母函数及其应用
指数母函数
指数母函数指数母函数是概率论中一个重要的概念，它在组合学、统计学、以及算法设计中具有广泛的应用。
本文将介绍指数母函数的定义、性质以及一些典型的应用场景。
首先，让我们来了解一下指数母函数的定义。
在概率论中，我们通常通过概率分布来描述一个随机变量的性质。
指数母函数是一种生成函数，可以用来完整地描述一个非负随机变量的概率分布。
对于一个非负随机变量X，指数母函数定义为G_X(t) = E[t^X] = ∑_(k=0)^(∞) P(X=k)t^k其中，E[•]表示数学期望操作，P(X=k)表示随机变量X取值为k的概率。
通过指数母函数，我们可以方便地计算出随机变量的各种矩、生成函数以及其他相关特征。
指数母函数具有一些重要的性质。
首先，对于独立同分布的随机变量序列X_1, X_2, ... , X_n，它们的指数母函数的乘积等于它们各自的指数母函数的乘积。
也就是说，如果我们知道了每个随机变量的指数母函数，那么我们就可以得到它们共同的指数母函数。
其次，通过指数母函数的导数，我们可以计算出随机变量的矩。
具体来说，对于指数母函数G_X(t)，它的k阶导数G_X^(k)(0)可以表示随机变量X的k阶矩。
这个性质在数理统计中经常被使用，特别是在估计参数、构造置信区间等问题中。
除了基本的性质之外，指数母函数还有一些典型的应用场景。
一个典型的例子是在组合学中的应用。
对于一个集合，我们可以用一个0-1序列来表示它的子集。
对于一个具有n个元素的集合，我们可以定义一个指数母函数，它的每一项表示集合的各个子集的个数。
这样，我们就可以通过指数母函数来计算出子集个数的期望值、方差等统计量。
指数母函数在算法设计中也有广泛的应用。
在某些问题中，我们需要计算出满足一定条件的排列或者子集的个数。
通过构造相应的指数母函数，我们可以很方便地计算出这些排列或者子集的个数。
这个方法在算法设计中被广泛使用，特别是在动态规划、组合优化等领域。
综上所述，指数母函数是概率论中一个重要的工具，它可以用来描述非负随机变量的概率分布。
泊松分布的母函数
泊松分布的母函数泊松分布是一种离散概率分布，它描述了在一定时间或空间内发生某一事件的次数分布规律。
泊松分布的母函数是一种重要的工具，可以用来求解泊松分布的各种性质和应用。
本文将介绍泊松分布的母函数及其应用。
一、泊松分布的定义泊松分布是一种描述在一定时间或空间内某一事件发生次数的概率分布。
它的概率函数为：P(X=k)=e^(-λ) * λ^k / k!其中，X表示事件发生的次数，λ为单位时间或单位空间内事件发生的平均次数。
这个平均值也被称为泊松分布的参数。
k为事件发生的次数，k可以是任意非负整数。
泊松分布在实际生活中有很多应用，比如研究电话呼叫中心的来电次数、研究交通事故的发生次数等等。
二、泊松分布的母函数泊松分布的母函数是指：G(s)=E(s^X)=∑(k=0,∞)(s^k * e^(-λ) * λ^k / k!) 其中，E(s^X)表示事件发生次数的期望值。
s为一个实数，G(s)是s的函数。
这个母函数可以用来求解泊松分布的各种性质和应用。
为了简化计算，我们可以将泊松分布的概率函数变形：P(X=k)=e^(-λ) * λ^k / k! = (λ/k) * e^(-λ) * (λ^(k-1) / (k-1)!)然后，我们将这个式子代入泊松分布的母函数中：G(s)=∑(k=0,∞)(s^k * e^(-λ) * λ^k / k!)=e^(-λ) * ∑(k=0,∞)(s^k * (λ^k / k!))=e^(-λ) * ∑(k=0,∞)(s^k * (λ/k) * (λ^(k-1) / (k-1)!)) =e^(-λ) * λ * ∑(k=1,∞)(s^k * (λ^(k-1) / (k-1)!))=e^(-λ) * λ * ∑(k=0,∞)(s^(k+1) * (λ^k / k!))=e^(-λ) * λ * E(s^(X+1))可以看出，泊松分布的母函数可以表示为泊松分布的期望值E(s^(X+1))的函数。
母函数的概念和使用
母函数的概念和使用
母函数是组合数学中的一种重要工具，用于描述序列的生成函数。
它可以将序列转化为形式简单的多项式，从而方便地进行计算和推导。
形式上，对于序列$\{a_n\}$，它的母函数可以定义为：
$A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+...$
母函数$A(x)$通常被视为$x$的函数，可以进行各种计算操作，比如加法、乘法、求导等。
母函数的使用有以下几个方面：
1. 求序列的常用操作：对于给定的序列，可以通过母函数求导、乘法、加法等操作得到新的序列。
例如，序列的微分对应于母函数的求导，序列的乘法对应于母函数的乘法，序列的加法对应于母函数的加法。
2. 求序列的递推关系：通过构造序列的母函数，可以得到序列的递推关系。
递推关系描述了序列相邻项之间的关系，是解决组合计数问题的关键。
通过求解递推关系，可以得到序列的通项公式，从而得到更深入的结论。
3. 求序列的生成函数：母函数可以将序列转化为一个形式简单的多项式。
通过对母函数进行逆变换，可以得到序列的生成函数，从而用多项式的形式来表示序列。
