第2章 单纯形法的几种特殊情况
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单纯形法的几种特殊情况
单纯形法的几种特殊情况单纯形法是一种线性规划的解法方法，用于寻找最优解。
在实际应用中，存在一些特殊情况，需要对单纯形法进行一些调整或者使用其他方法来解决。
下面将介绍几种特殊情况：1.无解情况（不可行解）：在一些情况下，约束条件可能是冲突的，导致不存在可行解。
例如，所有约束条件加在一起可能无法满足，或者一些约束条件是矛盾的，比如两个约束条件同时要求一些变量分别为正和负。
在这种情况下，单纯形法无法找到最优解，因为没有可行解。
解决方法：可以使用其他的线性规划求解方法，或者对约束条件进行调整，使其变为可行的。
例如，可以通过增加松弛变量或引入人工变量来处理不等式约束条件，在目标函数中增加人工变量的惩罚项，逐步通过单纯形法逼近可行解。
2.多个最优解：在一些情况下，线性规划问题可能存在多个最优解。
这种情况下，目标函数的值相同，但对应的解并不相同。
单纯形法只能找到一个最优解，无法得知是否存在其他最优解。
解决方法：需要使用其他算法或方法来找到额外的最优解。
例如，可以通过改变目标函数的系数或增加一些额外的约束条件，以影响单纯形法的方向，从而找到其他的最优解。
3.无界问题：在一些情况下，线性规划问题可能是无界的，即目标函数可以无限大地增加或无限小地减小。
这种情况下，单纯形法将无法找到有限的最优解。
解决方法：可以通过增加约束条件或调整目标函数的系数，使得问题变为有界的。
另外，也可以使用其他线性规划求解方法来处理无界问题。
4.退化情况：在单纯形法中，可能存在一些情况下的解陷入循环，无法继续优化。
这种情况下，称为退化。
解决方法：可以使用退化处理技术，例如人工变量法、卡工法、两阶段法等，来克服退化问题，并继续求解最优解。
5.基变量的选择：在单纯形法中，需要选择初始基变量，以便进行迭代求解。
但是，对于一些问题，选择合适的初始基变量可能非常困难，并且可能会影响最终的最优解。
解决方法：可以使用启发式的方法，例如字典法，以确定合适的初始基变量。
单纯形法专业知识讲座
转(2)
从环节(2)-(5)旳每一种循环，称为一次单纯形迭代.
24
单纯形表计算环节举例 给定线性规划问题
例1 Max z = 50x1 + 30x2 4x1+3x2 ≤ 120
s.t 2x1+ x2 ≤ 50 x1，x2 ≥ 0
Max z = 50x1 + 30x2
4x1+ 3x2 + x3
= 120
数
0 CN CB B1 N
16
单纯形表
相应于基B旳单纯形表: (2.15)-(2.17)旳表格形式
cj
c1
… cm
cm+1
…
cn
CB XB b
x1
… xm
xm+1
…
xn
I
c1 x1 b’1
1
…0
a’1,m+1
…
a’1n
1
c2 x2 b’2
0
…0
a’2,m+1
…
a’2n
2
…
…
…
…
cm xm b’m
5
B2 = ( P3 P4 P2 )
z= 0 + 40 x1 + 50 x2 ④ x3 + 2x2 = 30 - x1 ①
x4 + 2x2 = 60 – 3x1 ② 2x2 = 24 - x5 ③
Max z = 40 x1 +50 x2
x1 +2x2 +x3
=30
3x1 +2x2 +x4 =60
2x2
由最小θ比值法求：
θ= min
b’i
a'i,m+k
单纯形法与对偶问题
D
k
d '1 k d '2 k = ... d ' mk
,则 B
∆b -1 ∆b = ∆b ... ∆b
k k
∗ d' ∗ d' ∗ d'
2k 3k
k
mk
X B1 ∆b k ∗ d'1k X B 2 ∆b k ∗ d'2k 新的最优解为 X' B， X' B = 有 + ... ... X ∆b ∗ d' mk Bm k
学
S2 0 0 1 0 0 0
S3 0 -1 1 1 50 -50
b 50 50 250 27500
2
22
§1 单纯形表的灵敏度分析
我们对b1进行灵敏度分析，因为在第一个约束方程中含有松弛变量S1,
所以松弛变量在最终单纯形表中的系数列（， 2， T就是B-1的第一列。 1 − 0）
x 50 因为d'11 = 1 > 0, d'21 = −2 < 0, X1 = 50, X 2 = 50, 可以Max − Bi | d 'i1 > 0 = − = −50 1 d i1 x − 50 而Min − Bi | d 'i1 < 0 = = 25, 故有当 − 50 ≤ ∆b1 ≤ 25, 即250 ≤ b + ∆b ≤ 325第一个 d i1 −2 约束条件的对偶价格不变。
2
X1 S2 X2 ZJ CJ -ZJ
50 0 100
1 0 0 50 0
从上表我们可以发现各个松弛变量的Zj值，正好等于相应变量的对偶价格。
k
d '1 k d '2 k = ... d ' mk
,则 B
∆b -1 ∆b = ∆b ... ∆b
k k
∗ d' ∗ d' ∗ d'
2k 3k
k
mk
X B1 ∆b k ∗ d'1k X B 2 ∆b k ∗ d'2k 新的最优解为 X' B， X' B = 有 + ... ... X ∆b ∗ d' mk Bm k
学
S2 0 0 1 0 0 0
S3 0 -1 1 1 50 -50
b 50 50 250 27500
2
22
§1 单纯形表的灵敏度分析
我们对b1进行灵敏度分析，因为在第一个约束方程中含有松弛变量S1,
所以松弛变量在最终单纯形表中的系数列（， 2， T就是B-1的第一列。 1 − 0）
