高中数学一轮复习课件加试题(精品)
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高中数学一轮复习课件加试题(精品)
1．(交汇新)已知向量OA→＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12 C ．k ＝1D ．k ＝－12．(背景新)已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且(x －2)i －y ＝－1＋i ，则(1＋i)x ＋y 的值为( )A ．4B ．－4C ．4＋4iD ．2i3．(定义新)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量运算a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知m ＝⎝⎛⎭⎪⎫2，12，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动且满足OQ→＝m ⊗OP →＋ n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )的最大值为( ) A ．1 B ．3 C ．5D.124．(角度新)已知函数f (x )＝ax 3＋12x 2在x ＝－1处取得极大值，记g (x )＝1f ′(x ).程序框图如图所示，若输出的结果S ＞2 0112 012，则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是( )A ．n ≤2 011B ．n ≤2 012C ．n ＞2 011D ．n ＞2 012[历 炼]1．解析：若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB →，AC →共线．∵ AB→＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴ 1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1，故选C . 答案：C2．解析：由x －2＝1，y ＝1，得(1＋i )4＝(2i )2＝－4，故选B . 答案：B3．解析：OP→＝(x ，y)＝(x ，sin x)，则OQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ，12sin x ＋⎝⎛⎭⎪⎫π3，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，12sin x . 令Q(m ，n)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2x ＋π3，n ＝12sin x ，∴ n ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫12m －π6，∴ f(x)＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x －π6，∴ f(x)的最大值为12.故选D . 答案：D4．解析：由题意，得f ′(x)＝3ax 2＋x ，由f ′(－1)＝0得a ＝13，∴ f ′(x)＝x 2＋x ，即g(x)＝1x 2＋x ＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1.由程序框图可知S ＝0＋g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝0＋1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1.由S ＞2 0112 012得n ＞2 011.故选B .答案：B。
高考数学一轮专项复习ppt课件-解三角形应用举例(北师大版)
南50°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观
察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那
么B，C两点间的距离是
√A.10 2 海里
B.10 3 海里
C.20 2 海里
D.20 3 海里
依题意，如图，在△ABC中， ∠BAC＝50°－20°＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°， 则∠ACB＝45°，AB＝40×3600＝20(海里)， 由正弦定理得sin∠BCBAC＝sin∠ABACB， 即sinBC30°＝sin2045°，
跟踪训练2 (1)如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为37°，沿坡角为23°
的斜坡向上走28 m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为53°，且A，B，P，
C，Q在同一平面，则山的高度约为(参考数据：sin 37°≈0.6)
√A.30 m
B.32 m
C.34 m
D.36 m
∠BAQ＝23°，∠BPA＝∠QPA－∠BPC＝53°－37°＝16°，∠PAB＝ ∠PAQ－∠BAQ＝37°－23°＝14°，∠PBA＝180°－16°－14°＝150°.
同一水平高度的共线三点A，B，C处测得铜雕顶端P处的仰角分别为
π 3
，且AB＝BC＝20
m，则四门通天的高度为
π6，π4，
A.15 6 m
√B.10 6 m
C.6 6 m
D.5 6 m
设 OP＝h，则 OA＝ 3h，OB＝h，
OC＝ 33h， 在△ABO 中，由余弦定理得 cos∠ABO ＝4020×＋2h02－ ×3hh2＝4004－0h2h2， 在△BCO中，由余弦定理得
在△ABD中，有AB＝5，AD＝7，∠ABD＝60°， 由余弦定理可得，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD， 即 49＝25＋BD2－2×5×BD×12， 整理可得BD2－5BD－24＝0， 解得BD＝8或BD＝－3(舍去). 在△BCD中，有BD＝8，∠CBD＝23°，∠BCD＝117°， 所以∠BDC＝180°－∠BCD－∠CBD＝40°.
3.3-幂函数课件-2025届高三数学一轮复习
•
(1)只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函
数，否则就不是幂函数．
•
(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y＝xα(α为常
数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②
底数为自变量，③底数系数为1.
