北师大版高中数学必修四：1.3《弧度制》(共25张PPT)
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北师版数学高一-必修4课件 1.3 弧度制
此时，l＝a－2·4a＝2a，
∴α＝rl＝2.
故当扇形的圆心角为 2 rad 时，扇形的面积最大为1a62.
§3 弧度制
23
规律方法 (1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一 是S＝ 1 lr＝ 1 |α|r2，二是l＝|α|r，如果已知其中两个，就可
22 以求出另一个.
(2)当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是
§3 弧度制
17
跟踪演练 2 设 α1＝－570°，α2＝750°，β1＝35π，β2＝－π3.
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在 的象限；
解 ∵180°＝π rad，
∴α1＝－570°＝－517800π＝－169π ＝－2×2π＋56π，
§3 弧度制
18
α2＝750°＝715800π＝265π＝2×2π＋π6. ∴α1的终边在第二象限， α2的终边在第一象限.
§3 弧度制
29
课堂小结 1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间 建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即 这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯 一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.
§3 弧度制
30
2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180° ＝π rad”这一关系式. 3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化， 具体应用时，要注意角的单位取弧度.
把面积S转化为r的函数.
§3 弧度制
24
跟踪演练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧
度数.
解 设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，
∴l＝4－2R，根据扇形面积公式 S＝12lR， 得 1＝21(4－2R)·R，
∴α＝rl＝2.
故当扇形的圆心角为 2 rad 时，扇形的面积最大为1a62.
§3 弧度制
23
规律方法 (1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一 是S＝ 1 lr＝ 1 |α|r2，二是l＝|α|r，如果已知其中两个，就可
22 以求出另一个.
(2)当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是
§3 弧度制
17
跟踪演练 2 设 α1＝－570°，α2＝750°，β1＝35π，β2＝－π3.
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在 的象限；
解 ∵180°＝π rad，
∴α1＝－570°＝－517800π＝－169π ＝－2×2π＋56π，
§3 弧度制
18
α2＝750°＝715800π＝265π＝2×2π＋π6. ∴α1的终边在第二象限， α2的终边在第一象限.
§3 弧度制
29
课堂小结 1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间 建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即 这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯 一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.
§3 弧度制
30
2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180° ＝π rad”这一关系式. 3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化， 具体应用时，要注意角的单位取弧度.
把面积S转化为r的函数.
§3 弧度制
24
跟踪演练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧
度数.
解 设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，
∴l＝4－2R，根据扇形面积公式 S＝12lR， 得 1＝21(4－2R)·R，
2019-2020学年北师大版必修4 第1章3 弧度制 课件(38张)
栏目 导引
数学 必修4 配北师大版
第一章 三角函数
(3)任意角的弧度数与实数的对应关系 任一正角的弧度数都是一个_正__数___；任一负角的弧度数都 是一个_负__数___；零角的弧度数是__0__.
(4)角的弧度数的计算
设 r 为圆的半径，l 是圆心角 α 所对的弧长，则角 α 的弧度 l
数的绝对值满足|α|＝_r_.
所以－20 是第四象限角，终边相同的角的集合为{β|β＝2kπ＋(8π
－20)，k∈Z}．
栏目 导引
数学 必修4 配北师大版
第一章 三角函数
【方法总结】 解决此类问题的关键是角度制与弧度制的 互化关系：π rad＝180°，再由公式18π0°＝这这个个角角的的弧度度数数 得：
(1)度数×1π80＝弧度数； (2)弧度数×1π80°＝度数．将角度制化为弧度制，当角度制
第一章 三角函数
)
栏目 导引
数学 必修4 配北师大版
第一章 三角函数
类型 2 弧长公式及扇形面积公式的应用 例 2 一个扇形的面积为 1，周长为 4，求该扇形圆心角的
弧度数． 【解】 设扇形的半径为R，弧长为l，
则2R＋l＝4，∴l＝4－2R，
根据扇形面积公式S＝12lR，
得1＝12(4－2R)·R，∴R＝1，∴l＝2，∴α＝Rl ＝21＝2， 即扇形的圆心角为2 rad.
