数列的概念ppt课件
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第一章 数列 §1 数列
1.1 数列的概念
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上 研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示 数.比如他们研究过１，３，６，10,…
13
6
10
由于这些数可以用上图中所示的三角形点阵表示，他 们就将其称为三角形数.
仔细观察,你
能发现这些数
14
9
16
的规律吗?
与该项都有对应关系，见下表.
序号
1
2
3
4
…
n
…
项 a1 a2 a3 a4 … an …
因此数列也可以看作定义域为正整数集N+(或它的 有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时， 该函数对应的一列函数值就是这个数列.
如果数列 an的第n项 an与n之间的函数关系可
以用_一__个__式__子__表示成an f (n) ，那么这个式子就 叫作这个数列的_通__项__公__式__，数列的通项公式就是
cos
n
4
.
解:（1）在通项公式中依次取n =1,2,3,4,5,得到数列
的前a5n项为
1 ，1 ，3 ，2 ，5 ； 32537
（2）在通项公式中依次取n =1,2,3,4,5,得到数列
an的 前5项为 2 ，0， 2 ，1， 2 .
22
2
【变式练习】
根据下面的通项公式，分别写出数列的前5项.
面的对应关系：
序号 1， 2， 3， 4，…，
n,…
项 1， 1， 1， 1 ， ，
35
7
1 ， 2n 1
可以看出，这个数列的每一项的序号n与这一
项 an的对应关系可用如下公式表示：
an
1. 2n 1
这样，只要依次用序号1,2,3，…代替公式中
的n，就可以求出该数列相应的项.
实际上，对任意数列 {an}，其每一项的序号
1，1 ，1 ，1 ，
⑤
357
（6）某人2014年1～12月工资，按月顺序排列为
2 100,2 100,2 100， …，2 100
⑥
思考：由上面几个例子，你是否能归纳出数列的定 义呢？
提示：一般地，按一定次序排列的一列数叫作_数__列_， 数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列一般形式
可以写成_a_1_,_a_2_,_a__3,____, _a_n_,_____ 概念！
②
（3）“人口问题”是我国最大的社会问题之一，对 人口数量的估计和发展趋势的预测是我们制定一系 列相关政策的基础.新中国成立后，我国已进行了五 次全国人口普查，历次全国人口普查公报数据资料 见下表：
年份
1953
1964
1982
1990
2000
人口数/百万
601.93
723.07
1 031.88
1 160.02
(1)an
n n 1
；
(2)an (1)n n .
解:（1）在通项公式中依次取n =1,2,3,4,5,得到数列
3,4,5,6,7,8,9.
①
（2）GDP为国内生产总值.分析各年GDP数据，找出
增长规律，是国家制定国民经济发展计划的重要依
据.根据中华人民共和国2002年国民经济和社会发
展统计公报，我国（1998～2002年)这五年GDP值
（亿元）依次排列如下：
78 345,82 067,89 442,95 933,102 398.
数列的常 见分类
思考：数列与数集是同一概念吗？ 提示：数列与数集是截然不同的两个概念，集合中元 素有三条性质：确定性、互异性和无序性，而数列中 的数是“按一定顺序排列”的.由此可见，如果组成 两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不 同的数列.如数列2，4，6，8，10与数列10,8,6,4,2 是不同的数列，而集合{2,4,6,8,10}与集合 {10,8,6,4,2}是同一集合，也就是说，理解数列的概 念，关键是理解“按一定顺序排列”的含义.
简记为数列 {an}，其中数列的第1项 a1，也称
_首__项__； an 是数列的第n项，也叫数列的_通__项___.
如数列⑤中，首项 a1 1；第10项
第n项（通项）an
1 2n 1
.
a10
1 19
；
像数列①，②，③，⑥这样的项数有限的数 列，称为_有_穷__数__列__；像数列④，⑤这样的项数 无限的数列，称为_无__穷__数__列___.
