西南交大材料力学弯曲内力
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《材料力学》课程讲解课件第四章弯曲内力
x
∴ 弯曲构件内力：Fs －剪力，M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
Y 0, Fs F FBY 0.
mC 0,
FBY
FBY (l x) F(a x) M 0.
Fs
F (l a) l
,
M F (l a) x 18 l
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上
存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。
由 Fy 0, 得到：
A
FAy
a
Mc
C FSc
FAy q 2a FSc 0
FSc FAy q 2a qa
（剪力FS 的实际方向与假设方
向相反，为负剪力）
由 MC 0, 得到：
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
F
M (x) FAY x M A
F(x L) (0 x l)
x
③根据方程画内力图
FL
x
41
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
例题4-2
悬臂梁受均布载荷作用。
x
试写出剪力和弯矩方程，并
q
l
x
FS
M x
FS x
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
剪力和弯矩方程
ql FS x＝qx
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
q
M
二、平面弯曲的概念：
RA
NB
3
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在
材料力学课件04弯曲内力
影响线的绘制方法
静力法
通过平衡条件，将单位集中荷载作用 于简支梁上，绘制弯矩图或剪力图。
机动法
利用梁的微段运动特性，通过几何关 系绘制影响线。
影响线的应用实例
确定最不利荷载位置
通过比较不同位置的荷载值，确定最不利荷载位置，以便进行结 构设计。
校核承载能力
根据影响线确定最不利荷载位置的弯矩值，校核梁的承载能力是否 满足设计要求。
02
在桥梁、建筑、机械等领域中，需要根据剪力和弯矩的分布规律进行结构设计， 确保结构的承载能力和稳定性。同时，在设计过程中还需要考虑材料的力学性能 、施工方法等因素，以满足工程实际需求。
剪力和弯矩的分布规律实验验证
为了验证剪力和弯矩的分布规律，需 要进行相关的实验验证。通过实验可 以测量梁在不同弯曲程度下的剪力和 弯矩值，并与理论分析结果进行比较 。
集中载荷下的简化和计算
总结词
集中载荷作用下，弯曲内力可以直接通过载 荷和支撑反力计算。
详细描述
在集中载荷作用下，梁的弯曲内力可以通过 将载荷与支撑反力相乘得到。这种方法适用 于载荷作用点明确的情况，计算过程简单明 了。
特殊情况下的简化和计算
要点一
总结词
某些特殊情况下，可以利用梁的对称性和载荷特性简化弯 曲内力的计算。
03
弯曲内力的大小与梁的截面尺寸、形状、材料属性 以及外力矩的大小和方向有关。
弯曲内力的类型
正应力
垂直于截面的应力，主要引起梁的弯曲变形 。
剪应力
与截面相切的应力过程中，梁截面上同时存在正应力和 剪应力，其中对梁的强度和稳定性影响最大 的应力。
弯曲内力分析的重要性
弯矩
由于弯曲变形产生的内力矩，其分布规律与梁的截面形状和弯曲方式有关。在梁的中部，弯矩通常为 负值，表示梁的上侧受压、下侧受拉；在梁的支座处，弯矩通常为正值，表示梁的上侧受拉、下侧受 压。
材料力学弯曲内力
材料力学弯曲内力材料力学是研究物质在外力作用下的变形和破坏规律的科学。
而弯曲内力则是材料力学中的一个重要概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