知识点2 幂函数的图象与性质
1．五个幂函数的图象
5
6
5
∴ 0.31 < 0.35 ，即 −0.31
6
5
6
5
< 0.35 .
6
5
例12 (2024·湖南省长沙市期末)已知幂函数y =
m2
+m−5
2 −2m−3
m
x
,当
2
x ∈ 0, +∞ 时，y随x的增大而减小，则实数m的值为___.
【解析】∵ y
=（m2
+m
2 −2m−3
m
− 5）x
是幂函数，
(x α 的系数为1，注意该隐含条件)
高中数学人教版必修第一册A版
第三章 函数的概念与性质
3.3-幂函数
知识点1 幂函数的概念
一般地，函数________叫做幂函数，其中
x是自变量，α是常数．
y＝xα
基础过关
例1-1 在函数y = x −4 ,y = 3x 2 ,y = x 2 + 2x,y = 1中,幂函数的个数为(
A.0
B.1
C.2
对于C，由幂函数的性质可知，幂函数的图象一定不经过第四象限，故C正确；
对于D，幂函数y = x与y = x 3 的图象的交点为(−1, −1)， 0,0 ， 1,1 ，共3个，故D
错误.
(1)只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函
数，否则就不是幂函数．
•
(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y＝xα(α为常
数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②
底数为自变量，③底数系数为1.
知识点2 幂函数的图象与性质
1．五个幂函数的图象
5
6
5
∴ 0.31 < 0.35 ，即 −0.31
6
5
6
5
< 0.35 .
6
5
例12 (2024·湖南省长沙市期末)已知幂函数y =
m2
+m−5
2 −2m−3
m
x
,当
2
x ∈ 0, +∞ 时，y随x的增大而减小，则实数m的值为___.
【解析】∵ y
=（m2
+m
2 −2m−3
m
− 5）x
是幂函数，
(x α 的系数为1，注意该隐含条件)
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第三章 函数的概念与性质
3.3-幂函数
知识点1 幂函数的概念
一般地，函数________叫做幂函数，其中
x是自变量，α是常数．
y＝xα
基础过关
例1-1 在函数y = x −4 ,y = 3x 2 ,y = x 2 + 2x,y = 1中,幂函数的个数为(
A.0
B.1
C.2
对于C，由幂函数的性质可知，幂函数的图象一定不经过第四象限，故C正确；
对于D，幂函数y = x与y = x 3 的图象的交点为(−1, −1)， 0,0 ， 1,1 ，共3个，故D
错误.
2025届高中数学一轮复习课件：第三章 第8讲函数与方程(共84张PPT)
高考一轮总复习•数学
第25页
对点练 1(1)(2024·山西临汾模拟)函数 f(x)＝log8x－31x的零点所在的区间是(
)
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
(2)已知函数 f(x)＝logax＋x－b(a>0，且 a≠1)．当 2<a<3<b<4 时，函数 f(x)的零点 x0
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)(2)设函数 f(x)＝13x－ln x，则函数 y＝f(x)( ) A．在区间1e，1，(1，e)内均有零点 B．在区间1e，1(1，e)内均无零点 C．在区间1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点
Δ<0
__无__交__点____ ____无______
第10页
高考一轮总复习•数学
第11页
常/用/结/论 1．有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点； (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号； (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．对于函数来说， 零点有与 x 轴相切的零点． 2．f(a)f(b)<0 是 y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
一 函数零点 1．定义：对于函数 y＝f(x)(x∈D)，把满足___f(_x_)＝__0___的实数 x 叫做函数 y＝f(x)(x∈D) 的零点．
高考数学一轮总复习课件：专题研究-函数模型及应用
思考题1 某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利 润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系 如图②(注：利润和投资单位：万元)．
(1)分别求A，B两种产品的利润与投资之间的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元投资资金，并将全部投入A，B两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ ②怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万 元？
【解析】 (1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2% ＝100×(1＋1.2%)，
2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋ 1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，
3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋ 1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3.