思考2.根据前几项求数列的通项公式，是不是唯
一？
提示：不一定，根据数列的前几项，不能唯一确定
数列的通项公式，如数列 1,0,1,0的，通项公式可
以为：
an=1，n为奇数, 0，n为偶数,
或者an=|sin
n|.
2
例1.根据下面的通项公式，分别写出数列的前5项.
（1）an
n
n
2
;
(2) an
(1)n
1 295.Байду номын сангаас3
五次普查人口数量（百万）依次排列为： 601.93,723.07,1 031.88,1 160.02,1 295.33 ③
（4）正弦函数y=sin x的图像在y轴左侧所有最 低点从右向左，它们的横坐标依次排成一列数
, 5 , 9 , 13 ,
④
22 2 2
（5）正奇数1,3,5,7，…的倒数排成一列数
相应函数的解析式.
例如，数列①的一个通项公式是
an n 2，n 1,2,3, ,7;
数列④的一个通项公式是
an
(4n
3) 2
(n N ).
【即时训练】
观察以下数列，并写出其通项公式：
an 2n 1
an 2(n 1)
an 3n
思考1.是不是所有的数列都有通项公式？ 提示：不是，数列的通项公式实际是相应的函数 解析式，如果数列的项与项数之间没有固定的关 系，则该数列就没有通项公式,如上面的数列③就 没有通项公式.
类似地，1，4，9，16,…被称为正方形数，因为这 些数能够表示成正方形.
我们今天就来学习有关知识——数列！
1.了解数列、通项公式的概念，能根据通项公式 确定数列的某一项. (重点） 2.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. (难点）
探究点1 数列的概念 请看下面几个例子 （1）一个工厂把所生产的钢管堆成下图的形状. 从最上面的一排起，各排钢管的数量依次是
【即时训练】
1.下面数列是有穷数列的是 ( B )
A.1,0,1,0, C.2,22,222,
B.1, 1 , 1 , 1 234
D.0,0,0,0,
2.以下四个数中，是数列 {n(n 1)}中的一项的是 ( A )
A.380 B.39 C.32 D.23
探究点2 数列的通项概念
在数列⑤中，每一项的序号n与这一项 an有下
1.1 数列的概念
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上 研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示 数.比如他们研究过１，３，６，10,…
13
6
10
由于这些数可以用上图中所示的三角形点阵表示，他 们就将其称为三角形数.
仔细观察,你
能发现这些数
14
9
16
的规律吗?
与该项都有对应关系，见下表.
序号
1
2
3
4
…
n
…
项 a1 a2 a3 a4 … an …
因此数列也可以看作定义域为正整数集N+(或它的 有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时， 该函数对应的一列函数值就是这个数列.
如果数列 an的第n项 an与n之间的函数关系可
以用_一__个__式__子__表示成an f (n) ，那么这个式子就 叫作这个数列的_通__项__公__式__，数列的通项公式就是
cos
n
4
.
解:（1）在通项公式中依次取n =1,2,3,4,5,得到数列
的前a5n项为
1 ，1 ，3 ，2 ，5 ； 32537
（2）在通项公式中依次取n =1,2,3,4,5,得到数列
an的 前5项为 2 ，0， 2 ，1， 2 .
22
2
【变式练习】
根据下面的通项公式，分别写出数列的前5项.
面的对应关系：
序号 1， 2， 3， 4，…，
n,…
项 1， 1， 1， 1 ， ，
35
7
1 ， 2n 1
可以看出，这个数列的每一项的序号n与这一
项 an的对应关系可用如下公式表示：
an
1. 2n 1
这样，只要依次用序号1,2,3，…代替公式中
的n，就可以求出该数列相应的项.
实际上，对任意数列 {an}，其每一项的序号
1，1 ，1 ，1 ，
⑤
357
（6）某人2014年1～12月工资，按月顺序排列为
2 100,2 100,2 100， …，2 100
⑥
思考：由上面几个例子，你是否能归纳出数列的定 义呢？
提示：一般地，按一定次序排列的一列数叫作_数__列_， 数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列一般形式
可以写成_a_1_,_a_2_,_a__3,____, _a_n_,_____ 概念！
②
（3）“人口问题”是我国最大的社会问题之一，对 人口数量的估计和发展趋势的预测是我们制定一系 列相关政策的基础.新中国成立后，我国已进行了五 次全国人口普查，历次全国人口普查公报数据资料 见下表：
年份
1953
1964
1982
1990
2000
人口数/百万
601.93
723.07
1 031.88
1 160.02
(1)an
n n 1
；
(2)an (1)n n .