弯曲内力是指在梁或梁式结构中由外力引起的内部应力状态，它是由梁的外部受力状态和几何形状决定的。
在工程设计和结构分析中，了解和计算弯曲内力是非常重要的，本文将对材料力学中的弯曲内力进行详细的介绍。
首先，我们来看一下弯曲内力的产生原理。
当梁受到外力作用时，梁内部会产生弯曲变形，这时梁内部就会产生弯曲应力。
弯曲内力包括正应力和剪应力两部分，正应力是沿梁的纵向方向产生的拉压应力，而剪应力则是梁内部产生的剪切应力。
这些内力的大小和分布是由梁的受力情况和截面形状决定的。
其次，我们来讨论一下弯曲内力的计算方法。
在工程实践中，我们通常采用梁的截面性质和外力矩的大小来计算弯曲内力。
对于矩形截面的梁，我们可以通过简单的公式来计算出弯曲内力的大小和分布。
而对于复杂形状的截面，我们则需要借助数值计算或者有限元分析来得到准确的结果。
在实际工程中，我们通常会使用专业的结构分析软件来进行弯曲内力的计算，这样可以大大提高计算的准确性和效率。
接着，我们来谈一下弯曲内力的影响因素。
弯曲内力的大小和分布受到多种因素的影响，包括外力的大小和方向、梁的截面形状和材料性质等。
在设计和分析过程中，我们需要充分考虑这些因素，以确保结构的安全性和稳定性。
此外，梁的支座条件和边界约束也会对弯曲内力产生影响，这些因素需要在计算中进行合理的考虑和处理。
最后，我们来总结一下弯曲内力的重要性。
弯曲内力是梁和梁式结构中非常重要的内部应力状态，它直接影响着结构的安全性和稳定性。
在工程设计和分析中，准确计算和合理分析弯曲内力是非常重要的，它可以帮助工程师们更好地理解和把握结构的受力情况，从而保证结构的安全性和可靠性。
总之，弯曲内力是材料力学中一个重要的概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
通过对弯曲内力的了解和计算，我们可以更好地设计和分析工程结构，保证结构的安全性和稳定性。
工程力学(材料力学部分第四章)
特点：2
qa 1 qa2 2
在刚节点处，弯矩值连续 ;
Q
1 qa 2
1 qa2 2
M
53
特点： 在刚节点处，弯矩值连续; 可以利用刚节点的平衡， 对内力图进行校核。
Q2
X 0 Y 0
M1
N1 Q1
M2 N2
Q2 N1 0
Q1 N2
M 0
M1 54M 2
§4. 6 平面曲杆的弯曲内力
平面曲杆 轴线为平面曲线的杆或梁。
M = 截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和
12
RAx
x
RA
RC
若从D处截开，取右段。 横截面上的内力如图。
RAx
QD
RA
QD
x
N
MD
MD
RC
计算可得QD, MD的数值与取左段所得结果相同。
但从图上看，它们的方向相反。
剪力和弯矩的正负号规则如何？
13
剪力和弯矩的正负号规定
剪力
使其作用的一 段梁产生顺时 针转动的剪力 为正。
(0.6 x 1.2 m)
DB段 取x截面，右段受力如图。
Q(x) q(2.4 x) RB 19 10x (1.2 x 2.247 m)
x
DB段 取x截面，右段受力如图。
Q(x) q(2.4 x) RB19 10x (1.2 x 2.4 m)
M (x)
RA (2.4
x)
1 2
RA
1 2
ql
Pb l
RB
1 2
ql
Pa l
RA1
若梁分别受到这两种载
荷的作用：
RA2
RB RB1 R42B2
约束反力
qa 1 qa2 2
在刚节点处，弯矩值连续 ;
Q
1 qa 2
1 qa2 2
M
53
特点： 在刚节点处，弯矩值连续; 可以利用刚节点的平衡， 对内力图进行校核。
Q2
X 0 Y 0
M1
N1 Q1
M2 N2
Q2 N1 0
Q1 N2
M 0
M1 54M 2
§4. 6 平面曲杆的弯曲内力
平面曲杆 轴线为平面曲线的杆或梁。
M = 截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和
