南京市高二(上)期末数学试卷(理科)
江苏省2024届高二上数学期末统考试题含解析
江苏省2024届高二上数学期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，半焦距为c ，过点2F 作一条渐近线的垂线，垂足为P ，若12PF F △的面积为22c ，则该双曲线的离心率为（）A.3B.2D.2．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的平均数分别为A x 和B x ，标准差分别为A S 和B S ，则（）A .A B A B x x S S >>B.,A B A Bx x S S <>C.A B A Bx x S S ><D.,A B A Bx x S S <<3．变量x ，y 满足约束条件10,1,1,x y y x -+⎧⎪⎨⎪-⎩则65z x y =+的最小值为()A.6- B.8-C.1- D.54．函数()210x y x x+=>的值域为（）A.[1,)+∞ B.(1,)+∞C.[2,)+∞ D.(2,)+∞5．已知等差数列{}n a 的公差0d <，若3721a a =，2810a a +=，则该数列的前n 项和n S 的最大值为（）A.30B.35C.40D.456．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（）A.120B.84C.56D.287．设x ∈R ，则x <3是0<x <3的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8．某一电子集成块有三个元件a ，b ，c 并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能正常工作的概率均为45，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为（）A.1231 B.48125C.1625 D.161259．已知O 为坐标原点，(1,2,2),(2,1,4),(1,1,4)OA OB OC =-=-= ，点P 是OC 上一点，则当PA PB ⋅ 取得最小值时，点P 的坐标为（）A.114,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.11,,222⎛⎫ ⎪⎝⎭C.11,,144⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.()2,2,810．下列事件：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②某人买彩票中奖；③从集合{1,2,3}中任取两个不同元素，它们的和大于2；④在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾.其中是随机事件的个数是（）A.1B.2C.3D.411．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是A.1a b +＞ B.1a b -＞C.22a b ＞ D.33a b ＞12．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，1OO ，2OO ，3OO ，4OO 分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，16α≈o ，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为（）A.0B.1C.2D.3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
南京市高二(上)期末数学试卷(解析版)(理科)
高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．抛物线y2=4x的焦点坐标为．2．命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是．3．双曲线﹣=1的渐近线方程是．4．“x＞1”是“x2＞1”的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）5．过点（1，1）且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程为．6．函数f（x）=xe x的最小值是．7．两直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0，若l1⊥l2，则a=．8．过点（2，1）且与点（1，3）距离最大的直线方程是．9．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是．10．过点A（0，2）且与圆（x+3）2+（y+3）2=18切于原点的圆的方程是．11．底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为．12．已知函数f（x）满足f（1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞1，则f（x）＞x的解集是．13．如图，过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A作直线交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且=2，则椭圆的离心率是．14．已知函数f（x）=，若函数y=f（f（x）﹣2a）有两个零点，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（14分）命题p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数，命题q：方程+=1表示双曲线．（1）当a=1时，判断命题p的真假，并说明理由；（2）若命题“p且q“为真命题，求实数a的取值范围．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，F为A1B1的中点．求证：（1）B1C∥平面FAC1；（2）平面FAC1⊥平面ABB1A1．17．（14分）如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）．（1）设BC为xcm，AB为ycm，请写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的坐标为A（﹣1，2），B （1，4），C（3，2）．（1）求△ABC外接圆E的方程；（2）若直线l经过点（0，4），且与圆E相交所得的弦长为2，求直线l的方程；（3）在圆E上是否存在点P，满足PB2﹣2PA2=12，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（1，），椭圆上顶点为A，过点A作圆（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的两条切线分别与椭圆E相交于点B，C（不同于点A），设直线AB，AC的斜率分别为k AB，K AC．（1）求椭圆的标准方程；（2）求k AB•k AC的值；（3）试问直线BC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=lnx+ax，g（x）=ax2+2x，其中a为实数，e为自然对数的底数．（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数y=f（x）的极大值为﹣2，求实数a的值；（3）若a＜0，且对任意的x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）【点评】本题主要考查抛物线的焦点坐标．属基础题．2．命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0；故答案为：∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．3．双曲线﹣=1的渐近线方程是y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】把曲线的方程化为标准方程，求出a和b的值，再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程．【解答】解：双曲线，∴a=2，b=3，焦点在x轴上，故渐近线方程为y=±x=±x，故答案为y=±．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，本题的关键是求出a、b的值，要注意双曲线在x轴还是y轴上，是基础题．4．“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由x2＞1得x＞1或x＜﹣1．∴“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用向量相等的定义是解决本题的关键．5．过点（1，1）且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程为2x﹣y﹣1=0．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线的平行关系可设要求直线方程为2x﹣y+c=0，代点求c值可得．【解答】解：由直线的平行关系可设要求直线方程为2x﹣y+c=0，由直线过点（1，1）可得2×1﹣1+c=0，解得c=﹣1，∴所求直线方程为2x﹣y﹣1=0，故答案为：2x﹣y﹣1=0．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．6．函数f（x）=xe x的最小值是﹣．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数的最小值．【解答】解：求导函数，可得y′=e x+xe x，令y′=0可得x=﹣1令y′＞0，可得x＞﹣1，令y′＜0，可得x＜﹣1∴函数在（﹣∞，﹣1）上单调减，在（﹣1，+∞）上单调增∴x=﹣1时，函数y=xe x取得最小值，最小值是﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，属于基础题．7．两直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0，若l1⊥l2，则a=．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用直线相互垂直与斜率的关系即可得出．【解答】解：当a=0或a=1时，不满足条件，舍去．两条直线的斜率分别为：，．∴l1⊥l2，∴k1k2==﹣1，解得a=．故答案为：．【点评】本题考查了直线相互垂直的充要条件，属于基础题．8．过点（2，1）且与点（1，3）距离最大的直线方程是x﹣2y=0．【考点】确定直线位置的几何要素．【分析】过点A（2，1）且与点B（1，3）距离最大的直线l满足：l⊥AB．则k l•k AB=﹣1，即可得出．【解答】解：过点A（2，1）且与点B（1，3）距离最大的直线l满足：l⊥AB．∴k l•k AB=﹣1，∴k l=．∴直线l的方程为：y﹣1=（x﹣2），化为x﹣2y=0．故答案为：x﹣2y=0．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆知，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形．【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，∴圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，则圆锥的高h=2×sin60°=．【点评】考查了学生的空间想象力．10．过点A（0，2）且与圆（x+3）2+（y+3）2=18切于原点的圆的方程是（x ﹣1）2+（y﹣1）2 =2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设所求的圆的圆心为M，可得M、O、C共线，故圆心M在直线y=x上，设所求的圆的圆心为M（a，a），又所求的圆过点A（0，2），可得圆心M还在直线y=1上，故M（1，1），求得半径AM的值，可得要求的圆的方程．【解答】解：圆C：（x+3）2+（y+3）2=18的圆心C（﹣3，﹣3）．根据两圆相切于原点，设所求的圆的圆心为M，可得M、O、C共线，故圆心M在直线y=x上，设所求的圆的圆心为M（a，a），又所求的圆过点A（0，2），故圆心M还在直线y=1上，故M（1，1），半径为AM=，故要求的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2 =2，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2 =2．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，两圆相切的性质，属于中档题．11．底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】作出棱锥的高，则顶点在底面的射影为底面中心，利用正方形的性质可求出底面中心到底面顶点的距离，借助勾股定理求出棱锥的高，代入体积公式计算．【解答】解：取底面中心O，过O作OE⊥AB，垂足为E，连接SO，AO，∵四棱锥S﹣ABCD为正四棱锥，∴SO⊥平面ABCD，∵AO⊂平面ABCD，∴SO⊥AO．∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴AE=AB=1，∠OAE=∠BAD=45°，∴OE=AE=1，∵OE2+AE2=AO2，∴AO=，∵SA=，∴SO==1．V=•S ABCD•SO=•22•1=．故答案为．【点评】本题考查了正三棱锥的结构特征和体积计算，属于基础题．12．已知函数f（x）满足f（1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞1，则f（x）＞x的解集是（1，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】题目给出的函数f（x）为抽象函数，没法代式求解不等式f（x）＞x，结合题目给出了对任意x∈R，f′（x）＞1这一条件，想到借助于辅助函数解决，令令g（x）=f（x）﹣x，然后分析g（x）在实数集上的单调性，又f（1）=1，可求出g（1）=0，最后用g（x）与0的关系求解不等式f（x）＞x的解集．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x，则，g′（x）=f′（x）﹣1，∵f′（x）＞1，∴g′（x）＞0，所以函数g（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，又g（1）=f（1）﹣1=0，则由g（x）＞0，得g（x）＞g（1），即x＞1，∴f（x）﹣x＞0的解集为（1，+∞），也就是f（x）＞x的解集为（1，+∞）故答案为：（1，+∞）．【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，解答此题的关键是引入辅助函数g（x）．13．如图，过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A作直线交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且=2，则椭圆的离心率是．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用等腰三角形的性质和向量相等运算即可得出点Q的坐标，再代入椭圆方程即可．【解答】解：∵△AOP是等腰三角形，A（﹣a，0）∴P（0，a）．设Q（x0，y0），∵=2，∴（x0，y0﹣a）=2（﹣a﹣x0，﹣y0）．∴，解得．代入椭圆方程得+=1，化为=．∴e===．故答案：【点评】熟练掌握等腰三角形的性质和向量相等运算、“代点法”等是解题的关键．14．已知函数f（x）=，若函数y=f（f（x）﹣2a）有两个零点，则实数a的取值范围是∅．【考点】函数零点的判定定理．【分析】画出函数图象，令f（f（x）﹣2a）=0⇒f（x）﹣2a=﹣2或f（x）﹣2a=1，⇒f（x）=2a﹣2或f（x）=2a+1，由函数函数f（x）=的值域为R，可得f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1都至少有一个零点，要使函数y=f（f（x）﹣2a）有两个零点，必满足f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1各有一个零点．【解答】解：函数y=的定义域是（0，+∞），令y′＞0，解得：0＜x＜e，令y′＜0，解得：x＞e，故函数y=在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，故x=e时，函数y=取得最大值，最大值是，函数y=x2﹣4（x≤0）是抛物线的一部分．