分离变量法-2

T(t)a2T(t)0
X (x)X (x)0
二、捆绑边界条件
由于 u (x,t)X (x)T (t)
将其与方程组中的边界条件 捆绑
2u
t2
a2
2u x2
,
0 xl ,t 0
u|x0 0, u|xl 0, t 0
u|t0 ( x) ;
u (x) ,
t t0
0 xl .
由
u 0 X (0 )T (t) 0 x 0
由 u 0 X (l)T (t) 0 x l
其中， T(t)0 。盖由于 T(t)0 ，则 u(x,t)0, 所涉及的解，显然
不是我们所需要的（零解！！！）。
由此可见，只有 X(0)X(l)0。将此结果与所得到的常微分方程
中的第二个方程（关于X ）联立
X (x)X (x)0
X(0)X(l)0
T(t)a2T(t)0 X (x)X (x)0
u|t0 ( x) ;
u (x) ,
t t0
0 xl .
的解. 其中的系数 Cn , Dn 由
Cn
2 l
l (x)sinn
0
l
xd
x
Dn
2
an
由于β不能为零(否则 X(x)),所0以只有
,s即inx0
从而有:
n
l
n 2 l2
2
(n1,2,3 )
. 由此,求出了关于 X ( x) 的本征值问题.
n
n2 l2
2
X n(x)B nsin ln x.
(n1 ,2 ,3 )
四、回过头来求函数 T ( t )
以本征值
n
n2 l2
2
代入右边第一式, 得
被形式上分离为
振幅-关于时间t
位相-关于坐标x
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一、对此，试探性提出方程组 中第一个方程的分离变量 形式的非零解（特解）
u (x,t)X (x)T (t)
上式分别对 x 、 t 求偏导
2u
t2
a2
2u x2
,
0 xl ,t 0
u|x0 0, u|xl 0, t 0
u|t0 ( x) ;
u (x) ,
u n ( x ,t) C n ca o n l ts D n sa in ln t sn i ln x ( n 1 ,2 ,3 )
其中, C nB n C n ,D n B n D n 为任意常数.
五、求满足(捆绑)初始条件的解
u n ( x ,t) C n ca o n l ts D n sa in ln t sn i ln x ( n 1 ,2 ,3 )
AB0 Ael Be l 0
联立求解又得
AB0
即 X(x)0, 不符合非零解的要求, 再舍去!
（3）. 设 λ> 0 . 并令λ=β2 (β为非零实数),此时方程
X (x) 的X 通(x 解)为0
X (x ) A c o x sB s ix n
由边界条件 X(0)X(l)0得
A0
Bsin l 0
任务: 选择适当的 Cn、 Dn， 使 u（ x， t） 满足
初始条件 . 为此, 必须有
2u
t
2
a2
2u x2
,
0 xl ,t 0
u|x0 0, u|xl 0, t 0
u|t0 ( x) ;
u (x) ,
t t0
0 xl .
n
u (x ,t)t 0 u (x ,0 )n 1C nsilnx(x )
三、在右列方程组中，解出非零的 X ( x) 。 X (x)X (x)0
以下的任务：
X(0)X(l)0
确定λ 取何值时 ，方程 X (x)X (x)0 有满足条件
λ——本征值
X(0)X(l)0的非零解；
求出这个非零解 X ( x) 。
λ——本征值 问题
λ——本征函数
以下，针对 λ ，分三种情况来讨论：
t t0
0 xl .
2 x u 2X (x)T (t); 2 tu 2X (x)T (t)
上面的结果，反回去代入原方程，得
X (x )T (t) a 2X (x )T (t)
或
X ( x ) X (x)
T (t ) a 2T (t )
若要两边恒等，只有都等 于一个常数。
这样，变量被分离了， 同时得到两个常微分方程！
u tt0n 1D nan lsin n lx(x)
反过来,回头看, 这正是一种展
开式!
原完来备,的三Cn角,函an数l 系Dns
, 分别是 (x),(x) , 在 0 , l
in n l
x
展开的傅立叶级数的展开系数
区间上, 按照 . 也就是
Cn
2 l
l (x)sinn
0
l
xd
T(t)a2T(t)0 X (x)X (x)0
Tn(t)a2nl222Tn(t)0
显然,其通解为
T n ( t) C n ca o n l s t D n sa in ln t,
( n 1 ,2 ,3 )
将 Xn(x) 和 Tn ( t ) 一并代入 u (x,t)X (x)T (t), 经整理后得
x
Dn
2
an
l (x)sinn
0
l
xd
x
关于解的存在性:
u(x,t) un(x,t)
n1
n1
C ncoan lstD nsian n lt sin n lx
(n1,2,3 )
由上式所确定的 u(x, t) , 确实是
2u
t2
a2
2u x2
,
0 xl ,t 0
u|x0 0, u|xl 0, t 0
启发：
求出足够多的, 满足边界条件的, 具有变量分离形式的特解.
线性组合这些足够多的特解
使之满足初始条件
从物理学知,乐器发出的声音,可以分解为各种不同频率的单音,每种单音 振动时所形成的正弦曲线,其振幅依赖于时间 t .
为此,特解可表示为
u (x,t)A (t)si n x 的形式.
特点: u中的变量 x , t
为求原定解问题的解,将前面所得到的包含任意常数的解迭加起来
u(x,t) un(x,t)
n1
n1
C ncoan lstD nsian n lt sin n lx
(n1,2,3 )
右端分析: 由迭加原理知,无穷级数是收敛的; 都可以对 x , t 逐项微分 2 次; 也满足原偏微分方程和边界条件.
（1）. 设 λ< 0 . 此时方程 X (x)的X 通(x 解) 为0
X(x)A exBex
由边界条件 X(0)X(l)0得
AB0 Ael Be l 0
联立求解得
AB0
即 X(x)0, 不符合非零解的要求, 舍去!
（2）. 设 λ= 0 . 此时方程 X (x)的X 通(x 解) 为0
X(x)AxB 由边界条件 X(0)X(l)0得