12
RAx
x
RA
RC
若从D处截开，取右段。 横截面上的内力如图。
RAx
QD
RA
QD
x
N
MD
MD
RC
计算可得QD, MD的数值与取左段所得结果相同。
但从图上看，它们的方向相反。
剪力和弯矩的正负号规则如何？
13
剪力和弯矩的正负号规定
剪力
使其作用的一 段梁产生顺时 针转动的剪力 为正。
(0.6 x 1.2 m)
DB段 取x截面，右段受力如图。
Q(x) q(2.4 x) RB 19 10x (1.2 x 2.247 m)
x
DB段 取x截面，右段受力如图。
Q(x) q(2.4 x) RB19 10x (1.2 x 2.4 m)
M (x)
RA (2.4
x)
1 2
RA
1 2
ql
Pb l
RB
1 2
ql
Pa l
RA1
若梁分别受到这两种载
荷的作用：
RA2
RB RB1 R42B2
约束反力
弯曲内力材料力学
弯曲内力 例 图示悬臂梁，受均布荷载q和集中 力偶M=qa2的作用。试建立梁的剪力 与弯矩方程，并作剪力与弯矩图。
解： 1、计算支反力
qa FCy qa； M C 2
2
q
A
M=qa2 B
FCy C
x1 a
x2 a
MC
FQ
一
x
qa
2、建立剪力方程和弯矩方程
FQ1 ( x) qx1 AB段 : qx12 M 1 ( x ) 2
6.2.2 剪力和弯矩的符号规定
弯曲内力
①剪力—平行于横截面的内力，符号：，正负号规定： 使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负(左截面上的 剪力向上为正，右截面上的剪力向下为正)； F
Q
F
Q
FQ
剪力为负
FQ
剪力为正
②弯矩—绕截面转动的内力，符号：M，正负号规定：使 梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负(梁上压下拉的弯矩 为正)。
研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平
面力系。
6.1.2 梁的计算简图
1.梁的简化
弯曲内力
梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。 2.载荷的简化 (1)集中载荷
F1 q(x)
(2)分布载荷
任意分布载荷
集中力
q
(3)集中力偶
M
均布载荷
集中力偶
载荷集度：单位长度上的载荷大小。单位：N/m
1 q ( x) dx 2 0 2
d 2 M ( x) q ( x) 2 dx
利用剪力、弯矩与荷载集度间的微分关系 绘制剪力、弯矩图
弯曲内力
1.微分关系的几何意义： 剪力图上某点处的切线斜率等于该点处载荷集度的大小；弯矩图上某点 处的切线斜率等于该点剪力的大小。 2.各种荷载下剪力图与弯矩图的形态：
材料力学 第2版 第4章 弯曲内力
ql 2
解得 FBy ql
17
4.3 平面弯曲时梁横截面上的内力—剪力和弯矩
F=ql
Me=ql2/8
q
A
C
ED
B
ql/2 l/4
l/4
l/4 l/4
ql
2.求D截面的内力
D截面的剪力：
FQ
ql 2
ql
ql 4
3 4
ql
D截面的弯矩： M ql l q l l 7ql2
4 4 8 32
Fab l
B 3.画剪力图和弯矩图
x
FBy
FQ1
FAy
Fb ab
Fa
x
FQ2
FBy
ab
M1
FAy x1
Fb ab
x1
x
M2
FBy x2
Fa ab
x2
21
4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
例3
x列1 内力FQ，MMe 方x程2 ,作FQ，解M:
图 1.求支反力
A
B
C
校核支反力！
a
Me/(a+b) FQ
4. 静不定梁的基本形式 （1）连续梁 （2）一端铰支梁 （3）固定梁
11
4.2 梁的支座及载荷的简化
12
4.3 平面弯曲时梁横截面上的内力—剪力和弯矩
1.用截面法求内力
y a
F n
Me
q
A xn
