空间向量加减法运算
(整理版)谈空间向量的加减运算
谈空间向量的加、减运算空间向量的加、减运算是空间向量运算中的最为根底的内容，它也是今后学习空间向量的起点；因此，必需认真、慎重地对待，下面对空间向量的加、减运算谈以下两点，望对你的学习能有所帮助。
一、加、减运算的法那么1、平行四边形法那么这是我们很熟悉的一个法那么，在平面向量中、在物理中，我们都曾学习过。
对空间向量我们必需注意空间的平行线与平行面的平行线之间的区别。
必需认真的观察图形，方可求解问题。
例1、如图，在平行六面体EFGH ABCD -中，用 AE AB AD ,,表示向量AG 分析：由于EFGH ABCD -是平行六面体，因此， 四边形AEGC 是平行四边形，所以AE AC AG +=。
又四边形ABCD 也是平行四边形，得AB AD AC +=于是，AE AB AD AG ++=；2、三角形法那么可以说它是简化的平行四边形法那么。
进行加法运算时，一定要注意，首尾相接；进行减法运算时，一定要抓住起点与终点；对于三角形法那么，可以从位移的角度来加以理解。
例2、如图，在平行六面体EFGH ABCD -中，用AE AB AD ,,表示向量BH分析：在三角形ABH 中，对于向量BH ，由于起点为B ，终点为H ，所以AB AH BH -=又在三角形AHD 中，向量AH 的起点为A ，终点为H ，因此DH AD AH += 由于AE DH //且AE DH =，得AE DH =故AB AE AD BH -+=二、加、减法的几何意义1、不平行时的作图两个向量不平行时，用图象作出两个向量的和或差；直接用平行四边形法那么或用三角形法那么即可。
例3、如图向量→a 与向量→b 不平行，标出它们的和向量法一：平移CD，将起点C与点AAB,为邻边，作平行重合，分别以AD四边形ABED，那么对角线AE即为所求的和向量。
A,，那么向量AD即为所求的和向量。
法二：平移CD，将起点C与点B重合，连结D2、平行时的作图例4、AB与CD平行标出它们的和、差向量解：〔1〕方向相同时，平移CD，将起点C移至与点B重合，此时，AD即为所求的和向量〔也可以平移AB〕。
《空间向量的加减法与数乘运算》
②结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.
2.空间向量的数乘运算
（1）数乘运算法则与平面向量类似，实数 与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作
a.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算，向量a的长度和方向满足：
① | a || || a |
②当 >0时，向量 a与向量a方向相同；当 <0时，向量a与向量a方向相反；当
（1）. AB AD AA'
（2）.DD AB BC （3）. AB AD 1 (DD' BC)
2
解 （1）. AB AD AA AC AA AC CC AC
（2）. DD AB BC BB BA
（3）设点M为CB'的中点，则AB
AC 1 CB AM
ADBC1(DBAD
设计意图
师生互动，通过教师讲解、学生板演等方式研究例题，突破重难点，提升学生的直观想 象、数学运算及逻辑推理核心素养.
学而优 · 教有方
归纳小结
教学内容
1.基本知识 （1）空间向量的加减法运算法则； （2）加法运算律； （3）空间向量的数乘运算及其运算律； （4）共线向量基本定理. 2.数学核心素养 （1）直观想象； （2）数学运算； （3）逻辑推理.
学而优 · 教有方
高中数学 GAOZHONGSHUXUE
归纳小结
师生互动
教师引导学生分组回答，小组评价.
设计意图
培养学生的概括总结能力.
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布置作业
教学内容
教材第100页练习第1，2题.
师生互动
学生独立完成，教师批改.