生成函数是分析序列性
质的一种强有力的工具，可以进行各种计算和推导。
母函数在组合计数、离散数学和概率等领域中具有广泛的应用，可以解决各种组合计数问题，如排列组合、图论、走迷宫等问题。
同时，母函数也是解决一些难题的关键，在一些具有复杂递推关系的序列中起到了重要作用。
n的3次方的母函数
n的3次方的母函数
母函数是组合数学中的一种重要工具，它可以将一个数列转化为一个函数，从而方便地进行计算。
在本文中，我们将探讨n的3次方的母函数及其应用。
一、母函数的定义
母函数是一个形如F(x)=a0+a1x+a2x^2+...的函数，其中ai表示数列中第i个元素的系数。
母函数的作用在于将数列转化为一个函数，从而方便地进行计算。
二、n的3次方的母函数可以表示为F(x)=1/(1-x)^4。
这个母函数的系数可以用二项式定理展开得到，即F(x)=∑(n>=0) (n+3)C3 x^n。
三、应用
n的3次方的母函数在组合数学中有着广泛的应用。
例如，我们可以用它来计算n个球放入4个盒子中，每个盒子至少放一个球的方案数。
这个问题可以转化为求F(x)的第n项系数，即(n+3)C3。
此外，n的3次方的母函数还可以用于求解一些组合恒等式。
例如，我们可以用它来证明∑(k>=0) (2k+1)Ck = 4^n。
四、结论
n的3次方的母函数是组合数学中一个重要的工具，它可以方便地计算一些组合问题的方案数，同时也可以用于证明一些组合恒等式。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择不同的母函数，以便更加高效地解决问题。
组合数学之母函数形式Polya定理及其应用
II. 母函数形式的Pò lya定理
我们这里给出的Polya计数定理其实是一 种特殊形式. 一般形式的Polya定理还可以 用来解决有条件限制而且互相不等价的染 色方案数目. 还有一个问题是如何列举出所有不同类型 的染色方案? 显然Polya定理无法告诉我 们这些. 它只能告诉我们总数. 母函数形式Polya定理可以满足这个要求.
22
III. Boole函数及其等价分类
布尔(Boole)函数在现代计算机逻辑 电路的设计中有很重要的应用. n个变量的Boole函数f(x1,x2,…,xn)就 是集合Z2n={(x1,x2,…,xn)|xi=0或1; i=1, 2,…,n} 到集合Z2={0,1}的一个映射. n个变量的不同Boole函数总数: 2 2
24
例如: f(x1,x2,x3)=x1+x2x3与g(x1,x2,x3)=x2+x3x1 等价, 因为g(x1,x2,x3)= f(x2,x3,x1). 取补型等价. 例如f(x1,x2,x3)与f(x1,x2,x3) 取补等价. 取补与下标置换混合等价. 可以利用Polya定理, 通过这些等价所对应 的置换群得出等价类型的数目. 我们不打 算详细推导这些情况. 下面只针对下标置换等价意义下布尔等价 类的计数给出一个例子.
( b1 b 2 b m )
c1 ( g )
( b1 b 2 b m )
n n n
cn ( g )
由此可以知道, 总的染色方案的列举 只要在轮换指标中令:
x i b1 b 2 b m
i i i
15
即可得到能列举出方案情况的母函数 形式的Polya定理:
10
先通过一个简单例题说明思想.
高考数学冲刺复习母函数考点速查
高考数学冲刺复习母函数考点速查高考对于每一位学子来说都是人生中的一次重要挑战，而数学作为其中的关键学科，更是备受关注。
在高考数学的众多考点中，母函数是一个较为复杂但又十分重要的知识点。
在冲刺复习阶段，对母函数考点进行速查和强化，能够帮助我们在考试中更加从容应对。
一、什么是母函数母函数，简单来说，就是一种将数列与多项式联系起来的工具。
通过母函数，我们可以将一个数列的各项用一个多项式的系数来表示。
例如，对于数列 1，2，3，4，5，其对应的母函数可以表示为 G(x) ＝ 1 ＋ 2x ＋ 3x^2 ＋ 4x^3 ＋ 5x^4 。
母函数的作用在于它能够将一些离散的数量关系转化为连续的函数形式，从而便于我们进行分析和计算。
二、常见的母函数类型1、普通型母函数普通型母函数主要用于解决组合计数问题。
比如，从 n 个不同元素中选取 r 个元素的组合数，可以通过普通型母函数来表示和计算。
2、指数型母函数指数型母函数通常用于解决排列计数问题。
在涉及到具有重复元素的排列时，指数型母函数能够发挥重要作用。
三、母函数的基本运算1、加法运算两个母函数相加，就是将它们对应的多项式的系数相加。
例如，G1(x) ＝ 1 ＋ 2x ＋ 3x^2 ，G2(x) ＝ 2 ＋ 3x ＋ 4x^2 ，则 G1(x) ＋ G2(x) ＝ 3 ＋ 5x ＋ 7x^2 。
2、乘法运算母函数的乘法运算对应着组合问题中的分步计数原理。
例如，G1(x) ＝ 1 ＋ 2x ，G2(x) ＝ 1 ＋ 3x ，则 G1(x)×G2(x) ＝ 1 ＋ 5x ＋ 6x^2 。
四、母函数在解题中的应用1、求解组合数通过构造合适的母函数，可以方便地求出特定条件下的组合数。
例如，求从 5 个不同的球中选取 2 个球的组合数。
我们可以设母函数 G(x) ＝（1 ＋ x)＾5 ，展开后 x^2 的系数即为所求组合数。
