函数与初等函数

二、函数
定义：设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数集，
如果对于每个数 x D, 变量 y 按照一定法则总有 确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作
y f (x)
因变量
自变量
数集 D 叫做这个函数的定义域
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值. 函数值全体组成的数集
y
y f (x)
f (x1)
f (x2 )
o
x
I
（3）函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为偶函数;
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数;
如果自变量在定 义域内任取一个数值 时，对应的函数值总 是只有一个，这种函 数叫做单值函数，否 则叫做多值函数．
例如，x2 y2 a2．
y
W
y
o
(x, y)
x
x
D
定义: 平面点集 C {( x, y) y f ( x), x D}
称为函数y f ( x)的图形.
1. 几个特殊的函数举例
y 反函数y ( x)
Q(b, a)
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
（3） 单值函数的反函数不一定是单值的.
第二节 初等函数
一、复合函数 二、初等函数
一、复合函数
设 y u, u 1 x2,
y 1 x2
定义:设 y f (u)的定义域为D f ,
而函数u ( x)的值域为 Z,
3l
l
2
2
l 2
3l 2
例2
设
D(
x
)
1 0
xQ ,
xQ
求D( 7), D(1 2).并讨论D(D( x))的性质. 5
解 D( 7) 1, D(1 2) 0, D(D( x)) 1, 5 y
单值函数, 有界函数,
1
偶函数, 不是单调函数,
周期函数(无最小正周期)
o
x
3、反函数
对于任意的 y W, 在 D 上至少可以确定一个 x 满足
D(
x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
(4) 取最值函数 y max{ f ( x), g( x)}
y min{ f ( x), g( x)}
y
.
o
f (x)
g( x)
x
y
f (x)
. g(x)
o
x
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
例如 y
cot x , y 2
u, u cot v, v x . 2
二、 初等函数
（一）基本初等函数
W { y y f ( x), x D} 称为函数的值域.
函数的两要素: 定义域与对应法则.
( x D x0)
对应法则f
(
W
y f (x0 )
自变量
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如， y 1 x2 例如， y 1
1 x2
D :[1,1] D : (1,1)
则称函数 f ( x)在区间I上是单调增加的 ;
y
y f (x)
f (x2 )
f (x1)
o
x
I
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间 I D,
如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间 I上是单调减少的;
f (x) y
若将 y 看作自变量, x 看作因变量, 得到一个新的函数
称为原函数 y = f (x) 的反函数, 记为 x = (y)
y
函数 y f ( x)
y 反函数 x ( y)
y0
W
o
y0
W
x0
xo
D
x0
x
D
(1) x ( y) y ( x)
（2） 直接函数与反函数的图形关于直线 y = x 对称.
例如,
2x 1,
f
(
x)
x2
1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
例1
设f
(
x)
1 2
0
x
1 ,
求函数
f
(
x
3)的定义域.
1 x2
解
f
(x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
故 D f :[3,1]
2、函数的特性
第一节 函数
一、邻域 二、函数
一、邻域
设a与是两个实数 , 且 0. 数集{x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U(a, ) {x a x a }. 简记为U(a)
。
。
a
a
a x
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点a的去心的邻域, 记作U(a, ).
U(a, ) {x 0 x a }.
（1）．函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y M
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
x0
o
X
x 无界
-M
-M
（2）函数的单调性:
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间 I D,
如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (1) f ( x1 ) f ( x2 ),
(1) 符号函数
y
1 当x 0
y
sgn x
0
当x 0
1 当x 0
1.
o
x
-1
x sgn x x
(2) 取整函数 y = [x] [x] 表示不超过 x 的最大整数
y 4 3 2 -4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x
-2 -3 -4
阶梯曲线
(3) 狄利克雷函数
y
若 Z Df , 则称函数 y f [( x)]为 x的复合函数.
y f [( x)]
y yf (u) u u( x) x
因变量
中间变量
自变量
注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
2.复合函数可以由两个以上的函数经过多 次（或多层）复合构成.
-x f (x)
y
y f (x)
f (x)
o
xx
奇函数
（4）函数的周期性:
设函数f ( x)的定义域为D, 如果存在一个不为零的
数l,使得对于任一x D,( x l) D. 且 f ( x l) f ( x) 恒成立. 则称f ( x)为周 期函数, l称为f ( x)的周期.
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.