高考向量题型和解题方法
高考向量题型和解题方法高考向量题型主要涉及向量的基本运算、向量的数量积和向量的叉乘。
以下是几种经典的向量题型及其解题方法：1. 向量加减法题型对于向量$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ 和$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，求 $\vec{a}+\vec{b}$ 和 $\vec{a}-\vec{b}$。
解题思路：直接将向量的对应元素相加或相减即可，即：$$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)$$$$\vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3)$$2. 向量数量积题型对于向量$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ 和$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，求它们的数量积 $\vec{a}\cdot\vec{b}$。
解题思路：数量积的公式为$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$，将向量的对应元素相乘后相加即可。
3. 向量叉乘题型对于向量$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ 和$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，求它们的叉乘 $\vec{a}\times\vec{b}$。
解题思路：叉乘的公式为：$$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\a_1 & a_2 & a_3\\b_1 & b_2 & b_3\end{vmatrix}$$其中 $\vec{i}$，$\vec{j}$，$\vec{k}$ 分别为 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴的单位向量。
求解时将行列式按第一行展开即可。
4. 空间向量共面题型给定空间向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 和 $\vec{c}$，若它们共面，求 $\vec{c}$ 在 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所在平面上的投影向量。
向量及其加减法,向量与数的乘法
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
以M1为起点，M2 为终点的有向线段.
向量的模： 向量的大小.| a| 或 | M1M2 |
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1 M 20
零向量：模长为0的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
四、小结
向量的概念（注意与标量的区别） 向量的加减法（平行四边形法则） 向量与数的乘法（注意数乘后的方向）
思考题
已知平行四边形ABCD的对角线
AC a,
BD b
10、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的
11、始 要使点，a则b终点a构 b成成__立__，__向__量_a__,_b_应__满__足_____；_____
12、_要__使__a___b___a____b_成_；立，向量a,
b 应满足_______
___________ .
二、用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平 行四边形 .
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
二、向量的加减法
[1]
加法：a
b
c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若 a‖
a b
空间向量
AB
AB
向量的大小 a 长度为零的向量 模为1的向量
AB
长度为零的向量 模为1的向量 长度相等且方向相同 的向量 长度相等且方向相反 的向量
相等向量 相反向量
长度相等且方向相同 的向量 长度相等且方向相反 的向量
类比平面向量的加减法法则：
D C
C
b
A
b
a
B
A
a
B
平面向量加法的平行四边形法则 （起点相同） C
平面向量加法的三角形法则 （首尾相连） 特别地， 若平面内两个向量共线， 则转化为共线向量的加减法。
b
A
平面向量减法的三角形法则 （起点相同）Байду номын сангаас
a
B
二.空间向量的加减法
思考：空间任意两个向 量是否可以平移到同一 平面内？
B
b
O
A
a
结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内， 内，成为同一平面内的两个向量。
证明：
' （a +b）+c = ( AB AD) AA ' AC AA AC ' ' a +(b+c ) = AB ( AD AA ) AB AD' AC'
证明：
' （a +b）+c = ( AB AD) AA ' AC AA AC '
D’ A’ B’
C’
c
D
A C
b
a
B
思考. 你能证明空间向量的交换律及结合律吗？
⑵加法结合律： (a + b) + c =a + (b + c)；
向量的各种运算及其应用
向量的各种运算及其应用随着科技的发展，向量成为了许多学科中不可或缺的重要概念，如物理、计算机科学、数学等。
向量是具有大小和方向的量，可以用于描述空间中的物理量或者图形的位置等信息。
然而，向量不仅仅是一个抽象的概念，还可以进行各种运算并应用于实际问题中。
本文将介绍向量的各种运算及其应用。
一、向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法、乘法。
其中，向量的加法和减法可以用直角坐标系表示，向量乘法分为数量积和叉积。
1. 向量加法和减法向量加法指的是将两个向量相加得到一个新的向量，向量加法可以表示为： A + B = C，其中 A、B、C 为向量。
向量加法可以用平行四边形法则表示，即将两个向量首尾相接，作出第三个向量，第三个向量的起点即为第一个向量的起点，终点即为第二个向量的终点。
向量减法指的是将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量，向量减法可以表示为： A - B = C，其中 A、B、C 为向量。
向量减法可以用三角形法则表示，即将第二个向量取反，再将两个向量相加即可得到第三个向量。
2. 向量乘法向量乘法分为数量积和叉积。
数量积是指两个向量点乘而得到的一个标量，数量积可以表示为：A • B = |A| |B| cos∠(A,B)，其中 A、B 为向量，|A| 和 |B| 分别为对应向量长度，∠(A,B) 为 A、B 之间的夹角。
数量积可以用以下公式快速计算：A • B = Ax*Bx + Ay*By + Az*Bz。
叉积是指两个向量叉乘而得到的一个新的向量，叉积可以表示为：A × B = |A| |B| sin∠(A,B) n，其中 n 为符合右手定则的向量，∠(A,B) 为 A、B 之间的夹角。
叉积可以用以下公式快速计算：A× B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx)。
二、向量的应用向量在物理、计算机科学和数学等学科中都有着广泛的应用。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算a21
解析:(2)①( AB + BC )+ CC1 = AC + CC1 = AC1 ; ②( AA1 + A1D1 )+ D1C1 = AD1 + D1C1 = AC1 ; ③( AB + BB1 )+ B1C1 = AB1 + B1C1 = AC1 ; ④( AA1 + A1B1 )+ B1C1 = AB1 + B1C1 = AC1 .