2、解决分配问题在将一定数量的物品分配到不同的容器或分组的问题中，母函数能够清晰地展现各种可能的分配情况。
母函数
G ( x ) ( x )( x )( x )( x i ) x 8 1 4 0 x18 x 28
i i i i 1 i 1 i2 i 4
5
6
7
10
而x 18的 系 数 140就 是 所 求 的分配方案数。
15
例 从 n双 互 相 不 同 的 鞋 取 中 出 r只 （ r n） ， 要 求 其 中 没 有 任 何 两 只成 是对 的 ， 问 共 有 多 少不 种同 的 取法？
于是本题相当于 分 析 ： 令 S {5 e1 ,6 e 2 ,7 e 3 ,10 e 4 }, 多 重 集 S的 18可 重 组 合 问 题 。 其中e 1至 少 出 现 1次 ， 最 多 出 现 5次 ；2e 至 少 出 现 1次 ， 最 多 现 出 6次 ； e 3至 少 出 现 2次 , 最 多 出 现 7次 ；4e 至 少 出 现 4次 ， 最 多 现 出 10次 。 由 推 论 6， 相 应 的 母 函 数为
2 4 2r
1 ） n （ 1 x 2 ）
n
1 2 n 证 G(x) ( 1 x ) 2 n ( 1 x )
n n k 1 2k k 2k ( 1) k x k x k 0 k 0
8
如果多重集 S { n1 e 1, n 2 e 2 ,, n m e m }， 则S的 r可 重 组 合 数 相 当 于 方 程 x 1 x 2 x n r x 1 n1, x 2 n 2 ,, x m n m 的 非负 整 数解 的 个 数相 。应的母函数为 G ( x ) ( 1 x x 2 x n1 ) ( 1 x x 2 x n2 ) ( 1 x x 2 x nm )
【工程数学课件】4.3 母函数
或取两次，L ，或取r次，L ，是用如下形式表示：
1 x x2 L xr +L
2!
r!
例5 证明从n个不同的物体中允许重复地选取r个物体 的排列数为nr。
解：设ar为所求的排列数，则序列(a0 ,a1,a2,L ,ar ,L )的 指数母函数为：
fe(x) 1
x
x2 2!
L
xr r!
每个物体出现偶数次的方式数。 解：设a2r为所求的方式数，则序列(a0 ,a1,L ,ar ,L )的普 通母函数为：
f
(x)
(1
x2
x4
L
)n
1
1 x2
n
r 0
n
r r
1
x2r
故有：a2r
n
r r
1
六、指数母函数在排列中的应用
与组合不同的是，某个物体在排列中不取，或取一次，
n n
x
n
1
xn
二、指数母函数
定义 fe ( x
)给 定 a0 一 a个1 1无 x! 穷a序2 x2列2! (aL0,
a1 ,L an
,xann n!
,L )，称函数
L
ai i0
xi i!
为序列(a0 ,a1,L ,an ,L )的指数母函数。
例5 容易得到序列(p(n,0), p(n,1),L , p(n, n))的指数母
x4)(142x4)L4(14 3x)
n
(1
x)n
n r 0
n
r
xr
x
r
的系数
n r
为从n个不同的物体选取r个的方法数.
(1 x x2L ) 表示某一物体可以不选，或选一次， 或选二次,…
勒让德函数母函数及其在静电场中的应用资料
勒让德多项式的母函数及其在静电场中的应用指导教师：娄宁二000级物理（1）班：洪世松勒让德多项式的母函数及其在静电场中的应用一. 勒让德多项式的母函数引入的必要性及引入方法 1. 勒让德多项式的母函数引入的必要性 ⑴.勒让德多项式的由来通过《高等代数》和《数学物理方法》课程的学习，我们知道勒让德多项式是在球坐标系下、满足边界条件()πθ,01=±=x 时求解拉普拉斯方程02=ψ∇时的解，在求解的过程中，根据对称性的不同，我们将所要研究的问题分三种情况进行考虑： 其一是所研究的问题不具有对称性。
拉普拉斯方程02=∇U 在这种情况下的解是缔合勒让德函数，其具体的表示形式为：()[]()()θθcos cos 12/2m l m l m P P x=-=Θ，其中m＝0、1、2、3，…，l 。
式中当m ＝0时，缔合勒让德多项式就简化为勒让德多项式()θcos l P 。
其二是所研究的问题具有轴对称性。
其解的形式为勒让德多项式的形式，即()θcos l P ＝()()()()kl l kl k x k l k l k k l 22/0!2!!2!221-=----∑，其中⎦⎤⎢⎣⎡2l 表示的是不超过2l 的最大整数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡2l ＝r 的函数，而与θ无关，其解是勒让德多项式的最简形式，此时方程的解就可以直接写为：∑∞=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ψ01l l l ll r B r A ，其中l =0,1,2,……。
由上面三种情况分析可以看出，随着问题对称性的不同，求解问题的解也有所不同。
从无对称性到轴对称性再到球对称性，所研究问题也在逐渐简化，其解也由缔合勒让德函数简化为勒让德函数再简化为1。