≈
13.1，
又x∈N*，所以至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱
到原来的14以下．故选C.
(2)(2021·沧州七校联考)某工厂产生的废气经过过滤后排
放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中
的污染物数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函
数关系为P＝P0e－kt(k，P0均为正的常数)．如果在前5个小时的过 滤过程中污染物被排除了90%，那么至少还需过滤的时间是
专题研究二 函数模型及应用
题型一 分段函数模型
例2 共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众 出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低 廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产 新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产 一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总
高中数学一轮复习课件加试题(精品)
对 话
答． (4)推理问题主要与数列、 立体几何、 解析几何等结合在一起 命题，求解此类问题时要根据题目特征寻求规律，恰当类比．
专题一 第2讲
提 能 专 训
第17页
名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学（文）
2．小题快做 (1)求解与向量有关的数量积问题时， 若题目中有两条互相垂
博 学 历 炼
直的直线，则可以建立平面直角坐标系，引入向量的坐标，将问 题转化为代数问题解决，简化运算． (2)推理问题是高考的重点考查内容， 作为归纳推理的“集散 地”，以数列为背景是常见的命题形式．通过数列呈现的规律来
(2)[解析] [答案] C
提 能 专 训
专题一 第2讲
第30页
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对 话
提 能 专 训
专题一 第2讲
第31页
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博 学
(1)(2013· 广东高考)若 i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数 x ＋yi 的模是( A．2 C．4 ) B．3 D．5
历 炼
对 话
提 能 专 训
专题一 第2讲
第32页
名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学（文）
(2)(2013· 安徽高考)设 i 是虚数单位， z 是复数 z 的共轭复 数．若 z· z i＋2＝2z，则 z＝(
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博 学
历 炼
专题一
常以客观题形式考查的十个 问题
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对 话
专题一 第2讲
第 1页
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名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学（文）
＝(a1an) ＝2
.由 a1＋a2＋…＋an＞a1a2…an，可得 2n－5－2
博 －5＞2
，由 2n－5＞2
，可得 n－5＞n2－211n，即 n2－
历
学
13n
＋
10
＜
0，
解
得
3－ 129 2
＜
13＋ 2
129
.
因为
n ∈ N* ， 所 以
炼
1≤n≤12，n∈N*.又 n＝12 符合题意，故 n 的最大值为 12.
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学（文）
[该记就记]
1．把握两个定义
博
历
学
若一个数列从第二项起，每项与前一项的差(比)为同一个常 炼
数，则这个数列为等差(比)数列．
2．“死记”四组公式
提
对 话
能 专 训
专题三 第1讲 第4页
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博 学 对 话
历 炼 提 能 专 训 专题三 第1讲 第5页
历 炼
________.
提
对 话
能 专 训
专题三 第1讲 第32页
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3 等差数列与等比数列的判断与证明
a1＋1＋12＝13，则 a13＝168.故选 C.
答案：C
提
对 话
能
(2)解析：由题意，知等差数列{an}的公差 d＝a3－2 a1＝2，则
专 训
a4＝8，a5＝10.设所加的数为 x，
专题三 第1讲 第27页
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学（文）
则(8＋x)2＝(2＋x)(10＋x)，解得 x＝－11.