栏目 导引
数学 必修4 配北师大版
第一章 三角函数
解：设圆的半径为r，A︵CB的长为l，则l＝23πr， ∵OA＝OB，OC与弦AB垂直， ∴∠AOC＝π3， ∴△AOC为等边三角形， ∵AD⊥OC，∴OD＝CD，
栏目 导引
数学 必修4 配北师大版
∴r＝2CD＝2a，
数学 必修4 配北师大版
第一章 三角函数
(3)任意角的弧度数与实数的对应关系 任一正角的弧度数都是一个_正__数___；任一负角的弧度数都 是一个_负__数___；零角的弧度数是__0__.
(4)角的弧度数的计算
设 r 为圆的半径，l 是圆心角 α 所对的弧长，则角 α 的弧度 l
数的绝对值满足|α|＝_r_.
所以－20 是第四象限角，终边相同的角的集合为{β|β＝2kπ＋(8π
－20)，k∈Z}．
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数学 必修4 配北师大版
第一章 三角函数
【方法总结】 解决此类问题的关键是角度制与弧度制的 互化关系：π rad＝180°，再由公式18π0°＝这这个个角角的的弧度度数数 得：
(1)度数×1π80＝弧度数； (2)弧度数×1π80°＝度数．将角度制化为弧度制，当角度制
第一章 三角函数
)
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数学 必修4 配北师大版
第一章 三角函数
类型 2 弧长公式及扇形面积公式的应用 例 2 一个扇形的面积为 1，周长为 4，求该扇形圆心角的
弧度数． 【解】 设扇形的半径为R，弧长为l，
则2R＋l＝4，∴l＝4－2R，
根据扇形面积公式S＝12lR，
得1＝12(4－2R)·R，∴R＝1，∴l＝2，∴α＝Rl ＝21＝2， 即扇形的圆心角为2 rad.
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数学 必修4 配北师大版
第一章 三角函数
解：设圆的半径为r，A︵CB的长为l，则l＝23πr， ∵OA＝OB，OC与弦AB垂直， ∴∠AOC＝π3， ∴△AOC为等边三角形， ∵AD⊥OC，∴OD＝CD，
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数学 必修4 配北师大版
∴r＝2CD＝2a，
高中数学北师大版必修4第1章3《弧度制》ppt课件
第一章 三角函数
第一章 §3 弧度制
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课时作业
课前自主预习
• 节是航海速度单位，舰船每小时航程1海里为1节， 用代号“kn”表示．国际上承认的标准海里是1 852 米，我国也承认这个标准，海里的代号为“M”．而 汽车的时速单位是千米/时，用代号“km/h”表
[规律总结]
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝
1 2
lR＝
12|α|R2(其中l是扇形弧长，α是扇形圆心角)．
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关
键是先分析题目中已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公
式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
• 已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取 什么值时，才能使该扇形的面积最大？最大面积是 多少？
的弧度数是( )
A．π3
B．π6
C．1 [答案] [解析]
D．π A ∵弦长与圆的半径长相等，
∴弦所对的圆心角为π3弧度．
• 2．若α ＝－3，则角α 的终边在( ) • A．第一象限 B．第二象限 • C．第三象限 D．第四象限 • [答案] C
[解析] ∵－π<－3<－π2，
∴角α的终边在第三象限．
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
第一章 §3 弧度制
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课时作业
课前自主预习
• 节是航海速度单位，舰船每小时航程1海里为1节， 用代号“kn”表示．国际上承认的标准海里是1 852 米，我国也承认这个标准，海里的代号为“M”．而 汽车的时速单位是千米/时，用代号“km/h”表
[规律总结]
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝
1 2
lR＝
12|α|R2(其中l是扇形弧长，α是扇形圆心角)．
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关
键是先分析题目中已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公
式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
• 已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取 什么值时，才能使该扇形的面积最大？最大面积是 多少？
的弧度数是( )
A．π3
B．π6
C．1 [答案] [解析]
D．π A ∵弦长与圆的半径长相等，
∴弦所对的圆心角为π3弧度．
• 2．若α ＝－3，则角α 的终边在( ) • A．第一象限 B．第二象限 • C．第三象限 D．第四象限 • [答案] C
[解析] ∵－π<－3<－π2，
∴角α的终边在第三象限．
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
高中数学北师大版必修四课件集弧度制
S扇 = 360
2、弧度制下的弧长公式 l = r
弧度制制下的扇形面积公式
S扇
=
1 lr 2
=
1 2
| | r2
l [例4]．求图中公路弯道处弧 的长
（精确到 1m ，图中长度单位：m）．
例5 已知扇形的周长为10cm, 面积为4cm2,求扇形的圆心角.
