不等式的基本性质
不等式的基本性质
110,又 a0, aa0, 一
dc
dc
性质四
又 ab0,10, ab0,二
c cc
性质四
由一二可得
ab还0有,其a他 方b d c 法d吗 c
性质二
性质六
c> d > 0性质{四cc>d d o
c1 d1 0 cd cd
1 10 dc
课堂互动讲练
一．实数大小的比较
一数轴上的点与实数一一对应可以利用数轴上点的左
二．不等式的基本性质
由两数大小关系的基本事实可以得到不等式的一些基
本性质：
一如果a＞b那么b＜a；如果b＜a那么a＞b.即 a＞
b⇔b＜a .
二如果a＞bb＞c那么
.a即＞ac＞bb＞c⇒ . a＞c
三如果a＞b那么a＋c> b＋. c
四如果a＞bc>0那么ac bc；>如果a>bc<0那么ac bc.
b是正数；如果a=b那么a-b等于零；如果a < b那么a-b 是负数；反过来也对.
用数学式子表示为:
表示等价于
a b a - b 0 a b a - b 0 a b a - b 0
基本理论
a b a-b 0；
a b a-b 0；
ab a-b0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序而右 边部分则是实数的运算性质合起来就成为实数的 大小顺序与运算性质之间的关系. 这一性质不仅 可以用来比较两个实数的大小而且是推导不等式 的性质、不等式的证明、解不等式的主要依据.
20＞ 0
所以 （x+1)(x+2) ＞ （x-3)(x+6)
课堂小结与作业
1.不等式的概念: 同向不等式；异向不等式；同解不等
不等式的基本性质知识点
不等式的基本性质知识点1 .不等式的定义：a-b>0 a>b, a-b=O a=b, a-b<O L> a<b。
①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。
它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。
作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。
如证明y=x3为单增函数，3 3 2 2 2设x1, X2《(-m,+ m), X<X2, f(x i)_f(X 2)=X1 _X2 =(X1_X2)(X1 +X1X2+X2 )=(X1_X2)[(X l+ -)3+ X22]5 3再由(X什- )2+ X22>0, X1-X2<0,可得 f(X l)<f(X2), ••• f(X)为单增。
2.不等式的性质：①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式基本性质有：(1)a>b三b<a (对称性)(2)a>b, b>c 二a>c (传递性)⑶ a>b = a+c>b+c (c € R)(4) c>0 时，a>b A，ac>bcc<0 时，a>b ac<bc。
运算性质有：(1) a>b, c>d —a+c>b+d。
⑵ a>b>0,c>d>0 ac>bd。
⑶ a>b>0 —a n>b n(n € N, n>1)。
⑷ a>b>0= 川>w (n € N, n>1)。
应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“ ”和“ ”即推出关系和等价关系。
一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。
解不等式就是施行一系列的等价变换。
因此，要正确理解和应用不等式性质。
不等式的基本性质
4
3
2
= 2x (x -1)+(1- x)(1+ x) 3 =(x -1)(2x - x -1) 2 = (x 1)(x 1)(2x 2x 1) 1 1 = (x -1) 2(x + 2) + 2 > 0
2 2
3
∴A>B
1、不等式的基本性质： ①对称性： a b b a
考点突破 利用不等式性质判断命题真假 运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的 条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意 捏造性质．解有关不等式的简单判断和选择题时，
也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵
循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简
单，便于验证计算．
对于实数 a，b，c，下列命题中的真命题 是( ) A．若 a＞b，则 ac2＞bc2 1 1 B．若 a＞b＞0，则a＞b b a C．若 a＜b＜0，则 ＞ a b 1 1 D．若 a＞b，a＞b，则 a＞0，b＜0
本专题知识结构
第一讲 不等式和绝对值不等式
不 等 式 选 讲
第二讲 证明不等式的基本方法 第三讲 柯西不等式与排序不等式 第四讲 数学归纳法证明不等式
第一讲
不等式和绝对值不等式
1.不等式的基本性质
知识回顾
A B a b b>a B b
a>b
A a
a>b a-b>0
解：
2
2
2 2 2
4 2 4
4
,
4
不等式的基本性质
等式的基本性质一：
等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个 整式 , 所得结果仍是等式。
