a n,则b n 达到最大值时,n 的值为 ( )A.10B.11C.12D.不存在 2.(2016·青岛模拟)已知函数f(x)=()x 63a x 3(x 7)a (x 7),-⎧--≤⎪⎨⎪⎩,＞若数列{a n }满足a n =f(n)(n ∈N *),且{a n }是递增数列,则 实数a 的取值范围是__________.3.(2016·滨州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1= 1,a n+1=2S n +1(n ∈N *),等差数列{b n }中b 2=5,且公差d=2. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式.(2)是否存在正整数n,使得a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n >60n 若存 在,求出n 的最小值,若不存在,请说明理由. 【解析】(1)a 1=1,a n+1=2S n +1, 所以当n ≥2时,a n =2S n-1+1,相减得: a n+1=3a n (n ≥2),又a 2=2a 1+1=3,所以a 2=3a 1,所以数列{a n }是以1为首项,3为公比的等比数列,a n = 3n-1.又b 2=b 1+d=5,所以b 1=3,b n =2n+1.(2)a n·b n=(2n+1)·3n-1,令T n=a1b1+a2b2+…+a n b n=3×1+5×3+7×32+…+(2n-1)×3n-2+(2n+1)×3n-1①,3T n=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)×3n-1+(2n+1)×3n②,①-②得:-2T n=3×1+2(3+32+…+3n-1)-(2n+1)×3n,所以T n=n×3n,所以n×3n>60n,即3n>60,当n≤3时,3n<60,当n≥4时,3n>60,所以存在n的最小值为4.课时提升作业1.(2014·北京高考)设{a n}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{a n}为递增数列”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选D.当a1<0,q>1时,{a n}是递减数列;当{a n}为递增数列时,a1<0,0<q<1或a1>0,q>1.因此,“q>1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件.【加固训练】(2016·南昌模拟)在公差不为0的等差数列{a n}中,2a3-a72+2a11=0,数列{b n}是等比数列,且b7=a7,则b6b8= ( )A.2B.4C.8D.16【解析】选D.因为{a n}是等差数列,所以a3+a11=2a7,所以2a3-a72+2a11=4a7-a72=0,解得a7=0或4,因为{b n}为等比数列,所以b n≠0,所以b7=a7=4,b6b8=b72=16.2.设y=f(x)是一次函数,若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)+f(4)+…+f(2n)等于( )A.n(2n+3)B.n(n+4)C.2n(2n+3)D.2n(n+4)【解析】选A.由题意可设f(x)=kx+1(k≠0),则(4k+1)2=(k+1)×(13k+1),解得k=2,f(2)+f(4)+…+f(2n)=(2×2+1)+(2×4+1)+…+(2×2n+1)=2n2+3n=n(2n+3).3.(2016·聊城模拟)已知a,1,c成等差数列,a2,1,c2成等比数列,则log(a+c)(a2+c2)= ( )A.1B.1或log26C.3D.3或log26【解析】选B.由条件得{a+c=2,a2c2=1,ac=±1,所以log(a+c)(a2+c2)=log2(4-2ac)=1或log26.4.(2016·烟台模拟)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学着作之一.书中有这样一道题目:把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的17是较小的两份之和,问最小的一份为 ( ) A.53B.116C.136D.103【解析】选A.设五个人所分得的面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(其中d>0),则(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,所以a=20, 由17(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,解得d=556,所以最小1份为a-2d=20-1106=53.5.(2016·济宁模拟)已知a,b,c 成等比数列,a,m,b 和b,n,c 分别成两个等差数列,则a m +cn等于( ) A.4B.3C.2D.1【解析】选C.由题意得b 2=ac,2m=a+b,2n=b+c,则a m +c n =an+cm mn =a·b+c 2+c·a+b2a+b 2·b+c 2=ab+ac+ac+bcab+ac+b 2+bc2=2.