3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算
课标要求:1.经历向量及其运算由平面到空间推广的过程,了解空间向量的 概念.2.掌握空间向量的加法、减法和数乘运算.3.理解空间共线向量和共 面向量定理及推论.
自主学习 课堂探究
知识探究
自主学习
1.空间向量及其长度的定义 与平面向量一样,在空间,我们把 具有大小和方向的量 叫做空间向量,
解析:容易判断D是假命题,共线的单位向量是相等向量或相反向量.故
选D.
2.空间两向量a,b互为相反向量,已知向量|b|=3,则下列结论正确的是
(D)
(A)a=b
(B)a+b为实数0
(C)a与b方向相同
(D)|a|=3
3.在下列条件中,使 M 与 A,B,C 一定共面的是( C )
(A) OM =3 OA -2 OB - OC (B) OM + OA + OB + OC =0
空间向量的应用
空间向量的应用随着科技的发展，空间向量的应用越来越广泛。
从物理学到计算机科学，从工程技术到地理测量，空间向量在各个领域都发挥着重要作用。
本文将讨论空间向量的基本概念和其在不同领域中的应用。
一、空间向量的基本概念在三维几何学中，我们将三维空间中的点表示为向量。
一个空间向量由其起点和终点决定，可以表示为一个有向线段。
空间向量具有长度和方向两个重要属性，可以进行加减法运算，也可以与数乘相乘。
空间向量的加法运算是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
例如，设有两个空间向量a和b，a = (a1, a2, a3)，b = (b1, b2, b3)，则它们的加法运算为：a + b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)。
空间向量的数乘运算是指将一个向量的每个分量与一个常数相乘，得到一个新的向量。
例如，设有一个空间向量a = (a1, a2, a3)和一个常数k，则它们的数乘运算为：k * a = (ka1, ka2, ka3)。
二、空间向量在物理学中的应用在物理学中，空间向量被广泛应用于描述物体的运动和力学问题。
利用空间向量的概念，我们可以方便地描述物体在三维空间中的位置和速度。
例如，在力学中，我们可以使用位移向量来表示物体从起点到终点的移动情况。
同时，利用速度向量和加速度向量，我们可以描述物体在空间中的运动状态。
另外，在电磁学中，空间向量也有重要应用。
电场和磁场可以用向量来表示，通过分析场向量的大小和方向，我们可以推导出电磁场的性质和相互作用规律。
三、空间向量在计算机科学中的应用在计算机科学中，空间向量被广泛应用于图形学和计算机视觉领域。
通过使用向量表示空间中的点、线和面，我们可以高效地进行图形渲染和图像处理。
例如，在三维图形学中，我们可以使用向量来描述三维物体的形状和位置。
利用空间向量的加法和数乘运算，我们可以实现物体的平移、旋转和缩放等操作。
另外，在计算机视觉中，空间向量的应用也非常广泛。
空间向量加减运算和数乘运算
ur r r
序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
ur
r b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
r
Aa
B
p
P
如图r ,r平面 为经过已知点 A 且平行两不共线的非零向 量 a 、b 的平面,如何表示平面 A 上的任一点 P 呢?
uuur r r ⑴∵ AP与a 、b 共面,
ur
r b
C
r
Aa
B
p
uuur
P
rr
∴ 唯一有序实数对(x, y),
段互相平行或重合；
r
r
实数 与空间向量 a 的乘积 a 仍然是一个向量.
r
r
⑴当 0时, a 与向量 a 的方向相同;
r
r
⑵当 0时, a 与向量 a 的方向相反;
r
⑶当 0 时, a 是零向量.