∴函数f（x）=的图象如下：令y=f（f（x）﹣2a）=0⇒f（x）﹣2a=﹣2或f（x）﹣2a=1，⇒f（x）=2a﹣2或f （x）=2a+1，∵函数函数f（x）=的值域为R，∴f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1都至少有一个零点，函数y=f（f（x）﹣2a）有两个零点，则必满足f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1各有一个零点．∵2a+1＞2a﹣3，∴2a﹣2＜﹣4且2a+1＞⇒a∈∅，故答案为∅【点评】本题考查了利用数形结合的思想求解函数的零点问题，同时也考查了函数的单调性及分类讨论思想，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（14分）（2016秋•淮安期末）命题p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数，命题q：方程+=1表示双曲线．（1）当a=1时，判断命题p的真假，并说明理由；（2）若命题“p且q“为真命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）若命题p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数为真命题，则f′（x）=3x2+2ax+a≥0恒成立，解出a的范围，可判断命题p的真假；（2）若命题“p且q“为真命题，则命题p，命题q均为真命题，进而可得实数a 的取值范围．【解答】解：（1）若命题p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数为真命题，则f′（x）=3x2+2ax+a≥0恒成立，故△=4a2﹣12a≤0，解得：a∈[0，3]，故当a=1时，命题p为真命题；（2）若命题q：方程+=1表示双曲线为真命题，则（a+2）（a﹣2）＜0．解得：a∈（﹣2，2），若命题“p且q“为真命题，则命题p，命题q均为真命题，故a∈[0，2）．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，导数法研究函数的单调性，双曲线的标准方程等知识点，难度中档．16．（14分）（2016秋•淮安期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，F为A1B1的中点．求证：（1）B1C∥平面FAC1；（2）平面FAC1⊥平面ABB1A1．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）如图所示取AB的中点E，连接CE，EB1，可得面B1CE∥平面FAC1，即B1C∥平面FAC1（2）只需证明C1F⊥面AA1C1B1B，即可得平面FAC1⊥平面ABB1A1．【解答】解：（1）证明：如图所示取AB的中点E，连接CE，EB1，∵F为A1B1的中点，∴C1F∥CE，AF∥B1E，且C1F∩AF=F，CE∩B1E=E，∴面B1CE∥平面FAC1，∵B1C⊂B1CE，∴B1C∥平面FAC1（2）证明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥面A1C1B1，∵C1F⊂面A1C1B1，∴A1A ⊥C1F，∵AC=BC，F为A1B1的中点，∴A1B1⊥C1F，且AA1∩A1B1，∴C1F⊥面AA1C1B1B，C1F⊂面A1C1B1，∴平面FAC1⊥平面ABB1A1．【点评】本题考查了线面平行、面面垂直的判定，关键是空间位置关系的判定与性质的应用，属于中档题．17．（14分）（2016秋•淮安期末）如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）．（1）设BC为xcm，AB为ycm，请写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】（1）设BC=x，求出AB，写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；（2）用x表示出圆柱的底面半径，得出体积V（x）关于x的函数，判断V（x）的单调性，得出V（x）的最大值．【解答】解：（1）连接OC，设BC=x，则y=2，（其中0＜x＜30），（2）设圆柱底面半径为r，高为x，则AB=2=2πr，解得r=，∴V=πr2h=（900x﹣x3），（其中0＜x＜30）；∴V′=（900﹣3x2），令V′（x）=0，得x=10；因此V（x）=（900x﹣x3）在（0，10）上是增函数，在（10，30）上是减函数；∴当x=10时，V（x）取得最大值V（10）=，∴取BC=10cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为cm3．【点评】本题考查了圆柱的结构特征，圆柱与体积计算，用函数单调性求函数最值，属于中档题．18．（16分）（2016秋•淮安期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的坐标为A（﹣1，2），B（1，4），C（3，2）．（1）求△ABC外接圆E的方程；（2）若直线l经过点（0，4），且与圆E相交所得的弦长为2，求直线l的方程；（3）在圆E上是否存在点P，满足PB2﹣2PA2=12，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用待定系数法求△ABC外接圆E的方程；（2）分类讨论，利用韦达定理，结合弦长公式，求直线l的方程；（3）求出P的轨迹方程，与圆E联立，即可得出结论．【解答】解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得D=﹣2，E=﹣4，F=1，∴△ABC外接圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+1=0．（2）当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程为x=0，联立，得或，弦长为2，满足题意．当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y﹣4=kx，即t=kx+4，联立，得（1+k2）x﹣（2k﹣2）x﹣2=0，△=[﹣（2k﹣2）]2+8（1+k2）=12k2+8k+12＞0，设直线l与圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），则，，∵弦长为2，∴=2，解得k=1，∴直线l的方程为x﹣y+4=0．∴直线l的方程为x=0，或x﹣y+4=0．（3）设P（x，y），∵PB2﹣2PA2=12，A（﹣1，2），B（1，4），∴（x﹣1）2+（y﹣4）2﹣2（x+1）2﹣2（y﹣2）2=12，即x2+y2+6x+16y+5=0．与x2+y2﹣2x﹣4y+1=0相减可得2x+5y+1=0，与x2+y2﹣2x﹣4y+1=0联立可得29y2+14y+9=0，方程无解，∴圆E上不存在点P，满足PB2﹣2PA2=12．【点评】本题考查圆的方程，考查轨迹方程，考查直线与圆、圆与圆的位置关系，属于中档题．19．（16分）（2016秋•淮安期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（1，），椭圆上顶点为A，过点A作圆（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的两条切线分别与椭圆E相交于点B，C（不同于点A），设直线AB，AC的斜率分别为k AB，K AC．（1）求椭圆的标准方程；（2）求k AB•k AC的值；（3）试问直线BC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得：2c=2，=1，又a2=b2+c2，联立解得求出椭圆的方程．（2）设切线方程为y=kx+1，则（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2=0，设两切线AB，AD的斜率为k1，k2（k1≠k2），k1•k2=1，由切线方程与椭圆方程联立得：（1+4k2）x2+8kx=0，由此能求出直线BD方程，进而得到直线．（3）设B（x1，y1），C（x2，y2），k AB=k1，k AC=k2．设经过点A所作的圆的切线方程为：y=kx+1．与椭圆方程联立可得：（1+4k2）x2+8kx=0，解得x=0，x=，可得：x B，x C．y B，y C，k BC=．可得直线BC的方程，即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：2c=2，=1，又a2=b2+c2，联立解得c=，a=2，b=1．∴椭圆的标准方程为=1．（2）A（0，1），设经过点A的圆（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的切线方程为：y=kx+1．则=r，化为：（r2﹣1）k2+2k+r2﹣1=0，则k AB•k AC==1．（3）设B（x1，y1），C（x2，y2），k AB=k1，k AC=k2．设经过点A的圆（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的切线方程为：y=kx+1．联立，化为：（1+4k2）x2+8kx=0，解得x=0，x=，∴x B=，x C==．y B=，y C=．∴k BC==．∴直线BC的方程为：y﹣=，令x=0，可得：y=．∴直线BC经过定点．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的切线方程、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（16分）（2016秋•淮安期末）已知函数f（x）=lnx+ax，g（x）=ax2+2x，其中a为实数，e为自然对数的底数．（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数y=f（x）的极大值为﹣2，求实数a的值；（3）若a＜0，且对任意的x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），从而求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的极大值，从而求出a的值即可；（3）即a≥，设g（x）=，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=lnx+x，f′（x）=1+，f（1）=1，f′（1）=2，故切线方程是：y﹣1=2（x﹣1），即：2x﹣y﹣1=0；（2）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=+a=，a≥0时，f（x）在（0，+∞）递增，无极值，a＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＜﹣，令f′（x）＜0，解得：x＞﹣，故f（x）在（0，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减，故f（x）的极大值是f（﹣）=ln（﹣）﹣1，若函数y=f（x）的极大值为﹣2，则ln（﹣）﹣1=﹣2，解得：a=﹣e；（3）若a＜0，且对任意的x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，即x∈[1，e]时，ax2﹣lnx﹣（a﹣2）x≥0恒成立．即a≥，设g（x）=，则g′（x）=，当x＞1时，g′（x）＞0，∴g（x）在区间（1，+∞）上递增，∴当x∈[1，e]时，g（x）≤g（e）=，∴a＜0，且对任意的．x∈[1，e]，f（x）≥（a﹣2）x恒成立，∴实数a的取值范围为[，0）．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值以及由函数恒成立的问题求参数的取值范围，求解本题关键是记忆好求导的公式以及极值的定义，对于函数的恒成立的问题求参数，要注意正确转化，恰当的转化可以大大降低解题难度．。
2021-2022学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(理科)
2021-2021学年江苏省南京市高二〔上〕期末数学试卷〔理科〕一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．〔5分〕命题“假设a=b，那么|a|=|b|〞的逆否命题是．2．〔5分〕双曲线=1的渐近线方程是．3．〔5分〕复数为纯虚数，其中i是虚数单位，那么实数a的值是．4．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，点〔4，3〕到直线3x﹣4y+a=0的间隔为1，那么实数a的值是．5．〔5分〕曲线y=x4与直线y=4x+b相切，那么实数b的值是．6．〔5分〕实数x，y满足条件那么z=2x+y的最大值是．7．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，那么点P的横坐标是．8．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2〔r＞0〕与圆M：〔x﹣3〕2+〔y+4〕2=4相交，那么r的取值范围是．9．〔5分〕观察以下等式：〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2=×1×2；〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+sin〔〕﹣2=×2×3；〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+…+sin〔〕﹣2=×3×4；〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+…+sin〔〕﹣2=×4×5；…照此规律，〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+…+〔sin〕﹣2=．10．〔5分〕假设“∃x∈R，x2+ax+a=0〞是真命题，那么实数a的取值范围是．11．〔5分〕函数f〔x〕=〔x2+x+m〕e x〔其中m∈R，e为自然对数的底数〕．假设在x=﹣3处函数f 〔x〕有极大值，那么函数f 〔x〕的极小值是．12．〔5分〕有以下命题：①“m＞0〞是“方程x2+my2=1表示椭圆〞的充要条件；②“a=1〞是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行〞的充分不必要条件；③“函数f 〔x〕=x3+mx单调递增〞是“m＞0〞的充要条件；④p，q是两个不等价命题，那么“p或q是真命题〞是“p且q是真命题〞的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是．13．〔5分〕椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的焦距为2c〔c＞0〕，左焦点为F，点M的坐标为〔﹣2c，0〕．假设椭圆E上存在点P，使得PM=PF，那么椭圆E 离心率的取值范围是．14．〔5分〕t＞0，函数f〔x〕=，假设函数g〔x〕=f〔f〔x〕﹣1〕恰有6个不同的零点，那么实数t的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔14分〕在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标为A〔7，8〕，B〔10，4〕，C〔2，﹣4〕．〔1〕求BC边上的中线所在直线的方程；〔2〕求BC边上的高所在直线的方程．16．〔14分〕数列{a n}满足a1=1，〔a n﹣3〕a n+1﹣a n+4=0〔n∈N*〕．〔1〕求a2，a3，a4；〔2〕猜测{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17．〔14分〕在平面直角坐标系xOy中，圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M 与直线x+y﹣1=0相切于点P〔2，﹣1〕．〔1〕求圆M的方程；〔2〕过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．18．〔16分〕某休闲广场中央有一个半径为1〔百米〕的圆形花坛，现方案在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形〔梯形ABCF和梯形DEFC〕构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径〔如图〕．设∠AOF=θ，其中O为圆心．〔1〕把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f〔θ〕；〔2〕当θ为何值时，可使得六边形区域面积到达最大？并求最大面积．19．〔16分〕在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的离心率为，两个顶点分别为A〔﹣a，0〕，B〔a，0〕，点M〔﹣1，0〕，且3=，过点M斜率为k〔k≠0〕的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．