x 50 因为d'11 = 1 > 0, d'21 = −2 < 0, X1 = 50, X 2 = 50, 可以Max − Bi | d 'i1 > 0 = − = −50 1 d i1 x − 50 而Min − Bi | d 'i1 < 0 = = 25, 故有当 − 50 ≤ ∆b1 ≤ 25, 即250 ≤ b + ∆b ≤ 325第一个 d i1 −2 约束条件的对偶价格不变。
2
X1 S2 X2 ZJ CJ -ZJ
50 0 100
1 0 0 50 0
从上表我们可以发现各个松弛变量的Zj值，正好等于相应变量的对偶价格。
单纯形法
cj 基 解
3 5 000 x1 x2 x3 x4 x5
0 x3 8 1 0
5 x2 6 0 1
第 0 x5 12 3 0
二
次
30 -3 0
迭 代
0
x3
4
5 x2 6
00 01
3 x1 4
10
1 00 0 1/2 0 0 -2 1
0 5/2 0 1 2/3 -1/3 0 1/2 0 0 -2/3 1/3
Simplex Method 第二章 单纯形法
SM
第2章 单纯形法
2.1 单纯形法的基本思想 2.2 单纯形法的计算过程 2.3 人工变量法 2.4 单纯形法补遗
2
第2章 单纯形法
2.1 单纯形法的基本思想
单纯形法有三种形式： ① 方程组形式 ② 表格形式 ③ 矩阵形式
2.1.1 方程组形式的单纯形法
2x2 0 +1x4 0 = 12 ②
3x1 + 4x2 0 0 +1x5 = 36 ③
条典
⑴ 当前基：m阶排列阵 ⑵ 目标方程中：一切基变量
的系数 σj = 0
满足条典的方程组称为典式(方程组)。 初始基本可行解
排列阵：
每行每列有且仅有一个元素 为1，其余元素全为0 的方阵。
X0 = (0, 0, 8, 12, 36)T z0 = 0
2.3 人工变量法
考虑标准型 (M)： 分别给每个约束方程硬性加入一个非负变量
a11x1 +a12x2+…+a1nxn +xn+1
a12x1 +a22x2+…+a2nxn
+xn+2
… … ………
单纯形算法
z 1 2 2 3 1
0
0
0
0
0
g
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
x6
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
x7 1 0
1
1
0
0
1
0
0
0
x8
0 1 1 0
1
0
0
1
0
0
x9
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
2011年9月
山东大学 软件学院
24
解（2），第1阶段
将基向量对应的检验数消为 0：
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
2011年9月
山东大学 软件学院
15
第2阶段
第 1 阶段结束，得到辅助问题的最优基可行解 x* = (0, 1/4, 3/8, 0, 0, 0, 0)T，且人工变量 x6、x7 都不在基中。
在单纯形表中去掉辅助 LP 的检验数行和人工变量对 应的列，开始第 2 阶段的单纯形算法。
x1
x2
x3
x4
x5
xB(m) ...
…
s …
... ...
a rs
…
... …
n
n+1
...
1
...
0
...
0
… B(r) … n+m
0
…0…1
b1
第2章 单纯形法(2013使用版)
4x1 = 16
3 4x2 = 12
X（1）10 Q4 X（0） O
Q2
Q1
X（3）
x1+2x2 = 8
x1
13/53
杨晓艺 数学建模（公修）
§2.2 单纯形法的计算步骤
确定初始基础可行解 检查是否为 最优解？ 否 确定改善方向 求新的基础可行解 是
求Hale Waihona Puke 优解的目标函数值杨晓艺 数学建模（公修）
14/53
xl a1k alk 1 alk amk alk
xm 0
xm 1
' a1, m 1
xk 0
xn
' a1 n
b b1' bl' ' bm
0
al' ,m 1
1
' aln
1
' am , m 1
0
' amn
杨晓艺 数学建模（公修）
20/53
数学建模（公修）
第2章 单纯形法
1
主要内容
2.1 2.2
单纯形法的引入
单纯形法的计算步骤
2.3
单纯形法的进一步讨论
杨晓艺 数学建模（公修）
2/53
单纯形方法的基本思路
先找到一个基可行解（初始基可行解），检验其是否为 最优解，否则，再找到一个使目标函数所改进的基可行解， 再进行检验，反复迭代，直至找到最优解或判定问题无界。
杨晓艺 数学建模（公修） 10/53
确定了换入变量x2 ，换出变量x5 以后，得到新的消 去系统（用非基变量表示基变量）： x3+2 x2 = 8- x1 （1） x3 = 2- x1+（1/2） x5 x4 = 16-4x1 （2） (1)-(1/2)(3) x4 = 16-4 x1 4x2 = 12- x5 （ 3） x2 = 3 - （1/4）x5 z= 9＋2 x1 -（3/4）x5 令新的非基变量（ x1，x5 ）=（0，0）T,得到新的基 可行解： X(1)=(0,3,2, 16 , 0) T z1= 9 经济含义：生产乙产品3个，获得利润9元。
最新单纯形法的几种特殊情况专业知识讲座
x1 M 1,
x2 M ,
s1 0,
s2 M 9. 显然这是线性规划的可行解，此时目标函数
z x1 x2 M 1 M 2 M 1.