加法交换律： a b b a 加法结合律： (a b) c a (b c)
数乘分配律： (a b) a＋b 数乘结合律： (a) ()a
⒉平面向量的加减法运算 ⑴向量的加法：
b
a
a
平行四边形法则 ⑵向量的减法
三角形法则(首尾相连)
三角形法则
b a
减向量终点指向被减向量终点
推广:
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起 点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1A2 A2 A3 A3 A4 An1An A1An
11
思考： 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B 、C ,
uuur uuur uuur uuur
满 足 向 量 关 系 式 OP xOA yOB zOC ( 其 中 x y z 1 )的点 P 与点 A、B 、C 是否共面?
2021年高中数学3.1.1空间向量及其加减运算学案含解析人教A版选修2_1
3.1.1 空间向量及其加减运算[目标] 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及其运算律，理解向量减法的几何意义．[重点] 空间向量加减运算及其几何意义．[难点] 向量加减运算由平面向空间的推广．知识点一空间向量的有关概念[填一填]1．定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度：向量的大小叫做向量的长度或模．4．几类特殊向量[答一答]1．向量可以用有向线段表示，那么有向线段是向量吗？提示：不是．虽然有向线段既有大小又有方向，但它不是一个量．2．如何理解零向量的方向？提示：由于零向量的长度为零，可以理解为表示零向量的有向线段长度为零，因此可以理解为零向量不是没有方向，而是方向是任意的．3．你能说出平面向量与空间向量的区别与联系吗？提示：(1)区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量．(2)联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量和相等向量的概念都与平面向量相同．知识点二空间向量的加减运算[填一填][答一答]4．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一样吗？提示：因为空间中任意两个向量均可平移到同一个平面内，所以空间向量与平面向量加减法均可以用三角形或平行四边形法则，是一样的．5．共起点的两个不共线向量的和向量所对应的线段是平行四边形的对角线，那么三个不共面的向量的和向量与这三个向量有什么关系？提示：如图，将三个不共面的向量平移至同一起点，以这三个向量所对应的线段为棱作平行六面体，则这三个向量的和向量所对应的线段即为从该起点出发的平行六面体的体对角线．1．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行．2．单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量．3．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量，因而空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加、减法运算．类型一 空间向量的有关概念 【例1】 给出以下命题：①若a ，b 是空间向量，则|a |＝|b |是a ＝b 的必要不充分条件； ②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→；⑥空间中任意两个单位向量必相等． 其中，正确的命题序号是________． 【分析】 用空间向量的有关概念进行判断．【解析】 以上命题①②④⑤正确．两向量若相等，必须方向相同且模相等．但相等的向量起点不一定相同，故③错；两个单位向量虽模相等，但方向不一定相同，故⑥错．【答案】 ①②④⑤与平面向量一样，空间向量也有向量的模、向量的夹角、单位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量的概念.两个向量是否相等，要看方向是否相同，模是否相等，与起点和终点位置无关.(1)把空间所有单位向量归结到一个共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( C )A ．一个圆B ．两个孤立的点C ．一个球面D ．以上均不正确(2)下列命题中正确的个数是( C ) ①如果a ，b 是两个单位向量，则|a |＝|b |； ②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同； ③若a ，b ，c 为非零向量，且a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：(1)单位向量的模为1，把所有空间单位向量移到共同起点后，向量的终点到起点的距离均为1，构成了一个球面．(2)对于①：由单位向量的定义即得|a |＝|b |＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．类型二 空间向量的加减运算【例2】 如图，已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x 、y 、z 的值．(1)BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→； (2)AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→.【解】 (1)∵BD ′→＝BD →＋DD ′→＝BA →＋BC →＋DD ′→＝－AB →＋AD →＋AA ′→， 又BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→，∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12A ′C ′→＝AA ′→＋12(A′B ′→＋A ′D ′→)＝AA ′→＋12A ′B ′→＋12A ′D ′→＝12AD →＋12AB →＋AA ′→， 又AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→， ∴x ＝12，y ＝12，z ＝1.灵活运用空间向量的加法与减法法则，尽量走边路即沿几何体的边选择途径，多个向量运算时，先观察分析“首尾相接”的向量，使之结合，使用减法时，把握“共起点，方向指向被减向量”.如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有( D )①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.