〔1〕求椭圆E的方程；〔2〕假设BC⊥CD，求k的值；〔3〕记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．20．〔16分〕函数f〔x〕=ax﹣lnx〔a∈R〕．〔1〕当a=1时，求f〔x〕的最小值；〔2〕假设存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；〔3〕假设对任意的x∈[1，+∞〕，有f〔x〕≥f〔〕成立，求a的取值范围．2021-2021学年江苏省南京市高二〔上〕期末数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．〔5分〕命题“假设a=b，那么|a|=|b|〞的逆否命题是假设|a|≠|b|，那么a≠b．【解答】解：命题“假设a=b，那么|a|=|b|〞的逆否命题是命题“假设|a|≠|b|，那么a≠b〞，故答案为：“假设|a|≠|b|，那么a≠b〞2．〔5分〕双曲线=1的渐近线方程是y=±2x．【解答】解：∵双曲线标准方程为=1，其渐近线方程是=0，整理得y=±2x．故答案为y=±2x．3．〔5分〕复数为纯虚数，其中i是虚数单位，那么实数a的值是2．【解答】解：==，∵复数为纯虚数，∴，解得a=2．故答案为：2．4．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，点〔4，3〕到直线3x﹣4y+a=0的间隔为1，那么实数a的值是±5．【解答】解：由题意，=1，∴a=±5．故答案为±5．5．〔5分〕曲线y=x4与直线y=4x+b相切，那么实数b的值是﹣3．【解答】解：设直线与曲线的切点为P〔m，n〕那么有：⇒，化简求：m=1，b=n﹣4；又因为点P满足曲线y=x4，所以：n=1；那么：b=n﹣4=﹣3；故答案为：﹣3．6．〔5分〕实数x，y满足条件那么z=2x+y的最大值是9．【解答】解：实数x，y满足条件作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，那么当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由可得A〔3，3〕．此时z=9，故答案为：9．7．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，那么点P的横坐标是4．【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的间隔与到准线的间隔是相等的，∴|PF|=x+1=5，∴x=4，故答案为：48．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2〔r＞0〕与圆M：〔x﹣3〕2+〔y+4〕2=4相交，那么r的取值范围是3＜r＜7．【解答】解：由题意，圆心距为5，∴|r﹣2|＜5＜r+2，∴3＜r＜7．故答案为3＜r＜7．9．〔5分〕观察以下等式：〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2=×1×2；〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+sin〔〕﹣2=×2×3；〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+…+sin〔〕﹣2=×3×4；〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+…+sin〔〕﹣2=×4×5；…照此规律，〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+…+〔sin〕﹣2=n〔n+1〕．【解答】解：观察以下等式：〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2=×1×2；〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+sin〔〕﹣2=×2×3；〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+…+sin〔〕﹣2=×3×4；〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+…+sin〔〕﹣2=×4×5；…照此规律〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+…+〔sin〕﹣2=×n 〔n+1〕，故答案为：n〔n+1〕10．〔5分〕假设“∃x∈R，x2+ax+a=0〞是真命题，那么实数a的取值范围是〔﹣∞，0]∪[4，+∞〕．【解答】解：假设“∃x∈R，x2+ax+a=0〞是真命题，那么△=a2﹣4a≥0，解得：a∈〔﹣∞，0]∪[4，+∞〕，故答案为：〔﹣∞，0]∪[4，+∞〕11．〔5分〕函数f〔x〕=〔x2+x+m〕e x〔其中m∈R，e为自然对数的底数〕．假设在x=﹣3处函数f 〔x〕有极大值，那么函数f 〔x〕的极小值是﹣1．【解答】解：f〔x〕=〔x2+x+m〕e x，f′〔x〕=〔x2+3x+m+1〕e x，假设f〔x〕在x=﹣3处函数f 〔x〕有极大值，那么f′〔﹣3〕=0，解得：m=﹣1，故f〔x〕=〔x2+x﹣1〕e x，f′〔x〕=〔x2+3x〕e x，令f′〔x〕＞0，解得：x＞0，令f′〔x〕＜0，解得：x＜﹣3，故f〔x〕在〔﹣∞，﹣3〕递增，在〔﹣3，0〕递减，在〔0，+∞〕递增，故f〔x〕=f〔0〕=﹣1，极小值故答案为：﹣1．12．〔5分〕有以下命题：①“m＞0〞是“方程x2+my2=1表示椭圆〞的充要条件；②“a=1〞是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行〞的充分不必要条件；③“函数f 〔x〕=x3+mx单调递增〞是“m＞0〞的充要条件；④p，q是两个不等价命题，那么“p或q是真命题〞是“p且q是真命题〞的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是②④．【解答】解：对于①，当m=1时，方程x2+my2=1表示圆，故错；对于②，∵a=±1时，直线l1与直线l2都平行，故正确；对于③，假设函数f 〔x〕=x3+mx单调递增⇒m≥0，故错；对于④，p或q是真命题⇒p且q不一定是真命题；⇒p且q是真命题⇒p或q 一定是真命题，故正确；故答案为：②④13．〔5分〕椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的焦距为2c〔c＞0〕，左焦点为F，点M的坐标为〔﹣2c，0〕．假设椭圆E上存在点P，使得PM=PF，那么椭圆E 离心率的取值范围是[] ．【解答】解：设P〔x，y〕，由PM=PF⇒PM2=2PF2⇒〔x+2c〕2+y2=2〔x+c〕2+2y2⇒x2+y2=2c2，椭圆E上存在点P，使得PM=PF，那么圆x2+y2=2c2与椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕有公共点，∴b≤≤a⇒⇒．故答案为：[]14．〔5分〕t＞0，函数f〔x〕=，假设函数g〔x〕=f〔f〔x〕﹣1〕恰有6个不同的零点，那么实数t的取值范围是〔3，4〕．【解答】解：∵函数f〔x〕=，∴函数f′〔x〕=，当x＜，或x＜t时，f′〔x〕＞0，函数为增函数，当＜x＜t时，f′〔x〕＜0，函数为减函数，故当x=时，函数f〔x〕取极大值，函数f〔x〕有两个零点0和t，假设函数g〔x〕=f〔f〔x〕﹣1〕恰有6个不同的零点，那么方程f〔x〕﹣1=0和f〔x〕﹣1=t各有三个解，即函数f〔x〕的图象与y=1和y=t+1各有三个零点，由y|x=t==，故，=〔t﹣3〕〔2t+3〕2＞0得：t＞3，故不等式的解集为：t∈〔3，4〕，故答案为：〔3，4〕二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔14分〕在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标为A〔7，8〕，B〔10，4〕，C〔2，﹣4〕．〔1〕求BC边上的中线所在直线的方程；〔2〕求BC边上的高所在直线的方程．【解答】解：〔1〕由B〔10，4〕，C〔2，﹣4〕，得BC中点D的坐标为〔6，0〕，…〔2分〕所以AD的斜率为k==8，…〔5分〕所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y﹣0=8〔x﹣6〕，即8x﹣y﹣48=0．…〔7分〕〔2〕由B〔10，4〕，C〔2，﹣4〕，得BC所在直线的斜率为k==1，…〔9分〕所以BC边上的高所在直线的斜率为﹣1，…〔12分〕所以BC边上的高所在直线的方程为y﹣8=﹣1〔x﹣7〕，即x+y﹣15=0．…〔14分〕16．〔14分〕数列{a n}满足a1=1，〔a n﹣3〕a n+1﹣a n+4=0〔n∈N*〕．〔1〕求a2，a3，a4；〔2〕猜测{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【解答】解：〔1〕令n=1，﹣2a2+3=0，a2=，令n=2，﹣a3﹣+4=0，a3=，令n=3，﹣a4﹣+4=0，a4=．〔2〕猜测a n=〔n∈N*〕．证明：当n=1时，a1=1=，所以a n=成立，假设当n=k时，a n=成立，即a k=，那么〔a k﹣3〕a k+1﹣a k+4=0，即〔﹣3〕a k+1﹣+4=0，所以a k=，即a k+1==，+1所以当n=k+1时，结论a n=成立．综上，对任意的n∈N*，a n=成立．17．〔14分〕在平面直角坐标系xOy中，圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P〔2，﹣1〕．〔1〕求圆M的方程；〔2〕过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．【解答】解：〔1〕过点〔2，﹣1〕且与直线x+y﹣1=0垂直的直线方程为x﹣y﹣3=0，…〔2分〕由解得，所以圆心M的坐标为〔1，﹣2〕，…〔4分〕所以圆M的半径为r=，…〔6分〕所以圆M的方程为〔x﹣1〕2+〔y+2〕2=2．…〔7分〕〔2〕因为直线l被圆M截得的弦长为，所以圆心M到直线l的间隔为d==，…〔9分〕假设直线l的斜率不存在，那么l为x=0，此时，圆心M到l的间隔为1，不符合题意．假设直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx，即kx﹣y=0，由d==，…〔11分〕整理得k2+8k+7=0，解得k=﹣1或﹣7，…〔13分〕所以直线l的方程为x+y=0或7x+y=0．…〔14分〕18．〔16分〕某休闲广场中央有一个半径为1〔百米〕的圆形花坛，现方案在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形〔梯形ABCF 和梯形DEFC〕构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径〔如图〕．设∠AOF=θ，其中O为圆心．〔1〕把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f〔θ〕；〔2〕当θ为何值时，可使得六边形区域面积到达最大？并求最大面积．【解答】〔此题总分值16分〕解：〔1〕作AH⊥CF于H，那么OH=cosθ，AB=2OH=2cosθ，AH=sinθ，…〔2分〕那么六边形的面积为f 〔θ〕=2×〔AB+CF〕×AH=〔2cosθ+2〕sinθ=2〔cosθ+1〕sinθ，θ∈〔0，〕．…〔6分〕〔2〕f′〔θ〕=2[﹣sinθsinθ+〔cosθ+1〕cosθ]=2〔2cos2θ+cosθ﹣1〕=2〔2cosθ﹣1〕〔cosθ+1〕．…〔10分〕令f′〔θ〕=0，因为θ∈〔0，〕，所以cosθ=，即θ=，…〔12分〕当θ∈〔0，〕时，f′〔θ〕＞0，所以f 〔θ〕在〔0，〕上单调递增；当θ∈〔，〕时，f′〔θ〕＜0，所以f 〔θ〕在〔，〕上单调递减，…〔14分〕所以当θ=时，f 〔θ〕取最大值f 〔〕=2〔cos+1〕sin=．…〔15分〕答：当θ=时，可使得六边形区域面积到达最大，最大面积为平方百米．…〔16分〕19．〔16分〕在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的离心率为，两个顶点分别为A〔﹣a，0〕，B〔a，0〕，点M〔﹣1，0〕，且3=，过点M斜率为k〔k≠0〕的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．〔1〕求椭圆E的方程；〔2〕假设BC⊥CD，求k的值；〔3〕记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．【解答】解：〔1〕因为3=，所以3〔﹣1+a，0〕=〔a+1，0〕，解得a=2．…〔2分〕又因为=，所以c=，所以b2=a2﹣c2=1，所以椭圆E的方程为+y2=1．…〔4分〕〔2〕设点C的坐标为〔x0，y0〕，y0＞0，那么=〔﹣1﹣x0，﹣y0〕，=〔2﹣x0，﹣y0〕．因为BC⊥CD，所以〔﹣1﹣x0〕〔2﹣x0〕+y02=0．①…〔6分〕又因为+y02=1，②联立①②，解得x0=﹣，y0=，…〔8分〕所以k==2．…〔10分〕〔3〕，设C〔x0，y0〕，那么CD：y=〔x+1〕〔﹣2＜x0＜2且x0≠﹣1〕，由消去y，得x2+8y02x+4y02﹣4〔x0+1〕2=0．…〔12分〕又因为+y02=1，所以得D〔，〕，…〔14分〕所以===3，所以为定值．…〔16分〕20．〔16分〕函数f〔x〕=ax﹣lnx〔a∈R〕．〔1〕当a=1时，求f〔x〕的最小值；〔2〕假设存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；〔3〕假设对任意的x∈[1，+∞〕，有f〔x〕≥f〔〕成立，求a的取值范围．【解答】解：〔1〕f〔x〕=x﹣lnx〔x＞0〕的导数为f′〔x〕=1﹣=，当x＞1时，f′〔x〕＞0，f〔x〕递增；当0＜x＜1时，f′〔x〕＞0，f〔x〕递减．即有f〔x〕在x=1处获得极小值，也为最小值，且为1；〔2〕存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，即为=2﹣lnx，即有a=，设g〔x〕=，x∈[1，3]，那么g′〔x〕=〔1﹣lnx〕〔1+〕，当1＜x＜e时，g′〔x〕＞0，g〔x〕递增；当e＜x＜3时，g′〔x〕＜0，g〔x〕递减．那么g〔x〕在x=e处获得极大值，且为最大值e+；g〔1〕=2，g〔3〕=3〔2﹣ln3〕+＞2，那么a的取值范围是[2，e+]；〔3〕假设对任意的x∈[1，+∞〕，有f〔x〕≥f〔〕成立，即为ax﹣lnx≥﹣ln，即有a〔x﹣〕≥2lnx，x≥1，令F〔x〕=a〔x﹣〕﹣2lnx，x≥1，F′〔x〕=a〔1+〕﹣，当x=1时，原不等式显然成立；当x＞1时，由题意可得F′〔x〕≥0在〔1，+∞〕恒成立，即有a〔1+〕﹣≥0，即a≥，由=＜=1，那么a≥1．综上可得a的取值范围是[1，+∞〕．。
2016-2017学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(理科)
2016-2017学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(理科)1.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请将答案填写在答题卡相应位置上。
1.(5分) 命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆命题是“若|a|≠|b|，则a≠b”。
2.(5分) 双曲线的离心率大于1.3.(5分) 已知复数z=1的渐近线方程是y=x。
4.(5分) 在平面直角坐标系xOy中，点(4,3)到直线3x-4y+a=0的距离为1，则实数a的值是-5.5.(5分) 曲线y=x^4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是4.6.(5分) 已知实数x，y满足条件x+y=1，则z=2x+y的最大值是2.7.(5分) 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y^2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是9.8.(5分) 在平面直角坐标系xOy中，圆O：x^2+y^2=r^2（r>0）与圆M：(x-3)^2+(y+4)^2=4相交，则r的取值范围是1<r<3.9.(5分) 观察下列等式：sin^(-2)+sin^(-2)+sin^(-2)+。
+sin^(-2)=n(n+1)/2照此规律。
sin^(-2)+sin^(-2)+sin^(-2)+sin^(-2)+sin^(-2)+。
=110.(5分) 若“∃x∈R，x^2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是a≤0.11.(5分) 已知函数f(x)=(x^2+x+m)ex（其中m∈R，e为自然对数的底数）。
若在x=-3处函数f(x)有极大值，则函数f(x)的极小值是f(-2)。