分析:要求圆心角,根据公式| |= l ,需求弧长l及半径R.
R
当R=4时,l=2cm时, = l = 1
R2 1
∴所求扇形的圆心角的弧度数为
2
1、已知扇形周长为6cm，面积为2cm2，则扇形
圆心角的弧度数为 C
A、1
B、4
C、1或4 D、2或4
2、当圆心角α=-216o，弧长l =7πcm时，其半径
r=__3_5_c_m___
6
所对3、圆在弧半的径长为为3_0__的4_0_圆__中__，__圆心角为周角的
（1）用角度表示
与终边相同的角可以表示为： k 360，k Z 它们构成一个集合：
S = | = k 360 , k Z
2k，k Z
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为：
它们构成一个集合：
S = | = 2k , k Z
弧度 这个关键．
练习：填表
度 30 45 60 90 180 270 360
弧度 6
4
3
2
3
2
2
弧度 度
弧度 度
0
12
6
4
3
北师大版数学必修四课件：1.3弧度制
【规范解答】由已知得7θ=2kπ+θ，k∈Z,
即6θ=2kπ，∴ k ,
3
又∵0＜θ＜2π,∴ 0＜ k ＜2
3
∵k∈Z，∴k=1、2、3、4、5
2 4 5 ∴ 、 、、 、 . 3 3 3 3
【典例】(12分)已知一扇形的圆心角是α ，半径是R. (1)若α =60°，R=10 cm，求扇形的弧所在的弓形面积； (2)若扇形的周长是一定值c(c＞0)，则当α 为多少弧度时， 该扇形的面积最大？
(2)-315°
(3)
11 7
(4)-8
【审题指导】(1)(3)(4)是用弧度制表示角，(2)是用角度
制表示角.判断某角是哪个象限的角时，要注意与 0、 、
2
π、
3 等特殊角进行比较. 2
【规范解答】 (1) 16 4 4 且 ＜ 4 ＜3 ,所以
3 3 3 2 4 16 与 终边相同是 3 3
第三象限的角.
(2)-315°=-360°+45°= 2
同是第一象限的角.
,所以-315°与 终边相 4 4
(3) 11 2 3 且 0＜3 ＜ ,所以
7 7 7 2
11 3 与 终边相同是 7 7
第一象限的角. (4)由π≈3.14得2π≈6.28，4π≈12.56
省去.
②度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度.
有些角的弧度数是π的倍数的形式，如无特
别要求，不必把π写成小数.
【例1】把下列各角从度化成弧度或从弧度化成度.(不必求 近似值) (1)10° (2)-10°30′ (3)-210° (4)400°
(5)1.5rad
(6)
数学：1.3《弧度制》课件(北师大版必修4)
弧度制定义
我们把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角． 这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度 制，它的单位是弧度，单位符号是rad.