如果 a = b , 那么 a + c = b + c (或 a – c = b – c ) 等式的基本性质二：
等式两边都乘以（或除以）同一个 数（除数 不能是零），所得结果仍是等式。
如果a = b , 那么 a c = b c（或 a／c =
2 ＜3 2 ×5 ＿ 3 ×5 2×0.3 ＿ 3× 0.3 10×2 10÷5 10＞－10 ＿ －10×2 ＿ －10÷5
2×（－1）＿ 3×（－1） 2÷（－3）＿ 3÷（－3）
10×（－3）＿－10×（－3）
10×（－7）＿－10×（－7）
思考并交流，你发现了不等式的那些性质？
不等式的基本性质二：
不等式的基本性质一：
不等式的两边都加上（或减去）同一个整式， 不等号的方向不变。
如果a﹤b , 那么a + c﹤b + c (或 a – c﹤b – c)
Hale Waihona Puke 如果a﹥b , 那么a + c﹥b + c (或 a – c﹥b – c)
做一做： 如果在不等式的两边都乘以（或除
以）同一个数，结果会怎样？完成下列填空。
b／c，c ≠ 0 ）
做一做: 如果在不等式的两边都加上（或减去）
同 一个整式，结果会怎样？完成下列填空。
2 ＜ 5
2 －1 ＿ 5 －1 2＋3 ＿ 5＋3
7 ＞ － 7
7 ＋2 ＿ － 7 ＋2
7－(－5）＿－7－（－5） 7 －3 ＿ －7 －3 7 －b ＿ －7 －b
2＋（－7）＿ 5＋（－7） 2 ＋a ＿ 5 ＋a
不等式的基本性质有哪些
不等式的基本性质有哪些基本性质：①对称性；②传递性；③加法单调性，即同向不等式可加性；④乘法单调性；⑤同向正值不等式可乘性；⑥正值不等式可乘方；⑦正值不等式可开方；⑧倒数法则。
不等式的基本性质有哪些1不等式8个基本性质如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；如果x>y，y>z；那么x>z；如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变;如果x>y，z>0，那么xz>yz,即不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变;如果x>y，z<0，那么xz<yz,即不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变;如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数），x的n次幂<y的n次幂（n为负数）。
2不等式定理口诀解不等式的途径，利用函数的性质。
对指无理不等式，化为有理不等式。
高次向着低次代，步步转化要等价。
数形之间互转化，帮助解答作用大。
证不等式的方法，实数性质威力大。
求差与0比大小，作商和1争高下。
直接困难分析好，思路清晰综合法。
非负常用基本式，正面难则反证法。
还有重要不等式，以及数学归纳法。
图形函数来帮助，画图、建模、构造法。
3基本不等式两大技巧“1”的妙用。
题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。
如果题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。
调整系数。
有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。
不等式的基本性质
(a b)( a b ) ( a b )( a b )2 ab ab 2 1 2 1 a 2 b 2 （定号） 0 ( ) ( ) a b b a
三、例题分析：
a b 例4:已知a 0, b 0，比较 ( ) ( ) b a 与 a b 的大小。
变式练习
已知 3≤a＋b≤4,1≤4a－2b≤2，求 4a
＋2b 的取值范围．
解：方法 1：(方程组思想) 1 1 x＝ a＋ b a＝3x＋6y 令 ，则 y＝ 4a－ 2b b＝2x－ 1y 3 6
.
1 1 2 1 8 1 ∴ 4a＋2b＝4( x＋ y)＋ 2( x－ y)＝ x＋ y， 3 6 3 6 3 3 8 32 3≤ x≤ 4 8≤3x≤ 3 又 ⇒ 1≤ y≤ 2 1≤1y≤2 3 3 3 25 8 1 34 ⇒ ≤ x＋ y≤ ， 3 3 3 3
1 2 2 a, b, , 2ab, a b 从小到大的顺序是 2
1 2 2 a 2ab a b b ______________________ 2 1 3 特殊值法: 取 a , b 4 4
三、例题分析：
2 2 2 x 4 y 1 x y 例2:(2)已知 ，比较
方法 2：(待定系数法)设 f(3)＝λf(1)＋μf(2)， ∴9a－c＝λ(a－c)＋μ(4a－c)． 5 λ ＝－ 3 9＝λ＋4μ ∴ ，解得 －1＝－λ－μ μ＝8. 3 5 8 ∴f(3)＝－ f(1)＋ f(2)．下同方法 1，略． 3 3
• 【方法总结】 本题把所求的问题用已 知不等式表示，然后利用同向不等式性 质解决．本题常用待定系数法解决，设 出方程，求出待定系数即可．
不等式的基本性质
做一做
根据2<3完成下列填空：
2×5_<__3×5； 2× 1 < 3×1 ；2×(-1)_>_3×(-1)；
2
2
2×(-5)_>_3×(-5)；
2×(-
1 2
)__>_3 ×(- 1
2
).