解:（1）在通项公式中依次取n =1,2,3,4,5,得到数列
3,4,5,6,7,8,9.
①
（2）GDP为国内生产总值.分析各年GDP数据，找出
增长规律，是国家制定国民经济发展计划的重要依
据.根据中华人民共和国2002年国民经济和社会发
展统计公报，我国（1998～2002年)这五年GDP值
（亿元）依次排列如下：
78 345,82 067,89 442,95 933,102 398.
数列的常 见分类
思考：数列与数集是同一概念吗？ 提示：数列与数集是截然不同的两个概念，集合中元 素有三条性质：确定性、互异性和无序性，而数列中 的数是“按一定顺序排列”的.由此可见，如果组成 两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不 同的数列.如数列2，4，6，8，10与数列10,8,6,4,2 是不同的数列，而集合{2,4,6,8,10}与集合 {10,8,6,4,2}是同一集合，也就是说，理解数列的概 念，关键是理解“按一定顺序排列”的含义.
简记为数列 {an}，其中数列的第1项 a1，也称
_首__项__； an 是数列的第n项，也叫数列的_通__项___.
如数列⑤中，首项 a1 1；第10项
第n项（通项）an
1 2n 1
.
a10
1 19
；
像数列①，②，③，⑥这样的项数有限的数 列，称为_有_穷__数__列__；像数列④，⑤这样的项数 无限的数列，称为_无__穷__数__列___.
思考2.根据前几项求数列的通项公式，是不是唯
一？
提示：不一定，根据数列的前几项，不能唯一确定
数列的通项公式，如数列 1,0,1,0的，通项公式可
以为：
an=1，n为奇数, 0，n为偶数,
或者an=|sin
n|.
2
例1.根据下面的通项公式，分别写出数列的前5项.
（1）an
n
n
2
;
(2) an
(1)n
1 295.Байду номын сангаас3
五次普查人口数量（百万）依次排列为： 601.93,723.07,1 031.88,1 160.02,1 295.33 ③
（4）正弦函数y=sin x的图像在y轴左侧所有最 低点从右向左，它们的横坐标依次排成一列数
, 5 , 9 , 13 ,
④
22 2 2
（5）正奇数1,3,5,7，…的倒数排成一列数
相应函数的解析式.
例如，数列①的一个通项公式是
an n 2，n 1,2,3, ,7;
数列④的一个通项公式是
an
(4n
3) 2
(n N ).
【即时训练】
观察以下数列，并写出其通项公式：
an 2n 1
an 2(n 1)
an 3n
思考1.是不是所有的数列都有通项公式？ 提示：不是，数列的通项公式实际是相应的函数 解析式，如果数列的项与项数之间没有固定的关 系，则该数列就没有通项公式,如上面的数列③就 没有通项公式.
类似地，1，4，9，16,…被称为正方形数，因为这 些数能够表示成正方形.
我们今天就来学习有关知识——数列！
1.了解数列、通项公式的概念，能根据通项公式 确定数列的某一项. (重点） 2.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. (难点）
探究点1 数列的概念 请看下面几个例子 （1）一个工厂把所生产的钢管堆成下图的形状. 从最上面的一排起，各排钢管的数量依次是
【即时训练】
1.下面数列是有穷数列的是 ( B )
A.1,0,1,0, C.2,22,222,
B.1, 1 , 1 , 1 234
D.0,0,0,0,
2.以下四个数中，是数列 {n(n 1)}中的一项的是 ( A )
A.380 B.39 C.32 D.23
探究点2 数列的通项概念
在数列⑤中，每一项的序号n与这一项 an有下