演示课件
若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？ 若弧是一个整圆呢？
为什么可以用弧长与其半径的比值来度 量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆 的半径大小无关呢？
弧长公式： l r 即弧长等于弧所 对的圆心角的弧度数的绝对值与半径的乘积。
例5
把下列各角化成 2k 0 2，k Ζ 的形式：
16 11 （1 ） ；（2） 315 ；（3） ． 3 7
例6 求图中公路弯道处弧
的长l （精确到 1m ，图中长度单位：m ）．
（2）∵
57.30 1.5 85.95 85 57
tan 1 . 5 tan 85 57 14.12 ∴
角的集合与实数集之间的一一对应关系：
正角
零角 负角 正实数 零 负实数
1 例4利用弧度制证明扇形面积公式 S lR ， 2 其中 l 是扇形的弧长，R是圆的半径。
对的弧长， 为圆心角的弧度数， 为圆半径．）
r
作业
；
/ 云创通
joq624fhk
回事？”等吊足了胃口，马启明才公布了上面的答案：“魔鬼啤酒就是喝了四五杯以后，就可能变成魔鬼，可见酒劲之强，因而得名。女士杀手 啤酒，它的瓶身俏皮可爱，口感酸甜，果香清冽，啤酒中还有深色的樱桃，被誉为啤酒中的香槟，深得女士们的热烈追捧，男士们看了女士杀手 啤酒容易使雄性荷尔蒙大量分泌。”“什么样的啤酒才是好啤酒？” 江文轩又问道。“这个要问你，分析家分析一下。”马启明说道，“假如你 是消费者，买了一瓶啤酒，你希望啤酒口味怎么样？”“当然是好喝，人喝了还想喝，当然，外观要叫人看了舒服。”“高！高！高！消费者感 到好喝的啤酒才是好啤酒。” 马启明大笑着说，“不愧是分析家，看来你可以当啤酒厂的顾问了。” 朋友在一起，就是图个热闹的气氛，就是 图个乐活。大家哈哈大笑，人感到神清气爽，把烦恼一下子就给抛到九霄云外去了。接着话题又转到改制，马启明就问：“现在国有企业都在改 制，你们厂有没有改制？”“改制？我们厂本身就不是国营的，改制简单的很。”具体简单到什么程度，江文轩没说，马启明也没问。“我们单 位改制工作已经完成。赵树春把烫手的山芋接到手里，不知道他有没有办法让花开啤酒走出泥潭，步上正规。” 一说到厂里，马启明即刻晴转多 云，不免有点忧心忡忡。“这是好事，改制以后说不定这个企业会越来越好。”李若兰安慰道。“是的，我也这么想。厂子生产经营正在恢复正 常，但愿厂子会好起来。”马启明又满怀希望地说道。5国企遇到最头痛的巨事——企业改制|灰蒙蒙的天空好像一个倒扣的大锅，气压低得让人 喘不过气来。突然，空中的闪电好像一把锋利的宝剑，一次一次地撕开沉闷的天空，紧跟在闪电之后是震耳欲聋的雷声，犹如战鼓轰鸣，一遍又 一遍地在天空中击响，雷声越来越大，仿佛在震撼着世上的一切。刹那间，豆大的雨点落了下来，犹如瀑布飞溅，雨点落在地上，溅起一朵朵水 花，很快便汇成水流，奔向低洼处了，洒向大地的雨，滋润着大地万物。这一天下午召开中层以上干部会议，马启明一进会议室，就看见椭圆形 会议桌前坐着六七位不认识的人，赵树春、常宏义、张之文在旁边陪坐着。张之文是谷仕昊当总经理时提拔的副总经理。像这样领导提前到会的 情况以前很少有过，而且那几个不认识的人，一看派头和装束就知道是有些来头的领导。马启明隐约感到今天的会议非同一般，一定有什么大事 要宣布，所以一声不响地赶紧坐下，并把笔记本打开做好记录准备。人员到齐后，赵树春环顾了一下会场，扭头向旁边的一位领导请示道：“董 区长，时间到了，我们开会？”董海点了点头说：“好！开会!”他有四十多岁，头发乌黑发亮，有点自来卷，国字脸，脸上的表情坚定而沉着， 微笑时显得平易
《弧度制》课件(北师大版必修4)
180
(180)0
57018'
2）几个特殊角的弧度，30°45°60°90° 3）弧度符号rad常可省去不写，
弧度数与实数是一一对应的。
5. 弧长公式与扇形面积公式: 1) 弧长公式L=｜α｜R （α为弧度）
2) 扇形面积公式:
S 1 LR 2
二、例题：
例题1. 1) 把67°30′化成弧度； 2) 把 3 rad化成度数；
若时针转过3cm,则时针转过的弧长是
_________
作业: P习题1. (1) 2.(1),(3) 4. 6. 7 (3) (4). 8.
小结：
角的度量形式(角度制,弧度制),弧度的单 位.弧度的意义,角度制与弧度制间的互 换.会用弧度研究有关问题(弧长,扇形面 积等)
小宝结：剑锋从磨砺出 本节课重点学习了圆的标准方程和一
3°在半径为R的圆中，任一角α的弧度数的
绝对值都满足|α|= L R
其中L是圆心角α所对圆弧的长,R是圆的半径.