所以，所给4个式子的运算结果都是AC 1→.故选D. 类型三 有关向量的证明问题【例3】 求证：平行六面体的体对角线交于一点，并且在交点处互相平分． 【分析】 解决这个问题要充分利用课本上的一个结论，即平行六面体体对角线向量AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→.【证明】 如下图，平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′，设点O 是AC ′的中点，则AO →＝12AC ′→＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．设P 、M 、N 分别是BD ′、CA ′、DB ′的中点．则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋12BD ′→＝AB →＋12(BA →＋BC →＋BB ′→)＝AB →＋12(－AB →＋AD →＋AA ′→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．同理可证：AM →＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)，AN →＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．由此可知O 、P 、M 、N 四点重合．故平行六面体的体对角线相交于一点，且在交点处互相平分．利用向量解决立体几何问题的一般思路是：将要解决的问题用向量表示，用已知向量表示所需向量，对表示出的所需向量进行目标运算，再将运算结果转化为要解决的问题.如图，设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心．求证：AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)．解：如图，连结BG ，延长后交CD 于E ，由G 为△BCD 的重心，知BG →＝23BE →.∵E 为CD 的中点， ∴BE →＝12BC →＋12BD →.∴AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BC →＋BD →)＝AB →＋13[(AC →－AB →)＋(AD →－AB →)]＝13(AB →＋AC →＋AD →).1．判断下列命题中为真命题的是( A )A ．向量AB →与BA →的长度相等B ．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等解析：|AB →|＝|BA →|，故选项A 对；选项B 应为球面；选项C ，空间向量可以用有向线段来表示，但不等同于有向线段；选项D ，向量不相等有可能模相等．2．设A 、B 、C 为空间任意三点，则下列命题为假命题的是( C ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →＋BC →＋CA →＝0 C.AB →－AC →＝BC →D.AB →＝－BA →3．如右图，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则BD ′→＝b－a ＋c ，A ′C →＝a ＋b －c .解析：BD ′→＝BD →＋DD ′→＝AD →－AB →＋AA ′→＝b －a ＋c ，A ′C →＝A ′A →＋AC →＝AB →＋AD →＋A ′A →＝a ＋b －c .4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，化简AB →－CD →＋BC →－DA →的结果是2AC →.5．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、DB 的中点，请化简(1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．解：(1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，如图中向量AD →；(2)∵E 、F 、G 分别为BC 、CD 、DB 的中点，∴GD →＝BG →，GF →＝12BC →＝EC →，∴AB →＋GD →＋EC →＝AB→＋BG →＋EC →＝AG →＋GF →＝AF →，如图中向量AF →.。
空间向量及基本运算
A2
An1
An A3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即： A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0
A1
A2
An1
An A3
A4
二、空间向量及其加减与数乘运算
⒈空间向量： ⑴定义：空间中具有大小和方向的量叫做向量． ⑵表示方法： ①空间向量的表示方法和平面向量一样； ②同向且等长的有向线段表示同一向量或 相等的向量； ③空间任意两个向量都可以用同一平面 内的两条有向线段表示．
A1
A2
An1
An A3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即： A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0
A1
A2
An1
An A3
A4
平行六面体
平行四边形ABCD平移向量 a 到A’B’C’D’ 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记 作ABCD—A’B’C’D’． D’ C’
' '
A B
E C
D
(2) AE AA x AB y AD
'
A B C
D
练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面
AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
(1) AC x( AB BC CC )
' '
A
E C
D
B
A B
D
C
练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
A
D B
空间向量及其加减运算
单位向量
模为1 的向量称为单位向量
与向量a长度 相等 而方向 相反 的向量，称为a的相反向量， 相反向量
记为－a 方向 相同 且模 相等 的向量称为相等向量， 同向 且 等长 的 相等向量 有向线段表示同一向量或相等向量
知识点二 空间向量的加减法与运算律
空间向量 加法 的运算 减法
O→B＝ O→A＋A→B ＝a＋b C→A＝ O→A－O→C ＝a－b
[素养提升] (1)掌握空间向量的相关概念是正确解答本题的关键. (2)准确把握推理的形式和规则，有利于培养学生逻辑推理的思维品质.