1）首先正确求支反力 B x 得到 FAy和FBy
2）截面法求n-n内力
13
4.3 平面弯曲时梁横截面上的内力—剪力和弯矩
2
4.1 平面弯曲的概念和实例
一. 平面弯曲的概念和实例
《材料力学》第4章弯曲内力 课后答案
0 ； FS−C
= b F， a+b
M
− C
=
ba a+b
F
FS+C
=
−a a+b
F
，
M
+ C
=
ba a+b
F ； FSB
=
−A a+b
F
,MB
=
0
d解
图（d1）， ∑ Fy
=
0，F
=
1 2
ql
，
∑
M
A
= 0，M A
=
− 3 ql 2 8
仿题 a 截面法得
FSA
=
1 2
ql
，MA
=
−
3 8
ql
2
；
FS−C
FS (x) = −F
⎜⎛ 0 < x < l ⎟⎞
⎝
2⎠
M (x) = −Fx ⎜⎛0 ≤ x ≤ l ⎟⎞
⎝
2⎠
FS (x) = F
⎜⎛ l < x < l ⎟⎞
⎝2
⎠
45
M (x) =
FA x +
FB
⎜⎛ ⎝
x
−
l 2
⎟⎞ ⎠
，
FB
= 2F
M (x) = Fx − Fl ⎜⎛ l ≤ x ≤ l ⎟⎞
( ) 解
∑MB
=
0 ， FA
⋅l
+
ql 2
×
3l 4
− ql 2
=
0
， FA
=
5 ql 8
↑
( ) ∑ Fy
= 0 ， FB
材料力学—弯曲内力
FB
FB′
B
FB = FD = qa
q
C
qa2
A
qa2
A
D
aa
qa
FS
qa2
M
q
D
a
aB
B
qa
qa
＋
－
2a
C
q
B
C
2a
qa
－ qa
＋ 0.5qa2
§4-5 叠加法画弯矩图
当梁在荷载作用下的变形很小时，梁跨 长的改变可忽略不计。此时，梁的支座约束 力、剪力和弯矩均与荷载成线性关系。
F
q(x)
当梁上有几项荷载作用时，由每一项荷载所 引起的梁的支座约束力、剪力和弯矩将不受其他 荷载的影响。
C
D
B
a
a
a
解：⑴ 计算控制截面上的剪力和弯矩
B - ： FS = 0 ， M = 0 ；
D ： FS = qa ， M = －0.5 qa2 ；
C＋： FS = qa ， M =－1.5qa2 ；
C - ： FS = qa ， M =－0.5qa2 ；
A＋： FS = qa ， M =－1.5qa2 。
F
A C
B
l/2
l/2
P71 例4-4 特殊情况
F
A C
B
FA
l/2
l/2
FB
解：⑴ 求支座约束力
FA = FB =
1 2
F
⑵ 列剪力方程、弯矩方程
A
FA
AC 段：
CB 段：
F
x
C
B
x
l/2
l/2
FB
FS =
1 2
材料力学第五章弯曲内力
2、判断各段Q、M图形状：
CA和DB段：q=0，Q图为水平线， M图为斜直线。
AD段：q<0， Q图为向下斜直线， M图为上凸抛物线。
3、先确定各分段点的Q 、M 值，用相应形状的线条连接。
32
§5-6 纯弯曲时的正应力
• 纯弯曲(Pure Bending):某段梁的 内力只有弯矩没有剪力时，该段 梁的变形称为纯弯曲。
如图（b）示。
qL A
x1Q1
图（a） M1
图（b）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA(Fi) qLx1 M1 0 M1 qLx1
17
2--2截面处截取的分离体如图（c） qL
Y qL Q2 q(x2 a) 0 Q2 qx2 a qL
剪力等于梁保留一侧横向外
②写出内力方程
Q(x)
P
Q( x ) YO P
M(x) PL
x
M( x ) YOx MO
P( x L ) x
③根据方程画内力图
20
F
a
b
A
C
x1 x2
FAY
l
FS Fb / l
Fa / l
Fab/ l
M
[例]图示简支梁C点受集中力作用。
试写出剪力和弯矩方程，并画 B 出剪力图和弯矩图。
4. 标值、单位、正负号、纵标线
31
例 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的Q---M图。