⑵.对所研究问题的对称性的讨论以静电场为例，我们分析一下勒让德多项式所要求的轴对称性和根据坐标系的选择而确定的变量（r,θ）()θ,r E的要求。
在图一所示的物理情景中，求解位于某一匀强场中的导体球外任一点的电势Ψ，为使求解的问题简单化，我们可建立如图一所示的直角坐标系，这样求解的问题就具有轴对称性，所以由前面分析的第二种情况易写出空间各点的电势为：()θc o s 01l l l l l l P r B r A ∑∞=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ψ。
组合数学之母函数形式Polya定理及其应用
母函数形式Polya定理的应用场景
排列组合问题
母函数形式Polya定理可以应用于 排列和组合问题的计数，通过求 解代数方程得到组合数的通Polya定理可以应用于 生成函数的研究，通过求解代数 方程得到序列的通项公式。
离散概率论
母函数形式Polya定理可以应用于 离散概率论的研究，通过求解代 数方程得到概率分布的通项公式。
后续研究
自Polya定理提出以来，许多数学家对其进行了深入研究 和完善，进一步拓展了其在组合数学中的应用。
Polya定理的重要性
组合计数问题的解决
Polya定理为解决复杂的组合计数问题提供了一种有效的方法。通过使用该定理，可以快 速计算出满足一组约束条件的解的个数。
数学其他领域的应用
Polya定理不仅在组合数学中有广泛应用，还涉及到其他数学领域，如概率论、统计学和 图论等。该定理在这些领域中的应用有助于解决一系列复杂的问题。
04
Polya定理的应用
在组合数学中的应用
1 2
组合计数
Polya定理可以用于解决组合计数问题，例如计 算给定集合的所有子集的数量或排列的数量。
组合优化
在组合优化问题中，Polya定理可以用于寻找最 优解，例如在旅行商问题中寻找最短路径。
3
组合概率
在概率论中，Polya定理可以用于计算事件的概 率，例如计算多项式系数或排列组合的概率。
计数问题
组合数学中的计数问题通常涉及到在给定条件下，计算满足特定要求的元素个数。
Polya定理的历史背景
母函数的发展
母函数理论的发展可以追溯到18世纪，当时数学家开始研 究组合计数问题。随着时间的推移，母函数逐渐成为组合 数学中一个重要的分支。
Polya定理的提出
算法合集之《母函数的性质及应用》
x 取 f ( x ) e , x 0 0 ，得 e x 1 x
x 2 x3 x 4 G ( x) ， 2! 3! 4!
也就是说序列 1,1,1,1, 的指数型母函数的闭形式为 e x 。 同样运用 Taylor 公式，我们可以得到： 序列 1,1,1,1,1,1, 的指数型母函数为 e x 。 序列 0,1,0,1,0,1, 的指数型母函数为
m1 学归纳法同样可以得到结果 g n Cm n1 。
1 1 1 ，之后运用数 m 1 x (1 x) m1 (1 x)
那么闭形式
1 m1 m1 m1 对应的序列为 1, Cm , Cm 1 , Cm 2 , 。 (1 x) m
1 1 ， 我们可以把 x 看成一个整体后来展开， 参考 的 1 x 1 x
关键字
母函数 递推 排列组合
§1.母函数的性质
§1.1. 定义
母函数是用于对应一个无穷序列的幂级数，一般来说母函数有形式：
G ( x) g 0 g1 x g 2 x 2 g n x n
n0
我们称 G( x) 是序列 g 0 , g1 , g 2 , 的母函数,下文表示为：
(1 x) m
§1.4. 指数型母函数
有时候序列 g n 所具有的母函数的性质十分复杂， 而序列
gn 所具有的母函数的 n!
性质十分简单，那我们宁愿选择
gn 来研究，然后再乘以 n! 。 n!
我们称：
G ( x) g n
n0
xn 为序列 g 0 , g1 , g 2 , 的指数型母函数。 n!
G( x) g 0 , g1 , g 2 ,
组合数学(第二版)母函数及其应用
考虑座位号),其中,甲、乙两 班最少1张,甲班最多5张,乙班最
多6张;丙班最少2张,最多7张;丁班最少4张,最 多10张.可有多
少种不同的分配方案?
母函数及其应用
母函数及其应用
【例 2.1.5】 从n 双互相不同的鞋中取出r 只(r≤n),要求
其中没有任何两只是成对 的,共有多少种不同的取法?
母函数及其应用
(1+x)n .
【例 2.1.2】 无限数列{1,1,…,1,…}的普母函数是
母函数及其应用
说明
(1)an 的非零值可以为有限个或无限个;
(2)数列{an}与母函数一一对应,即给定数列便得知它的
母函数;反之,求得母函数则数列也随之而定;
(3)这里将母函数只看作一个形式函数,目的是利用其有
关运算性质完成计数问题, 故不考虑“收敛问题”,即始终认
红红、黄黄、蓝蓝、红黄、黄红、红蓝、蓝红、黄蓝、 蓝
黄.其它情形依此类推.
母函数及其应用
这里需要说明的是:
(1)在例2.1.3中,利用普母函数可以将组合的每一种情况
都枚举出来,但是对排列问 题,指母函数却做不到,只能对排列
进行分类枚举.正如例2.3.1这样,项ryb 的系数6说 明红、蓝、
黄球各取一个时,有6种排列方案,但每一种方案具体是什么,
(每个数字可重复出现), 要求其中3,7出现的次数为偶数,1,5,9
出现的次数不加限制.