12.(5分) 有下列命题：①“m>0”是“方程x^2+my^2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1”是“直线l1：ax+y-1=0与直线l2：x+ay-2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f(x)=x^3+mx单调递增”是“m>0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p 且q是真命题”的必要不充分条件。
南京市高二上学期期末数学试卷(理科)B卷(模拟)
南京市高二上学期期末数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下列求导运算正确的是（）A . （x+B . （x2cosx）′=﹣2xsinxC . （3x）′=3xlog3eD .2. （2分）已知a=(-3,2),b=(-1,0)，向量a+b与a-2b垂直，则实数的值为（）A .B .C .D .3. （2分）设，则是的A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）设点O（0，0，0），A（2，﹣1，3），B（﹣1，4，﹣2），C（3，1，λ），若O，A，B，C四点共面，则实数λ等于（）A .B .C . 4D .5. （2分） (2018高二下·孝感期中) 圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二下·成都开学考) 经过双曲线﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于M，N两点，若|MN|= ，则该双曲线的离心率是（）A . 2或B . 或C .D .7. （2分）已知f′（x）是函数f（x）的导函数，f（x）的图象如图所示，则不等式f′（x）f（x）＜0的解集为（）A . （1，2）∪（，3）∪（﹣∞，﹣1）B . （﹣∞，﹣1）∪（，3）C . （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D . （1，2）8. （2分）已知四棱锥P﹣ABCD的侧棱长与底面边长都相等，点E是PB的中点，则异面直线AE与PD所成角的余弦值为（）A .B .C .D .9. （2分）(2016·安徽模拟) 曲线的一条切线l与y=x，y轴三条直线围成三角形记为△OAB，则△OAB外接圆面积的最小值为（）A .B .C .D .10. （2分）若，则“”是方程“”表示双曲线的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件11. （2分） (2018高三上·邹城期中) 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的值是（）A .B .C .D .12. （2分）一高为H、满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为V，则函数的大致图象可能是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·禅城月考) 如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点.设顶点的轨迹方程是，则对函数有下列判断：①函数是偶函数；②对任意的，都有；③函数在区间上单调递减；④函数的值域是；⑤ .其中判断正确的序号是________．14. （1分） (2018高二上·江苏期中) 命题：的否定是________.15. （1分）如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1－EF－C等于45°，则BF＝________.16. （1分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F到双曲线=1的渐近线的距离为， A，B为抛物线上的两动点，线段AB的中点M在定直线y=2上，则直线AB的斜率为________三、解答题． (共6题；共45分)17. （5分） (2016高二下·长春期中) 已知：a，b，c∈（﹣∞，0），求证：a+ ，b+ ，c+ 中至少有一个不大于﹣2．18. （10分） (2016高一上·苏州期中) 某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；（2）求△EMN的面积S（平方米）的最大值．19. （5分）(2017·宿州模拟) 已知椭圆，焦距为2，离心率e为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点作圆的切线，切点分别为M、N，直线MN与x轴交于点F，过点F的直线l 交椭圆C于A、B两点，点F关于y轴的对称点为G，求△ABG的面积的最大值．20. （5分）(2017·西城模拟) 如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF∥CD，AD⊥FC．点M在棱FC上，平面ADM与棱FB交于点N．（Ⅰ）求证：AD∥MN；（Ⅱ）求证：平面ADMN⊥平面CDEF；（Ⅲ）若CD⊥EA，EF=ED，CD=2EF，平面ADE∩平面BCF=l，求二面角A﹣l﹣B的大小．21. （5分） (2018高二上·鞍山期中) 已知椭圆（a＞b＞0）经过点，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A（0，b），B（a，0），点P是椭圆C上位于第三象限的动点，直线AP、BP分别将x轴、y轴于点M、N，求证：|AN|•|BM|为定值．22. （15分）(2017·运城模拟) 已知函数f（x）=alnx+ x2﹣（1+a）x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥0对定义域中的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对任意正整数m，n，不等式 + +…+ ＞恒成立．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题． (共6题；共45分) 17-1、18-1、18-2、19-1、21-1、22-1、22-2、22-3、。
南京市数学高二上学期理数期末考试试卷(II)卷
南京市数学高二上学期理数期末考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A .B .C . 或D . 或2. （2分）设数列是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）从编号为1~60的60枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用系统抽样方法抽取5枚导弹的编号可能是（）A . 1，3，4，7，9，5，B . 10，15，25，35，45C . 5，17，29，41，53D . 3，13，23，33，434. （2分） (2016高二上·黄陵开学考) 若抛物线x2=2py的焦点与椭圆 =1的下焦点重合，则p的值为（）A . 4B . 2C . ﹣4D . ﹣25. （2分） (2018高一下·渭南期末) 样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3,若该样本的平均值为1，则样本方差为（）A .B .C .D . 26. （2分）(2017·莱芜模拟) 交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（）A . 101B . 808C . 1212D . 20127. （2分） (2016高二下·马山期末) 椭圆 + =1的焦点坐标是（）A . （±5，0）B . （0，±5）C . （0，±12）D . （±12，0）8. （2分）(2016·南平模拟) 已知抛物线的焦点为F，点,在抛物线上，且，则有（）A .B .C .D .9. （2分）某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[l04，l06]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于102克的产品的个数是（）A . 90B . 75C . 60D . 4510. （2分）正方体A-C1中，棱长为1，M在棱AB上，AM=1/3，P是面ABCD上的动点，P到线A1D1的距离与P到点M的距离平方差为1，则P点的轨迹以下哪条曲线上（）A . 圆B . 椭圆C . 双曲线D . 抛物线11. （2分）命题p：∀x∈R，x2+ax+a2≥0；命题q：∃x∈R，sinx+cosx=2，则下列命题中为真命题的是（）A . p∧qB . p∨qC . （￢p）∨qD . （￢p）∧（￢q）12. （2分）已知命题p:椭圆的离心率，命题q:与抛物线只有一个公共点的直线是此抛物线的切线，那么（）A . 是真命题B . 是真命题C . 是真命题D . 是假命题二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2018高一下·石家庄期末) 已知，，则的最小值为________．14. （2分）下面的程序执行后输出的结果是________. 若要求画出对应的程序框图，则选择的程序框有________.15. （1分）(2020·许昌模拟) 在我市的高二期末考试中，理科学生的数学成绩，已知，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为________．16. （1分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a＞0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）已知曲线的方程为，的方程为，是一条经过原点且斜率大于的直线．（1）以直角坐标系原点为极点，轴正方向为极轴建立极坐标系，求与的极坐标方程；（2）若与的一个公共点（异于点），与的一个公共点为，当时，求的直角坐标方程．18. （5分） (2018高二上·南阳月考) 设条件，条件，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.19. （10分） (2018高一上·阜城月考) 已知函数（1）求函数的值域；（2）若时，函数的最小值为-7，求a的值和函数的最大值。
南京市学年度第一学期期末检测卷(高二数学理)试卷终稿
南京市 2021－ 2021 学年度第一学期期末检测卷高二数学〔理科〕注意事 ：1．本 卷共4 ，包括填空 〔第 1~第 14 〕、解答 〔第 15 ~第 20 〕两局部． 本卷 分160 分，考120 分 ．2．答 前， 必将自己的姓名、学校、班 、学号写在答 卡的密封 内． 的答案写在答 卡 上 目的答案空格内．考 束后，交答复 卡．．．．一、填空 ：本大 共14 小 ，每小 5 分，共 70 分． 把答案填写在答 卡相 位置．．．．．．． 上1．命 “假设 a ＝ b ， |a |＝ |b| 〞的逆否命 是 ▲．2．双曲 x 2－y 2＝1 的 近 方程是▲．43．复数a ＋2i虚数，其中 i 是虚数 位， 数a 的 是▲．1－ i4．在平面直角坐 系xOy 中，点 (4， 3)到直 3x － 4y ＋ a ＝ 0 的距离1， 数 a 的 是▲ ．5．曲 y ＝x 4与直 y ＝4x ＋ b 相切， 数b 的 是 ▲．x ＋ y －2≥ 0，6． 数x ， y 足条件 x － y ≤0， z ＝ 2x ＋ y 的最大 是 ▲ ．y ≤ 3，7．在平面直角坐 系xOy 中，抛物 C ：y 2＝ 4x 的焦点 F ，P 抛物 C 上一点，且 PF＝ 5， 点 P 的横坐 是▲ ．8．在平面直角坐 系xOy 中， O:x 2＋ y 2＝ r 2 (r ＞ 0)与 M:(x －3) 2＋(y ＋ 4)2＝4 相交， r的取 范 是▲．9． 察以下等式：π－ 2 2π－24(sin ) ＋ (sin3)＝ ×1×2；3 3 π－ 22π－2 ＋ (sin 3π－ 2 4π－ 2 4(sin ) ＋ (sin 5) 5) ＋ (sin 5 ) ＝ ×2×3；5 3 π－ 2 2π－2 ＋ (sin 3π－ 2 6π－ 2 4(sin ) ＋ (sin 7 ) 7 ) ＋⋯＋ (sin 7 ) ＝ ×3×4；7 3 π－ 2 2π－2 ＋ (sin 3π－ 2 8π－ 2 4(sin ) ＋ (sin 9) 9) ＋⋯＋ (sin 9) ＝ ×4×5；9 3 ⋯⋯依此 律，当 n ∈N *， (sinπ) －2＋ (sin2π)－2 ＋ (sin3π )－ 2＋⋯＋ (sin 2n π )－ 2＝▲．2n ＋12n ＋ 12n ＋ 1 2n ＋ 110．假设 “ x ∈ R ， x 2＋ ax ＋ a ＝0〞是真命 ， 数 a 的取 范 是▲ ． 11．函数 f(x)＝ (x 2＋ x ＋ m)e x (其中 m ∈ R ，e 自然 数的底数)．假设在 x ＝－ 3函数 f (x)有极大 ， 函数 f (x)的极小 是▲ ．12．有以下命题：①“ m ＞ 0〞是“方程 x 2＋my 2＝ 1 表示椭圆〞的充要条件；②“ a ＝1〞是“直线 l 1:ax ＋ y －1＝ 0 与直线 l 2:x ＋ ay －2＝ 0 平行〞的充分不必要条件； ③“函数 f (x)＝ x 3＋ mx 单调递增〞是“ m ＞0〞的充要条件； ④ p ， q 是两个不等价命题，那么“ p 或 q 是真命题〞是 “p 且 q 是真命题〞的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是▲．2213．椭圆 E ：x2＋ y2＝ 1(a ＞ b ＞0)的焦距为 2c(c ＞0)，左焦点为 F ，点 M 的坐标为 (－ 2c ，a b0)．假设椭圆 E 上存在点 P ，使得 PM ＝ 2PF ，那么椭圆 E 离心率的取值范围是▲．x(x － t)2， x ≤ t ，14． t ＞ 0，函数 f(x)＝ 1假设函数 g(x)＝ f( f(x)－ 1)恰有 6 个不同的零点，那么4x ， x ＞t ．实数 t 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内 作答，解答时应写出文．．．．．．．． 字说明、证明过程或演算步骤． 15． (此题总分值 14 分 )在平面直角坐标系 xOy 中，△ ABC 三个顶点坐标为 A(7，8)，B(10，4)，C(2，－ 4)．(1)求 BC 边上的中线所在直线的方程； (2)求 BC 边上的高所在直线的方程．16． (此题总分值 14 分 )数列 { a n } 满足 a 1＝ 1，(a n － 3)a n ＋ 1－ a n ＋ 4＝ 0(n ∈N * ).(1)求 a 2， a 3， a 4；(2)猜测 { a n } 的通项公式，并用数学归纳法证明.17． (此题总分值14 分 )在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的圆心在直线y＝－ 2x 上，且圆M 与直线x＋ y－ 1＝ 0 相切于点P(2，－ 1)．(1)求圆 M 的方程；(2)过坐标原点O 的直线 l 被圆 M 截得的弦长为6，求直线l 的方程．18． (此题总分值16 分 )某休闲广场中央有一个半径为 1(百米 )的圆形花坛，现方案在该花坛内建造一条六边形．．观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形(梯形ABCF 和梯形DEFC ) 构成的六边形ABCDEF区域，其中A、 B、 C、 D 、 E、 F 都在圆周上，CF 为圆的直径(如图 )．设∠ AOF＝θ，其中 O 为圆心．(1)把六边形ABCDEF 的面积表示成关于θ的函数f(θ)；(2)当θ为何值时，可使得六边形区域面积到达最大？并求最大面积．B ACθFOD E〔第 18 题图〕19． (此题总分值 16 分 )在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆E：x2y23，两个顶点分a2＋b2 ＝1(a＞b＞0)的离心率为2→→，过点 M 斜率为 k(k≠ 0)的别为 A(－ a， 0)，B(a， 0)，点 M(－ 1， 0)，且 3 AM ＝ MB 直线交椭圆 E 于 C， D 两点，其中点 C 在 x 轴上方．(1)求椭圆 E 的方程；(2)假设 BC⊥ CD，求 k 的值；(3)记直线 AD ，BC 的斜率分别为k1， k2，求证：k1为定值．k2yCA M OB xD(第 19 题图 )20．〔此题总分值16 分〕函数 f(x)＝ ax－ln x(a∈R ).(1)当 a＝ 1 时，求 f(x)的最小值；f(x)(2)假设存在 x∈ [1，3] ，使得x2＋ lnx＝2 成立，求 a 的取值范围 ;(3)假设对任意的x∈ [1，＋∞)，有 f(x)≥ f(1x)成立，求 a 的取值范围 .高二数学期末调研〔理科〕第 4 页共 4 页。
江苏省南京市高二数学上学期期末考试试题 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