【一题多解】解答本题,还有以下解法: 特殊值法:选C.因为a,b,c 成等比数列, 所以令a=2,b=4,c=8,又a,m,b 和b,n,c 分别成两个等差数列, 则m=a+b2=3,n=b+c2=6,因此a m +c n =23+86=2.6.已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1),且a 1=9,其前n 项和为S n ,则满足不等式|S n -n-6|<1125的最小整数n 的值为 ( ) A.5B.6C.7D.8【解析】选C.由已知式子变形得3(a n+1-1)=-(a n -1),则{a n -1}是以8为首项,-13为公比的等比数列,则|S n -n-6|=|a n -1+a n-1-1+…+a 1-1-6|=|8[1−(−13)n]1+13−6|=6×(13)n<1125,化简得3n-1>250,故满足条件的最小整数n 的值为7.7.(2016·烟台模拟)学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A,B 两种菜可供选择.调查表明,凡是在这星期一选A 菜的,下星期一会有20%改选B 菜;而选B 菜的,下星期一会有30%改选A 菜,用a n 表示第n 个星期一选A 菜的人数,如果a 1=428,则a 4的值为 ( ) A.324B.316C.304D.302【解析】选B.依题意有:a n =45a n-1+310(500-a n-1)=12a n-1+150(n ≥2,n ∈N *),即a n -300=12(a n-1-300)(n ≥2,n ∈N *),a n =128·(12)n−1+300,因此a 4=128·(12)3+300=316.【加固训练】根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (单位:万件)近似地满足S n =n90(21n-n 2-5)(n=1,2,…,12).按此预测,在本年度内,需求量超过1.5万件的月份是 ( ) A.5月,6月 B.6月,7月 C.7月,8月D.8月,9月【解析】选C.设第n 个月的需求量为a n ,因为从年初开始的n 个月内累积的需求量为S n (n=1,2,3,…,12). 所以当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n90(21n-n 2-5)-n−190[21·(n-1)-(n-1)2-5]=130(-n 2+15n-9).当n=1时,a 1=S 1=16,适合上式,综上可知,a n =130(-n 2+15n-9).令a n >1.5,即130(-n 2+15n-9)>1.5,解得6<n<9.又n 的取值为1,2,3, (12)所以n=7或n=8.8.已知数列{a n }为等差数列,a 1=1,公差d ≠0,a 1,a 2,a 5成等比数列,则a 2016的值为 . 【解析】由已知得a 22=a 1a 5,所以(1+d)2=1+4d,d=2,所以a 2016=1+2015×2=4031.答案:40319.(2016·滨州模拟)在等比数列{a n}中,0<a1<a4=1,则能使不等式(a1−1a1)+(a2−1a2)+…+(a n−1a n)≤0成立的最大正整数n是.【解析】设等比数列公比为q,由已知得a1q3=1,且q>1,(a1−1a1)+(a2−1a2)+…+(a n−1a n)=(a1+a2+…+a n)-(1a1+1a2+⋯+1a n)=a1(1−q n)1−q-1a1[1−(1q)n]1−1q≤0,化简得q-3≤q4-n,则-3≤4-n,n≤7.答案:710.(2016·淄博模拟)设数列{a n}满足a2+a4=10,点P n(n,a n)对任意的n∈N*,都有向量=(1,2),则数列{a n}的前n项和S n= .【解析】由题意可知,P n+1(n+1,a n+1),所以=(1,a n+1-a n)=(1,2),所以a n+1-a n=2,所以数列{a n}是以2为公差的等差数列,又a2+a4=10,所以a1=1,a n=2n-1,S n=1+3+…+(2n-1)=n2.答案:n211.(2016·天津模拟)如图,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n}(n∈N*)的前12项(如表所示),按如此规律下去,则a2017+a2018+a2019= .【解析】a1=1,a2=1,a3=-1,a4=2,a5=2,a6=3,a7=-2,a8=4等,这个数列的规律是奇数项为1,-1,2,-2,3,-3,…,偶数项为1,2,3,…,故a2017+a2019=0,a2018=1009. 答案:100912.(2016·青岛模拟)已知数列{a n}与{b n}满足:a1+a2+a3+…+a n=log2b n(n∈N∗).若{a n}为等差数列,且a1=2,b3=64b2.(1)求a n与b n.(2)设c n=(a n+n+1)·2a n−2,求数列{c n}的前n项和T n.