3. 弧度制: 用“弧度”作为单位来度量角的 单
位制—弧度制 角度制 ﹟角的度量方法 弧度制 4. 角度与弧度的互换:
360°=2πrad
πrad=180°
﹟：1）
10
,1rad
4
4
S 1 LR 1 R2 1 15 25 75
2
2
24
8
2) 已知扇形的周长为20cm,当扇形的
中心角为多大时，它有最大面积？这是？
解:2) 设圆半径为R, 则
（弧长,扇
L
20
2R
R, S
1
LR
(180)0
57018'
2）几个特殊角的弧度，30°45°60°90° 3）弧度符号rad常可省去不写，
弧度数与实数是一一对应的。
5. 弧长公式与扇形面积公式: 1) 弧长公式L=｜α｜R （α为弧度）
2) 扇形面积公式:
S 1 LR 2
二、例题：
例题1. 1) 把67°30′化成弧度； 2) 把 3 rad化成度数；
若时针转过3cm,则时针转过的弧长是
_________
作业: P习题1. (1) 2.(1),(3) 4. 6. 7 (3) (4). 8.
小结：
角的度量形式(角度制,弧度制),弧度的单 位.弧度的意义,角度制与弧度制间的互 换.会用弧度研究有关问题(弧长,扇形面 积等)
小宝结：剑锋从磨砺出 本节课重点学习了圆的标准方程和一
3°在半径为R的圆中，任一角α的弧度数的
绝对值都满足|α|= L R
其中L是圆心角α所对圆弧的长,R是圆的半径.
3. 弧度制: 用“弧度”作为单位来度量角的 单
位制—弧度制 角度制 ﹟角的度量方法 弧度制 4. 角度与弧度的互换:
360°=2πrad
πrad=180°
﹟：1）
10
,1rad
4
4
S 1 LR 1 R2 1 15 25 75
2
2
24
8
2) 已知扇形的周长为20cm,当扇形的
中心角为多大时，它有最大面积？这是？
解:2) 设圆半径为R, 则
（弧长,扇
L
20
2R
R, S
1
LR
1[1].3弧度制 课件(北师大版必修4)
![1[1].3弧度制 课件(北师大版必修4)](https://img.taocdn.com/s3/m/e6f1b78c8762caaedd33d481.png)
[题后感悟] (1)在进行角度与弧度的换算时,抓 住关系式 π rad＝180° 是关键.由它可以得:度数 180 π × ＝弧度数.弧度数× π ° ＝度数. 180 (2)特殊角的弧度数与度数对应值今后常用,应该 熟记.
1.填空: (1)18° ＝________rad; (2)67° 30′＝________rad; 3 (3) π＝________; 10 (4)2 rad＝________.
答案: π 3 (1) (2) π 10 8 (3)54° (4)114.6°
利用弧度制表示终边相同的角 (1)把－1 480° 写成 α＋2kπ(k∈Z)的形式, 其中 0≤α<2π; (2)若 β∈[－4π,0],且 β 与(1)中 α 终边相同,求 β.
首先把角度化成弧度，再写成所要求的形式.
1.下列各式正确的是( A.π＝180 π C.90° rad ＝ 2 答案: C
) B.π＝3.14 D.1 rad＝π°
π 2.在半径为 2 的圆中,圆心角为 所对的弧长是 7 ( ) 2π π A. B. 7 14 2 4π C. D. 7 7
答案: A
1 3.一条弧长等于半径的 ,则此弧所对的圆心角是 2 ________.
[题后感悟] 表示角的集合,既可以用角度,也可 以用弧度,但必须要统一单位,不能既含有角度又 含有弧度,如在“α＋2kπ(k∈Z)”中,α必须是用 弧度制表示的角,在“α＋k×360°,(k∈Z)” 中,α必须是用角度制表示的角.
2.先用角度制表示下列角,然后再用 弧度制表示所得的结果: (1)终边与 45° 角相同的角; (2)终边落在 x 轴负半轴上的角.