某某省某某市2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题理一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1. 命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是______．【答案】“若b≠0，则ab≠0”【解析】因为一个命题的逆否命题，是将原命题逆命题的条件与结论同时否定得到，所以命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是“若b≠0，则ab≠0”.故答案为：“若b≠0，则ab≠0”.2. 已知复数z满足z(1＋i)＝i，其中i是虚数单位，则 |z| 为______．【答案】【解析】复数z满足z(1＋i)＝i，所以.所以.故答案为：.3. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点坐标是______．【答案】(1，0)【解析】抛物线y2＝4x，满足y2＝2p x，其中p=2.所以抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1，0).故答案为：(1，0).4. “x2－3x＋2＜0”是“－1＜x＜2”成立的______条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）．【答案】充分不必要【解析】由x2－3x＋2＜0，解得1＜x＜2，因为1＜x＜2是“－1＜x＜2”成立的充分不必要条件，所以“x2－3x＋2＜0”是“－1＜x＜2”成立的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.5. 已知实数x，y满足条件则z＝3x＋y 的最大值是______．【答案】7【解析】作出不等式的可行域如图所示：作直线经过点A(2,1)时，z取最大值7.故答案为：7.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6. 函数f(x)＝x e x 的单调减区间是______．【答案】(－∞，－1)或(－∞，－1]【解析】函数f(x)＝x e x，求导得：.令，解得.所以函数f(x)＝x e x 的单调减区间是(－∞，－1)（ (－∞，－1]也可以).故答案为: (－∞，－1)或(－∞，－1].7. 如图，直线l经过点(0，1)，且与曲线y＝f(x) 相切于点(a，3)．若f ′(a)＝，则实数a的值是______．【解析】由导数的几何意义知f ′(a)＝，即为切线斜率为.所以，解得.故答案为：3.8. 在平面直角坐标系xOy中，若圆 (x－a)2＋(y－a)2＝2 与圆x2＋(y－6)2＝8相外切，则实数a的值为______．【答案】3【解析】圆 (x－a)2＋(y－a)2＝2 与圆x2＋(y－6)2＝8相外切，则圆心距等于半径之和，即，解得.故答案为：3.点睛：这个题目考查的是两圆的位置关系；两圆的位置关系有相交，外切，内切，内含，外离这几种情况。
2023-2024学年江苏省南京市江宁区高二上学期期末统考数学试卷+答案解析
FY2023-2024学年江苏省南京市江宁区高二上学期期末统考数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的准线方程是()A. B. C. D.2.在数列中，是其前n项和，，，则()A. B.n C. D.3.设a为正实数，若圆与圆相外切，则a的值为()A.4B.6C.24D.264.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”等如取正整数，根据上述运算法则得出……．现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：为正整数，当时，使得的最小正整数n值是()A.17B.16C.15D.105.圆关于直线对称后的圆的方程为()A. B.C. D.6.在平面直角坐标系xOy中，已知直线与抛物线交于A、B两点异于O点，若，则实数m的值为()A.1B.2C.4D.87.若函数在处有极大值，则常数c为()A.1B.3C.1或3D.或8.已知圆的一条切线与双曲线C：有两个交点，则双曲线C离心率的取值范围是()A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是()A.当时，曲线C为圆B.“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分而不必要条件C.存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为D.当时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为10.已知直线，，则()A.直线过定点B.当时，C.当时，D.当时，两直线，之间的距离为111.在数列中，，，前n项和为则下列结论正确的是()A. B.是等比数列C.是等比数列D.是递增数列12.已知函数的定义域为R，其导函数满足，则()A. B. C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年江苏省南京市高二上学期期末数学质量检测试题(含解析)
2023-2024学年江苏省南京市高二上册期末数学质量检测试题一、单选题1．设正项等比数列{}n a 满足4336a a -=，26a =，则1a =（）A ．3B ．12C ．2D ．13【正确答案】C【分析】本题可设公比为q ，然后根据4336a a -=得出26q q -=，通过计算求出3q =，最后通过21aa q=即可得出结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为4336a a -=，26a =，所以22236a q a q -=，即26636q q -=，26q q -=，解得3q =或2-（舍去），3q =，则21623a a q ===，故选：C.2．“k =是“直线2y kx =+与圆221x y +=相切”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】结合直线和圆相切的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则圆心(0,0)到直线20kx y -+=的距离1d =，即214k +=，23k ∴=，即k =，∴“k 是“直线2y kx =+与圆221x y +=相切”的充分不必要条件，故选：A ．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线与圆相切的等价条件是解决本题的关键，比较基础．3．如果抛物线2y ax =的准线是直线1x =，那么它的焦点坐标为（）A ．（1，0）B ．（2，0）C ．（3，0）D ．()1,0-【正确答案】D【分析】结合抛物线的知识确定正确答案.【详解】由于抛物线的准线是直线1x =，所以它的焦点为()1,0-.故选：D4．过抛物线24y x =焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点（点A 在第一象限），若直线l 的倾斜角为60，则||||AF BF 的值为（）A ．2B ．3C ．32D ．52【正确答案】B【分析】求出直线方程，联立直线和抛物线方程，解得A ，B 坐标，即可由抛物线定义求得,AF BF ，得出所求.【详解】由题可得()1,0F ，设()()1122,,,A x y B x y ，（12x x >），直线l 的倾斜角为60 ，∴则直线l 的方程为)1y x =-，联立)241y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩可得231030x x -+=，解得1213,3x x ==，由抛物线的定义可得12414,13AF x BF x =+==+=，则||3||AF BF =.故选：B.5．已知函数()sin 2f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则2f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（）A ．2π-B ．0C ．1D ．2π【正确答案】A【分析】先利用诱导公式把()f x 化简为()cos f x x x =，再利用常见函数的导数公式和函数乘积的导数的运算法则求出()f x '，代入2π可得所求的导数值.【详解】()sin cos 2f x x x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故()cos sin f x x x x '=-，所以22f ππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭.故选：A.本题考查诱导公式及导数的运算，注意函数乘积的导数的运算法则的正确应用，本题属于基础题.6．若2()24ln f x x x x =--,则()0f x ¢>的解集为（）A ．(0,)B ．(-1,0)(2,)C ．(2,)D ．(-1,0)【正确答案】C【详解】()242220,0,x x f x x x x --'=-->()()0,210,2x x x x >∴-+>∴> 7．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处取得极值为10，则=a （）A ．4或－3B ．4或－11C ．4D ．－3【正确答案】C【分析】根据函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，可知f '（1）0=和f （1）10=，可求出a .【详解】由322()f x x ax bx a =+++，得2()32f x x ax b '=++，函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处取得极值10，f ∴'（1）0=，f （1）10=，∴2230110a b a a b ++=⎧⎨+++=⎩，∴411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，当33a b =-⎧⎨=⎩时，2()3(1)0f x x '=-，∴在1x =处不存在极值；当411a b =⎧⎨=-⎩时，2()3811(311)(1)f x x x x x '=+-=+-11(3x ∴∈-，1)，()0f x '<，(1,)x ∈+∞，()0f x '>，∴符合题意.故选：C本题主要考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．过抛物线2:8C y x =的焦点F 的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若6AF =，则BF =（）A ．9或6B ．6或3C ．9D ．3【正确答案】D设点A 为第一象限内的点，设点()11,A x y 、()22,B x y ，利用抛物线的定义可求得点A 的坐标，进而可求得直线AB 的方程，将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立，由韦达定理可求得点B 的横坐标，进而可求得BF .【详解】设点A 为第一象限内的点，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则1>0x ，10y >，则由题意可得：点()2,0F ，126AF x =+=，则14x =，由2118y x =，得1y =，所以42AB k ==-AB 方程为)2y x =-，将直线AB 的方程代入28y x =化简得2540x x -+=，所以21x =，所以223F x B =+=，故选：D ．结论点睛：过抛物线()220y px p =>焦点F 的弦AB ，点A 在第一象限，直线AB 的倾斜角为θ.（1）1cos p AF θ=-，1cos pBF θ=+；（2）22sin pAB θ=；（3）112AF BF p+=.二、多选题9．已知()0,πα∈，关于曲线C ：22sin cos 1x y αα+=，下列说法正确的是（）A ．曲线C 不可能是圆B ．曲线C 可能是焦点在x 轴上的椭圆C ．曲线C 不可能是焦点在y 轴上的椭圆D ．曲线C 可能是双曲线【正确答案】BD【分析】根据α的不同取值，结合椭圆和双曲线标准方程的形式，即可判断选项.【详解】A.当π4α=时，ππsin cos 44=22x y +=，即为圆的方程，故A 错误；B.曲线方程整理为22111sin cos x y αα+=，当π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，110sin cos αα>>，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，故B 正确；C.当ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，110cos sin αα>>，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，故C 错误；D.当π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，110,0cos sin αα<>，曲线C 表示双曲线，故D 正确.故选：BD10．已知数列{}n a 和{}n b 满足12a =，11b =，1251n n n a a b +=-+，1251n n n b b a +=-+．则下列结论不正确的是（）A ．数列{}n n a b -为等比数列B ．数列{}n n a b +为等差数列C ．6695a b +=D ．()11132312n n n a --=⨯+-【正确答案】BCD【分析】对A ，条件两等式相减，根据定义判断等比数列；对B ，条件两等式相加，根据定义判断等差数列；对C ，由B 的结论求出通项，再求第6项；对D ，由AB 的结论求出通项公式，再两式相加.【详解】对A ，()()()11251516n n n n n n n n a b a b b a a b ++-=-+--+=-，即()113n n n n a b a b ++-=-，1110a b -=≠，故数列{}n n a b -为首项为1，公比为3的等比数列，A 对；对BC ，()()112515142n n n n n n n n a b a b b a a b +++=-++-+=++，即()1121n n n n a b a b +++=++，即()11121n n n n a b a b ++++=++，故数列{}1n n a b ++为首项为1114a b ++=，公比为2的等比数列，故111422n n n n a b -+++=⨯=，故121n n n a b ++=-，故数列{}n n a b +不为等差数列，76621127a b +=-=，BC 错；对D ，由A 得13n n n a b --=，又121n n n a b ++=-，两式相加得112231n n n a +-=+-，即()11142312n n n a --=⨯+-，D 错.故选：BCD11．如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列结论中正确的是（）A ．三棱锥11A PB D -的体积不变B ．DP 平面11AB D C ．11A P BD ⊥D ．平面1ACP ⊥平面PBD 【正确答案】ABD【分析】利用等体积法判断体积不变，A 正确；证明平面11//AB D 平面1BDC ，即知//DP 平面11AB D ，B 正确；建立空间直角坐标系，通过空间向量的数量积运算证明C 错误D 正确即可.【详解】对于A ，11AB D 的面积是定值，11//AD BC ，1AD ⊂平面11AB D ，1BC ⊄平面11AB D ，∴1//BC 平面11AB D ，故P 到平面11AB D 的距离为定值，∴三棱锥11P AB D -的体积是定值，即三棱锥11A PB D -的体积不变，故A 正确；对于B ，由选项A 知，1//BC 平面11AB D ，同理//DB 平面11AB D ，而1BC BD B = ，1,BC BD ⊂平面1BDC ，∴平面11//AB D 平面1BDC ，DP ⊂ 平面1BDC ，//DP ∴平面11AB D ，故B正确；对于C ，以1D为原点，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 在1BC 上，故可设(,2,),02P a a a ，则11(2,0,0),(2,2,2),(0,0,0)A B D ，1(2,2,)A P a a =- ，1(2,2,2)BD =---，则()1122424A P BD a a a ⋅=----=-不一定为0，1A P ∴和1BD 不垂直，故C 错误；对于D ，设(,2,),02P a a a，则11(2,0,0),(0,2,2),(2,2,2),(0,0,0),(0,0,2)A C B D D ，1(2,2,)A P a a =- ，1(2,2,2)A C =- ，(,2,2)DP a a =- ，(2,2,0)DB =，设平面1ACP 的法向量(,,)n x y z =，则11(2)202220n A P a x y az n A C x y z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1x =，得221,,22a a n a a -⎛⎫= --⎝⎭ ，设平面PBD 的法向量(,,)m a b c =，则20220m DP ax y az m DB x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1x =，得()1,1,1m =-- ，221022a a m n a a-⋅=--=-- .