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-1
1
s2 0 -3
2
0
0 zj
0
0
0
cj-zj
1
1
0
x1 1 1
-1
1
s2 0 0
-1
3
1 zj
1
-1
1
cj-zj
0
2
-1
01 1 16 — 00 0
01 19 01 0
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从单纯形表中，从第一次迭代x2的检验数等于2，可知所得的基本可行
解x1=1,x2=0,s1=0,s2=9不是最优解。同时我们也知道如果进行第2次迭代， 那么就选x2为入基变量，但是在选择出基变量时遇到了问题a 1 2： =-a12 ,2 =-1, 找不到大于零的比值来确定出基变量。事实上如果我们碰到这种情况就可
三、无穷多最优解
例3、用单纯形法表求解下面的线性规划问题。
目标函数 约束条件
m ax z 50 x1 50 x2 x1 x2 300, 2 x1 x2 400, x2 250, x1 , x2 0.
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第二章 单纯形法
此时基变量为： x3 , x2 , x1
非基变量为：x4 , x5 得到另一基本可行解为：
X 2 4,6,4,0,0
T
z1 42
迭代结果
2 1 x3 x4 x5 4 3 3 1 x4 6 x2 2 2 1 x4 x5 4 x1 3 3
最小比值规则
当确定进基变量后，以进基变量的系数列向量 中的正数为分母，以相应的方程右端常数为分子求 最小比值，所得到的最小比值的分母就是主元。主 元所在的方程中的基变量就是离基变量。即：
bi bl min ik 0 aik alk
令新的非基变量 x3 x4 0 ,得到新的 基本可行解: T
12 36 12 x2 m in , 2 4 2
2是主元，其所在方程为主方程，且
x4 为离基变量。
此时基变量为： x3 , x2 , x5
非基变量为： x1 , x4 得到另一基本可行解为：
X1 0,6,8,0,12
T
z1 30
迭代结果
8 x1 x3 1 6 x2 x4 2 3 x 2 x x 12 1 4 5
单纯形法的3种形式——
方程组形式（代数形式） 表格形式 矩阵形式
单纯形法的基本思路——
基于LP问题的标准形，先设法找到某个基本 可行解（称为初始基本可行解）； 开始实施从这个基本可行解向另一个基本可 行解的转换，要求这种转换不仅容易实现， 而且能改善（至少保持）目标函数值； 继续寻找更优的基本可行解，进一步改进目 标函数值。当某一个基本可行解不能再改善 时，该解就是最优解。（或者是出现无可行 解、无最优解、无穷多最优解的情况）
线性规划-大M法、两阶段法与几种特殊情况
进基变量的相持
出基变量的相持
max
z=
4x1
+2x2
-3x3
+5x4
s.t.
2x1
-x2
+ x3
+2x4
≥50
(1)
3x1
-x3
+2x4
80
(2)
x1
+x2
+x4
= 60
(3)
x1,
x2,
x3,
x4
≥ 0
1-4 线性规划- 大M法、两阶段法及几种特殊情况
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单纯形法
单纯形法的一般思路+例子
单纯形表结构+例子
单纯形法的计算步骤
单纯形法的矩阵描述
大M法
两阶段法
几种特殊情况
无可行解
无界解
多重最优解
1
X3
0
-3 0 2 0 0 -2-M -M
σj
-1 0 1 0 1 -1 0
1
X5
0
0 0 1/2 3/2 0 -1/2-M -3/2-M
2
X5
0
-1 2+2M -M -M 0 0 0
σj
3/1
0 1 0 0 1 0 0
3
X5
0
X1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
3/2
X2
2
1/2/1/2
1 0 -1/2 1/2 0 1/2 -1/2
1/2
单纯形法
基本可行解一定是可行解，但可行解不一定是基本可行解。
4. 基本解与基本可行解： 基本可行解一定是基本解， 但基本解不一定是基本可行解。
可行解
基 本 可 行 解
非可行解
基本解
5. 最优解与基本解： 最优解不一定是基本解， 基本解也不一定是最优解。
6
§1 单纯形法的基本思路和原理
一般来说判断一个基是否是可行基，只有在求出其基本解以后，当其基本解 所有变量的解都是大于等于零，才能断定这个解是基本可行解，这个基是可行 基。那么我们能否在求解之前，就找到一个可行基呢？也就是说我们找到的一个 基能保证在求解之后得到的解一定是基本可行解呢？由于在线性规划的标准型中 要求bj都大于等于零，如果我们能找到一个基是单位矩阵，或者说一个基是由单位
非基变量：与非基向量pj相应的变量xj叫非基变量，非基变量有n－m个。
3
§1 单纯形法的基本思路和原理
由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找
到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就
可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解。 在此例中我们不妨找到
1 1 B3 1 0 1 0 0 0 1
j 1, 2,, n
以下用 xi i 1,2,, m 表示基变量，用 x j j m 1, m 2,, n 表示 非基变量。
15
§2 单纯形法的表格形式
把第i个约束方程移项，就可以用非基变量来表示基变量xi， xi bi ai ,m1 xm1 ai ,m2 xm2 ai ,n xn