3kN
6kN m 2kN/m
A C
B D
1m
4m
FA
Q 4.2
(kN) +
E
_
3
x=3.1m
1m
FB
_
3.8
CA和DB段：q=0，Q图为水平线， M图为斜直线。
AD段：q<0， Q图为向下斜直线， M图为上凸抛物线。
3、先确定各分段点的Q 、M 值，用相应形状的线条连接。
32
§5-6 纯弯曲时的正应力
• 纯弯曲(Pure Bending):某段梁的 内力只有弯矩没有剪力时，该段 梁的变形称为纯弯曲。
如图（b）示。
qL A
x1Q1
图（a） M1
图（b）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA(Fi) qLx1 M1 0 M1 qLx1
17
2--2截面处截取的分离体如图（c） qL
Y qL Q2 q(x2 a) 0 Q2 qx2 a qL
剪力等于梁保留一侧横向外
②写出内力方程
Q(x)
P
Q( x ) YO P
M(x) PL
x
M( x ) YOx MO
P( x L ) x
③根据方程画内力图
20
F
a
b
A
C
x1 x2
FAY
l
FS Fb / l
Fa / l
Fab/ l
M
[例]图示简支梁C点受集中力作用。
试写出剪力和弯矩方程，并画 B 出剪力图和弯矩图。
4. 标值、单位、正负号、纵标线
31
例 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的Q---M图。
3kN
6kN m 2kN/m
A C
B D
1m
4m
FA
Q 4.2
(kN) +
E
_
3
x=3.1m
1m
FB
_
3.8
材料力学---弯曲内力课件(1)
FS/kN20
FsA右-5kN；FsB左5kN ; o + -
FS(+)
FS(–)
FS(+)
FS(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的弯矩为正；使梁变成凸形 的弯矩为负。或者说：左顺右逆的M为正， 反之相反。
M(+)
M(+) M(–)
M(–)
9
[例5-1]：求图示梁1-1、2-2截面处的内力。
ql 1
2q
解：1-1截面:
F y 0 : F S 1 ql
1a ql
M(x) RA x FS(x)
AC段：F S(x)R AF l b 0xa
RA x
Fb /l
FS
+
F M(x)
M (x)R A xF l xb 0xa
FS(x)
CB段：F S (x )R A F F l a a xl
-
M (x ) R A x F x a F ll a x a x l
Fa /l (3)绘制剪力图、弯矩图：
M
+
在集中力F作用点处，FS图发生突
Fab /l
变，M图出现尖角。
15
A
mC
B
xx
RA
a
b RB
l
解：(1)计算支反力：
M A 0 : R B m / l M B 0 : R A m / l
(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、
M(x)
CB两段考虑，以A为原点。
RA RA FS
4
F x 0 :F N ( x 1 ) 0 0 x 1 2 a
3a
F y 0 :F s ( x 1 ) 9 4 q0 a x 1 2 a
弯曲内力—弯曲变形概述(材料力学)
弯曲内力
平面弯曲及梁的分类 剪力和弯矩的定义及正负号规定 截面法和代数和法求剪力和弯矩 单一荷载下静定梁的内力图 分布荷载集度、剪力与弯矩之间的微分关系 利用内力图规律绘制剪力图和弯矩图 叠加原ห้องสมุดไป่ตู้绘制梁的弯矩图
弯曲变形实例 1 桥式吊车梁
弯曲变形概述
弯曲变形概述
弯曲变形实例 2 火车轮轴
弯曲变形概述
梁上所有横截面的竖向对称 轴形成了梁的纵向对称面
3. 梁的计算简图及梁的分类
弯曲变形概述
（1）简支梁：梁的一端是固定铰支座，另一端是可动铰支座。
（2）外伸梁：一端或两端伸出支座外的梁。
（3）悬臂梁：一端固定，另一端自由的梁。
Fq
FAx