母函数及其应用
【例 2.3.4】 把上例的条件改为要求1、3、7出现的次数
一样多,5和9出现的次数不 加限制.求这样的n 位数的个数.
解 设满足条件的数有bn 个,与例2.1.6的分配问题类似,即
将n 个不同的球放入标号 为1、3、5、7、9的5个盒子,其中
14母函数的性质及应用
母函数的应用
❖ [例1]小明出门旅游，需要带一些食物，包括薯片，巧克力， 矿泉水，汉堡，牛奶和糖果。经过估计，他觉得带 n(n<=10100)件食物比较合适，但他还有一些癖好：
最多带1个汉堡 巧克力的块数是5的倍数 最多带4瓶矿泉水 薯片的包数是一个偶数 最多带3罐牛奶 糖果的个数是4的倍数
1
闭形式
1 x
不考虑收敛问题！
母函数的性质
❖ [基本操作] ❖ 1．放缩：
cg0 , cg1, cg2 ,
cG(x) cg0 cg1x cg2 x2
母函数的性质
❖ 2．加减法：
f0 g0 , f1 g1, f2 g2 ,
F (x) G(x) ( f0 g0 ) ( f1 g1)x ( f2 g2 )x2
n0
xn n!
(gk
k 0
f nk
Cnk
)
排列问题！
母函数的应用
❖ [例2]Chocolate ❖ [例4]证明题
母函数的性质
❖ [母函数型Pólya定理] ❖ （Pólya定理）设G是n个对象的一个置换群，
用m种颜色涂染这n个对象，则不同染色方案 数为
l 1 [m c(a1) m c(a2 ) m c(ag ) ] G
❖ 问你小明有多少种方式来准备这次旅行所带的食物。
母函数的应用
❖ 汉堡 ❖ 巧克力 ❖ 薯片 ❖ 矿泉水 ❖ 牛奶 ❖ 糖果
h(x) 1 x
c(x) 1 x5 x10 x15 1
p(x) 1 x2 x4 x6 1 1x5
w( x)
1
x
x2
x3
x4
1
母函数及其应用
六、母函数及其应用6．1定义：称() +++++=-12321n n x a x a x a a x f 为数列{}n a 的形式幂级数，或生成函数，简称母函数。
6．2几个常用初等函数的形式幂级数展开式（1）()111<=-∑+∞=x x x n n ；（2）()()()()1!1110<-+⋅⋅-⋅=+∑+∞=x x n n x n n αααα；（3）()R x n x e n nx∈=∑+∞=0!；（4）()()()R x n x x n nn∈-=∑+∞=02!21cos ； （5）()()()R x n x x n n n∈+-=∑+∞=+012!121sin ； （6）()()()111ln 01<-=+∑+∞=-x nx x n nn ； （7）()()1121arctan 012<+-=∑+∞=+x n x x n n n。
求一个初等函数的形式幂级数的根本方法是利用泰勒展开定理，或马克劳林定理。
在定义域范围内，对上述形式幂级数再进行算术运算和解析运算，可以得到其它初等函数的形式幂级数。
我们在下文的目的，就是利用这种运算方法来求数列的通项公式。
6．3数列{}n a 及其前n 项和数列{}n S 的母函数关系定理1：记数列{}n a 的母函数为()x A ，则其n 项和数列{}n S 的母函数()()xx A x B -=1。
证明：∵ ()()∑∑∑∑+∞=-+∞=-+∞=--+∞=-++=++==21111211111n n n n n n n n n n n n n x a xS x a xa S a xSx B()()()()x A x xB a x A x xB a +=-++=11∴ ()()xx A x B -=1。
定理2：()()*121N n n n k nk ∈+=∑=。
证明：记数列{}n 的前n 项和为n S ，则数列{}n S 的母函数为()()∑∑∑∑+∞=-+∞=-+∞=--+∞=-++=++==21112111111n n n n n n n n n n n nx xS x xn S S xS x B()()()()22111111x x xB x x xB -+=--++=∴ ()()()()∑∑∞+=-∞+=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=22'11'2312121112111n n x n n x x n n nx x x x B ()∑+∞=-+=11121n n nx n 。
母函数
第二章 母函数及其应用问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方法是比较麻烦的（参见表2.0.1）。
新方法：母函数方法，问题将显得容易多了。
其次，在求解递推关系的解、整数分拆以及证明组合恒等式时，母函数方法是一种非常重要的手段。
表2.0.1 条件组合方案数排列方案数对应的集合相异元素，不重复()!!!r n r n C rn -⋅=()!!r n n P rn -={}n e e e S ,,, 21=相异元素，可重复rr n C 1-+rnS ＝{,,21e e ⋅∞⋅∞ne ⋅∞, }不尽相异元素（有限重复）特例r ＝n1 !!!!m n n n n 21S ＝{11e n ⋅，22e n ⋅，…，m m e n ⋅}, n 1＋n 2＋…＋n m ＝nn k ≣1, (k ＝1,2,…, m )r ＝1mm所有n k ≣r rr m C 1-+rm至少有一个n k 满足1≢n k < r母函数方法的基本思想是把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，从而把离散数列间的结合关系转化为多项式或幂级数之间的运算。
2.1 母 函 数（一）母函数（1）定义定义2.1.1 对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞=≡0n nnxax G 为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。