你发现了什么？
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或 除以）同一个正数，不等号的方向不变.
2
x ≤ 3.
解:（1）x＞3；
（2）x＞-
5 6
； （3）x≤6.
在上节课的问题中，我们猜想，无论绳长l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即：
l 2 ＞l 2 . 4 π 16
你相信这个结论吗？你能利用不等式的基本 性质解释这一结论吗？
汇报完毕！谢谢！
不等式的基本性质
填一填
1.若x是正数，则 x＞0 2.若x是负数，则 x＜0 3.若x是非负数，则 x≥0 4.若x是非正数，则 x≤0 5.若x大于y，则 x＞y 6.若x小于y，则 x＜y 7.若x不小于y，则 x≥y 8.若x不大于y，则 x≤y 9.若x不等于y，则 x≠y 10.若xy同号，则 xy＞0或y/x＞0 11.若xy异号，则 xy＜0或y/x＜0
2.已知 x ＞ y ,下列不等式一定成立吗？
（1）x – 6 ＜ y – 6； （2） 3x＜3y； （3）-2x＜-2y ； （4） 2x +1＞2y +1.
不成立 不成立 成立 成立
随堂练习
1.将下列不等式化成 x ＞ a或 x ＜ a的形式：
（1）x –1 ＞2；
不等式的基本性质
D
ab .
A
ab 这个圆的半径为 2 显然，它大于或等于CD，
ab 2
ab
C
a
O
b
B
半径不小于半弦
E
二. 最值定理应用:设 x 0, y 0,由x y 2 xy
x 1.若积 xy P(定值），则和 y有最小值2 P
作业：
P10 Ex 3、10、11、13选做来自Ex 14五、基本不等式
一．常用的重要的不等式和基本不等式
a R, 则a 2 0, a 0（ 当且仅当 a 0时, 取“” 1.若 ）。
2.若 a, b R, 则a b 2ab （当且仅当a=b时取等号）.
2 2
a, b R ，则 a b 2 ab （当且仅当a=b时取等号）. 3.若
不等式的基本性质
一.不等式的三个基本事实：
a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0.
比较大小的基本依据。
O
二. 不等式的基本性质(运算性质)
(1)a b b a. 对称性 (2)a b, b c a c. 传递性 (3)a b a c b c. 可加性 (4)a b, c 0 ac bc; 可乘性 a b, c 0 ac bc. (5)a b 0 a b (n N , n 2).
a 2 b2 ab 2 ( ) （当且仅当a=b时取等号）. 4.若a, b R , 则 2 2
1 3：（1）已知0<x< , 求函数y x(1 3x)的最大值。 3
不等式的基本性质
以数学符号表示为：若A>B，则B<A。例如，如果一个人年龄大于另一个人年龄，那么另一个人年龄必然小于第一个人年龄。
详细描述
不等式的对称性是指在不等式两端同时加上或减去同一个数或式子，不等式仍然成立。
以数学符号表示为：若A>B，则A±C>B±C。例如，如果一个人身高大于另一个人身高，那么无论在这两个人身高上加上或减去同一个数值，不等式仍然成立。
04
不等式的应用
数学竞赛中的不等式主要用于解决一些与不等式有关的问题，如最值、不等式证明等。
通过使用不等式性质，可以分析得出一些解决问题的技巧和方法，如放缩法、常数代换法等。
数学竞赛中的应用
不等式在数论中主要用于研究一些与不等式有关的问题，如三角不等式、柯西不等式等。
不等式在数论中还有许多应用，如在研究素数分布、算术级数等问题时都会涉及到不等式的应用。
最优化问题
控制理论
数据科学
经济与金融
THANK YOU.