2025届高中数学一轮复习课件《椭圆(二)》ppt
高考一轮总复习•数学
(2)由题意知，直线 AC 不垂直于 y 轴． 设直线 AC 的方程为 x＝ty－2，A(x1，y1)，C(x2，y2)，
即 kAC≠0，可设为倒斜截式． 联立xx＝2＋ty2－y2＝2，8， 消去 x 并整理得 (t2＋2)y2－4ty－4＝0，Δ＝32(t2＋1)>0， 所以 y1＋y2＝t2＋4t 2，y1y2＝－t2＋4 2，
方法二(优解)：因为直线过点(0,1)，而 0＋14<1，即点(0,1)在椭圆内部，所以可以推断
直线与椭圆相交．故选 A．
解析 答案
高考一轮总复习•数学
第13页
3．已知 F 是椭圆2x52 ＋y92＝1 的一个焦点，AB 为过椭圆中心的一条弦，则△ABF 面积
的最大值为( )
A．6
B．15
C．20
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第1页
第九章 解析几何
第6讲 椭圆(二)
高考一轮总复习•数学
第2页
复习要点 1.能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程解的问题，会根 据根与系数的关系及判别式解决问题.2.通过对椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想．
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第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
第25页
设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有|AB|＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]
1 ＝ 1＋k2[y1＋y22－4y1y2](k 为直线斜率，k≠0)． 提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判 别式．
高考一轮总复习•数学
可知 A，B 关于原点对称．
高中数学一轮专题复习：等差数列及其前n项和课件
∵a7＋a10=a8＋a9<0 ∴a9<0
∴等差数列{an}的前8项都为正，第9项开始为负
∴当n=8时，{an}的前n项和最大
题型四、等差数列的判定与证明
例6：若数列{an}前n项和为Sn，且an+2SnSn-1＝0(n≥2)，
a1
=
1 2
.（ 1）求证：数列
1 Sn
是等差数列；(2)求数列an
an = a1 + (n－1)d
an = am + (n－m)d
一、基础知识梳理 3.等差数列的前n项和公式
①Sn
n(a1 2
an )
(Sn，a1，n，an知三求一)
代入an a1 n 1d
②Sn
na1
n(n 1) 2
d
(Sn，a1, n, d知三求一)
一、基础知识梳理
4.等差数列的性质
角度二：求前n项和 变式2：在等差数列{an}中：a3+a7-a10=-1，a11-a4=21，
则数列{an}的前8项和S8=( D )
A.50 B.70 C.120 D.100
解析：设数列{an}的公差为d，则 a11-a4= 7d=21，∴d=3
∵a3+a7-a10=（a1+2d）+（a1+6d）-（a1+9d）=a1-d =a1-3=-1
解析：由{an}是等差数列，得 S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，
即 2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， 即S9－S6＝2S6－3S3 ＝2×36－3×9＝45 即 S9－S6＝a7＋a8＋a9 ＝45
题型三、等差数列前n项和的最值问题
例5：（1）在等差数列{an}中，a1＝20，前n项和为Sn，且 S10＝S15，则Sn取最大值时，n的值为( )
2025届高中数学一轮复习课件：第五章 第1讲任意角、弧度制及三角函数的概念(共71张ppt)
解析 答案
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第28页
题型 弧长与扇形的面积公式
典例 3(1)如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，将一个半径为 1 的圆盘固定在平面上，
圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头 M(开始时与圆盘
上点 A(1,0)重合)系着一支铅笔，让细线始终保持与圆盘相切的状态展开，切
2．任意角的三角函数的定义(推广) 设 P(x，y)是角 α 终边上异于原点的任意一点，其到原点 O 的距离为 r，则 sin α＝yr， cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0)．
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第9页
3．三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
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第20页
1．终边相同的角的集合的应用 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相 同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需角． 2．象限角的两种判断方法 (1)图象法：在平面直角坐标系中作出已知角，并根据象限角的定义直接判断已知角是 第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为 2kπ＋α(α∈[0,2π)，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相 同的角 α，再由角 α 终边所在的象限判断已知角是第几象限角.
答案
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第22页
解析：(1)由于 M 中，x＝2k·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1 是奇数；而 N 中，x＝4k·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1 是整数，因此必有 M⊆N.
(2)如图，在坐标系中画出直线 y＝ 3x，可以发现它与 x 轴的夹角 是π3，在[0,2π)内，终边在直线 y＝ 3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π， 0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角 α 构成的集合 为－53π，－23π，π3，43π.