（2）例例2.1.1 有限数列C (n ,r )，r ＝0,1,2, …,n 的普母函数是()nx +1。
例2.1.2 无限数列{1，1，…，1，…}的普母函数是+++++=-nxx x x2111（3）说明● n a 可以为有限个或无限个； ● 数列{}n a 与母函数一一对应，即给定数列便得知它的母函数；反之，求得母函数则数列也随之而定；例如，无限数列{0，1，1，…，1，…}的普母函数是 +++++n x x x 20＝xx-1● 这里将母函数只看作一个形式函数，目的是利用其有关运算性质完成计数问题，故不考虑“收敛问题”，而且始终认为它是可“逐项微分”和“逐项积分”的。
六大母函数
六大母函数母函数是数学中一个常见的概念，其定义是指，给定一类函数，任一个函数都可以表示成由母函数和一个或多个参数组成的函数。
母函数实际上是一类函数的共性，它们把不同的函数分类了起来，也就是说，母函数可以把不同的函数映射到一个共同的函数。
其中，六大母函数是比较常用的数学函数，它们分别是指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数和正切函数。
下面我们就分别来讨论它们的特征和用途。
首先，指数函数，它的公式为y = a^x，其中a是一个大于零的常数，x表示指数函数的指数项；指数函数的图像是一条以原点为拐点的曲线，它的导数为y = a^x *ln(a)，指数函数主要用于求解定积分和求解某些不定积分。
其次，对数函数，它的公式为y = ln(x)，其中x表示底数，表示元函数的自变量；对数函数的图像是一条折线，折线上的点根据自变量变化而变化；对数函数的导数为y = 1/x，对数函数主要用于求解对数函数的积分、求解某些不定积分，还可以用于求解重极值点、及求解极限。
第三，幂函数，它的公式为y = c^x，其中c是任意的实数，x 表示幂函数的指数；幂函数的图像也是一条以原点为拐点的曲线，它的导数为y = c^x * ln(c)，幂函数主要用于求解定积分和求解某些不定积分。
接下来，正弦函数，它的公式为y = sin(x)，其中x表示正弦函数的自变量；正弦函数的图像是一条周期性的曲线，它的导数为y = cos(x)，正弦函数主要用于求解定积分和求解某些不定积分。
再次，余弦函数，它的公式为y =cos(x)，其中x表示余弦函数的自变量；余弦函数的图像也是一条周期性的曲线，它的导数为y = -sin(x)，余弦函数主要用于求解定积分和求解某些不定积分。
最后，正切函数，它的公式为y = tanx，其中x表示正切函数的自变量；正切函数的图像是一条周期性的折线，它的导数为y = sec2x，正切函数主要用于求解定积分和求解某些不定积分。
《组合数学》教案 2章(母函数)及课后习题讲解
第二章母函数及其应用问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方法新方法：母函数方法。
基本思想：把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，算。
2.1 母函数（一）母函数（1）定义【定义2.1.1】对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞=≡0n n n x a x G 为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。
（2）例【例2.1.1】有限数列rn C （r ＝0, 1, 2, …, n ）的普母函数：()x G ＝nn n n n nx C x C x C C ++++ 2210＝()nx +1【例2.1.2】无限数列{1, 1. …, 1, …}的普母函数：()x G ＝ +++++nx x x 21＝x-11（3）说明● n a 可以为有限个或无限个。
● 数列{}n a 与母函数一一对应。
{0, 1, 1, …, 1, …}↔ +++++n x x x 20＝xx -1 ● 将母函数视为形式函数，目的是利用其有关运算性质完成计数问题，故不考虑“收敛问题”。
（4）常用母函数（二） 组合问题 （1）组合的母函数【定理2.1.1】组合的母函数：设{}m m e n e n e n S ⋅⋅⋅=,,,2211 ,且n 1＋n 2＋…＋n m ＝n ，则S 的r 可重组合的母函数为()x G ＝∏∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mi n j j i x 10＝∑=n r r r x a 0其中，r 可重组合数为rx 之系数r a ，r ＝0, 1, 2, …, n 。
理论依据：多项式的任何一项与组合结果一一对应。
【例2.1.3】设有6个红球，7个黑球，8个白球，问 （1） 共有多少种不同的选取方法，试加以枚举？ （2） 若每次从中任取3个，有多少种不同的取法？ （解）（1）元素符号化（x ，y ，z ↔红、黑、白球），元素的个数以符号的指数区分。
母函数G (x , y , z ) ＝(1＋x ＋x 2) (1＋y ) (1＋z )＝1＋(x ＋y ＋z )＋(x 2＋xy ＋xz ＋yz )＋(x 2x ＋x 2x ＋xxx )＋( x 2yz )5种情况：① 数字1表示一个球也不取的情况，共有1种方案； ② 取1个球的方案有3种，即红、黑、白三种球只取1个； ③ 取2个球的方案有4种，即2红、1红1黑、1红1白、1黑1白； ④ 取3个球的方案有3种，即2红1黑、2红1白、三色球各一； ⑤ 取4个球的方案有1种，即全取。
第四章 母函数及应用
三、指数母函数在排列计数问题中的应用
n k 已知 (1 x) k x , k 0
n n
n P(n, k ) k k! ,
所以从n
个不同物体中取k个物体的组合数ak所成序列的普 通母函数可变为 k n x n (1 x) P(n, k ) , k! k 0
k
2n k 2n 2 2 . ⑵ k 0 n
n k
n ⑶ k j 0
m
j n m 1 n k 1 k 1 .