随堂演练
SUITANGYANLIAN
1.“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的 A.充分不必要条件
√B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
核心素养之逻辑推理 对空间向量的有关概念理解不清致误
典例 下列说法中，错误的个数为
①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同； ②若向量A→B，C→D满足|A→B|＝|C→D|，A→B与C→D同向，则A→B>C→D； ③若两个非零向量A→B，C→D满足A→B＋C→D＝0，则A→B，C→D互为相反向量；
2.长度或模：向量的 大小 .
3.表示方法：
(1)几何表示法：空间向量用 有向线段 表示.
(2)字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是
B，也可记作：
→ AB
，其模记为
|a|
→ 或 |AB|
.
4.几类特殊的规定长度为0的向量叫做 零向量 ，记为0
C.a与b方向相同
√D.|a|＝3
解析 向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反，故选D.
311空间向量及其加减法-文档资料
C1
F2
D B C
F1
小结
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 零向量 相等向量 相反向量 加法:平行四边形法则 加法:平行四边形法则 或三角形法则 加、 或三角形法则 减法 减法:三角形法则 运算 减法:三角形法则 不共面的三个向量的和：
平行六面体法则 运 算 律
加法交换律 加法结合律
ab ba
(a b) c a (b c)
类比方法
数形结合思想
（二）平面向量的加法、减法法则及其几何意义
1.向量加法三角形法则: 特点:首尾相接，首尾连 C ab b
A
2.向量加法平行四边形法则:
B
a
a b b
C 特点:共起点
b
a
B
O
a
A
3.向量减法三角形法则:
a
O
B
b
a
A
BA a b
b 特点：共起点，连终点，方向指向被减数
OB OA AB a b, CA OA OC a b,
b a
b
C
B
O
a
A
空间向量加法的推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
An An
D1 A1 B1 C1
a
D A B C
平行六面体ABCD-A1B1C1D1的六个面都是平行四边形。
典例剖析：
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列 向量表达式 (如图)
空间向量及其加减运算说课稿
空间向量及其加减运算（说课稿）各位专家评委大家好！我是来自福海县第一高级中学的任燕，今天我说课的课题是《空间向量及其加减运算》，它选自人民教育出版社A版高中数学选修2-1“第三章空间向量与立体几何”的第一节内容。
我将从说教材、说学生、说教法、说学法、说教学过程、说板书设计，六个方面陈述我对本节课的设计方案。
恳请各位专家评委批评指正。
一、说教材：1、地位和作用：向量可以表示物体的位置，其本身也是一种几何图形（既有方向又有长度的线段），因而它成为几何学基本的研究对象；又因向量可以进行加减、数乘、数量积等运算，从而它又成为代数学的研究对象，因此可以说向量是最重要的数学模型，是链接代数与几何的桥梁。
用空间向量处理某些立体几何问题，可以为学生提供新的视角。
在空间特别是空间直角坐标系中引入空间向量，可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种理想的代数工具，从而降低许多立体几何的解题难度，而且由于近几年高考命题倾向于新教材的改革，因此善于运用空间向量来解决立体几何的问题成为高考命题的热点之一,也是应考复习中不可忽视的一个重要问题。
本节是在学习了简单的立体几何与平面向量及其运算的基础上进行教学的。
通过本节课的学习，既可以对向量的知识进一步巩固和深化，又可以为后面解决立体几何问题打下基础，所以学好这节内容是尤为重要的。
2、教学的重点和难点：根据教学大纲的要求我确定教学重难点如下：教学重点：（1）空间向量的有关概念；（2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义；（3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用教学难点：（1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。
（2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。
二、说学生1、学情分析由于学生已经有了一定的平面向量知识和立体几何的空间观念作为基础，在教学中可运用类比和归纳的方法让学生体验数学结构上的层次感和完整性。
虽然空间向量是在平面向量的基础上的进行的推广，涉及的内容与平面中的类似，学生比较容易接受，但是在实际教学中应注意增加了维数所带给学生不利的影响。
第节空间直角坐标系及向量及其加减法
第一节 空间直角坐标系
一 空间点的直角坐标
坐标轴: x 轴 (横轴), y 轴 (纵轴), z 轴 (竖轴 z ). 坐标原点 o
坐标面:
xoy yoz zox
z
o
x
右手系
y
V
0
y
V
三个坐标面把空间分隔成八个部分, 每个部分称为卦限. 依次叫做第一至第八卦限.