A
FAy
Me B
FB
FAx A
FAy
q B FB
支座
固定铰支座 可动铰支座 固定端支座
1. 弯曲变形
受力特征
当杆件受到垂直于杆件轴线的横向力或位于杆轴平面内的外力偶时，杆件的轴线
将由直线变成曲线，这种变形称为弯曲，以弯曲为主要变形的构件，通常称为梁。
变形特征
弯曲变形概述
2.平面弯曲
若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，则梁的轴线将在纵向对称面内由直线变 成曲线,这种弯曲称为平面弯曲。
FAx
A
MA
FAy
F
B
Me
弯曲变形概述
3.弯曲构件---梁
（1）可简化为简支梁的吊车大梁
（2）可简化为外伸梁的火车轮轴 （3）可简化为悬臂梁的化工反应塔
qF
A
B
F
A
F
B
平面弯曲及梁的分类 剪力和弯矩的定义及正负号规定 截面法和代数和法求剪力和弯矩 单一荷载下静定梁的内力图 分布荷载集度、剪力与弯矩之间的微分关系 利用内力图规律绘制剪力图和弯矩图 叠加原ห้องสมุดไป่ตู้绘制梁的弯矩图
弯曲变形实例 1 桥式吊车梁
弯曲变形概述
弯曲变形概述
弯曲变形实例 2 火车轮轴
弯曲变形概述
梁上所有横截面的竖向对称 轴形成了梁的纵向对称面
3. 梁的计算简图及梁的分类
弯曲变形概述
（1）简支梁：梁的一端是固定铰支座，另一端是可动铰支座。
（2）外伸梁：一端或两端伸出支座外的梁。
（3）悬臂梁：一端固定，另一端自由的梁。
Fq
FAx
A
FAy
Me B
FB
FAx A
FAy
q B FB
支座
固定铰支座 可动铰支座 固定端支座
1. 弯曲变形
受力特征
当杆件受到垂直于杆件轴线的横向力或位于杆轴平面内的外力偶时，杆件的轴线
将由直线变成曲线，这种变形称为弯曲，以弯曲为主要变形的构件，通常称为梁。
变形特征
弯曲变形概述
2.平面弯曲
若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，则梁的轴线将在纵向对称面内由直线变 成曲线,这种弯曲称为平面弯曲。
FAx
A
MA
FAy
F
B
Me
弯曲变形概述
3.弯曲构件---梁
（1）可简化为简支梁的吊车大梁
（2）可简化为外伸梁的火车轮轴 （3）可简化为悬臂梁的化工反应塔
qF
A
B
F
A
F
B
西南交大2023土木工程考研大纲学硕
西南交大2023土木工程考研大纲学硕1．材料力学部分（1）：绪论a:材料力学任务；b:可变性的固体的基本假设；c:杆件变形的基本形式。
（2）：拉伸与压缩a:轴向直杆的内力、应力计算及强度条件；b:单向应力状态的虎克定律，应变能密度；c:轴向拉伸、压缩直杆的变形计算及抗拉、压刚度；d:简单桁架的节点位移计算；拉伸、压缩静不定问题，装配应力及温度应力；e:低碳钢及铸铁等材料的机械性质，应力应变曲线，材料的强度指标及塑性指标（3）：剪切a:联接件剪切、挤压使用强度计算；b:切应力互等定理，剪切虎克定律，剪切应变能密度能。
（4）：扭转a:扭转外力偶矩的计算，扭矩与扭矩图；b:圆轴扭转时的应力和强度条件，变形和刚度条件；c:简单扭转静步定问题。
（5）：弯曲内力a:弯曲内力计算及剪力图、弯矩图；b:分布载荷集度、剪力、弯矩间的微分关系。
（6）：弯曲强度a:平面弯曲梁的正应力计算及强度条件；b:弯曲切应力计算及强度条件；c:提高弯曲强度的措施。
（7）：弯曲变形a:绕曲线近似微分方程;b:积分法求弯曲变形，刚度条件；c:叠加法求弯曲变形；d:提高弯曲刚度的措施；e:变形比较法求解静不定梁。
（8）：应力状态理论和强度理论a:应力状态概念，主应力，主平面及主单元体；b:二向应力状态分析的解析法，图解法——应力圆；c:三向应力状态的应力圆；d:广义虎克定律及其应用；e:各向同性材料的三个弹性常数E、G、u之间的关系；f:复杂应力状态下的应变能密度能；g:强度理论概念，常用的四个强度理论及其应用。
材料力学考研复习资料第4章弯曲内力
M eb l
发生在C截面右侧
思考：对称性与反对称性
FA
F