1 , 2 n 0 (mod 3 ), n k 2n k ⑷ ( 1 ) k 1, 2n 1(mod 3) k 0 0, 2n 2(mod 3)
这样，(1 x 2 x3 ) n 中xk的系数即可表示从n 个不同物体中允许重复取k个物体的方式数。 二、普通母函数在组合计数问题中的应用 例1 求 ⑴从n个不同物体中允许重复选取k个不同的物 体的方式数为F(n,k)； ⑵从n个不同物体中允许重复选取k个不同的物 体，但每个物体至少出现一次的方式数； ⑶从n个不同物体中允许重复选取k个不同的物 体，但每个物体至少出现奇数次的方式数； ⑷从n个不同物体中允许重复选取2k个不同的 物体，但每个物体至少出现偶数次的方式数；
k 0 i k
k
A(1) xA( x) 1 x
5)若 bk kak , 则 B( x) xA( x)
ak 1 x b 6)若 k , 则 B( x) 0 A( s)ds . 1 k x
§4.3 母函数在排列、组合中的应用
一、考虑从n个不同物体中选取k个的方式数表示 ⑴三个不同的物体a、b、c，从中选取一个： 或选a，或选b，或选c， 这些可能的选取象征性地记为 a+b+c. 从a、b、c中选取两个有三种方法： 或选a与b，或选b与c，或选c与a， 这些可能的选取也可象征性地记为 ab+bc+ca. 从a、b、c中选取三个只有一种方法，象征性地记 为abc。
第四章 母函数及应用
14:28
12
一般地，由于
故从n个不同物体中不重复取k个的方法数即为xk的系数。 ⑵从n个不同物体中允许重复选取k个物体的方法数
1+x：可象征性地表示一个物体都不选，或只选取一次，即至多选取一次； 1+x+x2：可象征性地表示一个物体都不选，或只选取一次，或选取两次，
即至多选取两次； 1+x+x2+x3+….：可象征性地表示一个物体都不选，或只选取一次，或选取
例3 现有无穷多个字母A、B、C，求从中取n个字母但必须含有偶数个 A的方式数。
例4 现有2n个A，2n个B和2n个C，求从它们中选取3n个字母的不同方 式数。
14:28
15
三、指数母函数在排列计数问题中的应用
已知
(1
x)n
n k 0
n k
xk
,
kn
f (x) (x x2 x3)( x x3 x5 ...)(1 x x2 ...)
(2)因为第1、2个盒子装相同个糖果，故装入这两个盒子的糖果 总数应为偶数。所以先取2i个糖果，现将它们一分为二分别装 入第1、2个盒子。又因为糖果无区别，故每次一分为二的方法 仅一种。所以普通母函数为
为序列{a0,a1,a2,…,an,…}的普通母函数. n0
14:28
1
注:
①普通母函数从形式上看是一个无穷级数(幂级数),但 没有必要讨论它的收敛性,它实质上是序列的记号,x
为形式变元。对该级数可把它看成形式幂级数,从
而可进行加法、乘法及形式微分等运算,从而构成 一个代数体系。
②一个序列和它的普通母函数是一一对应的。
f (x) (1 x2 x4 ...)(1 x x2 ...)
【精选】第九讲 母函数及其应用ACM
研究以下等式：
可以看出： x2项的系数a1a2+a1a3+...+an-1an中所有的项 包括n个元素a1，a2， …an中取两个组合的全 体；同理x3项系数包含了从n个元素a1，a2， …an中取3个元素组合的全体。以此类推。
7 2019/9/22
若令a1=a2= …=an=1，在（2-1-1）式中 a1a2+a1a3+...+an-1an项系数中每一个组 合有1个贡献，其他各项以此类推。故有：
}
for (j=0;j<=n;j++)
{ c1[j]=c2[j]; c2[j]=0;
}
}
cout<<c1[n]<<endl;
}
return 0;
} 23
2019/9/22
Any Questions?
24 2019/9/22
思考：
HDOJ_1028
Ignatius and the Princess III
31 2019/9/22
25 2019/9/22
思考：
HDOJ_1085 Holding Bin-Laden Captive!
26 2019/9/22
思考：
HDOJ_1171 Big Event in HDU
27 2019/9/22
思考：
HDOJ_1059
Dividing
28 2019/9/22
后面的安排:
2007/01/01 元旦放假 2007/01/08 上机练习（模拟考试） 2007/01/15 期末考试（如有变化，论坛通知）
{ c1[j]=c2[j]; } cout<<c1[n]<<endl; } return 0; }
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27 2013-6-27
思考：
HDOJ_1059
Dividing
28 2013-6-27
后面的安排:
2007/01/01 元旦放假 2007/01/08 上机练习（模拟考试） 2007/01/15 期末考试（如有变化，论坛通知） 上机地点：现教317和现教321 上机时间：17：05~20：30
21 2013-6-27
#include <iostream> using namespace std; const int lmax=300; int c1[lmax+1],c2[lmax+1]; int main(void) { int n,i,j,k; while (cin>>n && n!=0) { for (i=0;i<=n;i++) { c1[i]=1; c2[i]=0; for (i=2;i<=17;i++) { for (j=0;j<=n;j++) for (k=0;k+j<=n;k+=i*i) { c2[j+k]+=c1[j]; for (j=0;j<=n;j++) { c1[j]=c2[j]; c2[j]=0; } cout<<c1[n]<<endl; } return 0; }
29 2013-6-27
新年寄语…
30 2013-6-27
附：相关练习题(hdoj)：
1028 、1059 、1085 1171 、1398 、2069
其它相关题目（比如求邮票、硬币之类 的组合数、整数的不同拆分数等）
31 2013-6-27
13 2013-6-27
例二、求用1分、2分、3分的邮票 贴出不同数值的方案数。
因邮票允许重复，故母函数为
以展开后的x4为例，其系数为4，即4拆分成1、 2、3之和的拆分数为4，即 ： 4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2
14 2013-6-27
概念：整数拆分
所谓整数拆分即把整数分解成若干整数 的和，相当于把n个无区别的球放到n个 无标志的盒子，盒子允许空着，也允许 放多于一个球。整数拆分成若干整数的 和，办法不一，不同拆分法的总数叫做 拆分数。
}
23 2013-6-27
Any Questions?