∴平面1ACP 和平面PBD 垂直，故D 正确.故选：ABD.12．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数()f x '满足()()f x f x '<，则（）A ．()()1e 0f f <B ．()()1e 0f f >C ．()()e ln 221f f <D ．()()e ln 221f f >【正确答案】BC 【分析】构造函数()()xf xg x =e，利用导数分析函数()g x 的单调性，利用函数()g x 的单调性逐项判断，可得出合适的选项.【详解】构造函数()()x f x g x =e ，其中x ∈R ，则()()()0e xf x f xg x '-'=>，所以，函数()g x 为R 上的增函数，则()()10g g >，即()()10ef f >，所以，()()1e 0f f >，A 错B 对；因为ln 2ln e 1<=，则()()ln 21g g <，即()()ln 212ef f <，所以，()()e ln 221f f <，C 对D 错.故选：BC.三、填空题13．已知定义在区间()0,π上的函数()2sin f x x =-，则()f x 的单调递增区间为______．【正确答案】π,π4⎛⎫⎪⎝⎭【分析】对()f x 求导，求出()0f x ¢>的解即可求出答案.【详解】因为()2sin f x x =-,则()2cos f x x '=令()2cos 0f x x '=>,即cos x <且()0,πx ∈所以π,π4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以()f x 的单调递增区间为π,π4⎛⎫⎪⎝⎭故π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭14．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为___________．【分析】取11B C 的中点F ，连接EF ，1ED ，证得1//CC 平面1D EF ，把1C C 上任一点到平面1D EF 的距离即为两条异面直线1D E 与1CC 的距离，过点1C 作11C M D F ⊥，利用面面垂直的性质定理，证得1C M ⊥平面1D EF ，过点M 作//MP EF 交1D E 于点P ，得到1//MP C C ，取1C N MP =，连接PN ，证得NP ⊥平面1D EF ，在直角11D C F 中，求得1C M 的值，即可求解.【详解】解：如图所示，取11B C 的中点F ，连接EF ，1ED ，所以1//CC EF ，又EF ⊂平面1D EF ，1CC ⊄平面1D EF ，所以1//CC 平面1D EF ，所以直线1C C 上任一点到平面1D EF 的距离即为两条异面直线1D E 与1CC 的距离，过点1C 作11C M D F ⊥，因为平面1D EF ⊥平面1111D C B A ，且1C M ⊂平面1111D C B A ，所以1C M ⊥平面1D EF ．过点M 作//MP EF 交1D E 于点P ，则1//MP C C ，取1C N MP =，连接PN ，则四边形1MPNC 是矩形，可得NP ⊥平面1D EF ，在直角11D C F 中，由11111C MD F D C C F ⋅=⋅，所以1111111·2D C C F C M D F ⨯===故点P 到直线1CC15．已知数列{}n a 满足*111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++，若不等式2410n ta n n++≥恒成立，则实数t 的取值范围是__________【正确答案】[9,)-+∞【分析】根据题意化简得到1111(1)n n n a na +-=+，利用等差数列的通项公式化简得1(1)n a n n =+，把不等式2410nta n n++≥，转化(4)(1)n n t n ++≥-恒成立，结合基本不等式，即可求解.【详解】由数列{}n a 满足*111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++，可得1111(1)n n n a na +-=+，且112a =，所以数列1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭表示首项为2，公差为1的等差数列，所以111=+(1)1n n n na a -=+，所以1(1)n a n n =+，又由2410n ta n n++≥恒成立，即(4)(1)n n t n ++≥-对n N *∈恒成立，因为(4)(1)44(5)(25)9n n n n n n n++-=-++≤-⋅+=-，当且仅当2n =时取等号，所以9t ≥-，即实数t 的取值范围是[9,)-+∞.16．已知正项数列{}n a 满足递推关系11(2)21n n n a a n a --=+，且114a =，数列{}n b 满足21n n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12231n b b bn ++⋅⋅⋅+=+________.【正确答案】226n n +【分析】将1121n n n a a a --=+两边取倒数得1112n n a a --=，可得1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个首项114a =，公差为2的等差数列，可求14(1)222n n n a =+-⨯=+，继而求出4(1)1n b n n =++，所以数列1n b n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以8为首项，4为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可求解.【详解】将1121n n n a a a --=+两边取倒数得1112n n a a --=，这说明1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个等差数列，又首项114a =，公差为2，所以14(1)222nn n a =+-⨯=+，于是2214(1)n n b n a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，于是4(1)1n b n n =++，所以数列1n b n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以8为首项，4为公差的等差数列，故212(1)84262312n b b b n n n n n n -++⋅⋅⋅+=+⨯=++.故答案为.226n n+本题考查等差数列的推导证明以及等差数列的求和问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中等题.四、解答题17．在①71a =，②848S =，③894a a +=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，440S =，(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求n S 的最大值．【正确答案】(1)215n a n =-+(2)49【分析】（1）分别选①②③，根据等差数列的通项公式和求和公式，列出方程组，求得1,a d 的值，进而求得数列的通项公式；（2）由113a =，2d =-，利用等差数列的求和公式，化简得到2(7)49n S n =--+，结合二次函数的性质，即可得到答案.【详解】（1）解：选①，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意得7141614640a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得113a =，2d =-，所以数列{}n a 的通项公式为13(1)(2)215n a n n =+-⋅-=-+.选②，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意得8141828484640S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得113a =，2d =-，所以数列{}n a 的通项公式为13(1)(2)215n a n n =+-⋅-=-+.选③，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意得8914121544640a a a d S a d +=+=-⎧⎨=+=⎩，解得113a =，2d =-，所以数列{}n a 的通项公式为13(1)(2)215n a n n =+-⋅-=-+.（2）解：由113a =，2d =-，所以2213(215)14(7)492n n S n n n n +-+=⨯=-+=--+，所以当7n =时，n S 取得最大值为49．18．已知圆C 过两点()3,5A -，()1,7B ，且圆心在直线230x y -+=上．(1)求圆C 的方程；(2)过点()4,4P -作直线l 与圆C 交于M ，N 两点，若8MN =，求直线l 的方程．【正确答案】(1)()()221225x y -+-=；(2)4x =或3440x y ++=．【分析】（1）设出圆的标准方程，利用待定系数法求解；（2）根据弦长及圆的半径求出弦心距，据此分直线斜率存在与不存在两种情况求解即可.【详解】（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，则222222(3)(5)(1)(7)230a b r a b r a b ⎧--+-=⎪-+-=⎨⎪-+=⎩，解得125a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆C 的方程为()()221225x y -+-=．（2）设圆心()1,2C 到直线l 的距离为d ，则8M N ===，则3d =．当直线l 的斜率不存在时，直线l ：4x =，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()44y k x +=-，即440kx y k ---=，所以3d =，解得34k =-，此时，直线l 的方程为()3444y x +=--，即3440x y ++=．综上所述，直线l 的方程为4x =或3440x y ++=．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且232-=n n n S ，*N n ∈，等比数列{}n b 中，1212b b +=，且1b ，26b +，3b 成等差数列．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记n c 为区间(]()*,N n n a b n ∈中的整数个数，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)32n a n =-，3n n b =(2)123332n n n n T +-+-=【分析】(1)根据,n n a S 关系,结合应用等差等比数列基本量运算即可得出通项公式;(2)计算n c 后再应用等差数列前n 项和公式,等比数列前n 项和公式分组求和即可.【详解】（1）因为232-=n n n S ，所以当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()()22131133222n n n n n n n a S S n -----=-=-=-，1n =时也成立，所以32n a n =-．设等比数列{}n b 公比q ，因为1b ，26b +，3b 成等差数列，且1212b b +=，所以()122131226b b b b b +=⎧⎨+=+⎩，则21111121212b q b b q b b q ⎧+=+⎨+=⎩，所以133b q =⎧⎨=⎩，所以3n n b =．（2）因为nc 为在区间(32,3n n ⎤-⎦中的整数个数，所以()332n n c n =--，则()()()122313132333333143213222n n n n n n n n T n +-+---=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+-=-=--所以123332n n n n T +-+-=．20．如图，由直三棱柱111ABC A B C -和四棱锥11D BB C C -构成的几何体中，1190,1,2,5BAC AB BC BB C D CD ∠====== ，平面1CC D ⊥平面11ACC A （1）求证：1AC DC ⊥；（2）若M 为1DC 中点，求证：//AM 平面1DBB ；【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，易得1CC AC ⊥，又平面1CC D ⊥平面11ACC A ，利用面面垂直的性质定理证明即可；（2）由1AA ⊥平面111A B C ，且90BAC ∠= ，建立空间直角坐标系，求得平面1DBB 的一个法向量为(),,n x y z = ，证明AM n ⊥ 即可；【详解】（1） 在直三棱柱111ABC A B C -中，∴1CC ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，∴1CC AC ⊥，∵平面1CC D ⊥平面11ACC A ,且平面1CC D ⋂平面111ACC A CC =，又AC ⊂ 平面11ACC A ,∴AC ⊥平面1CC D ，又1DC ⊂平面1CC D ，∴1AC DC ⊥（2）直三棱柱111ABC A B C -中，∵1AA ⊥平面111A B C ，而1111,A B A C ⊂平面111A B C ∴111111,AA A B AA AC ⊥⊥，又90BAC ∠= ，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()()112,0,0,,,2,0,1,0,0,1,2A C C B B D ，所以()()12,0,0,1,1BB BD =-=- ，设平面1DBB 的一个法向量为(),,n x y z = ，则100n BB n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即200x x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1y =，则(0,1,n = ，∵M 为1DC的中点，则12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以32AM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0AM n ⋅= ，所以AM n ⊥ ，又AM ⊄平面1DBB ，∴//AM 平面1DBB .方法点睛：证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．21．已知函数32()f x x ax x b =-++在1x =处取得极值.（1）当2b =-时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程；（2）若函数()f x 有三个零点，求实数b 的取值范围.【正确答案】（1）20x y --=（2）4027b b ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【分析】先对函数()f x 求导，根据函数()f x 在1x =处取得极值，求出a ；（1）将2b =-代入()f x 解析式，再由导数的方法求出其在0x =处的切线斜率，进而可求出结果；（2）函数()f x 有三个零点，等价于方程322x x x b -+=-有三个不等实根，也即是函数()322g x x x x =-+与直线y b =-有三个不同的交点，由导数的方法研究函数()322g x x x x =-+的极值，即可得出结果.【详解】解：()2'321f x x ax =-+，由题意知()'10f =，所以3210a -+=，即2a =.所以()322f x x x x b =-++.（1）当2b =-时，()3222f x x x x =-+-，()2'341f x x x =-+，所以()'01f =，()02f =-，所以()f x 在0x =处的切线方程为()20y x --=-，即20x y --=.（2）令()0f x =，则322x x x b -+=-.设()322g x x x x =-+，则()y g x =与y b =-的图象有三个交点.