谢谢您的观看
不等式可以用来描述各种最优化问题，如线性规划、二次规划、非线性规划等。
在经济学和金融学中，不等式被用来描述各种经济和金融模型，如供需模型、最优消费模型等。
在控制理论中，不等式被用来描述系统的稳定性和性能限制。
在数据科学中，不等式被用来进行特征选择和降维，以及建立数据隐私保护的约束条件。
不等式的进一步应用和研究方向
一次不等式
形如ax²+bx+c>0，a、b、c为实数且a≠0的不等式叫做二次不等式。
二次不等式
除一次和二次不等式外，还有指数不等式、对数不等式等其他
VS
不等式的传递性是指如果A和B之间存在不等式关系，且B和C之间也存在不等式关系，那么A和C之间也必然存在同样的不等式关系。
不等式的基本性质
结论：
性质一（不等式的传递性）：
如果a>b,且b>c,那么a>c.
性质二（不等式的加法性质）：
如果a>b,那么a+c>b+c.
探究：
性质三（不等式的乘法性质）：
如果a>b,c>0,那么ac>bc; 如果a>b,c<0,那么ac<bc.
Байду номын сангаас
例题解析：
例4：用符号“<”或“>”填空，并说出应用了不等式的哪条性 质。 (1)设a>b，a-3 b-3; (2)设a>b，6a 6b; (3)设a<b,-4a -4b; (4)设a<b,5-2a 5-2b. 解：（1）>; （2） >;
小结：
不等式的三条基本性质内容。
性质一（不等式的传递性）：
如果a>b,且b>c,那么a>c.
性质二（不等式的加法性质）：
如果a>b,那么a+c>b+c.
性质三（不等式的乘法性质）：
如果a>b,c>0,那么ac>bc; 如果a>b,c<0,那么ac<bc.
课后作业：
必作：习题2.1 A组1—2题； 选作：习题2.1 B组
看一看：
想一想：
问题一：
有A、B、C三个人玩跷跷板游戏，如果A比B重，B 比C重，A与B玩后，B下来换上C与A比较，跷跷板 的方向会不会改变？
问题二：
有A、B二人玩跷跷板游戏，如果A比B重，现在在跷 跷板两端添加相同重量的物体后，跷跷板的倾斜方 向会不会改变？
做一做：
请用天平验证你的结论。
不等式及其性质与解法
（1）一元一次不等式：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。
（2）一元一次不等式的解法：求接方法与解一元一次方程类似，根据不等式性质将不等式变形，从而等到解集.（3）一般步骤：一、去分母；二、去括号；三、移项；四、合并，化成b ax >或b ax <的形式（其中0≠a ）；五、两边都除以未知数的系数，得到不等式的解集。
热身练习1、判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”。
（1） 不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变.（ × ） （2） 如果a ＞b ，那么3－2a ＞3－2b.（ × ） （3） 如果a ＜b ，那么a 2＜b 2.（ × ） （4） 如果a 为有理数，则a ＞－a.（ × ） （5） 如果a ＞b ，那么ac 2＞bc 2.（ × ） （6） 如果－x ＞８，那么x ＞－8.（ × ） （7） 若a ＜b ，则a ＋c ＜b ＋c.（ √ ）2、若x ＞ｙ，则ax ＞ay ，那么a 一定为（ A ）。
[来源A 、a ＞０B 、ａ＜０C 、ａ≥0D 、a ≤03、有理数b 满足︱b ︱＜3，并且有理数a 使得a ＜b 恒成立，则a 得取值范围是（ C ）。
A 、小于或等于3的有理数 B 、小于3的有理数 C 、小于或等于－3的有理数 D 、小于－3的有理数4、若b a <，则下列各式中一定成立的是（ B ） A 、0>-b a B 、0<-b a C 、0>ab D 、0<ab5、如果t>0,那么a+t 与a 的大小关系是 ( A ).A 、a+t>aB 、a+t<aC 、a+t ≥aD 、不能确定 6、同时满足不等式2124xx -<-和3316-≥-x x 的整数x 是 （ B ）． A 、1，2，3 B 、0，1，2，3 C 、1，2，3，4 D 、0，1，2，3，47、若三个连续正奇数的和不大于27，则这样的奇数组有（ B ）A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组 8、若a ＜0，则－2b a +__<__－2b[来源:学.科.网] 11．设a ＜b ，用“＞”或“＜”填空：[来源:Z*xx*ka －1__<__b －1， a ＋3__<__b ＋3， －2a__>__－2b ，3a __<__3b12．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：a －b__<__0， a ＋b__<__0，ab __>__0，a 2__>__b 2，a 1__>__b1，︱a ︱__>__︱b ︱ 13．若a ＜b ＜0，则21（b －a ）_>___0 14、不等式2(x + 1) - 12732-≤-x x 的解集为_____1314≥x ________。
06 不等式的三条基本性质
名师精编优秀教案
不等式的三条基本性质
不等式基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变（即原来较大的一边仍然较大，原来较小的一边仍然较小）．不等式基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变（即原来较大的一边仍然较大，原来较小的一边仍然较小）．不等式基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变（即原来较大的一边反而较小，原来较小的一边反而较大）．。
不等式的基本性质
知2－练
3
有一道这样的题：“由★x则题中★表示的是( D )
A．非正数
B．正数
C．非负数
D．负数
知2－练
4 已知实数a，b满足a＋1>b＋1，则下列选项错
误的为D( ) A．a>b
B．a＋2>b＋2
C．－a<－b
D．2a>3b
知2－练
5 实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下
2×(－1)___＞____3×(－1);
2×(－5)___＞____3×(－5)；
2 ( 1 ) ___＞___3 ( 1 )；
2
2
你发现了什么？请再举几例试一试，还有类似的结
论吗？与同伴交流.