【解析】(1)由已知得:a1+a2+a3=log2b3,①a 1+a 2=log 2b 2,② ①-②得,a 3=log 2b 3b 2=6,因为a 1=2,所以公差d=2, 所以a n =2n,因为a 1+a 2+…+a n =log 2b n ,即n(2+2n)2=log 2b n ,所以b n =2n(n+1).(2)由题意得c n =(3n+1)4n-1, T n =4+7·4+10·42+…+(3n+1)4n-1,③ 4T n =4·4+7·42+10·43+…+(3n+1)4n,④ ③-④得:-3T n =4+3·4+3·42+…+3·4n-1-(3n+1)4n, -3T n =4+3(4+42+…+4n-1)-(3n+1)4n, -3T n =4+3·4(1−4n−1)1−4-(3n+1)4n,整理得:T n =n ·4n(n ∈N *).13.记公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 3=9,a 3,a 5,a 8成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式a n 及S n .(2)若c n =n 2+λa n ,n=1,2,3,…,问是否存在实数λ,使得数列{c n }为单调递增数列若存在,请求出λ的取值范围;若不存在,请说明理由.【解题提示】(1)设公差为d,构造方程组求出a 1,d,进而可求a n ,S n .(2)利用c n+1-c n >0恒成立求解. 【解析】(1)设公差为d,由S 3=9,a 52=a 3·a 8,得:{3a 1+3×22d =9,(a 1+4d)2=(a 1+2d)·(a 1+7d),解得:a 1=2,d=1. 所以a n =n+1,S n =n(2+n+1)2=n 22+32n.(2)由题知c n =n 2+λ(n+1), 若使{c n }为单调递增数列,则c n+1-c n =(n+1)2+λ(n+2)-[n 2+λ(n+1)] =2n+1+λ>0对一切n ∈N *恒成立, 即:λ>-2n-1对一切n ∈N *恒成立,又φ(n)=-2n-1是单调递减的, 所以当n=1时,φ(n)max =-3, 所以λ>-3.【加固训练】(2016·武汉模拟)已知单调递增的等比数列{a n }满足:a 2+a 3+a 4=28,且a 3+2是a 2,a 4的等差中项.(1)求数列{a n }的通项公式. (2)若b n =a n lo g12a n ,S n =b 1+b 2+…+b n ,求S n +n ·2n+1>62成立的正整数n 的最小值. 【解析】(1)设等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q, 依题意,有2(a 3+2)=a 2+a 4,代入a 2+a 3+a 4=28, 可得a 3=8, 所以a 2+a 4=20,所以{a 1q 2=8,a 1q +a 1q 3=20,解得{q =2,a 1=2或{q =12,a 1=32.又数列{a n}单调递增,所以q=2,a 1=2,所以数列{a n }的通项公式为a n =2n. (2)因为b n =2nlo g122n =-n ·2n,所以S n =-(1×2+2×22+…+n ·2n), 2S n =-[1×22+2×23+…+(n-1)·2n+n ·2n+1], 两式相减,得S n =2+22+23+ (2)-n ·2n+1=2n+1-2-n ·2n+1,所以S n +n ·2n+1>62,即2n+1-2>62, 即2n+1>64=26,所以n+1>6,从而n>5,故正整数n 的最小值为6. 所以使S n +n ·2n+1>62成立的正整数n 的最小值为6.14.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 1=12,a n =-2S n ·S n-1(n ≥2).求证:S 12+S 22+…+S n2≤12-14n.【证明】因为a n =-2S n ·S n-1(n ≥2),所以S n -S n-1=-2S n ·S n-1(n ≥2). 两边同除以S n ·S n-1,得1S n -1S n−1=2(n ≥2),所以数列{1S n}是以1S 1=1a 1=2为首项,以d=2为公差的等差数列,所以1S n =1S 1+(n-1)·d=2+2(n-1)=2n,所以S n =12n.将S n =12n 代入a n =-2S n ·S n-1,得a n ={12(n =1),12n−2n 2(n ≥2).因为S n 2=14n 2<14n(n−1)=14(1n−1−1n )(n ≥2),S 12=14, 所以当n ≥2时,S 12+S 22+…+S n 2=14+14×2×2+…+14·n·n <14+14(1−12)+ (14)1n−1−1n)=12-14n;当n=1时,S 12=14=12-14×1.综上,S 12+S 22+…+S n 2≤12-14n.【加固训练】(2016·临沂模拟)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 5=25,且a 2,a 5,a 14成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式. (2)设b n =a n2n,T n =b 1·b 2·b 3·…·b n ,求证:T n ≥2√nn ∈N ∗).