()()()2'341311g x x x x x =-+=--，所以当x 变化时，()g x ，()'g x 的变化情况为x 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1()1,+∞()'g x +0-0+()g x 增函数极大值减函数极小值增函数所以14327g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10g =.又当x →-∞时，y →-∞；当x →+∞时，y →+∞，所以4027b <-<，即4027b -<<.所以b 的取值范围是4027b b ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.本题主要考查导数在函数中的应用，以及导数的几何意义；对于求函数在某点的切线方程，只需对函数求导，求出切线斜率，再由点斜式求出切线方程即可；对于函数零点问题，可转化为两个函数图像交点的问题，由导数的方法研究函数的极值，进而可求出结果.22．如图，在六面体PABCD 中，PAB 是等边三角形，二面角P AB D --的平面角为30°，4PC AB ====.(1)证明：AB PD ⊥；(2)若点E 为线段BD 上一动点，求直线CE 与平面PAB 所成角的正切的最大值.【正确答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质定理即可证得；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得线面θ，满足sin θ=利用换元法结合二次函数的最值即可求解.【详解】（1）证明：取AB 中点M ，连接,PM DM ，因为,PA PB DA DB ==，所以,PM AB DM AB ⊥⊥，且PM DM M = ，所以AB ⊥平面PMD ，又PD ⊂平面PMD ，所以AB PD ⊥.（2）连接CM ，则CM AB ⊥，由4AC BC AB ===，可得2CM =，于是22216CM PM PC +==，所以PM CM ⊥，又,PM AB AB CM M ⊥⋂=，所以PM ⊥平面ABC ，以M 为原点，,,MC MB MP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()(0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,M C B P ，由120CMD ∠= ，可得(D -，平面PAB 的法向量为()1,0,0n = ，设([]1,,0,1BE BD λλλ==--∈，则()2,22,CE CB BE λλ=+=--- ，设CE 与平面PAB 所成角为θ，则sin cos ,n CE θ=令[]2,2,3t t λ+=∈，则sin θ令()[]248368,2,3f t t t t=-+∈，由对称轴138t =知，当138t =，即23λ=时，min 5()4f t =，max (sin )5θ==，于是max (tan ) 2.θ=直线CE 与平面PAB 所成角的正切的最大值为2.。
2020年江苏省南京市区中学高二数学理上学期期末试卷含解析
2020年江苏省南京市区中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知幂函数的图像经过点，则的值为（）A．2 B．C．16 D．参考答案：B2. 等差数列{a n}中，，则此数列前20项和等于A．160 B．180 C．200 D．220参考答案：B3. 设，且，则( )A. 0B. 100C. －100D. 10200参考答案：B略4. 在高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为，则塔高为（）A．B． C． D．参考答案：A5. 已知等比数列，，，则A． B． C． D．参考答案：D6. 曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则P点坐标为()A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1)C．(2,8) D．(－，－)参考答案：B略7. 已知数列，那么9是此数列的第（）项．A．12 B．13 C．14 D．15参考答案：C【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】根据题意，分析可得数列的通项公式为a n=，令a n==9，解可得n的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，数列，则有a n=，若a n==9，解可得n=14，即9是此数列的第14项，故选：C．8. 等差数列{a n}的前10项和为30，前20项和为100，则它的前30项和是（）A．130 B．170 C．210 D．260参考答案：C【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列{a n}的前n项和的性质：S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等差数列．即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的前n项和的性质：S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等差数列．∴30+S30﹣100=2×（100﹣30），解得：S30=210．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9. 从某实验班45名同学中随机抽取5名同学参加“挑战杯”竞赛，用随机数法确定这5名同学，现将随机数表摘录部分如下：号为（）A．23 B．37 C．35 D．17参考答案：A【考点】简单随机抽样．【分析】随机数表法也是简单随机抽样的一种方法，采用随机数表法读数时可以从左向右，也可以从右向左或者从上向下等等．应该注意的是，在读数中出现的相同数据只取一次，超过编号的数据要剔除．【解答】解：随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，第一个数为39，然后是43，17，37，23，故选出来的第5个同学的编号是23，故选：A．10. 若以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，则b 等于（）A．B．1 C．D．2参考答案：B 【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，可得（1﹣c，）?（1+c，）=0，求出c，即可求出b．【解答】解：由题意，以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，∴（1﹣c，）?（1+c，）=0，∴1﹣c2+2=0，∴c=，∵a=，∴b=1．故选：B．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，正确求出c是关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如果一个四面体的三个面是直角三角形，那么，第四个面可能是：①直角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形；⑤等腰直角三角形；⑥等边三角形。
江苏省南京市数学高二上学期理数期末考试试卷
江苏省南京市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 已知命题 p:,， 则 为（ ）A.,B.,C.,D.,2. （2 分） 以椭圆的顶点为顶点，离心率为 2 的双曲线方程（ ）A.B.C.或D . 以上都不对3. （2 分） (2017 高二上·廊坊期末) 某学校有老师 100 人，男学生 600 人，女学生 500 人，现用分层抽样 的方法从全体师生中抽取一个容量为 n 的样本，已知女学生一共抽取了 40 人，则 n 的值是（ ）A . 96B . 192C . 95D . 1904. （2 分） (2015 高二下·福州期中) 设函数 y=f（x）在（a，b）上可导，则 f（x）在（a，b）上为增函数 是 f′（x）＞0 的（ ）A . 必要不充分条件第 1 页 共 13 页B . 充分不必要条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件 5. （2 分） 设 M（x0 ， y0）为抛物线 C：y2=8x 上一点，F 为抛物线 C 的焦点，若以 F 为圆心，|FM|为半径 的圆和抛物线 C 的准线相交，则 x0 的取值范围是（ ） A . （2，+∞） B . （4，+∞） C . （0，2） D . （0，4） 6. （2 分） 给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若 a，b∈R，则 a－b＝0⇒ a＝b”类比推出“若 a，b∈C，则 a－b＝0⇒ a＝b”； ②“若 a，b，c，d∈R，则复数 a＋bi＝c＋di⇒ a＝c，b＝d”类比推出“若 a，b，c，d∈Q，则 a＋b＝c＋d⇒ a ＝c，b＝d”； ③若“a，b∈R，则 a－b>0⇒ a>b”类比推出“若 a，b∈C，则 a－b>0⇒ a>b”． 其中类比结论正确的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 7. （2 分） (2016 高二上·万州期中) 过点（3，1）作一直线与圆（x﹣1）2+y2=9 相交于 M、N 两点，则|MN| 的最小值为（ ）A. B.2第 2 页 共 13 页C.4 D.6 8.（2 分）(2020·安阳模拟) 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 11，则图中的判断条件可以为（ ）A. B. C. D. 9. （2 分） (2017 高二下·赣州期中) 已知椭圆 M：（x﹣2）2+y2=4，则过点（1，1）的直线中被圆 M 截得的 最短弦长为 2 ．类比上述方法：设球 O 是棱长为 3 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的外接球，过 AC1 的一个三等分 点作球 O 的截面，则最小截面的面积为（ ） A.π B . 4π C . 5π D . 6π10. （2 分） (2017 高一下·乾安期末) 在区间 生的概率为（ ）上随机取一个数 ，则事件“”发A.第 3 页 共 13 页B.C.D. 11. （2 分） 已知点 P 是圆 C:x2+y2+4x+ay-5=0 上任意一点，P 点关于直线 2x+y-1=0 的对称点在圆上，则实 数 a 等于（ ） A . 10 B . -10 C . 20 D . -2012. （2 分） 过双曲线左焦点 且倾斜角为段 的中点 落在 轴上，则此双曲线的离心率为（ ）的直线交双曲线右支于点 ， 若线A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2019 高三上·上海月考) 在甲、乙等 8 名班干部中选 3 人参加一个座谈会，则甲被选中的概率 为________（结果用最简分数表示）14. （1 分） (2019 高二上·保定月考) 已知样本 5，6，7， ， 的平均数是 6，方差是，则________15. （1 分） (2018 高二下·孝感期中) 已知抛物线的焦点为 ，点 为抛物线 上任意一第 4 页 共 13 页点，若点，则的最小值为________16. （1 分） 已知正四棱柱 ABCD﹣A′B′C′D′的外接球直径为 AB′C 所成角的正切值为________， 底面边长 AB=1，则侧棱 BB′与平面三、 解答题 (共 6 题；共 50 分)17. （5 分） (2017·徐水模拟) 某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在 8.0 米（四舍五入，精确到 0.1 米） 以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成 6 组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前 5 个 小组的频率分别为 0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第 6 小组的频数是 7．（Ⅰ）求进入决赛的人数；（Ⅱ）若从该校学生（人数很多）中随机抽取两名，记 X 表示两人中进入决赛的人数，求 X 的分布列及数学期 望；（Ⅲ）经过多次测试后发现，甲成绩均匀分布在 8～10 米之间，乙成绩均匀分布在 9.5～10.5 米之间，现甲， 乙各跳一次，求甲比乙远的概率．18. （10 分） (2019·巢湖模拟) 已知抛物线 E：，圆 C：．（1） 若过抛物线 E 的焦点 F 的直线 l 与圆 C 相切，求直线 l 方程；（2） 在 的条件下，若直线 l 交抛物线 E 于 A，B 两点，x 轴上是否存在点使为坐标原点 ？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．19. （10 分） (2018 高一上·吉林期末) 已知点及圆.第 5 页 共 13 页（1） 设过点 的直线 与圆 交于 程；两点，当时，求以线段为直径的圆 的方（2） 设直线与圆 交于两点，是否存在实数 ，使得过点平分弦 ？若存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由.20. （10 分） 某连锁经营公司所属个零售店某月的销售额和利润额资料如表：商店名称ABCDE销售额 x（千万元）35679利润率 y（千万元）23345（1） 用最小二乘法计算利润额对销售额 y 的回归直线方程；（2） 当销售额为 4（千万元）时，估计利润额的大小．的直线 垂直=．21. （10 分） (2018·河南模拟) 如图，在边长为别在边 ， 上，点 与点 ， 不重合，的位置，使平面平面.的菱形 ，中， .沿.点 将，分 翻折到（1） 求证：平面；（2） 当 与平面所成的角为 时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.22. （5 分） (2017·泰安模拟) 已知椭圆 C：=1（a＞b＞0）的离心率为 ，短轴长为 2．直线l：y=kx+m 与椭圆 C 交于 M、N 两点，又 l 与直线 y=x 分别交于 A、B 两点，其中点 A 在第一象限，点 B 在第二象限，且△OAB 的面积为 2（O 为坐标原点）．第 6 页 共 13 页（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）求的取值范围．第 7 页 共 13 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 13 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 50 分)17-1、第 9 页 共 13 页18-1、18-2、19-1、19-2、第 10 页 共 13 页20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