8
§1 单纯形法的基本思路和原理
二、 最优性检验 所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。
第二章 单纯形法
求解线性规划： 求解线性规划： max z = 3x1 + 5x2 s.t. x1 ≤ 8 2x2 ≤ 12 3x1 + 4x2 ≤36 x1, x2 ≥ 0
解：将原问题转化为标准 型模型： 型模型：
Max z = 3 x1 + 5 x2 s.t. x1 + x3 = 8 x2 + x4 = 12 3x1+ 4x2 + x5 = 36 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
=0 =8 =12 =36
z
-3x1 x1 x2 3x1
+5/2x4 +x3 +1/2x4 -2x4 +x5
=30 =8 =6 =12
z +x3 x2 x1
+1/2x4 +x5 =42 +2/3x4 -1/3x5 =4 +1/2x4 =6 -2/3 x4 +1/3x5 =4
方程组形式的求解过程
max z = 10 x1 + 5 x2 3x1 + 4 x2 + x3 = 9 s.t 5 x1 + 2 x2 + x4 = 8 x ,x ,x ,x ≥0 1 2 3 4
4 在所有σj<0中，只要有一个σr<0说对应 中 说对应 的系数列向量a 的系数列向量 r ≤0，即一切 ir ≤0（i=1， ，即一切a （ ， 2，m），则该 问题无最优解，停止计 ， ），则该LP问题无最优解 ），则该 问题无最优解， 算，否则转5。 否则转 。 5 按最小检验数规则
确定进基变量x 和主列a 确定进基变量 k和主列 k；再按最小比值规 则
•转换为典则形式 转换为典则形式
第二章 单纯形法1
Cm 由基的有限性可知，基本解的个数也不会超过 n
个。 由于基本解中的非零分量可能是负数，所以基 本解不一定是可行的。
(5) 基本可行解。 满足非负条件的基本解称为基本可行解（简 称基可行解）。 与基本可行解对应的基称为可行基。 基本可行解的非零向量的个数小于等于m，并 且都是非负的。 由于基本可行解的数目一般少于基本解的数 目，因此可行基的数目也要少于基的数目。 当基本可行解中有一个或多个基变量是取零 值时，称此解为退化的基本可行解。 (6) 基 本 最 优 解 （ 对 应 的 基 为 最 优 基 ） 使目标函数达到最优值的基本可行解
x(2))的一个凸组合。
（3 ）顶点：设K为凸集, x∈K, 若x不能用x(1)∈K,
x(2)∈K两点的一个凸组合表示为x=αx(1)+ (1-α)x(2),其中 0<α<1 ，则称x为K的一个顶点（或极点）。
线性规划的基本定理
定理1 若约束条件为（2.2),（2.3）的线性规划问题存在可行域，则 D= x Ax=b ,x 0 是一个凸集。 其可行域 证明：为了证明满足Ａx=ｂ，x≥0的所有点（可行解）组成的几何体是 凸集，只要证明Ｄ中任意两点 x(1) ,x(2) 连线上的一切点均满足线性约束 条件既可。
例2
已知线性规划问题的约束条件为
10 x1 x 2 x 3 x 4 10 x1 x ,x ,x ,x 0 1 2 3 4
解:可行域
1 1 1 0 A 1 0 0 1
试讨论可行域顶点和基本可行解之间的对应关系。
D= x / x1 +x 2 +x 3 =10, x1 +x 4 =10, x j 0, j=1,2,3,4,
个。 由于基本解中的非零分量可能是负数，所以基 本解不一定是可行的。
(5) 基本可行解。 满足非负条件的基本解称为基本可行解（简 称基可行解）。 与基本可行解对应的基称为可行基。 基本可行解的非零向量的个数小于等于m，并 且都是非负的。 由于基本可行解的数目一般少于基本解的数 目，因此可行基的数目也要少于基的数目。 当基本可行解中有一个或多个基变量是取零 值时，称此解为退化的基本可行解。 (6) 基 本 最 优 解 （ 对 应 的 基 为 最 优 基 ） 使目标函数达到最优值的基本可行解
x(2))的一个凸组合。
（3 ）顶点：设K为凸集, x∈K, 若x不能用x(1)∈K,
x(2)∈K两点的一个凸组合表示为x=αx(1)+ (1-α)x(2),其中 0<α<1 ，则称x为K的一个顶点（或极点）。
线性规划的基本定理
定理1 若约束条件为（2.2),（2.3）的线性规划问题存在可行域，则 D= x Ax=b ,x 0 是一个凸集。 其可行域 证明：为了证明满足Ａx=ｂ，x≥0的所有点（可行解）组成的几何体是 凸集，只要证明Ｄ中任意两点 x(1) ,x(2) 连线上的一切点均满足线性约束 条件既可。
例2
已知线性规划问题的约束条件为
10 x1 x 2 x 3 x 4 10 x1 x ,x ,x ,x 0 1 2 3 4
解:可行域
1 1 1 0 A 1 0 0 1
试讨论可行域顶点和基本可行解之间的对应关系。
D= x / x1 +x 2 +x 3 =10, x1 +x 4 =10, x j 0, j=1,2,3,4,
二章二节单纯形法
B b b = ≥ 0, 可行。 问题：若B0=I，则X0=？ − − X = 0 0
0 0 −1
2. 最优性检验
问题：用什么检验？
b B N
—— 目标。
−1 −1 B N N N
X 而目标z = CX = (C C ) = C ( B b − B NX ) + C X X = C B b + (C − C B N ) X
解：增加松弛变量 x3 , x 4 , x5 , 则约束化为
= 360 9 x 1 + 4 x 2 + x 3 4 x 1 + 5x 2 +x4 = 200 s .t . + x 5 = 300 3x 1 + 10x 2 x 1, x 2, x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0