弧长、扇形面积的有关计算 直径为 20 cm 的圆中,求下列各圆心角所 对的弧长及面积. 4π (1) ;(2)165° . 3
高中数学第1章三角函数3弧制课件北师大版必修4
＝34S.
【答案】
3 4
第三十页，共32页。
5．已知集合A＝{α|2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，求A∩B. 【解】 ∵A＝{α|2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}， 令k＝1，有2π<α<3π，而2π>4； 令k＝0，有0<α<π； 令k＝－1，有－2π<α<－π， 而－2π<－4<－π， 故A∩B＝{α|－4≤a<－π或0<α<π}．
第二十页，共32页。
如图1－3－3，扇形AOB的面积为4，周长为10，求扇形的圆心角 α(0<α<2π)的弧度数．
图1－3－3 【精彩点拨】 S＝12lr，l＋2r＝周长→求l，r值→α＝rl
第二十一页，共32页。
【自主解答】 设 长为l，扇形半径为r，由题意得：
l＋2r＝10， 12lr＝4，
【解析】 －2132π＝－2132×180°＝－345°. 【答案】 －345°
【导学号：66470004】
第二十九页，共32页。
4．如果一扇形的弧长变为原来的
3 2
倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面
积为原扇形面积的________倍．
【解析】 由于S＝12lR，若l′＝32l，R′＝12R，则S′＝12l′R′＝12×32l×12R
[构建·体系]
第二十六页，共32页。
1．下列说法中，错误的说法是( ) A．半圆所对的圆心角是π rad B．周角的大小等于2π C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 【解析】根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误． 【答案】 D
北师大版必修4 弧度制 课件(42张)
24
用弧度制表示终边相同的角
【例 2】 (1)把－1 480°写成 α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中 0≤α<2π；
(2)若 β∈[－4π，0)，且 β 与(1)中 α 终边相同，求 β. [解] (1)∵－1 480°＝－794π＝－10π＋169π，0≤169π<2π， ∴－1 480°＝169π－2×5π＝169π＋2×(－5)π. (2)∵β 与 α 终边相同，∴β＝2kπ＋196π，k∈Z. 又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－29π，β2＝－290π.
28
弧长公式与面积公式的应用 [探究问题] 1．扇形的半径，弧长及圆心角存在怎样的关系？ [提示] |α|＝rl. 2．扇形的面积和相应的弧长存在怎样的关系？ [提示] S＝12lr.
29
【例 3】 一个扇形的面积为 1，周长为 4，求该扇形圆心角的弧 度数．
[思路探究] 设扇形的半径为R，弧长为l → 根据条件列方程组 → 解方程组求R、l → 求圆心角
∴当扇形的圆心角为 2 rad，半径为 10 cm 时，扇形的面积最大为 100 cm2.
34
灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题 的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题， 将扇形面积表示为半径的函数，转化为 r 的二次函数的最值问题.
35
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R 之间建 立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度 数)与它对应；反过来，每一个实数也都
第一章 三角函数
§3 弧度制
2
学习目标
核心素养
1.了解角的另外一种度量方法 1.通过学习弧度制的概念，提升
——弧度制． 数学抽象素养．
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0
负角
负实数
任意角的集合
实数集R
角的弧度数的绝对值: = l
r
（l为弧长，r为半径）
5
例1 把下列各角化为弧度 解(1：) 6∵73607（302）=306°7（1 3）5°（4）-45°
2
∴ 6730 = rad 67 1 = 3 rad
180
28
6
例2 把下列 各角化为度．
(2) 5 rad(1) 4 rad
弧长为
，面积为2R2的扇形的
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= 4 ，根据l=αR，得
3
l = 4R
3
（2）根据S=
1 2
lR=
12αR2，且S=2R2.