（来自《教材》）
归纳
知3－导
不等式的基本性质3 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等
号的方向改变.
3 若a＜ 7 －2＜b，且a，b是两
个连续整数，则a＋b的值是( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
知1－练
知识点 2 不等式的基本性质2
知2－导
做一做 完成下列填空：
2 3；
2 5 _＜__ 3 5；
2 1 _＜__ 3 1 ；
2
2
（来自《教材》）
归纳
知2－导
不等式的基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等
列式子中正确的是( B )
A．a－c>b－c C．ac>bc
B．a＋c<b＋c D. a ＜ c
bb
1 知识小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？
（来自《教材》）
知3－讲
不等式的基本性质
解：（ 4） 4 b 3 3 b 4（乘法单调性）
2a3 6 ab 12 （乘法法则） -12 ab -6
a b2 a b, a b, , ab, b a
的取值范围。
（乘法单调性）
三、例题分析：
例7:已知 2 a 3, 4 b 3 ，求
错因：用乘法法则时不符合其 “同向同正”的前提条件 。
不等式的性质
1、对称性：
abba
a b ac bc
2、传递性： a b, b c a c
3、加法性质： a b ac bd c d
同向可加性
不等式的性质
a b ac bc 4、乘法性质： c 0
相加法则
a bac bc 证明： c d bc bd
ac bd
同向可加性
如果a b, 且c d , 那么a c b d .
c d c d a c b d
相减法则
a b
异向可减性
例4 选择适当的不等号填空，并说明理由. > （1）若a>b,则a-4 ___b-4 （2）若4a>5a,则 a___0 < > （3）若a>-b，则a+b____0 ；
证明：
(a c) (b c) a b 0 a c b c
简述不等式的4个基本性质
简述不等式的4个基本性质
不等式的基本性质：1、在一个区间上可导，在另一个区间上也可导；2、对于任何实数，都存在至少一个解析式；3、当不等式两边同时乘以或除以一个常数时，所得结果仍然是不等式。
4、如果有增根，那么它们互为相反数。
不等式的解题思路：首先要弄清楚该不等式左右两边到底是什么关系，因此必须从函数的角度考虑问题，即把不等式转化成一般形式，然后再利用各种方法进行求解。
由于不等号两边的关系较复杂，建议大家通过举例来理解和掌握。
在做题过程中，应注意分类讨论的作用，多联想一些与之有关的知识点，能起到事半功倍的效果。
不等式的基本性质
题型一
题型二
题型三
题型四
反思对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等
式的相关性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、
取倒数、开方、平方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去
选正确的选项,这种方法一般要注意选取的值应具有某个方面的代
表性,如选取0、正数、负数等.
题型一
题型二
谢谢！
≤ .
2 2 2 2
2
2
2
题型一
题型二
题型三
题型四
π+ππ≤ 和− ≤2
2
2
2
-
π
π
≤ 的错误,导致该种错误的原因是忽视了 , 不能同时取到
2
2
2 2
4
π
和 − 以及忽视了α,β 的大小关系.
4
错因分析:在解答本题的过程中易出现 − ≤
题型一
题型二
正解: ∵
题型三
题型四
π
π
− 2≤α<β≤2,
π π -
π
即
的取值范围为 - ,
,
的取值范围为 - ,0 .