易见，增加的松弛变量的系数恰构成一个单位阵I。
一、单纯形法的预备知识
1.线性规划的标准型 用单纯形法求解线性规划的前提是先将模 型化为标准型：
Maxz = CX AX = b s.t. X ≥ 0
其中，A 的秩为m （m ≤ n） ≥ 0。 ,b
m ×n
标准型的特征：Max型、等式约束、非负约束
非标准形式如何化为标准
1)
Min型化为Max型
1 2 3 1 2 4 1 4
求相应于基B1和B2的基本解，它们是否基本可行解？
1 0 解：B = , B 0 1
1 −1 1
1 0 1 0 1 1 = , B b = 0 1 3 = 3, 0 1
−1 1
相应于基B 的基本解为X = ( 0,0,1,3) , 是基本可行解。
例3：下面为某线性规划的约束 =1 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 3 2 x1 − x2 x ,L , x ≥ 0 4 1 请例举出其基矩阵和相应的基向量、基变量。
0 0 −1
2. 最优性检验
问题：用什么检验？
b B N
—— 目标。
−1 −1 B N N N
X 而目标z = CX = (C C ) = C ( B b − B NX ) + C X X = C B b + (C − C B N ) X
解：增加松弛变量 x3 , x 4 , x5 , 则约束化为
= 360 9 x 1 + 4 x 2 + x 3 4 x 1 + 5x 2 +x4 = 200 s .t . + x 5 = 300 3x 1 + 10x 2 x 1, x 2, x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0
易见，增加的松弛变量的系数恰构成一个单位阵I。
一、单纯形法的预备知识
1.线性规划的标准型 用单纯形法求解线性规划的前提是先将模 型化为标准型：
Maxz = CX AX = b s.t. X ≥ 0
其中，A 的秩为m （m ≤ n） ≥ 0。 ,b
m ×n
标准型的特征：Max型、等式约束、非负约束
非标准形式如何化为标准
1)
Min型化为Max型
1 2 3 1 2 4 1 4
求相应于基B1和B2的基本解，它们是否基本可行解？
1 0 解：B = , B 0 1
1 −1 1
1 0 1 0 1 1 = , B b = 0 1 3 = 3, 0 1
−1 1
相应于基B 的基本解为X = ( 0,0,1,3) , 是基本可行解。
例3：下面为某线性规划的约束 =1 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 3 2 x1 − x2 x ,L , x ≥ 0 4 1 请例举出其基矩阵和相应的基向量、基变量。
2.2 单纯形法
不过,若原(LP)是非退化的,则其任一个基本可行
解均是非退化的,从而不会出现此问题.
2＞ 检验数向量 有不只一个正分量. 理论上任意可选取一个正分量作为定理中的 k
0
由 Th3 , k x k : 0 1 , 目标函数的值减少 k
ˆ c x c x k
T T
T
x
目标函数的典式
令
j c B A j c j , j 1, , n 检验数
T
常数项
z0 c x cB b
T T
A1 , , Am
Aj e j
B
1
B Im
XJTU
第二章 线性规划
T T
OR
j 1, , m
T
j c B A j c j c B e j c j c j c j 0,
cB B
T 1
Ac
T
T
1 , , n
0 , cB BT 1 NhomakorabeaT
对应于 x 的
B , N
T
N cN
检验数向量
b 对应于基本可行解 x , 原标准形式(LP) 0
m in z z 0 s .t. xB B x 0
单纯形法求解原LP问题：或者求得一最优解，或者 判定原LP问题无界。
XJTU
设原LP问题为：
m in c x s .t.
T
第二章 线性规划
OR
Ax b 0 x 0
D
对此问题引入m个人工变量 x a ( x n+1 , , x n+m ) ，
单纯形法解的四种情况
单纯形法解的四种情况单纯形法是运筹学中求解线性规划问题的一种常用方法。
它的基本思想是利用线性规划问题的几何性质，通过不断优化目标函数值，使得问题的最优解逐渐逼近。
在运用单纯形法求解线性规划问题时，存在四种不同的情况，下面一一进行详细介绍。
一、唯一最优解当线性规划问题满足严格的可行性条件和凸性条件时，求解出的最优解就是唯一的。
在这种情况下，单纯形法通过一系列计算步骤，得出的就是该问题的最优解。
此时，算法的收敛速度也是最快的，因为每次迭代都会使得目标函数值有所改善，确定下一次迭代的方向也较为明确。
二、无解当线性规划问题没有可行解时，单纯形法会失败。
这通常是因为约束条件之间存在冲突，导致问题无法求解。
例如，如果一个约束条件要求变量的值大于等于某个数，而另一个约束条件要求该变量的值小于该数，那么就会导致问题无法求解。
这种情况下，单纯形法会一直进行迭代，直到达到指定的迭代次数或者发现无法得到更好的解为止。
三、无界当线性规划问题的目标函数可以无限地取得更小的值时，就被称为无界问题。
这种情况通常是由于约束条件中某个变量的值可以无限大或者无限小，导致目标函数的值可以无限地下降。
在这种情况下，单纯形法会一直迭代下去，但却无法得到最优解。
此时，需要对约束条件进行适当的调整，添加额外的限制条件以消除无界情况。
四、多解当线性规划问题可以有多个最优解时，就称为多解问题。
例如，当目标函数有多个极小值点，每个极小值点都是最优解。
在这种情况下，单纯形法只能找到其中一个最优解，而无法确定其他最优解的位置。
