数列的综合应用
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第十六节 数列的综合应用
[自我反馈]
1.已知正项等差数列{a n }满足:a n +1+a n -1=a 2n (n ≥2),等比数列{b n }满足:b n +1b n -1=2b n (n ≥2),则log 2(a 2+b 2)=( )
A .-1或2
B .0或2
C .2
D .1
解析:选C 由题意可知,a n +1+a n -1=2a n =a 2n , 解得a n =2(n ≥2)(由于数列{a n }每项都是正数), 又b n +1b n -1=b 2n =2b n (n ≥2),
所以b n =2(n ≥2),log 2(a 2+b 2)=log 24=2.
2.已知数列{a n }满足:a 1=m (m 为正整数),a n +1=⎩⎪⎨⎪⎧
a n 2,当a n 为偶数时,3a n +1,当a n 为奇数时.若a 6=1,则
m 所有可能的取值为( )
A .{4,5}
B .{4,32}
C .{4,5,32}
D .{5,32}
解析:选C a n +1=⎩⎪⎨⎪⎧
a n 2,当a n 为偶数时,
3a n +1,当a n 为奇数时,注意递推的条件是a n (而不是n )为偶数或奇
数.由a 6=1一直往前面推导可得a 1=4或5或32.
3.在等差数列{a n }中,a 1=2,a 3=6,若将a 1,a 4,a 5都加上同一个数,所得的三个数依次成等比数列,则所加的这个数为________.
解析:由题意知等差数列{a n }的公差d =
a 3-a 1
2
=2,则a 4=8,a 5=10,设所加的数为x ,依题意有(8+x )2=(2+x )(10+x ),解得x =-11.
答案:-11
4.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________.
解析:设每天植树的棵数组成的数列为{a n }, 由题意可知它是等比数列,且首项为2,公比为2, 所以由题意可得21-2n
1-2≥100,即2n ≥51,
而25=32,26=64,n ∈N *,所以n ≥6. 答案:6
5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =n 2,数列{b n }为等比数列,且首项b 1=1,b 4=8.
(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;
(2)若数列{c n }满足c n =ab n ,求数列{c n }的前n 项和T n . 解:(1)∵数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =n 2, ∴当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2-(n -1)2=2n -1. 当n =1时,a 1=S 1=1亦满足上式, 故a n =2n -1(n ∈N *).
又数列{b n }为等比数列,设公比为q , ∵b 1=1,b 4=b 1q 3=8,∴q =2. ∴b n =2n -
1(n ∈N *). (2)c n =ab n =2b n -1=2n -1.
T n =c 1+c 2+c 3+…+c n =(21-1)+(22-1)+…+(2n -1) =(21
+22
+ (2)
)-n =21-2n
1-2
-n .
所以T n =2n +
1-2-n .
考向一 等差数列与等比数列的综合问题
【典例1】(2016·济南模拟)已知{a n }是等差数列,满足a 1=3,a 4=12,数列{b n }满足b 1=4,b 4=20,且{b n -a n }是等比数列.
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式. (2)求数列{b n }的前n 项和. 【母题变式】
1.若本例题条件“{b n -a n }是等比数列”变为“{b n -a n }是等差数列”,其他条件不变,求数列{b n }的通项公式.
2.若本例题条件“b 1=4,b 4=20,且{b n -a n }是等比数列” 变为“a n +2a n-1
=
,求数列{b n }的通项公式.
【规律方法】等差数列、等比数列综合问题的解题策略
(1)分析已知条件和求解目标,确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题,如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序. (2)注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中,如果 等比数列的公比不能确定,则要看其是否有等于1的可 能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一 个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的. 提醒:在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分 类讨论,分类解决问题后还要注意结论的整合. 【变式训练】(2016·天津模拟)已知等差数列{a n }的 公差和首项都不等于0,且a 2,a 4,a 8成等比数列,则
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23
a a a a a +++
= ( )
A.2
B.3
C.5
D.6
【加固训练】
1.等比数列{a n }的公比为q,前n 项和为S n ,若S n+1,S n ,S n+2成等差数列,则公比q 为 ( ) A.-2 B.1 C.-2或1 D.2或-1
2.(2016·泰安模拟)已知数列{a n }是公差大于零的等 差数列,数列{b n }为等比数列,且a 1=1,b 1=2,b 2-a 2=1, a 3+b 3=1
3.
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式. (2)设c n =a n a n+1,求数列
n 1c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和T n
. 因为d>0,所以d=2,q=2,a n =1+2(n-1)=2n-1,b n =2× 2n-1=2n ,
即a n =2n-1(n ∈N *),b n =2n (n ∈N *).
考向二 数列中的图表问题
【典例2】(1)(2016·德州模拟)将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … … … … …
按照以上排列的规律,第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________.
(2)(2016·太原模拟)下表是一个由正数组成的数表,数表中各行依次成等差数列,各列依次成等比数列,且公比都相等,已知a 1,1=1,a 2,3=6,a 3,2=8.
求数列{a n,2}的通项公式.
【解题导引】(1)求出第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为原数列的第几项,再求解.(2)构造方程组求出等差数列的公差与等比数列的公比.
(2)设第一行组成的等差数列的公差是d,各列依次组成的等比数列的公比是q(q>0),