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第28页
题型 弧长与扇形的面积公式
典例 3(1)如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，将一个半径为 1 的圆盘固定在平面上，
圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头 M(开始时与圆盘
上点 A(1,0)重合)系着一支铅笔，让细线始终保持与圆盘相切的状态展开，切
2．任意角的三角函数的定义(推广) 设 P(x，y)是角 α 终边上异于原点的任意一点，其到原点 O 的距离为 r，则 sin α＝yr， cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0)．
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3．三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
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1．终边相同的角的集合的应用 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相 同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需角． 2．象限角的两种判断方法 (1)图象法：在平面直角坐标系中作出已知角，并根据象限角的定义直接判断已知角是 第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为 2kπ＋α(α∈[0,2π)，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相 同的角 α，再由角 α 终边所在的象限判断已知角是第几象限角.
答案
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第22页
解析：(1)由于 M 中，x＝2k·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1 是奇数；而 N 中，x＝4k·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1 是整数，因此必有 M⊆N.
(2)如图，在坐标系中画出直线 y＝ 3x，可以发现它与 x 轴的夹角 是π3，在[0,2π)内，终边在直线 y＝ 3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π， 0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角 α 构成的集合 为－53π，－23π，π3，43π.
2023届高中数学一轮复习+解三角形的应用+课件
训练 2 如图，在△ABC 中，点 P 在边 BC 上，C＝π3，AP＝2，AC·PC＝4.
(1)求∠APB；
解 在△APC中，设AC＝x，
因为 AC·PC＝4，所以 PC＝4x，又因为 C＝π3，AP＝2， 由余弦定理得 AP2＝AC2＋PC2－2·AC·PC·cos π3， 即 22＝x2＋4x2－2·x·x4·cos π3，解得 x＝2， 所以AC＝PC＝AP， 此时△APC为等边三角形， 所以∠APB＝23π.
在△ABP 中，由正弦定理得sin∠ABAPB＝sin∠BPPAB，
所以
sin∠PAB＝3×1923＝3
57 38 .
考点 三角函数与解三角形的交汇问题
例 5 (2022·青岛质检)已知函数 f(x)＝1－2 3sin xcos x－2cos2x＋m 在 R 上的最 大值为 3. (1)求 m 的值及函数 f(x)的单调递增区间； 解 f(x)＝1－ 3sin 2x－(1＋cos 2x)＋m ＝－( 3sin 2x＋cos 2x)＋m ＝－2sin2x＋π6＋m. 由已知得 2＋m＝3，所以 m＝1，因此 f(x)＝－2sin2x＋π6＋1.
例 4 (2021·新高考八省联考)在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1. (1)若 AB＝32，求 BC； 解 如图所示， 在△ABD中，由余弦定理可知， cos∠ABD＝AB2＋2ABBD·B2－D AD2＝3222×＋231×2－112＝34.
∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD，
A.10 2 m C.20 3 m
B.20 m D.40 m
解析 设电视塔的高度为 x m，则 BC＝x，BD＝ 3x. 在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800 ＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40. 故电视塔的高度为40 m.
高考总复习一轮数学精品课件 第6章 数列 素能培优(九) 数列中的构造问题
n
2
1
1
所以{2 }是以 2 = 2为首项,1 为公差的等差数列.
1
1
所以 = +n-1=n- ,所以 an=(2n-1)2n-1.
2
2
2
[对点训练2]已知数列{an}满足a1=2,a2=8,an+2=4an+1-3an,则数列{an}的通项
an=3n-1
公式为_______________.
例1(2024·江西景德镇一中检测)已知在数列{an}中,a1=1,an+1=4an-6,
则a2 023=( C )
A.-42 023+2
B.-42 023-2
C.-42 022+2
D.-42 022-2
解析 由an+1=4an-6,得an+1-2=4(an-2),而a1-2=-1,
因此数列{an-2}是首项为-1,公比为4的等比数列,则an-2=-1×4n-1,
-3n=2n+2-3n-4,故
1-2
D 正确.