在实际应用中，多解问题较为常见，在解决此类问题时，需要进一步确定目标函数的相关参数，以便正确地找到所有的最优解。
综上所述，单纯形法在求解线性规划问题时，会出现四种不同的情况，即唯一最优解、无解、无界和多解。
对于每种不同的情况，需要采取不同的策略来进行处理。
因此，在运用单纯形法求解线性规划问题时，需要对这些情况进行充分的考虑，以便正确地解决问题。
《管理运筹学》课件02-单纯形法
解决方案
使用单纯形法，找到最优解，即最大利润和对应的生产计 划。
整数规划问题
整数规划问题概述
整数规划是一种特殊的线性规划，其中部分或全部决策变量必须取整数值。整数规划在许多实际应用中非常重要，如 安排生产计划、分配任务等。
案例
某制造企业需要安排生产任务，每种产品需要不同的设备和人力，企业希望最大化利润，同时满足产品数量、交货期 和资源限制等约束，且所有设备必须全负荷运转。
反射法与对偶法
要点一
总结词
反射法与对偶法是两种将原问题转化为对偶问题进行求解 的方法，反射法是通过构造一个反射矩阵来转化问题，对 偶法则是通过对偶变换将原问题转化为对偶问题。
要点二
详细描述
反射法的核心思想是通过构造一个反射矩阵，将原问题中 的约束条件和目标函数进行转化，从而将原问题转化为一 个简单的子问题。对偶法则通过对偶变换将原问题中的变 量和约束条件进行重新排列和组合，从而将原问题转化为 一个对偶问题。这两种方法都可以在一定程度上简化问题 的求解过程，提高求解效率。
02
单纯形法的基本步骤
初始解的确定
确定初始基本可行解
根据问题条件，选择初始的变量值， 满足所有约束条件，构成初始的基本 可行解。
确定初始基
选择一组变量作为初始基，这些变量 对应的约束为紧约束。
迭代过程
迭代方向
在每次迭代中，通过计算目标函数的值和最优解的方向，确 定变量的调整方向。
迭代步骤
按照迭代方向，逐步调整变量的值，直到达到最优解或满足 终止条件。
证求解的精度和可靠性。
两阶段法
总结词
两阶段法是一种将原问题分解为两个阶段进行求解的方法，第一阶段是确定初始解，第二阶段是对初始解进行 优化和调整。
使用单纯形法，找到最优解，即最大利润和对应的生产计 划。
整数规划问题
整数规划问题概述
整数规划是一种特殊的线性规划，其中部分或全部决策变量必须取整数值。整数规划在许多实际应用中非常重要，如 安排生产计划、分配任务等。
案例
某制造企业需要安排生产任务，每种产品需要不同的设备和人力，企业希望最大化利润，同时满足产品数量、交货期 和资源限制等约束，且所有设备必须全负荷运转。
反射法与对偶法
要点一
总结词
反射法与对偶法是两种将原问题转化为对偶问题进行求解 的方法，反射法是通过构造一个反射矩阵来转化问题，对 偶法则是通过对偶变换将原问题转化为对偶问题。
要点二
详细描述
反射法的核心思想是通过构造一个反射矩阵，将原问题中 的约束条件和目标函数进行转化，从而将原问题转化为一 个简单的子问题。对偶法则通过对偶变换将原问题中的变 量和约束条件进行重新排列和组合，从而将原问题转化为 一个对偶问题。这两种方法都可以在一定程度上简化问题 的求解过程，提高求解效率。
02
单纯形法的基本步骤
初始解的确定
确定初始基本可行解
根据问题条件，选择初始的变量值， 满足所有约束条件，构成初始的基本 可行解。
确定初始基
选择一组变量作为初始基，这些变量 对应的约束为紧约束。
迭代过程
迭代方向
在每次迭代中，通过计算目标函数的值和最优解的方向，确 定变量的调整方向。
迭代步骤
按照迭代方向，逐步调整变量的值，直到达到最优解或满足 终止条件。
证求解的精度和可靠性。
两阶段法
总结词
两阶段法是一种将原问题分解为两个阶段进行求解的方法，第一阶段是确定初始解，第二阶段是对初始解进行 优化和调整。
第2章--单纯形法的几种特殊情况学习资料
450-25M
6 30 4 780-4M
2
管理运筹学
§4 几种特殊情况
解：在上述问题的约束条件中加入松驰变量，得标准型如下：
目标函数 max z x1 x2
约束条件 x1 x2 s1 1,
填入单纯形表计算得：
迭 基 CB x1
x2
s1
代变 次量
1
1
0
数
3x1 2x2 s2 6,
s2 M 9. 显然这是线性规划的可行解，此时目标函数
z x1 x2 M 1 M 2 M 1.
管理运筹学
5
§4 几种特殊情况
由于M可以是任意大的正数，可知此目标函数值无界。
上述的例子告诉了我们在单纯形表中识别线性规划问题是无界的方法： 在某次迭代的单纯形表中，如果存在着一个大于零的检验数 ，并 ij 且该列 的系数向量的每个元素aij(i=1,2,…,m)都小于或等于零，则此线性规划问题 是无界的，一般地说此类问题的出现是由于建模的错误所引起的。
2x1 x2 s2 400, x2 s3 250, x1, x2 , s1, s2 , s3 0.
填入单纯形表计算得：
管理运筹学
7
迭 基变 CB x1 代量
次 数
50
s1 s2 0 s3
01 02 00
zj
0
cj-zj
50
s1 s2 1 x2
01 02 50 0
zj
0
cj-zj
50
x1 2 s2
x1 s2 30, x1 x2 s3 a1 40, x1, x2 , s1, s2, s3, a1 0.
填入单纯形表计算得：
管理运筹学
1
§4 几种特殊情况
单纯形法图解法及原理
X= X(1) +(1- ) X(2) (0< <1)
则称X为 D的顶点。
31
定理1：LP问题的可行解域一定是凸集。
引理1：线性规划问题的可行解X为基可 行解的充分必要条件是：X的非 零分量(>=0)所对应的系数矩阵
A的列向量是线性无关。？
32
定理2：线性规划问题的基可行解对应线性 规划问题可行域（凸集）的顶点。
10 20
30 40
x1
11
例2 解线性规划
max z x1 x2
2x1 x2 2
s.t
.