2
2 2 2
2
题型一
题型二
题型三
题型四
反思求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面,严
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.
在使用不等式的性质时,如果是由两个变量的取值范围求其差的取
值范围,一定不能直接作差,而要先转化为同向不等式后再求和.
第一讲 不等式
和绝对值不等式
一 不等式
1.不等式的基本
性质
学习目标：
不等式的基本性质
在其他学科中的应用
物理
在物理中，不等式性质被广泛应用于解决力学、热 学和波动问题。
经济学
在经济学中，不等式性质被用来描述和解决市场供 需关系、投资回报率等问题。
计算机科学
在计算机科学中，不等式性质被用于算法设计和数 据结构优化，以提高程序的效率和正确性。
PART 05
不等式性质的注意事项
性质使用的条件和限制
文字表述
使用大于、小于、不等于等符号， 将不等式表示为数学语言。
数轴表示
在数轴上，将不等式的解集表示 在相应区间的位置。
PART 02
不等式的基本性质
不等式的传递性
01 定义
不等式的传递性是指如果a>b且b>c，那么a>c。
02 证明
通过反证法证明，假设a≤c，则a≤b≤c，这与已知条件 a>b矛盾，所以假设不成立，即a>c。
证明过程
通过反证法进行证明，假设a不大于c， 则可能出现a≤c的情况，但这与已知条 件a>b和b>c相矛盾。
结论
证明了传递性是成立的。
可加性的证明
简介
通过举例和数学推导，证明不 等式的可加性。
证明过程
详细展示不等式可加性的证明 步骤，包括假设、推理和结论。
应用举例
给出一些实际应用中不等式可 加性的例子，帮助理解其在实 际问题中的应用。
性质使用的灵活性
03 根据具体问题，灵活运用不等式性质，结合其他数学知识综合解决问题。
谢谢
汇报人：WPS
性质
在证明可乘方性时，需要利用不等式的 性质，即如果a>b，c>d，那么ac>bd。
证明过程
通过举例和反证法，证明不等式具有可 乘方性。例如，假设a>b>0，如果 a^2<=b^2，那么a<=sqrt(b^2)=b， 这与已知条件a>b矛盾。因此， a^2>b^2，证明了不等式具有可乘方 性。
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课 题：2.1-不等式的基本性质(2课时)教学目标：1. 掌握作差比较大小的方法，并能证明一些不等式。
2. 掌握不等式的性质，掌握它们的证明方法及其功能，能简单运用。
3. 提高逻辑推理和分类讨论的能力；培养条理思维的习惯和认真严谨的学习态度。
教学重点：作差比较大小的方法；不等式的性质。
教学难点：不等式的性质的运用教学过程：第1课时：问题情境：现有A 、B 、C 、D 四个长方体容器，A 、B 容器的底面积为a 2，高分别为a 、b ，C 、D 容器的底面积为b 2，高分别为a 、b ，其中a ≠b 。
甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。
问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？ 分析：依题意可知：A 、B 、C 、D 四个容器的容积分别为a 3、a 2b 、ab 2、b 3，甲有6种取法。
问题可以转化为比较容器两两和的大小。
研究比较大小的依据：我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的。
在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。
在右图中，点A 表示实数a ，点B 表示实数b ，点A 在点B 右边，那么a ＞b 。
而a －b 表示a 减去b 所得的差，由于a ＞b ，则差是一个正数，即a －b ＞0。
命题：“若a ＞b ，则a －b ＞0”成立；逆命题“若a －b ＞0，则a ＞b ”也正确。
类似地：若a ＜b ，则a －b ＜0；若a ＝b ，则a －b ＝0。
逆命题也都正确。
结论：(1)“a ＞b ”⇔“a －b ＞0”(2)“a ＝b ”⇔“a －b ＝0”(3)“a ＜b ”⇔“a －b ＜0”——以上三条即为比较大小的依据：“作差比较法”。