本 课 结 束
探究三 形如
an+1= +型
例 5 已知数列{an}Βιβλιοθήκη 首项4an=
__________.
1+4
4
4
a1=5,an+1=3 +1,n∈N*,则数列{an}的通项公式为
4
4
解析 因为 an+1=3 +1,a1=5 ≠0,所以 an≠0,
1
3
1
1
1
1
1 1
两边同时取倒数得 = 4 + 4 ,所以 -1=4 − 4 = 4 ( -1).
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第2章 函数 2.2 函数的单调性与最大(小)值
[-1,1]和[5,7]
递增区间为
.
由题图可知函数的单调递增区间为[-1,1]和[5,7].
1
5.若函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,则k的取值范围是 (-∞,-2)
1
因为函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,所以2k+1<0,即 k<- .
2
6.若函数f(x)满足“对任意的x1,x2∈R,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”,则满足
D.f(x)= √
3
对于A,函数单调递减,不合题意;对于B,根据指数函数的性质可知函数单调
递减,不合题意;对于C,函数在定义域内不具有单调性,不合题意;对于D,根
据幂函数的性质可知,函数在其定义域内为增函数,符合题意.故选D.
4.设定义在区间[-1,7]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的单调
(1 )-(2 )
<0.
1 -2
2.基本初等函数的单调区间
函数
正比例函数(y=kx,k≠0)与一
次函数(y=kx+b,k≠0)
反比例函数 =
,
≠0
二次函数(y=ax2+bx+c,a≠0)
条件
k>0
k<0
单调递增区间
R
无
k>0
无
k<0
(-∞,0)和(0,+∞)
a>0
a<0
- 2
“函数的单调递增区间是M”与“函数在区间N上单调递增”,两种说法的含
义相同吗?
不相同,这是两个不同的概念,显然N⊆M.
递增区间为
.
由题图可知函数的单调递增区间为[-1,1]和[5,7].
1
5.若函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,则k的取值范围是 (-∞,-2)
1
因为函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,所以2k+1<0,即 k<- .
2
6.若函数f(x)满足“对任意的x1,x2∈R,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”,则满足
D.f(x)= √
3
对于A,函数单调递减,不合题意;对于B,根据指数函数的性质可知函数单调
递减,不合题意;对于C,函数在定义域内不具有单调性,不合题意;对于D,根
据幂函数的性质可知,函数在其定义域内为增函数,符合题意.故选D.
4.设定义在区间[-1,7]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的单调
(1 )-(2 )
<0.
1 -2
2.基本初等函数的单调区间
函数
正比例函数(y=kx,k≠0)与一
次函数(y=kx+b,k≠0)
反比例函数 =
,
≠0
二次函数(y=ax2+bx+c,a≠0)
条件
k>0
k<0
单调递增区间
R
无
k>0
无
k<0
(-∞,0)和(0,+∞)
a>0
a<0
- 2
“函数的单调递增区间是M”与“函数在区间N上单调递增”,两种说法的含
义相同吗?
不相同,这是两个不同的概念,显然N⊆M.
2023届高中数学一轮复习+数列+课件
答题模板
第一步 根据题目条件，求出数列的通项公式 第二步 根据数列项的特征，选择合适的方法(公式法、分组转化法、裂 项相消法、错位相减法等)求和 第三步 利用第二步中所求得的数列的和，证明不等式或求参数的范围 第四步 反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤
训练2 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，4Sn＝anan＋1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式；
题型 数列与不等式的交汇
例 2 (12 分)(2021·浙江卷)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝－94，且 4Sn＋1＝ 3Sn－9(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； [规范答题] 解 因为4Sn＋1＝3Sn－9， 所以当n≥2时，4Sn＝3Sn－1－9， 两式相减可得 4an＋1＝3an，即aan＋n 1＝34.……………………2 分
＝141－n＋1 1＝4nn＋4.