2
V
x
V
第一节第一节空间直角坐标系空间直角坐标系空间两点间的距离第二节第二节向量及其加减法向量及其加减法向量与数的乘法向量与数的乘法向量的概念二
第十章 空间解析几何与向量代数
第一节 空间直角坐标系
一 空间点的直角坐标
二 空间两点间的距离
第二节 向量及其加减法 向量与数的乘法
一. 向量的概念
二．向量的加减法
三、向量与数的乘法
x P
z
x o
y
M
Q y
M xoy M ( x, y,0);
M yoz ; M (0, y, z )
原点坐标 (0,0,0)
3
M zox M ( x,0, z );
x、y、z在各卦限内的符号 :
第一卦限: 第二卦限: 第三卦限: 第四卦限: 第五卦限: 第六卦限: 第七卦限: 第八卦限:
11
a 0, 则 b// a 的充分必要条件是存在 定理1 设 向 量 唯一的实数, 使b a .
|b| 取实数 使 | λ | , 且当b 与a同向时 , 为正, 当b 与a反向 |a| 时, 为负 , 则b a. 再证唯 一性. 设b a, b a, 则( )a 0. 因 | a | 0, 故 0, 即 . 0 与向量a 0同方向的单位向量 , 记做 a . 0 0 1 a 易 知 有a | a | a , a a |a| |a| 即 ： 一 非 零 向 量 除 以的 它模 的 结 果 是 一 个 与向 原 量同向的单位向量。
空间向量的运算法则
空间向量的运算法则1.向量加法：向量加法是将两个向量进行相加。
设有向量A=(x1,y1,z1)和向量B=(x2,y2,z2)，则它们的和C=A+B定义为：C=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)向量加法有以下性质：-交换律：A+B=B+A-结合律：(A+B)+C=A+(B+C)-存在一个零向量0，使得A+0=A-对于每个向量A，存在一个负向量-B，使得A+(-B)=02.向量减法：向量减法是将一个向量减去另一个向量。
设有向量A=(x1,y1,z1)和向量B=(x2,y2,z2)，则它们的差D=A-B定义为：D=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)3.数乘：数乘是将一个实数与一个向量相乘。
设有实数k和向量A=(x,y,z)，则它们的数乘P=kA定义为：P = (kx, ky, kz)数乘有以下性质：- 结合律：k(lA) = (kl)A-(k+l)A=kA+lA-k(A+B)=kA+kB-1A=A4.数量积（内积）：数量积又称为内积，是两个向量的数量乘积的和。
设有向量A=(x1,y1,z1)和向量B=(x2,y2,z2)，则它们的数量积记为A·B，定义为：A·B=x1x2+y1y2+z1z2数量积有以下性质：-交换律：A·B=B·A-分配律：(A+B)·C=A·C+B·C-结合律：(kA)·B=A·(kB)=k(A·B)-若A·B=0，则称向量A和向量B垂直或正交，即两个向量的夹角为90度通过数量积可以求得向量的模长（长度）：A，=√(A·A)=√(x^2+y^2+z^2)5.向量积（叉积）：向量积又称为叉积，是两个向量的乘积的向量积。
设有向量A=(x1,y1,z1)和向量B=(x2,y2,z2)，则它们的向量积记为A×B，定义为：A×B=(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1)向量积有以下性质：-反交换律：A×B=-B×A-分配律：A×(B+C)=A×B+A×C-结合律：k(A×B)=(kA)×B=A×(kB)通过向量积可以求得向量的模长（长度）：A × B， = ，A，，B，sinθ其中，θ为A和B的夹角。
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平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
具有大小和方向的量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 abba 算 加法结合律 律 (ab)ca(bc)
a
k a (k>0)
k a (k<0)
向量的数乘
3、平面向量的加法、减法与数乘运算律
加法交换律： a b b a 加法结合律： (a b) c a (b c) 数乘分配律： k (a b) k a＋ k b
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n
复习回顾：平面向量
1、定义：既有大小又有方向的量。
几何表示法:用有向线段表示
字母表示法： 用小写字母表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。
相等向量：长度相等且方向相同的向量
B
A
D
C
2、平面向量的加法、减法与数乘运算
b a
向量加法的三角形法则
b
a
向量减法的三角形法则
b
a
向量加法的平行四边形法则
(3) ACAB1 AD1 xAC1 D
C1 B1
C
A
B
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) A1B A 1D 1C 1CxAC
解 (1) A1B A 1D 1C 1C
D1
AB 1 B1C 1 C 1C A1
C1 B1
AC x 1.