所以 α=4. 22
例3 已知一半径为R的扇形，它的周长等于 所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少 弧度？合多少度？扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合( 360( 1) ) º
10
终边相同的角
（1）用角度表示 与终边相同的角可以表示为： k 360，k Z 它们构成一个集合：
S = | = k 360 , k Z
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为：
2k，k Z
它们构成一个集合：
S = | = 2k , k Z
11
例3 计算：
（1） sin ；（2）tan1.5 ． 4
Oo r
A
读作弧度
C
l = 2r
2rad
A
r
Oo
AOB=1rad
AOC=2rad 3Fra bibliotek角度与弧度间的换算
360 = 2rad
180 = rad
把角度换成弧度
1 = rad 0.01745rad
180
把弧度换成角度
1rad
=
180
57.30
=
5718'
4
角度制与弧度制的换算
正角 零角
正实数
扇形面积是 ( 1)R2
23
练习
练习1 已知扇形的圆心角为72°，半径 等于20cm，求扇形的弧长和面积；
练习2 已知扇形的周长为10cm，面积为 4cm2，求扇形的圆心角的弧度数.
练习3 课本#6
24
小结
度量单 位
单位规 定
换算关 系
弧度制 弧度
角度制 角度
等于半径的长的圆
1
弧所对应的圆心角 周角的 360 为1
6
5
(3)2rad (精确到0.1）
解：4 rad = 4 180 = 144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180 =
弧度这个关键．
7
写出一些特殊角的弧度数
角 度
0 30 45 60 90 120135150180 270 360
弧 度
0
6
4
3
2
2 3 5 3 46
3
2 2
8
角度制与弧度制的比较
叫1 rad 的角
度的角
π =180°
1rad=
180
57.30
=
57°18′，
1°=
rad=0.01745 rad
180
25
的中心角的弧度数．
15
（3）下列角的终边相同的是（ ）．
A． k 与 2k ，k Ζ
4
4
B． 2k 2 与 ，k Ζ
3
3
C． k 与 k ，k Ζ
2
2
D． 2k 1与 3k，k Ζ
16
小结
（1） 180 = 弧度；
（ 2）“角化弧”时，将 n乘以 ；“弧化角”时，
将 乘以 180 ；
S = R2 n = 1 R2
360 2
又 αR=l，所以
S = 1 lR 2
20
例1. 扇形AOB中， AB 所对的圆心角是60º，
半径是50米，求 的A长Bl（精确到0.1
米）。
解：因为60º=
3
,所以
l=α·r= 3×50≈52.5 .
答： AB 的长约为52.5米.
21
例2. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
180
17
1.1.2弧度制 (2)
18
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
① 弧长公式： l = r
由公式：
=
l r
l =r
比公式
l = nr
180
简单.
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）
的绝对值与半径的积.
19
② 扇形面积公式 S = 1 lR 2
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。
证明：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则
例5 用弧度制表示
（1）终边在x轴上的角的集合
（2）终边在 y轴上的角的集合
练习： 将下列各角化成0到2的角加上2k
（k Z）的形式。
（1）23（2） 23（3）450（ 4） 450
3
3
14
练习反馈
（1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角 的弧度数．
（2）已知扇形的周长为8cm，面积为 4cm2 ，求扇形
解：（1）∵ = 45 ∴ sin = sin 45 = 2
4
4
2
（2）∵ 57.30 1.5 = 85.95 = 8557
∴ tan1.5 tan8557 = 14.12
12
练习
1．把下列各角化成 2k 0 2，k Ζ的形式：
16
（1） 3
；（2） 315 ；（3） 11 ．
7
13
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制，角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制；1弧度≠1º； （2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小，而1度是圆周 1 的所对的圆心
360
角的大小；
9
角度制与弧度制的比较
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制； （4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
弧度制
1
在平面几何中研究角的度量，当时是用度做
单位来度量角，1 的角是如何定义的？
将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角.
2
弧度制 ：
定义： 我们把长度等于半径长的弧所对的 圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时， 这样的圆心角等于1rad。
单位符号 ：rad
B
l =r
1rad
负角
负实数
任意角的集合
实数集R
角的弧度数的绝对值: = l
r
（l为弧长，r为半径）
5
例1 把下列各角化为弧度 解(1：) 6∵73607（302）=306°7（1 3）5°（4）-45°
2
∴ 6730 = rad 67 1 = 3 rad
180
28
6
例2 把下列 各角化为度．
(2) 5 rad(1) 4 rad
弧长为
，面积为2R2的扇形的
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= 4 ，根据l=αR，得
3
l = 4R
3
（2）根据S=
1 2
lR=
12αR2，且S=2R2.