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
F/2
x
F/2
x
M
Fl/4
FA
Me
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
Me l
x
Me/2
M
Me/2
x
结论：
• 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称， 剪力图为反对称
• 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称， 剪力图为正对称
34
A1 2
34
Bx
内力
FS M
1—1 -P -Pa
2—2 2P -Pa
3—3 2P Pa
4—4 2P -2Pa
3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值= 集中力大小；
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值= 集中力偶矩大小。
例 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷
载集度为q0，试求截面C上的内力。
1 FS1
M1 Fa ( 顺 )
截面2—2
Fy 0 FS2 FA F 0
F
C2 2 M2
FA 2 FS2
FS2 FA F 2F MC2 0 M2 F a 0
M 2 Fa ( 顺 )
y
Me =3Fa
F
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
FA
2a
FB
截面3—3 F
C33 M3
1 8
ql
FSB左
1 ql 8
剪力方程为常数，剪力图为
水平线。
M图：
材料力学9-弯曲内力
D 处有向上支座反力 RD 作用，剪力图在 D 处 有突变，突变值就是 RD=9KN 。D右 处的剪力 为：
QD右 7 9 2 KN
DE 段内无荷载作用， 剪力图为一水平线，从 D右 一直延伸到 E左 。 在 E 处有集中力 P2 向下作用，Q 图又回到零。
全梁的 Q 图见图示。
（三）作弯矩图 由于A 为铰支座， 又没有集中力偶作用， 所以 MA=0 ；弯矩从零 开始在 AB 段内 Q=7KN>0 ，所以 M 为 一上升斜直线。 B、A 两截面的弯矩 之差即为剪力图（ AB 段） 的面积。 即 MB M A 7 1 7 KN m
Fab l
M ( x2 ) FB ( l x2 )
(+)
3 作剪力图和弯矩图
FQ max Fb l M max
0
x
从 Q 图可看 C 截面：
QC 左 Pb Pa , QC 右 l l
Pb Pa P。 剪力图在 C 截面发生一突变，其大小为： l l
故得出结论：在集中力作用处，剪力图上发生突变，突 变值的大小等于该集中力的大小。
F F FQ F
F F FQ
(-)
F F
F
(+)
M
(+)
M
(-)
二、用截面法求内力的讨论
1、关于Q、M的符号问题 2、用截面法计算内力的规律 横截面上的剪力在数值上等于此截面左侧（或右侧） 梁上外力的代数和。截面左侧向上外力，或右侧向下外力， 产生正的剪力；反之产生负的剪力。 横截面上的弯矩在数值上等于此截面左侧（或右侧） 梁上外力对该截面形心的矩和外力偶的代数和。向上的外 力产生正的弯矩，向下的外力产生负的弯矩；截面左侧顺 时针转向的力偶,和截面右侧逆时针转向的力偶产生正值弯 矩,反之产生负值弯矩。可记为：左上右下，剪力为正；左 顺右逆，弯矩为正； 外力向上,弯矩为正。
材料力学课件之弯曲内力
第4章 弯曲内力
4.1 弯曲的概念与实例 4.2 剪力和弯矩 4.3 剪力图和弯矩图 4.4 剪力、弯矩和分布载荷集度的关系
1
第4章 弯曲内力 工程实际中的弯曲问题
P
P
x
x
P
P
P
P
M=Px
2
第4章 弯曲内力 4.1 平面弯曲的概念与实例
弯曲的概念
弯曲是最常见的一 种基本变形，以弯曲为 主要变形的构件称为梁。