D A
(2) 2AD1 BD1 xAC1
C B
(3) ACAB1 AD1 xAC1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(2) 2A1D B1D xA1C(3) A C A1B A1D xA1C
(2) 2AD 1BD 1 AD 1AD 1BD 1 A1 D (B1 CB1 D ) AD1 D1C1 AC1
( 3 ) 1 ( AB 3
AD
AA 1 )
1
( 4 ) AB
AD
CC 2
1
D1 A1
C1 B1
D A
C B
a
D
D1 A1
C1 B1
CD
C
A
BA
B
平行六面体：平行四边形ABCD平移向量 a
到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n A 1 0
F2
F3 F1
F1=10N F2=15N F3=15N
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 减法:三角形法则
数乘分配律
k(ab)ka＋kb
加法交换律 abba
成立吗？ 加法结合律
数乘分配律 k(ab)ka＋kb
加法结合律： (ab)ca(bc)
O
a
A
b B
C
c
O
a
b+c
C
A
b
c
B
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n
B
b
O
A
OB OA AB
a CA OA OC
空间向量的加减法
k a (k>0)
空间向量的数乘
k a (k<0)
B
b
b
O
a
A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
空间向量及其加减与数乘运算
(1 ) AB BC
D1
C1
( 2 ) AB AD AA 1
( 3 ) 1 ( AB 3
AD
AA 1 )
1
( 4 ) AB
AD
CC 2
1
解(1： )ABBC ＝AC ;
A1 G
D A
B1 M
C B
( 2 ) A A B A D 1 A A C 1 A C C 1 A C 1 C
x1.
D1 A1
D
C1 B1
C
A
B
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(3) A C A1B A1D xA1C
(3) ACA1BAD 1
(A D A) B (A 1 A A) B (A 1 A A)D
D1
C1
2(AD AB A1A )
A1
B1
2AC1
x2.
D (1)原式 A B ＝ BM M G AG
B
M
(2)原式
G ＝ A BBM M G 1(A BA)C
2
C
＝ BM M G1(AB AC )
2
＝BMMGMB MG
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E
D (1)AC ' x(A BBC CC ')
B
C
(2)AEAA' xAByAD
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
F2
F3 F1
F1=10N F2=15N F3=15N
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) A1B A 1D 1C 1CxAC D1
A1
(2) 2AD1 BD1 xAC1
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
空间向量
具有大小和方向的量
运 加法交换律 abba 算 加法结合律 律 (ab)ca(bc)
数乘分配律
k(ab)ka＋kb
C
a+ b
数乘分配律
k(ab)ka＋kb
加法交换律 abba 加法结合律
(ab)ca(bc) 数乘分配律 k(ab)ka＋kb
作业
空间四 AB边 中 CAD 形 ， Ba， B＝ C b， A D c， 试a,用 b,c来表 C， D A 示 ,C B.D
思考题：考虑空间三个向量共面的充要条件.
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n A 1 0
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1 ) AB BC
( 2 ) AB AD AA 1
C
A B
D C
小结
类比思想 数形结合思想
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
具有大小和方向的量 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 abba 算 加法结合律 律 (ab)ca(bc)
A B
D C
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E
D (1)AC ' x(A BBC CC ')
B
C
(2)AEAA' xAByAD
A B
D C
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E
D (2)AEAA' xAByAD
B
D
C
A
B
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A
(1) AB 1 (BC BD) 2
Hale Waihona Puke (2) AG 1 ( AB AC ) 2
D
B
M
G C
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A
(1) AB 1 (BC BD) 2
(2) AG 1 ( AB AC ) 2
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 abba 算 加法结合律 律 (ab)ca(bc)
数乘分配律
k(ab)ka＋kb
D A
b
D A
C
Ba
D1 A1
C1 B1
C
D
B
A
C B
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。