一轮复习配套讲义：第1篇 第1讲 集合及其运算精品教案导学案

【【例 1】】
考点一 集合的基本概念
【例 1】(1)(2013·江西卷)若集合 A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则 a＝( )．
A．4 B．2 C．0 D．0 或 4 (2)(2013·山东卷)已知集合 A＝{0,1,2}，则集合 B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的 个数是( )． A．1 B．3 C．5 D．9 解析 (1)由 ax2＋ax＋1＝0 只有一个实数解，可得当 a＝0 时，方程无实数解；
2．(2013·浙江部分重点中学调研)设 A 是整数集的一个非空子集，对于 k∈A， 如果 k－1∉A，且 k＋1∉A，那么称 k 是 A 的一个“好元素”．给定 S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集 合共有( )． A．6 个 B．12 个 C．9 个 D．5 个 解析 依题意，可知由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“好元素”，则这 3 个元素一定是相连的 3 个数．故这样的集合共有 6 个． 答案 A
x，y 及 x－y 的取值如下表所示：
x x－y y
1
12 3 4 5 0 －1 －2 －3 －4
2
1 0 －1 －2 －3
3
2 1 0 －1 －2
4
3 2 1 0 －1
5
43 2 1 0
由题意 x－y∈A，故 x－y 只能取 1,2,3,4，由表可知实数对(x，y)的取值满足条 件的共有 10 个，即 B 中的元素个数为 10，故选 D. 法二(直接法) 因为 A＝{1,2,3,4,5}，所以集合 A 中的元素都为正数，若 x－y∈A，则必有 x－y＞0，x＞y.
对应学生用书 P219
基础巩固题组 (建议用时：40 分钟)
一、选择题 1．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知集合 A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－ 5＜x＜ 5}， 则( )． A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B 解析 集合 A＝{x|x＞2，或 x＜0}，所以 A∪B＝{x|x＞2，或 x＜0} ∪{x|－ 5＜x＜ 5}＝R. 答案 B 2．(2013·广东卷)设集合 S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}， 则 S∩T＝( )． A．{0} B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2} 解析 S＝{－2,0}，T＝{0,2}，∴S∩T＝{0}． 答案 A 3．已知集合 M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则 P 的子集共有( )． A．2 个 B．4 个
{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． 1
(2)a＝0 时，B＝{x|1≠0}＝∅⊆A；a≠0 时，B＝Error!⊆A，则－a＝－1 或 1
－a＝1，故 a＝0 或 a＝1 或－1.
答案 (1)D (2)D
考点三 集合的基本运算
【例 3】(1)(2013·湖北卷)已知全集为 R，集合 A＝Error!，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，
集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．
(2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助
分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论． 【训练 2】(1)已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则 满足条件 A⊆C⊆B 的集合 C 的个数为( )． A．1 B．2 C．3 D．4 (2)(2014·郑州模拟)已知集合 A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若 B⊆A，则实数 a 的所有可能取值的集合为( )． A．{－1} B．{1} C．{－1,1} D．{－1,0,1} 解析 (1)由题意知：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．又 A⊆C⊆B，则集合 C 可能为
则 A∩∁RB＝( )． A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}
C．{x|0≤x＜2，或 x＞4} D．{x|0＜x≤2，或 x≥4}
(2)(2014·唐山模拟)若集合 M＝{y|y＝3x}，集合 S＝{x|y＝lg(x－1)}，则下列各式
正确的是( )．
A．M∪S＝M B．M∪S＝S
C．M＝S D．M∩S＝∅
{ ( ) } 1
x| x ≤ 1
解析 (1)A＝ 2
＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}，所以∁RB＝{x|x＜2，或
x＞4}，此时 A∩∁RB＝{x|0≤x＜2，或 x＞4}．
(2)M＝{y|y＞0}，S＝{x|x＞1}，故选 A.