正负数运算性质：(1) 正数加正数是正数；(2) 正数乘正数是正数；(3) 正数乘负数是负数；(4) 负数乘负数是正数。
研究不等式的性质：性质1：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c (不等式的传递性)证明：∵a ＞b ∴a －b ＞0∵b ＞c ∴b －c ＞0∴(a －b)＋(b －c)＝a －c ＞0 (正负数运算性质)则a ＞c反思：证明要求步步有据。
性质2：若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c (不等式的加法性质)x证明：∵a＞b ∴a－b＞0∵(a＋c)－(b＋c)＝a－b＞0 ∴a＋c＞b＋c反思：作差比较法的第一次运用，虽然简单，也要让学生好好体会体会。
思考：逆命题“若a＋c＞b＋c，则a＞b”成立吗？——两边加“－c”即可证明。
[例1] 求证：若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d (同向不等式相加性质)证明1：∵a＞b ∴a＋c＞b＋c (性质2)∵c＞d ∴b＋c＞b＋d (性质2)则a＋c＞b＋d (性质1)证明2：∵a＞b ∴a－b＞0∵c＞d ∴c－d＞0∴(a－b)＋(c－d)＞0 即(a＋c)－(b＋d)＞0 (作差比较法)则a＋c＞b＋d反思：你更喜欢哪种方法？为什么？(精彩回答：我都喜欢，如同自己的一对双胞胎。
)练习：求证：若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d (异向不等式相减性质) ——作业证明1：∵c＜d ∴c－d＜0得d－c＞0 即－c＞－d (正数得相反数为负数)亦可由c＜d两边同加－(c＋d)，直接推出－c＞－d (性质2)∵a＞b ∴a＋(－c)＞b＋(－d) (同向不等式相加性质)则a－c＞b－d (加减法运算法则)证明2：∵a＞b ∴a－b＞0∵c＜d ∴d－c＞0∴(a－c)－(b－d)＝(a－b)＋(d－c)＞0 (作差比较法)则a－c＞b－d性质3：若a＞b，c＞0，则ac＞bc若a＞b，c＜0，则ac＜bc (不等式的乘法性质)证明：ac－bc＝(a－b)c (作差比较法)∵a＞b ∴a－b＞0(1)当c＞0时，(a－b)c＞0，得ac＞bc (正负数运算性质)(2)当c＜0时，(a－b)c＜0，得ac＜bc (正负数运算性质)反思：等式两边同乘一个数，等式永远成立。
但不等式的情况完全不同！——强调！思考：(1)“若a＞b，则ac2＞bc2”成立吗？——不成立！反例：c＝0时不成立。
(2)“若ac2＞bc2，则a＞b”成立吗？——成立！隐含c2＞0。
练习：(1)《教材》P.30-练习2.1(1)-1 (学生口答，教师点评)(2)《教材》P.30-练习2.1(1)-2、3 (学生板书，教师点评)2、求证：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd (同向不等式相乘性质)证明：∵a＞b，c＞0 ∴ac＞bc (性质3)∵c＞d，b＞0 ∴bc＞bd (性质3)则ac＞bd (性质1)特例：当a＝c且b＝d时，有“若a＞b＞0，则a2＞b2”推而广之：若a＞b＞0，则a n＞b n (n∈N*) (不等式的乘方性质)推而广之：若a＞b＞0(n∈N*，n＞1) (不等式的开方性质) ——可用反证法进行证明。
3、求证：若a＞b＞0，则0＜1a＜1b(不等式的倒数性质)——作业证明：∵a＞b＞0 ∴1a＞0，1b＞0，a－b＞0∴1b－1a＝a bab－＞0 (正负数运算性质) 则0＜1a＜1b[例2]比较(a＋1)2与a2－a＋1的值的大小。
解：(a＋1)2－(a2－a＋1)＝3a(1)当a＜0时，(a＋1)2＜a2－a＋1(2)当a＝0时，(a＋1)2＝a2－a＋1(3)当a＞0时，(a＋1)2＞a2－a＋1反思：(1)比较大小时，等与不等一定要分开讨论！——强调！(2)分类讨论时，要做到“不遗漏，不重复”！——强调！[例3]解关于x的不等式m(x＋2)＞x＋m。