【解析】(1)设公差为d(d ≠0),因为S 5=25, 所以5a 1+5×42d=25,即a 1+2d=5.因为a 2,a 5,a 14成等比数列, 所以(a 1+d)(a 1+13d)=(a 1+4d)2, 即6a 1d-3d 2=0. 因为d ≠0,所以d=2a 1, 所以a 1=1,d=2.则a n =a 1+(n-1)d=2n-1. (2)因为b n =a n 2n =2n−12n,所以T n =b 1·b 2·b 3·…·b n =12×34×56×…×2n−12n.因为n+1n+2>nn+1,n ∈N *,所以当n ≥2时,T n 2=12×12×34×34×56×56×…×2n−12n ×2n−12n>12×12×23×34×45×56×…×2n−22n−1×2n−12n=14n.即T n >2√n,n ≥2.又当n=1时,T 1=12≥2√1=12成立, 综上,当n ∈N *时,T n ≥2√n成立.【新题快递】1.【2015高考浙江，文10】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ． 【答案】2,13- 【解析】由题可得，2111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3d a =-=. 2. 【2016高考四川文科】（本小题满分12分）已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+ ，其中q >0，*n N ∈ . （Ⅰ）若2323,,a a a a + 成等差数列，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设双曲线2221n y x a -= 的离心率为n e ，且22e = ，求22212n e e e ++⋅⋅⋅+.【答案】（Ⅰ）1=n n a q -；（Ⅱ）1(31)2n n +-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）已知n S 的递推式11n n S qS +=+，一般是写出当2n ≥时，11n n S qS -=+，两式相减，利用1n n n a S S -=-，得出数列{}n a 的递推式，从而证明{}n a 为等比数列，利用等比数列的通项公式得到结论；（Ⅱ）先利用双曲线的离心率定义得到n e 的表达式，再由22e =解出q 的值，最后利用等比数列的求和公式求解计算. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1n n a q -=.所以双曲线2221n y x a -=的离心率n e =由22e =解得q =.所以，22222(1)12222(1)2(11)(1+)[1]1[1]11(31).2n n n n ne e e q q q n q q n q n --++鬃?=+++鬃?+-=+++鬃?=+-=+-，3. 【2014四川，文19】设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上（*n N ∈）.（1）证明：数列{}n b 是等比数列；（2）若11a =，学科网函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列2{}n n a b 的前n 项和n S .【答案】（1）详见解析；（2）1(31)449n n n T +-+=.【解析】试题分析：据题设可得，2n an b =.（1）当1n ≥时，将1,n n b b +相除，可得商为常数，从而证得其为等比数列.（2）首先可求出()2xf x =在22(,)a b 处的切线为2222ln 2()ay b x a -=-，令0y =得222221(2ln 2)(),,2ln 2a b x a x a a -=⨯-=-∴=，由此可求出n a n =，2n n b =.所以24nn n a b n =⋅，这个数列用错位相消法可得前n 项和n T .4.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷18】已知等差数列}{n a 满足：21=a ，且1a 、2a 、5a 成等比数列.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式.（Ⅱ）记n S 为数列}{n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得?80060+>n S n 若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.（Ⅱ）当2=n a 时，n S n 2=，显然800602+<n n ，不存在正整数n ，使得80060+>n S n .当24-=n a n时，222)]24(2[n n n S n =-+=，令8006022+>n n ，即0400302>--n n ， 解得40>n 或10-<n （舍去） 此时存在正整数n ，使得80060+>n S n 成立，n 的最小值为41.综上所述，当2=n a 时，不存在正整数n ；当24-=n a n时，存在正整数n ，使得80060+>n S n 成立，n 的最小值为41.。