答案 (1)C (2)A 规律方法 一般来讲，集合中的元素离散时，则用 Venn 图表示；集合中的元素
学生用书第 3 页
创新突破 1——与集合有关的新概念问题 【典例】已知集合 A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则 B 中 所含元素的个数为( )． A．3 B．6 C．8 D．10 解析 法一(列表法) 因为 x∈A，y∈A，所以 x，y 的取值只能为 1,2,3,4,5，故
值．(2)先求 A，再利用(∁UA)∩B＝∅⇔B⊆A，应对 B 分三种情况讨论．
解 (1)当 B＝∅时，有 m＋1≥2m－1，则 m≤2. 当 B≠∅时，若 B⊆A，如图．
则Error!解得 2<m≤4. 综上，m 的取值范围是(－∞，4]． (2)A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得 B⊆A， ∵方程 x2＋(m＋1)x＋m＝0 的判别式 Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅. ∴B＝{－1}或 B＝{－2}或 B＝{－1，－2}． ①若 B＝{－1}，则 m＝1； ②若 B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且 m＝(－2)·(－2)＝4， 这两式不能同时成立， ∴B≠{－2}； ③若 B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且 m＝(－1)·(－2) ＝2，由这两式得 m＝2. 经检验知 m＝1 和 m＝2 符合条件．∴m＝1 或 2. 规律方法 (1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子
辨析感悟
1．元素与集合的辨别
(1)若{ x2, 1}＝{0,1}，则 x＝0,1.(×)
(2)含有 n 个元素的集合的子集个数是 2n，真子集个数是 2n－1，非空真子集的 个数是 2n－2.(√) (3)若 A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则 A∩B＝{x|x∈R}．(×) 2．对集合基本运算的辨别 (4)对于任意两个集合 A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)总成立．(√) (5)(2013·浙江卷改编)设集合 S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS) ∪T＝{x|－4≤x≤1}．(×) (6)(2013·陕西卷改编)设全集为 R，函数 f(x)＝ 1－x2的定义域为 M，则 ∁RM＝{x|x＞1，或 x＜－1}．(√) [感悟·提升] 1．一点提醒 求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或 其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件．如第(3)题就是 混淆了数集与点集． 2．两个防范 一是忽视元素的互异性，如(1)； 二是运算不准确，尤其是运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心， 如(6)． 3．集合的运算性质：①A∪B＝B⇔A⊆B；②A∩B＝A⇔A⊆B；③A∪(∁UA) ＝U；④A∩(∁UA)＝∅.
第 1 讲 集合及其运算 [最新考纲] 1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系． 2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． 4．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 5．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
014＋b2
014＝________.
b 解析 由已知得a＝0 及 a≠0，所以 b＝0，于是 a2＝1，即 a＝1 或 a＝－1，又
根据集合中元素的互异性可知 a＝1 应舍去，因此 a＝－1，故 a2 014＋b2 014＝1.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
答案 1 考点二 集合间的基本关系
【例 2】 (1)已知集合 A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若 B⊆A，求 实数 m 的取值范围． (2)设 U＝R，集合 A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA) ∩B＝∅，求 m 的值． 审题路线 (1)分 B＝∅和 B≠∅两种情况求解，当 B≠∅时，应注意端点的取
是连续的实数时，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
【训练 3】(1)已知全集 U＝{0,1,2,3,4}，集合 A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA) ∪B 为( )． A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4} (2)已知全集 U＝R，集合 A＝{x|－1≤x≤3}，集合 B＝{x|log2(x－2)＜1}，则 A∩(∁UB)＝________. 解析 (1)∁UA＝{0,4}，∴(∁UA)∪B＝{0,2,4}．
当 y＝1 时，x 可取 2,3,4,5，共有 4 个数； 当 y＝2 时，x 可取 3,4,5，共有 3 个数； 当 y＝3 时，x 可取 4,5，共有 2 个数； 当 y＝4 时，x 只能取 5，共有 1 个数； 当 y＝5 时，x 不能取任何值． 综上，满足条件的实数对(x，y)的个数为 4＋3＋2＋1＝10. 答案 D [反思感悟] (1)解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新 定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算． (2)以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命 题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查 的是考生创造性解决问题的能力． 【自主体验】 1．(2013·广东卷)设整数 n≥4，集合 X＝{1,2,3，…，n}．令集合 S＝{(x，y，z) |x，y，z∈X，且三条件 x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y 恰有一个成立}．若(x，y，z)和 (z，w，x)都在 S 中，则下列选项正确的是( )． A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉S B．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S C．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈S D．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S 解析 题目中 x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y 恰有一个成立说明 x，y，z 是互不相 等的三个正整数，可用特殊值法求解，不妨取 x＝1，y＝2，z＝3，w＝4 满足题 意，且(2,3,4)∈S，(1,2,4)∈S，从而(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S 成立． 答案 B
知识梳理
1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． 2．集合间的基本关系
表示 关系
文字语言
符号语言
相等 集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同
A＝B
集合间的 子集 A 中任意一个元素均为 B 中的元素
A⊆B
基本关系
A 中任意一个元素均为 B 中的元素，且 B 中至少有一个
真子集
元素不是 A 中的元素
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
语言
符号 语言
A∪B＝{x|x∈A，或 x∈B}
A∩B＝{x|x∈A，且 x∈B}
∁UA＝{x|x∈U，且 x∉A}
(2)由 log2(x－2)＜1，得 0＜x－2＜2,2＜x＜4，所以 B＝{x|2＜x＜4}．故
∁UB＝{x|x≤2，或 x≥4}，从而 A∩(∁UB)＝{x|－1≤x≤2}．
答案 (1)C (2){x|－1≤x≤2}
数轴和韦恩(Venn)图是进行集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集 合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化， 尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、 形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．
当 a≠0 时，则 Δ＝a2－4a＝0，解得 a＝4(a＝0 不合题意舍去)．
(2)x－y∈{－2，－1,0,1,2}．
答案 (1)A (2)C 规律方法 集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母
的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
{ }b
a， ，1 【训练 1】已知 a∈R，b∈R，若 a ＝{a2，a＋b,0}，则 a2