解：(m－1) x＞－m(1)当m＝1时，x∈R(2)当m＜1时，x＜－mm1－；(3)当m＞1时，x＞－m m1－反思：(1) 引起讨论的原因是什么？——m－1值的不确定性(2) 如何进行讨论？——不等式性质课堂小结：(1) 数学知识：8条不等式性质(教材P.31)(2) 数学方法：作差比较法(3) 数学思想：分类讨论第1课时作业：《练习册》P.13-习题2.1-A、B组(做在练习册上)第2课时：讲评作业或者做《教材》P.30-练习2.1(2)-1 (学生口答，教师点评) [例1] 解关于x的不等式：(m2－4)x＜m＋2。
解：(1) m2－4＝0即m＝－2或m＝2①当m＝－2时，x∈∅②当m＝2时，x∈R(2) m2－4＞0即m＜－2或m＞2时，x＜1 m2－(3) m2－4＜0即－2＜m＜2时，x＞1 m2－反思：(1) 引起讨论的原因是什么？——m2－4值的不确定性(2) 如何进行讨论？——不等式性质[例2] 若m＞0，y＞x＞0，试比较x my m＋＋与xy的大小。
解：x my m＋＋－xy＝(x m)y(y m)x(y m)y＋－＋＋＝m(y x)(y m)y－＋∵y＞x ∴y－x＞0∵y＞0，m＞0 ∴y＋m＞0又∵y＞0，m＞0 ∴m(y x)(y m)y－＋＞0 则x my m＋＋＞xy引申：若a、b、c、d均为正数，且ab＜cd，求证：ab＜a cb d＋＋＜cd证明1：(作差比较法) a cb d＋＋－ab＝bc ad(b d)b－＋∵ab＜cd，b＞0，d＞0 ∴bc＞ad 得bc ad(b d)b－＋＞0 则a cb d＋＋＞ab同理可证：a cb d＋＋＜cd证明2：(变更论证法) ∵b＞0，b＋d＞0 ∴ab＜a cb d＋＋⇔a(b＋d)＜b(a＋c)a(b＋d)－b(a＋c)＝ad－bc∵ab＜cd，b＞0，d＞0 ∴ad＜bc 得a(b＋d)＜b(a＋c)则ab＜a cb d＋＋同理可证：a cb d＋＋＜cd分析：直接作差显然不可取。
可考虑去根号，利用不等式的乘方、开方性质。
解：2＝2x＋3＋2＝2x＋3＋∴2x＋3＋2x＋3＋得2＜2反思：“分析法”是寻找解题思路的常用方法。
[例4] 甲、乙两人连续两天去市场买青菜。
甲每次买青菜的数量不变，乙每次买青菜的费用不变。
问甲、乙两人谁购买的方法比较合算？分析：何为合算？——平均单价便宜。
解：设第一天青菜单价a元/斤，第一天青菜单价b元/斤。
设甲每次买青菜x斤，乙每次买青菜花费y元，∴甲平均单价为ax bx2x＋＝a b2＋，乙平均单价为2yy ya b＋＝2aba b＋∵a b2＋－2aba b＋＝2(a b)2(a b)－＋∴(1) a＝b时，a b2＋＝2aba b＋；(2) a≠b时，a b2＋＞2aba b＋由(1)(2)可知：乙购买的方法比较合算。
[例5] (第1课时的引例) 现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B容器的底面积为a2，高分别为a、b，C、D容器的底面积为b2，高分别为a、b，其中a≠b。
甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。
问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？分析：依题意可知：A、B、C、D四个容器的容积分别为a3、a2b、ab2、b3，甲有6种取法。
问题可以转化为比较容器两两和的大小。
解：(1)取A、B：(a3＋a2b)－(ab2＋b3)＝(a＋b)2(a－b) 无法确定大小(2)取A、C：(a3＋ab2)－(a2b＋b3)＝(a2＋b2) (a－b) 无法确定大小(3)取A、D：(a3＋b3)－(ab2＋a2b)＝(a＋b) (a－b)2由于a≠b，则(a＋b) (a－b)2＞0，即a3＋b3＞ab2＋a2b ——先取A、D则必胜！能否推广？——观察a3＋b3＞ab2＋a2b的特征，进行猜测。
a4＋b4＞ab3＋a3b，a4＋b4＞a2b2＋a2b2a5＋b5＞ab4＋a4b，a5＋b5＞a2b3＋a3b2……更为一般性的结论：a、b∈R，m、n∈N*，则a m+n＋b m+n≥a m b n＋a n b m 证明：(a m＋n＋b m＋n)－(a m b n＋a n b m)＝(a m－b m)(a n－b n)≥0课堂小结：(1) 数学知识：8条不等式性质(教材P.31)(2) 数学方法：作差比较法、分析法、变更论证(3) 数学思想：分类讨论、类比猜想证明作业：《一课一练》P.35-1～10、P.36-1～6、9、10 (做在书上) 选做：《一课一练》P.35-11(1)、P.36-11 (做在书上)。