又∵a12n＝41n2＜4n21－1＝（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1， ∴Tn＝a121＋a122＋…＋a12n＜ 121－31＋13－15＋…＋2n1－1－2n1＋1 ＝121－2n1＋1＜21. 即得4nn＋4＜Tn＜12.
题型 数列中的结构不良试题
所以34Tn＝－3×342－2×343－1×344＋0×345＋…＋(n－5)·34n
＋(n－4)·34n＋1，……………………7 分 以上两式相减得14Tn＝－3×34＋342＋343＋…＋34n－(n－4)·34n＋1 ＝－94＋19611－－3434n－1－(n－4)·34n＋1＝－n·34n＋1， 所以 Tn＝－4n·34n＋1.……………………9 分
当n＝2k，k∈N*时，a2k＋1－a2k－1＝4， 即a1，a3，…，a2k－1是首项为2，公差为4的等差数列， ∴a2k－1＝2＋(k－1)×4＝4k－2＝2(2k－1). 综上可知，an＝2n，n∈N*.
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专题三 第1讲
第21页
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学（文）
7 ∴ 9－2＝4d，∴ d＝ . 4
博 学
7 7 又∵ c－a＝2d，∴ c－a＝2×4＝2. 4．12 命题立意：本题主要考查等比数列的基本性质，意
历 炼
在考查学生的运算能力．
对 话
1 解析：设等比数列{an}的公比为 q(q＞0)．由 a5＝ ，a6＋a7 2 1 － ＝3，可得2(q＋q2)＝3，即 q2＋q－6＝0，所以 q＝2，a1＝2 5， 所以 an＝2n－6，数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n－5－2－5，所以 a1a2…an
对 话
B
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第24页
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(2)[解析]
博 学
①设{an}的公差为 d.
历 炼
由题意，a2 11＝a1a13， 即(a1＋10d) ＝a1(a1＋12d)． 于是 d(2a1＋25d)＝0. 因为 a1＝25，所以 d＝0(舍去)，d＝－2. 故 an＝－2n＋27.
历 炼
对 话
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第30页
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学（文）
博 学
(1)(2013· 浙江名校联考)已知每项均大于零的数列{an}中，首 项 a1＝1 且前 n 项和 Sn 满足 Sn Sn－1－Sn－1 Sn＝2 SnSn－1(n∈N* 且 n≥2)，则 a81＝( A．641 ) B．640 D．638
历 炼
2． D 命题立意： 本题主要考查等差数列的通项公式和数列
对 话
单调性的判断，意在以数列为载体，考查考生对一次函数、二次 函数和反比例函数的掌握情况．
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解析：设 an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，它是递增数列，所以 p1 为真命题；若 an＝3n－12，则满足已知，但 nan＝3n2－12n 并
博 学
历 炼
[例 1]
(1)(2013· 山西太原二模)设{an}为等差数列， 公差 d，若 S10＝S11，则 a1＝( A．18
对 话
B．20 D．24
C．22
专题三 第1讲
第14页
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(2)(2013· 全国新课标Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零，a1 ＝25，且 a1，a11，a13 成等比数列．
对 话
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(3)对形如an＋1＝kan＋b(k≠1)(其中k，b为常数)，都可以构
b a ＋ 造等比数列 n k－1，先求出该等比数列的通项公式，再求an. 博
学 历 炼
对 话
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第22页
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＝(a1an) ＝2
博 学
.由 a1＋a2＋…＋an＞a1a2…an，可得 2n－5－2
历 炼
2 n －11n －5 n－5 ＞2 ，由 2 ＞2 ，可得 n－5＞ ，即 n2－ 2 3－ 129 13＋ 129 13n ＋ 10 ＜ 0 ， 解 得 ＜ . 因 为 n ∈ N* ， 所 以 2 2 1≤n≤12，n∈N*.又 n＝12 符合题意，故 n 的最大值为 12.