静定梁——仅用静力平衡方程即可求得反力的梁。
P
P外
伸
梁
P
P
9
4.1 平面弯曲的概念与实例
梁的简化以及静定梁的分类
第4章 弯曲内力 简 支 梁
10
4.1 平面弯曲的概念与实例
梁的简化以及静定梁的பைடு நூலகம்类
车床上的刀架和车刀
B
第4章 弯曲内力
P
悬
臂
A
梁
P B
A
11
第4章 弯曲内力
§4.2 剪力和弯矩
外力计算
c
4.2 剪力和弯矩 第4章 弯曲内力
FRA
A
FSE ME
E
c
取右段为研究对象
FSE
F1
ME
EC
F2
FRB
D
B
a-c b-c l-c
解得 18
总结:剪力等于截面左侧(或右侧)所有外力的投影代数和, 截面左侧向上(右侧向下)的外力前面取正号;
弯矩等于截面左侧(或右侧)所有外力矩的代数和, 截面左侧顺时针(右侧逆时针)的外力矩前面取正号;
B x 轴线
R1
受力特点： 外力（包括力偶）位于纵向对称面内。
4.1 弯曲的概念与实例 4.2 剪力和弯矩 4.3 剪力图和弯矩图 4.4 剪力、弯矩和分布载荷集度的关系
1
第4章 弯曲内力 工程实际中的弯曲问题
P
P
x
x
P
P
P
P
M=Px
2
第4章 弯曲内力 4.1 平面弯曲的概念与实例
弯曲的概念
弯曲是最常见的一 种基本变形，以弯曲为 主要变形的构件称为梁。
静定梁——仅用静力平衡方程即可求得反力的梁。
P
P外
伸
梁
P
P
9
4.1 平面弯曲的概念与实例
梁的简化以及静定梁的分类
第4章 弯曲内力 简 支 梁
10
4.1 平面弯曲的概念与实例
梁的简化以及静定梁的பைடு நூலகம்类
车床上的刀架和车刀
B
第4章 弯曲内力
P
悬
臂
A
梁
P B
A
11
第4章 弯曲内力
§4.2 剪力和弯矩
外力计算
c
4.2 剪力和弯矩 第4章 弯曲内力
FRA
A
FSE ME
E
c
取右段为研究对象
FSE
F1
ME
EC
F2
FRB
D
B
a-c b-c l-c
解得 18
总结:剪力等于截面左侧(或右侧)所有外力的投影代数和, 截面左侧向上(右侧向下)的外力前面取正号;
弯矩等于截面左侧(或右侧)所有外力矩的代数和, 截面左侧顺时针(右侧逆时针)的外力矩前面取正号;
B x 轴线
R1
受力特点： 外力（包括力偶）位于纵向对称面内。
材料力学 第四章 弯曲内力
M 2 10kN.m
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
第9章 弯曲【工程力学西南交大4学分】
第9章 弯曲
Southwest Jiaotong University
§9.3弯曲正应力
• 静力学平衡
纵向：
FN dA 0
A
dA
A
Ey
A
dA 0
E
A
y dA 0
A
y dA S z 0
z 轴（中性轴）通过截面形心。梁的轴线在中性层内，其长度 不变。
第9章 弯曲
Southwest Jiaotong University
§9.3弯曲正应力
设想梁由平行于轴线的众多 纵向纤维组成，由底部纤维 的伸长连续地逐渐变为顶部 纤维的缩短，中间必定有一 层纤维的长度不变。 中性层：中间既不伸长也不缩 短的一层纤维。 中性轴：中性层与梁的横截 面的交线，垂直于梁的纵向 对称面。（横截面绕中性轴 转动）
第9章 弯曲
Southwest Jiaotong University
§9.1 剪力和弯矩•剪力图和弯矩图
如图所示一简支梁，试作其在自重条件下的剪力图和弯矩 图。
第9章 弯曲
Southwest Jiaotong University
§9.1 剪力和弯矩•剪力图和弯矩图
ql 解：（1）求支反力 FA FB 2
主要内容
8
斜弯曲 弯曲应变能 超静定梁
9
10
Southwest Jiaotong University
引言
桥式吊车大梁
Southwest Jiaotong University
引言
石油反应塔
Southwest Jiaotong University
引言
火车车轴
Southwest Jiaotong University