南京市高二(上)期末数学试卷(理科)

南京市高二（上）期末数学试卷（理科）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上

1．（5分）命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是．

2．（5分）双曲线=1的渐近线方程是．

3．（5分）已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是．

4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x﹣4y+a=0的距离为1，则实数a的值是．

5．（5分）曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是．6．（5分）已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最大值是．

7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是．

9．（5分）观察下列等式：

（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；

（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；

（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…

照此规律，

（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=．10．（5分）若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是．

11．（5分）已知函数f（x）=（x2+x+m）e x（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则函数f （x）的极小值是．

12．（5分）有下列命题：

①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；

②“a=1”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件；

③“函数f （x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；

④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．

其中所有真命题的序号是．

13．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（﹣2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则椭圆E离心率的取值范围是．

14．（5分）已知t＞0，函数f（x）=，若函数g（x）

=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4）．

（1）求BC边上的中线所在直线的方程；

（2）求BC边上的高所在直线的方程．

16．（14分）已知数列{a n}满足a1=1，（a n﹣3）a n+1﹣a n+4=0（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；

（2）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．

（1）求圆M的方程；

（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．

18．（16分）某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．

（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；

（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．

19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D 两点，其中点C在x轴上方．

（1）求椭圆E的方程；

（2）若BC⊥CD，求k的值；

（3）记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．

20．（16分）已知函数f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．

（1）当a=1时，求f（x）的最小值；

（2）若存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，求a的取值范围．

2016-2017学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上

1．（5分）命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是若|a|≠|b|，则a≠b．

【解答】解：命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是命题“若|a|≠|b|，则a≠b”，

故答案为：“若|a|≠|b|，则a≠b”

2．（5分）双曲线=1的渐近线方程是y=±2x．

【解答】解：∵双曲线标准方程为=1，

其渐近线方程是=0，

整理得y=±2x．

故答案为y=±2x．

3．（5分）已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是2．

【解答】解：==，

∵复数为纯虚数，

∴，

解得a=2．

故答案为：2．

4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x﹣4y+a=0的距离为1，则实数a的值是±5．

【解答】解：由题意，=1，

∴a=±5．

故答案为±5．

5．（5分）曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是﹣3．【解答】解：设直线与曲线的切点为P（m，n）

则有：⇒，化简求：m=1，b=n﹣4；

又因为点P满足曲线y=x4，所以：n=1；

则：b=n﹣4=﹣3；

故答案为：﹣3．

6．（5分）已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最大值