博 学 历 炼
Sn 取得最大时，n 的值为( A．18 C．20
) B．19 D．21
对 话
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[命题新观察]
博 学
2 － 2 1．D 解析：因为 a1＝1，公比 q＝3，所以 an＝3n 1，Sn 2 2 － a11－qn n ＝ ＝31－3 ＝3－23n 1＝3－2an，故选 D. 1－q
博 学 历 炼
①求{an}的通项公式； ②求 a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
对 话
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(1)在等差(比)数列中，已知五个元素 a1，an，n，d(q)，Sn 中
博 学
的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余的两个，即“知三 可求余二”． 本着化多为少的原则， 解题时需要抓住首项 a1 和公 差 d(公比 q)． (2) 已知等差数列某两项的和 ( 或等比数列某两项的积 ) 求数
)
对 话
A．2 013· 1010 C．2 014· 1010
B．2 013· 1011 D．2 014· 1011
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(2)(2013· 武汉武昌区联考)已知数列{an}是等差数列，a1＋a3 ＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，数列{an}的前 n 项和为 Sn，则使得
对 话 提 能 专 训
2
专题三 第1讲
第25页
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②令 Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 由①知 a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为 25，公差为－6
博 学 历 炼
的等差数列．从而 n Sn＝ (a1＋a3n－2) 2 n ＝2(－6n＋56)
博 学
历 炼
对 话
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4.由递推关系求通项公式的三种方法 (1)对形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的)的递推式求通项
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公式时，常用累加法，巧妙求出an－a1与n的关系式． (2)对形如an＋1＝anf(n)(f(n)是可以求积的)的递推式求通项公 an 式时，常用累乘法，巧妙求出a 与n的关系式． 1
历 炼
对 话
数列基本性质的应用，三要重视方程(组)思想或整体思想在 求解数列问题中的应用．
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博 学
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博学
明考点·析考情·方法在握
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对 话
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1
等差数列与等比数列基本量的运算
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an 非递增数列，所以 p2 为假命题；若 an＝n＋1，则满足已知，但 n 1 ＝1＋ 是递减数列，所以 p3 为假命题；设 an＋3nd＝4dn＋a1－d， n
对 话
它是递增数列，所以 p4 为真命题，故选 D. 7 3. 2 解析：设公差为 d.
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∵ 2，a，b，c,9 成等差数列，
历 炼
对 话
列中的某一项或求数列和的问题，运用等差数列(或等比数列)的 性质或整体代入的思想较为快捷． 该类题目在平时的练习中要学 会使用性质在短时间内准确求解．
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第16页
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(1)(2013· 福建龙岩一模)已知数列{an}满足 a1＝0，an＋1＝an＋
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p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
对 话
其中的真命题为( A．p1，p2 C.p2，p3
) B．p3，p4 D．p1，p4
专题三 第1讲
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第10页
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3．(2013· 重庆高考)若 2，a，b，c,9 成等差数列，则 c－a＝ ________.
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对 话
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第29页
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博 学
此类问题主要考查等差(比)数列的项与和的性质，特别是数 列中“若m＋n＝p＋q，则有am＋an＝ap＋aq(am· an＝ap· aq)”这一 性质．此类问题经常和数列求和联系在一起，多以选择题和填 空题的形式出现，一般难度较小．
博 学
1 4． (2013· 江苏高考 ) 在正项等比数列 {an}中， a5 ＝ ，a6 ＋ a7 2 ＝3，则满足 a1＋a2＋…＋an＞a1a2…an 的最大正整数 n 的值为 ________．
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对 话
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博 学
该类小题一般考查等差、等比数列的基本量的运算及性 质的灵活运用．有时等差数列、等比数列相交汇考查．该类 小题具有“新”“巧”“活”的特点．在备考中，一要重视 与两种数列基本量有关的公式的理解与应用，二要重视两种
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专题三 数
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列
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对 话
等差数列与等比数列
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[网络构建]
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[博
博 学
学]
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考向 1 共研经典 (1)[解析] 由 S10＝S11， 得 a1＋a2＋…＋a10＝a1＋a2＋…＋a10