x1 x1
2
x2 x2
2 5
x1 0, x2 0
有唯一最优解
2x1 x2 2
x2
z 3 x 1,4T
z 1.5
A2
z0
A1
40 2x1+x2 50
30
20 可行域
10
目标函数是以Z作为 参数的一组平行线
x2 = Z/30-（5/3）x1
4x1+3x2 120
10 20
30 40
x1 9
x2
50
当Z值不断增加时，该直线
40 2x1+x2 50 x2 = Z/30-（5/3）x1
沿着其法线方向向右上方移
30
动。
令X4=X5=0 X=(12, 12, -6, 0, 0)T
基本解， 但不可行
Z=40X1 +50X2
=40[12-(1/3 X4 -1/3 X5)] +50[12- 1/2 X5 ]
= 1080+(- 40/3 X4 -35/3 X5 )
则称X为 D的顶点。
31
定理1：LP问题的可行解域一定是凸集。
引理1：线性规划问题的可行解X为基可 行解的充分必要条件是：X的非 零分量(>=0)所对应的系数矩阵
A的列向量是线性无关。？
32
定理2：线性规划问题的基可行解对应线性 规划问题可行域（凸集）的顶点。
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30 40
x1
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例2 解线性规划
max z x1 x2
2x1 x2 2
s.t
.
x1 x1
2
x2 x2
2 5
x1 0, x2 0
有唯一最优解
2x1 x2 2
x2
z 3 x 1,4T
z 1.5
A2
z0
A1
40 2x1+x2 50
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20 可行域
10
目标函数是以Z作为 参数的一组平行线
x2 = Z/30-（5/3）x1
4x1+3x2 120
10 20
30 40
x1 9
x2
50
当Z值不断增加时，该直线
40 2x1+x2 50 x2 = Z/30-（5/3）x1
沿着其法线方向向右上方移
30
动。
令X4=X5=0 X=(12, 12, -6, 0, 0)T
基本解， 但不可行
Z=40X1 +50X2
=40[12-(1/3 X4 -1/3 X5)] +50[12- 1/2 X5 ]
= 1080+(- 40/3 X4 -35/3 X5 )
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x3+x6=1，
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7≥0.
管
理
运
筹
学
14
§4 几种特殊情况
这个例题的确存在最优解，但用一般单纯形表法，经过6 次迭代后得到的单纯形表与第0次单纯形表一样，而目标函数 都是零，没有任何变化，这样迭代下去，永远达不到最优解。 为了避免这种现象，我们介绍勃兰特法则。 首先我们把松弛变量（剩余变量）、人工变量都用xj表 示，一般松弛变量（剩余变量）的下标号列在决策变量之后， 人工变量的下标号列在松弛变量（剩余变量）之后，在计算 中，遵守以下两个规则： （1）在所有检验数大于零的非基变量中，选一个下标最小的 作为入基变量。 （2）在存在两个和两个以上最小比值时，选一个下标最小的 基变量为出基变量。 这样就一定能避免出现循环。
s1 0 s2 0 b 比 值
填入单纯形表计算得：
迭 基 代 变 次 量 数 s1 s2 0 zj cj-zj x1 s2 1 zj cj-zj 1 0 CB x1 1 x2 1
x1 , x2 , s1 , s2 0.
0 0
1 -3 0 1 1 0 1 0
-1 2 0 1 -1 -1 -1 2
1 0 0 0 1 3 1 -1
0
1
9-7/10M 30 11+7/10M 0 0 1 0 20 0 1 0 0 30 0
2
6 30 4 780-4M 2
管
理
运
筹
学
§4 几种特殊情况
从第二次迭代的检验数都小于零来看，可知第2次迭代所得的基本可 行解已经是最优解了，其最大的目标函数值为780-4M。我们把最优解 x1=30,x2=6,s1=0,s2=0,s3=0,a1=4,代入第三个约束方程得x1+x2-0+4=40,即有： x1+x2=36≤40.
管 理 运 筹 学
9
§4 几种特殊情况
四、退化问题
在单纯形法计算过程中，确定出基变量时有时存在两个以上的相同 的最小比值，这样在下一次迭代中就有了一个或几个基变量等于零，这 称之为退化。
例4.用单纯形表，求解下列线性规划问题。
解：加上松驰变量s1,s2,s3化为标准形式后，
填入单纯形表计算得：
3 目标函数 max z 2 x1 x3 2 约束条件 x1 x2 2, 2 x1 x3 4, x1 x2 x3 3, x1 , x2 , x3 0.
三、无穷多最优解
例3、用单纯形法表求解下面的线性规划问题。
目标函数 max z 50 x1 50 x2 约束条件 x1 x2 300, 2 x1 x2 400, x2 250, x1 , x2 0.
管 理 运 筹 学
6
§4 几种特殊情况
解：此题我们用图解法已求了解，现在用单纯形表来求解。
目标函数 max z 20 x1 30 x2 Ma1 约束条件 3x1 10 x2 s1 150, x1 s2 30, x1 x2 s3 a1 40, x1 , x2 , s1 , s2 , s3 , a1 0.