24 2013-6-27
思考：
HDOJ_1028
Ignatius and the Princess III
25 2013-6-27
思考：
HDOJ_1085 Holding Bin-Laden Captive!
26 2013-6-27
思考：
10 2013-6-27
实例分析
11 2013-6-27
例一、若有1克、2克、3克、4克的砝码各一 枚，能称出哪几种重量？各有几种可能方案？
如何解决这个问题呢？考虑构造母函数。 如果用x的指数表示称出的重量，则： 1个1克的砝码可以用函数1+x表示， 1个2克的砝码可以用函数1+x2表示， 1个3克的砝码可以用函数1+x3表示， 1个4克的砝码可以用函数1+x4表示，
17 2013-6-27
以整数拆分为例：
观察以下的母函数：
（这里以lwg写的程序为例）
18 2013-6-27
#include <iostream> using namespace std; const int lmax=10000; int c1[lmax+1],c2[lmax+1]; int main() { int n,i,j,k; while (cin>>n) {for (i=0;i<=n;i++) {c1[i]=0; c2[i]=0; } for (i=0;i<=n;i++) c1[i]=1; for (i=2;i<=n;i++) { for (j=0;j<=n;j++) for (k=0;k+j<=n;k+=i) { c2[j+k]+=c1[j]; } for (j=0;j<=n;j++) { c1[j]=c2[j]; c2[j]=0; } } cout<<c1[n]<<endl; } return 0; }
}
}
}
22 2013-6-27
… int main(void) { int n,i4,9,16,25,36,…,169,196,225,256,279}
while (cin>>n && n!=0) { for (i=0;i<=n;i++) { c1[i]=1; c2[i]=0; } for (i=2; i<=17; i++) { for (j=0;j<=n;j++) for (k=0;k+j<=n; k+=elem[i-1] ) { c2[j+k]+=c1[j]; } for (j=0;j<=n;j++) { c1[j]=c2[j]; c2[j]=0; } } cout<<c1[n]<<endl; } return 0;
19 2013-6-27
HDOJ_1398
Sample Input 2 10 30 0 Sample Output 1 4 27
Square Coins
20 2013-6-27
算法分析：
典型的利用母函数可解的题目。
G(x)=(1+x+x2+x3+x4+…)(1+x4+x8+x12+ …)(1+x9+x18+x27+…)…
12 2013-6-27
几种砝码的组合可以称重的情况， 可以用以上几个函数的乘积表示：
(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4) =(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7) =1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10 从上面的函数知道，可称出从1克到10克， 系数便是方案数。例如右端有2x5 项，即称出 5克的方案有2：5=3+2=4+1，同样， 6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。故称出6克的方 案有2，称出10克的方案有1
ACM 程序设计
计算机学院 刘春英
1 2013-6-27
今天，
你 了吗？
2 2013-6-27
每周一星（9）：
ForYou
3 2013-6-27
西安赛区汇报…
4 2013-6-27
第十讲
母函数及其应用
（Generation function）
5 2013-6-27
从递推关系说起
6 2013-6-27
研究以下等式：
可以看出： x2项的系数a1a2+a1a3+...+an-1an中所有的项 包括n个元素a1，a2， …an中取两个组合的全 体；同理x3项系数包含了从n个元素a1，a2， …an中取3个元素组合的全体。以此类推。
7 2013-6-27
若令a1=a2= …=an=1，在（2-1-1）式中 a1a2+a1a3+...+an-1an项系数中每一个组 合有1个贡献，其他各项以此类推。故有：
8 2013-6-27
母函数定义：
对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：
称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母 函数
9 2013-6-27
For example:
(1+x)n是序列C(n,0),C(n,1),...,C(n,n)的母 函数。 如若已知序列a0，a1，a2，…则对应 的母函数G(x)便可根据定义给出。 反之，如若已经求得序列的母函数G(x)， 则该序列也随之确定。 序列a0，a1，a2，…可记为{an} 。
15 2013-6-27
练习：
例3：若有1克砝码3枚、2克砝码4枚、4 克砝码2枚，问能称出哪几种重量？各 有几种方案？ 例4: 整数n拆分成1，2，3，…，m的和， 求其母函数。如若其中m至少出现一次， 其母函数又如何？
请自己写出以上两个问题的母函数。
16 2013-6-27
如何编写程序 实现母函数的应用呢？ 关键：对多项式展开