所以 α=4. 22
例3 已知一半径为R的扇形，它的周长等于 所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少 弧度？合多少度？扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合( 360( 1) ) º
10
终边相同的角
（1）用角度表示 与终边相同的角可以表示为： k 360，k Z 它们构成一个集合：
S = | = k 360 , k Z
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为：
2k，k Z
它们构成一个集合：
S = | = 2k , k Z
11
例3 计算：
（1） sin ；（2）tan1.5 ． 4
Oo r
A
读作弧度
C
l = 2r
2rad
A
r
Oo
AOB=1rad
AOC=2rad 3Fra bibliotek角度与弧度间的换算
360 = 2rad
180 = rad
把角度换成弧度
1 = rad 0.01745rad
180
把弧度换成角度
1rad
=
180
57.30
=
5718'
4
角度制与弧度制的换算
正角 零角
正实数
扇形面积是 ( 1)R2
23
练习
练习1 已知扇形的圆心角为72°，半径 等于20cm，求扇形的弧长和面积；
练习2 已知扇形的周长为10cm，面积为 4cm2，求扇形的圆心角的弧度数.
练习3 课本#6
24
小结
度量单 位
单位规 定
换算关 系
弧度制 弧度
角度制 角度
等于半径的长的圆
1
弧所对应的圆心角 周角的 360 为1
6
5
(3)2rad (精确到0.1）
解：4 rad = 4 180 = 144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180 =
弧度这个关键．
7
写出一些特殊角的弧度数
角 度
0 30 45 60 90 120135150180 270 360
弧 度
0
6
4
3
2
2 3 5 3 46
3
2 2
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角度制与弧度制的比较
叫1 rad 的角
度的角
π =180°
1rad=
180
57.30
=
57°18′，
1°=
rad=0.01745 rad
180
25
的中心角的弧度数．
15
（3）下列角的终边相同的是（ ）．
A． k 与 2k ，k Ζ
4
4
B． 2k 2 与 ，k Ζ
3
3
C． k 与 k ，k Ζ
2
2
D． 2k 1与 3k，k Ζ
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小结
（1） 180 = 弧度；
（ 2）“角化弧”时，将 n乘以 ；“弧化角”时，
将 乘以 180 ；
S = R2 n = 1 R2
360 2
又 αR=l，所以
S = 1 lR 2
20
例1. 扇形AOB中， AB 所对的圆心角是60º，
半径是50米，求 的A长Bl（精确到0.1
米）。
解：因为60º=
3
,所以
l=α·r= 3×50≈52.5 .
答： AB 的长约为52.5米.
21
例2. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
180
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1.1.2弧度制 (2)
18
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
① 弧长公式： l = r
由公式：
=
l r
l =r
比公式
l = nr
180
简单.
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）
的绝对值与半径的积.
19
② 扇形面积公式 S = 1 lR 2
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。
证明：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则
例5 用弧度制表示
（1）终边在x轴上的角的集合
（2）终边在 y轴上的角的集合
练习： 将下列各角化成0到2的角加上2k
（k Z）的形式。
（1）23（2） 23（3）450（ 4） 450
3
3
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练习反馈
（1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角 的弧度数．
（2）已知扇形的周长为8cm，面积为 4cm2 ，求扇形
解：（1）∵ = 45 ∴ sin = sin 45 = 2
4
4
2
（2）∵ 57.30 1.5 = 85.95 = 8557
∴ tan1.5 tan8557 = 14.12
12
练习
1．把下列各角化成 2k 0 2，k Ζ的形式：
16
（1） 3
；（2） 315 ；（3） 11 ．
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13
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制，角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制；1弧度≠1º； （2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小，而1度是圆周 1 的所对的圆心
360
角的大小；
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角度制与弧度制的比较
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制； （4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
弧度制
1
在平面几何中研究角的度量，当时是用度做
单位来度量角，1 的角是如何定义的？
将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角.
2
弧度制 ：
定义： 我们把长度等于半径长的弧所对的 圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时， 这样的圆心角等于1rad。
单位符号 ：rad
B
l =r
1rad