填入单纯形表计算得：
管 理 运 筹 学
管 理 运
0 1 0 0 0 1 0 0
筹
1 6 0 1 9 1
学
1 —
4
§4 几种特殊情况
从单纯形表中，从第一次迭代x2的检验数等于2，可知所得的基本可行 解x1=1,x2=0,s1=0,s2=9不是最优解。同时我们也知道如果进行第2次迭代， a22 =-1, a12 那么就选x2为入基变量，但是在选择出基变量时遇到了问题： =-1, 找不到大于零的比值来确定出基变量。事实上如果我们碰到这种情况就可 以断定这个线性规划问题是无界的，也就是说在此线性规划的约束条件下， 此目标函数值可以取得无限大。从1次迭代的单纯形表中，得到约束方程： x1 x2 s1 1, 移项可得：
并不满足原来的约束条件3，可知原线性规划问题无可行解，或者说 其可行解域为空集，当然更不可能有最优解了。 像这样只要求线性规划的最优解里有人工变量大于零，则此线性规划 无可行解。
二、无界解
在求目标函数最大值的问题中，所谓无 界解是指在约束条件下目标函数值可以取
例2、用单纯形表求解下面线性 规划问题。
3
4
2 2 1 5
管
理
运
筹
学
13
§4 几种特殊情况
得到了最优解x1=1，x2=0，x3=2，s1=1，s2=0，s3=0，其最优值为5。 但有时候当出现退化时，即使存在最优解，而迭代过程总是重复解的 某一部分迭代过程，出现了计算过程的循环，目标函数值总是不变，永远 达不到最优解。 下面一个是由E.Beale给出的循环的例子。 例5 目标函数 ：min f =－（3/4）x4+20x5－（1／2）x6+6x7. 约束条件：x1+（1／4）x4－8x5－x6+9x7=0， x2+（1／2）x4－12x5－（1／2）x6+3x7=0，
迭代 次数 基 变 量 x1 s3 x2 zj cj-zj CB x1 50 50 0 50 1 0 0 50 0 x2 50 0 0 1 50 0 s1 0 -1 -2 2 50 -50 s2 0 1 1 -1 0 0 s3 0 0 1 0 0 0 100 50 200 15000 b
3
从检验数可知此基本可行解x1=100,x2=200,s1=0,s2=0,s3=50,也是最优解
管 理 运 筹 学
5
§4 几种特殊情况
由于M可以是任意大的正数，可知此目标函数值无界。
上述的例子告诉了我们在单纯形表中识别线性规划问题是无界的方法： ij 在某次迭代的单纯形表中，如果存在着一个大于零的检验数 ，并且该列 的系数向量的每个元素aij(i=1,2,…,m)都小于或等于零，则此线性规划问题 是无界的，一般地说此类问题的出现是由于建模的错误所引起的。
以得到最优解的。像本题继续计算如下：
管
理
运
筹
学
12
§4 几种特殊情况
迭 基 代 变 次 量 数 x1 x3 s3 zj cj-zj x1 x3 s1 zj cj-zj 2 3/2 0 CB x1 2 2 3/2 0 1 0 0 2 0 1 0 0 2 0 x2 0 -1 2 0 1 -1 -1 2 0 1 -1 x3 3/2 0 1 0 3/2 0 0 1 0 3/2 0 s1 0 1 -2 1 -1 1 0 0 1 0 0 s2 0 0 1 -1 3/2 -3/2 1 -1 -1 1/2 -1/2 s3 0 0 0 1 0 0 -1 2 1 1 -1 2 0 1 4 2/1 — 1/1 b 比值
0
1
2
50 50 250 15000
— 50/1 250/1
管
理
运
筹
学
8
§4 几种特殊情况
这样我们求得了最优解为x1=50,x2=250,s1=0,s2=50,s3=0,此线性规划的 最优值为15000。这个最优解是否是惟一的呢？由于在第2次迭代的检验数 中除了基变量的检验数 1 , 2 , 4 等于零外，非基变量s3的检验数也等 于零，这样我们可以断定此线性规划问题有无穷多最优解。不妨我们把检 验数也为零的非基变量选为入基变量进行第3次迭代。可求得另一个基本 可行解，如下表所示：
0
1
2
2 0 1 4
2/(1/2) 0/(1/2) —
管
理
Байду номын сангаас
运
筹
学
11
§4 几种特殊情况
在以上的计算中可以看出在0次迭代中，由于比
值b1/a11=b2/a21=2为最小比值，导致在第1次迭代中出
现了退化，基变量s2=0。又由于在第1次迭代出现了
退化，基变量s2=0，又导致第2次迭代所取得的目标 函数值并没有得到改善，仍然与第1次迭代的一样都 等于4。像这样继续迭代而得不到目标函数的改善， 当然减低了单纯形算法的效率，但一般来说还是可
加入松弛变量s1 , s2 , s3，我们得到标准形： 目标函数 max z 50 x1 50 x2 约束条件 x1 x2 s1 300, 2 x1 x2 s2 400, x2 s3 250, x1 , x2 , s1 , s2 , s3 0.
填入单纯形表计算得：
§4 几种特殊情况
一、无可行解
例1、用单纯形表求解下列线性规划问题
目标函数 max z 20 x1 30 x2 约束条件 3x1 10 x2 150, x1 30, x1 x2 40, x1, x2 0.
解：在上述问题的约束条件中加入松驰变量、剩余变量、人工变量得到：
管
理
运
筹
学
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§4 几种特殊情况
迭 基变 代 量 次 数 s1 s2 s3 zj cj-zj s1 s2 x2 zj cj-zj x1 s2 x2 zj cj-zj 50 0 50 0 0 50 CB x1 50 0 0 0 1 2 0 0 50 1 2 0 0 50 1 0 0 50 0 x2 50 1 1 1 0 50 0 0 1 50 0 0 0 1 50 0 s1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 -2 0 50 -50 s2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 s3 0 0 0 1 0 0 -1 -1 1 50 0 -1 1 1 0 0 300 400 250 0 50 150 250 12500 50/1 150/2 — 300/1 400/1 250/1 b 比值
x2 3s1 s2 9.
x1 1 x2 s1 , s2 x2 3s1 9. 不妨设x2 M , s1 0, 可得一组解： x1 M 1, x2 M , s1 0, s2 M 9. 显然这是线性规划的可行解，此时目标函数 z x1 x2 M 1 M 2M 1.