第4节(达朗贝尔公式-定解问题).

对于这个方程，就很容易求解了！
先对 积分： 再对
(4)
其中f是任意函数！

积分得到通解：
u f ( )d f 2 ( ) f1 f 2 ( ) f1 ( x at) f 2 ( x at) (5)
其中 f1 , f 2 是任意函数.
3
方程（5）就是偏微分方程（1）的通解，与常微分方程
不同的是通解中出现任意函数，而不是任意常数！
通解（5）的物理意义：对于函数f2 (x-at)来说，改用以速度 a沿x轴正向移动的动坐标轴X,则新旧坐标和时间之间的关系
X x at T t
此时有：f 2 ( x at) f 2 ( X )
与时间T无关，即函数图像在动坐标系中保持不变，是随着动坐 标系以速度a沿x正方向移动的行波！ 同理，f1(x+at)是以速度 a沿负方向移动的行波。 波形的具体形
( x)
只在区间（x1,x2）不为零，在x=(x1+x2)/2达到最大值u0 如图所示：
2u0 ( x ) 2u0 0 x x1 x 2 x1 x2 x x 2 x1
1 1 u ( x , t ) ( x at ) ( x at ) 初始位移 达朗贝尔公式给出 2 2
（2）函数 f1与 f 2 的确定
上述通解中的函数可以用定解条件确定。
状的确定
假定弦，杆，传输线都是无限长的，则不存在边界条件。
4
初始条件是： u |t 0 ( x), ut |t 0 ( x)( x ) 把初始条件代入通解得到：
1 1 1 f ( x ) ( x ) ( ) d [ f1 ( x0 ) f 2 ( x0 )] 1 x 2 2a 0 2 解方程得 f ( x ) 1 ( x ) 1 x ( )d 1 [ f ( x ) f ( x )] 2 1 0 2 0 2 2a x0 2
f1 ( x) f 2 ( x) ( x) af1 ( x) af 2( x) ( x) f1 ( x ) f 2 ( x ) ( x ) 即 1 x f1 ( x ) f 2 ( x ) ( )d f1 ( x0 ) f 2 ( x0 ) a x0 x
x1 x 2 x1 x 2 x1 x 2 x x2 2 x x1 , x x 2
u0
x1
x1 x 2 2
x2
x
分为两半，分别向左右两方，以速度a移动（虚线），这两
个行波的和所给出各个时刻的波形（实线）。
如下图所示：
6
t5
x
t4
x
t3
x
t2
x
t1
x
t=0
x
7 且初速度 ( x ) 只在区间 （ii）设初始位移为零,即 ( x ) 0
这里 指的是
0 1 x 1 ( )d x x1 0 2a 2a 1 ( x2 x1 ) 0 2a
x x0 x1 x x2 x x2
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( x )
x1
x2
x
作出 ( x ),( x ) 两个图形，让他们以速度a分别向左右两方 移动，虚线所描述，他们的和（实线）就描画出各个时刻波形：
8
t8 t7
x x x x x x x x x1
t6
t5 t4 t3 t2 t1 t0
x2
x
9
在上图中，波已通过的地方，虽然振动消失，但偏离了
原平衡位置！
（二）端点的反射
半无限长的弦具有一个端点，先考察端点固定的情况，即： utt a 2uxx 0, 0 x u |t 0 ( x ) (0 x ) 初始条件里必须 x 0 ut |t 0 ( x ) 才有意义，因为x<0的区域弦不存在，更无初始条件！对于 较迟的时间（t>x/a）达朗贝尔公式里 ( x at ), x at ( )d 失去意义，不能应用！ 我们可以把半无限长弦当作某根无限长弦的一部分，而此无
（x1,x2）上不为零
0 ( x) 0
x ( x1 , x2 ) x ( x1 , x2 )
此时达朗贝尔公式给出：
1 x at 1 x at u( x , t ) ( )d ( )d ( x at ) ( x at ) 2a 2a
1
§7.4 达朗贝尔公式 定解问题
问题的提出： 在常微分方程中，先不考虑任何的 附加条件，从方程本身 求出通解，通解一般含有任意常数，然后利用附加条件确定这 些常数，偏微方程能否也如此呢？
（一）达朗贝尔公式
均匀弦的横振动，均匀秆的纵振动，理想传输线方程都有
2 2 以下形式： ( 2 a 2 2 )u 0 即： t x ( a )( a )u 0 t x t x
代入通解方程即得满足初始条件的特解： 1 1 x at u( x , t ) [ ( x at ) ( x at )] ( )d x at 2 2a
（6）
——达朗贝尔公式
这是偏微分方程的定解
5 作为例子：（i）设初速度为零，即
( x ) 0 初始位移 ( x )
（1） （2）
（1）通解
对方程（1）我们作代换： 在这个代换下：
x a( ),t
2
t x a t x t x t x ( a ) t x t x
1 x ( ) 2 我们把代换（2）写成： 1 t ( ) 2a 在这代换下原方程化为：
则方程（1）变为：
2 ( )u 0
x at 即 x at
2u 0
(3)
u f ( )