2018-2019学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）已知命题p：∀x＞0，e x≥ex，写出命题p的否定：．2．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2x的准线方程为．3．（5分）已知f（x）＝e x•sin x，则f′（0）的值为．4．（5分）设复数z满足（z﹣2）i＝1+i（i为虚数单位），则z的实部是．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆C：+y2＝1上一点．若点P到椭圆C的右焦点的距离为2，则它到椭圆C的右准线的距离为．6．（5分）已知实数x，y满足，则z＝x+2y的最小值为．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，“m＞0”是“方程x2+my2＝1表示椭圆”的条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2＝1的顶点到它的渐近线的距离为．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），点B（0，2），平面内点P满足•＝15，则PO的最大值是．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点F1，F2分别是椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F2且与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点．若∠AF1B为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2＝1与圆C2：x2+y2﹣2x﹣3＝0有公共点，则实数a的取值范围是．12．（5分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，P A＝AB，点M为P A的中点，＝λ．若MN⊥AD，则实数λ＝．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆M：（x﹣1）2+y2＝1，点A（3，1），P为抛物线y2＝2x上任意一点（异于原点），过点P作圆M的切线PB，B为切点，则P A+PB的最小值是．14．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3a2x﹣6a2+4a（a＞0）只有一个零点，且这个零点为正数，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点A（4，0），其离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）已知P是椭圆E上一点，F1，F2为椭圆E的焦点，且∠F1PF2＝，求点P到y 轴的距离．16．（14分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为，侧棱长为1，求：（1）直线A1C与直线AD1所成角的余弦值；（2）平面D1AC与平面ABB1A1所成二面角的正弦值．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过抛物线y＝x2﹣x﹣6与坐标轴的三个交点．（1）求圆C的方程；（2）经过点P（﹣2，5）的直线l与圆C相交于A，B两点，若圆C在A，B两点处的切线互相垂直，求直线l的方程．18．（16分）如图，从一个面积为15π的半圆形铁皮上截取两个高度均为x的矩形，并将截得的两块矩形铁皮分别以AB，A1B1为母线卷成两个高均为x的圆柱（无底面，连接部分材料损失忽略不计）．记这两个圆柱的体积之和为V．（1）将V表示成x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求两个圆柱体积之和V的最大值．19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆C：+＝1的左、右焦点．动直线l过点F2，且与椭圆C相交于A，B两点（直线l与x轴不重合）．（1）若点A的坐标为（0，），求点B坐标；（2）点M（4，0），设直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2＝0；（3）求△AF1B面积最大时的直线l的方程．20．（16分）已知函数f（x）＝alnx+，a∈R．（1）若a＝2，且直线y＝x+m是曲线y＝f（x）的一条切线，求实数m的值；（2）若不等式f（x）＞1对任意x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范围；（3）若函数h（x）＝f（x）﹣x有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且h（x2）﹣h（x1）≤，求a的取值范围．2018-2019学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：∀x＞0，e x≥ex，的否定是：∃x＞0，e x＜ex．故答案为：∃x＞0，e x＜ex．2．【解答】解：抛物线y2＝2x的焦点到其准线的距离为：p＝1．抛物线的准线方程为：x＝﹣．故答案为：x＝﹣3．【解答】解：f（x）＝e x•sin x，f′（x）＝（e x）′sin x+e x．（sin x）′＝e x•sin x+e x•cos x，∴f'（0）＝0+1＝1故答案为：14．【解答】解：由（z﹣2）i＝1+i得，z＝＝＝＝3﹣i，所以复数的实部为：3．故答案为：3．5．【解答】解：椭圆C：+y2＝1，可得e＝，由椭圆的第二定义可得：它到椭圆C的右准线的距离为d，d＝＝．故答案为：．6．【解答】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，由解得B（3，﹣1）．化z＝x+2y为y＝﹣x+，由图可知，当直线y＝﹣x+过B（3，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z＝3+2×（﹣1）＝1．故答案为：1．7．【解答】解：由椭圆的性质有：“方程x2+my2＝1表示椭圆”的充要条件为：，又“m＞0”是“”的必要不充分条件，所以，“m＞0”是“方程x2+my2＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分8．【解答】解：双曲线﹣y2＝1的一个顶点为A（2，0），双曲线的一条渐近线为y＝x，即x﹣2y＝0，则点到直线的距离公式d＝＝，故答案为：．9．【解答】解：设P（x，y），则＝（4﹣x，﹣y），＝（﹣x，2﹣y）∵•＝15，∴x（x﹣4）+y（y﹣2）＝15，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝20，∴点P的轨迹是以C（2，1）为圆心，2为半径的圆，∴PO的最大值为：|OC|+半径＝3．故答案为：3．10．【解答】解：∵点F1、F2分别是椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，∴F1（﹣c，0），F2（c，0），A（﹣c，），B（﹣c，﹣），∵△AF1B是锐角三角形，∴∠AF2F1＜45°，∴tan∠AF2F1＜1，∴＜1，整理，得b2＜2ac，∴a2﹣c2＜2ac，两边同时除以a2，并整理，得e2+2e﹣1＞0，解得e＞﹣1，或e＜﹣﹣1，（舍），∴0＜e＜1，∴椭圆的离心率e的取值范围是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．11．【解答】解：根据题意，圆C1：（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2＝1，其圆心C1为（a，a+2），半径为r1＝1，圆C2：x2+y2﹣2x﹣3＝0，即（x﹣1）2+y2＝4，其圆心C2（1，0），半径r2＝2，若两圆有公共点，则2﹣1≤|C1C2|≤2+1，即1≤（a﹣1）2+（a+2）2≤9，变形可得：a2+a+2≥0且a2+a﹣2≥0，解可得：﹣2≤a≤1，即a的取值范围为[﹣2，1]；故答案为：[﹣2，1]．12．【解答】解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设P A＝AB＝2，则A（，0，0），D（0，﹣，0），P（0，0，），M（，0，），B（0，，0），＝（0，﹣2，0），设N（0，b，0），则＝（0，b﹣，0），∵＝λ，∴﹣2＝，∴b＝，∴N（0，，0），＝（﹣，，﹣），＝（﹣，0），∵MN⊥AD，∴＝1﹣＝0，解得实数λ＝4．故答案为：4．13．【解答】解：设P（x，y），可得y2＝2x，圆M：（x﹣1）2+y2＝1的圆心M（1，0），半径为1，|PB|＝＝＝＝|x|，即|PB|为P到y轴的距离，抛物线的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，可得|P A|+|PB|＝|P A|+|PK|﹣＝|P A|+|PF|﹣，过A作准线的垂线，垂足为K，可得A，P，K共线时，|P A|+|PK|取得最小值|AK|＝，即有|P A|+|PB|的最小值为3．故答案为：3．14．【解答】解：令f'（x）＝3x2﹣3a2＝3（x﹣a）（x+a）＝0，解得x1＝﹣a，x2＝a，其中a＞0，所以函数的单调性和单调区间如下：x∈（﹣∞，﹣a），f（x）递增；x∈（﹣a，a），f（x）递减；x∈（a，+∞），f（x）递增．因此，f（x）在x＝﹣a处取得极大值，在x＝a处取得极小值，结合函数图象，要使f（x）只有一个零点x0，且x0＞0，只需满足：f（x）极大值＝f（﹣a）＜0，即﹣a3+3a3﹣6a2+4a＜0，整理得a（a﹣1）（a﹣2）＜0，解得，a∈（1，2），故答案为：（1，2）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解答】解（1）因为椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点A（4，0），所以a＝4．…………………（2分）又椭圆E的离心率e＝＝，所以c＝2．…………………（4分）所以b2＝a2﹣c2＝4．因此椭圆E的方程为…………………（6分）（2）：由椭圆E的方程为．知F1（﹣2，0），F2（2，0）．设P（x，y）．因为∠F1PF2＝，所以•＝0，所以x2+y2＝12．…………………（10分）由解得x2＝．…………………（12分）所以|x|＝，即P到y轴的距离为．…………………（14分）16．【解答】（本题满分14分）解：如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 的底面边长为，侧棱长为1，故以{，，} 为正交基底建立空间直角坐标系D﹣xyz．则D（0，0，0），A（，0，0），A1（，0，1），C（0，，0），D1（0，0，1）．（1）因为＝（0，，0）﹣（，0，1）＝（﹣，，﹣1），＝（0，0，1）﹣（，0，0）＝（﹣，0，1），……………（2分）所以＝（﹣）×（﹣）+（﹣1）×1＝1，||＝＝，||＝＝，从而cos＜＞＝＝＝．…………………（5分）又异面直线所成的角的范围是（0，]，所以直线A1C与直线AD1所成角的余弦值为．…………………（6分）（2）＝（﹣，，0），＝（﹣，0，1），设平面D1AC的一个法向量为n＝（x，y，z），则，取x＝1，可得＝（1，1，）．…………………（9分）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DA⊥平面ABB1A1，又＝（，0，0）＝（1，0，0），所以＝（1，0，0）为平面ABB1A1的一个法向量．…………………（11分）因为cos＜，＞＝＝＝，且0≤＜，＞≤π，所以＜＞＝．因此平面D1AC与平面ABB1A1所成二面角的正弦值为．…………………（14分）17．【解答】解：（1）方法一：抛物线y＝x2﹣x﹣6与坐标轴的三个交点坐标为（﹣2，0），（3，0），（0，﹣6），设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则，解得，所以圆C的方程为x2+y2﹣x+5y﹣6＝0．方法二：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，令y＝0，得x2+Dx+F＝0．因为圆C经过抛物线y＝x2﹣x﹣6与x轴的交点，所以x2+Dx+F＝0与方程x2﹣x﹣6＝0同解，所以D＝﹣1，F＝﹣6．因此圆C：x2+y2﹣x+Ey﹣6＝0．因为抛物线y＝x2﹣x﹣6与y轴的交点坐标为（0，﹣6），又所以点（0，﹣6）也在圆C上，所以36﹣6E﹣6＝0，解得E＝5．所以圆C的方程为x2+y2﹣x+5y﹣6＝0．（2）由（1）可得，圆C：（x﹣）2+（y+）2＝，故圆心C（，﹣），半径r＝．因为圆C在A，B两点处的切线互相垂直，所以∠ACB＝．所以C到直线l的距离d＝×＝．①当直线l的斜率不存在时，l：x＝﹣2，符合题意；②当直线l的斜率存在时，设l：y﹣5＝k（x+2），即kx﹣y+（2k+5）＝0，所以＝，解得k＝﹣，所以直线l：y﹣5＝﹣（x+2），即4x+3y﹣7＝0．综上，所求直线l的方程为x＝﹣2和4x+3y﹣7＝0．18．【解答】解：（1）设半圆形铁皮的半径为r，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为r1，r2．因为半圆形铁皮的面积为15π，所以πr2＝15π，即r2＝30．因为2πr1＝2，所以r1＝，同理2πr2＝2，即r2＝．所以卷成的两个圆柱的体积之和V＝f（x）＝（πr12+πr22）x＝（60x﹣5x3）．因为0＜2x＜r＝，所以x的取值范围是（0，）．（2）由f（x）＝（60x﹣5x3），得f′（x）＝（60﹣15x2），令f′（x）＝0，因为x∈（0，），故x＝2．当x∈（0，2）时，f′（x）＞0；当x∈（2，）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，2）上为增函数，在（2，）上为减函数，所以当x＝2时，f（x）取得极大值，也是最大值．因此f（x）的最大值为f（2）＝．答：两个圆柱体积之和V的最大值为．19．【解答】（1）解：∵直线l经过点F2（1，0），A（0，），∴直线l的方程为y＝﹣（x﹣1）．由，解得或．∴B（）；（2）证明：∵直线l与x轴不重合，故可设直线l的方程为x＝ty+1．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由，得（4+3t2）y2+6ty﹣9＝0，∴y1+y2＝，y1y2＝，∵A，B在直线l上，∴x1＝ty1+1，x2＝ty2+1，∴k1＝，k2＝，从而k1+k2＝＝．∵2ty1y2﹣3（y1+y2）＝2t•（）﹣3•（﹣）＝0，∴k1+k2＝0；（3）解：△AF1B的面积S＝|F1F2|•|y1﹣y2|＝|y1﹣y2|＝．由（2）知，y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，故S＝＝12＝＝．设函数f（x）＝9x+（x≥1）．∵f'（x）＝9﹣＞0，∴f（x）＝9x+在[1，+∞）上单调递增，∴当t2+1＝1，即t＝0时，9（t2+1）+取最小值10．即当t＝0时，△AF1B的面积取最大值，此时直线l的方程为x＝1．因此，△AF1B的面积取最大值时，直线l的方程为x＝1．20．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝2lnx+，f′（x）＝﹣．设直线y＝x+m与曲线y＝f（x）相切于点（x0，2lnx0+），则﹣＝1，即﹣2x0+1＝0，解得x0＝1，即切点为（1，1），因为切点在y＝x+m上，所以1＝1+m，解得m＝0．…………………（3分）（2）不等式f（x）＞1可化为alnx+﹣1＞0．记g（x）＝alnx+﹣1，则g（x）＞0对任意x∈（1，+∞）恒成立．考察函数g（x）＝alnx+﹣1，x＞0，g′（x）＝﹣＝．当a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减，又g（1）＝0，所以g（2）＜g（1）＝0，不合题意；…………………（5分）当a＞0时，x∈（0，），g′（x）＜0；x∈（，+∞），g′（x）＞0，所以g（x）在（0，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，若≤1，即a≥1时，g（x）在[1，+∞）上单调递增，所以x∈（1，+∞）时，g（x）＞g（1）＝0，符合题意；…………………（7分）若＞1，即0＜a＜1时，g（x）在[1，）上单调递减，所以当x∈（1，）时，g（x）＜g（1）＝0，不符合题意；综上所述，实数a的取值范围为[1，+∞）．…………………（9分）（3）方法一：h（x）＝f（x）﹣x＝alnx+﹣x，x＞0，h′（x）＝﹣﹣1＝，因为h（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），所以h′（x）＝0，即x2﹣ax+1＝0的两实数根为x1，x2，0＜x1＜x2，所以x1+x2＝a，x1x2＝1，△＝a2﹣4＞0，所以a＞2，0＜x1＜1＜x2，从而h（x2）﹣h（x1）＝（alnx2+﹣x2）﹣（alnx1+﹣x1）＝2（alnx2+﹣x2）＝2[（x2+）lnx2+﹣x2]．…………………（12分）记m（x）＝2[（x+）lnx+﹣x]，x≥1．则m′（x）＝2[（1﹣）lnx+（x+）•﹣﹣1]＝2（1﹣）lnx≥0 （当且仅当x＝1时取等号），所以m（x）在[1，+∞）上单调递增，又m（e）＝，不等式h（x2）﹣h（x1）≤可化为m（x2）≤m（e），所以1＜x2≤e．…………（14分）因为a＝x2+，且y＝x+在（1，+∞）上递增，所以2＜a≤e+，即a的取值范围为（2，e+]．…………………（16分）方法二：h（x）＝f（x）﹣x＝alnx+﹣x，x＞0，h′（x）＝﹣﹣1＝．因为h（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），所以h′（x）＝0，即x2﹣ax+1＝0的两实数根为x1，x2，0＜x1＜x2，所以x1+x2＝a，x1x2＝1，△＝a2﹣4＞0，所以a＞2，0＜x1＜1＜x2．设t2＝（t＞1），则x1+t2x1＝a，t2＝1，所以x1＝，a＝t+，x2＝t，从而h（x2）﹣h（x1）≤等价于h（t）＝（t+）lnt+﹣t≤，t＞1．……………（12分）记m（x）＝（x+）lnx+﹣x，x≥1．则m′（x）＝（1﹣）lnx+（x+）﹣﹣1＝（1﹣）lnx≥0 （当且仅当x＝1时取等号），所以m（x）在[1，+∞）上单调递增．又t＞1，m（e）＝，所以1＜t≤e．…………………（14分）因为a＝t+，且y＝x+在（1，+∞）上递增，所以2＜a≤e+，即a的取值范围为（2，e+]．…………………（16分）。
南京市高二上学期期末数学试卷(理科)(II)卷(模拟)
南京市高二上学期期末数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是（）．A .B .C . ∀x＞0，x2＋x≤0D . ∀x≤0，x2＋x＞02. （2分）以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（）A .B .C .D .3. （2分）在△ABC中，“”是“△ABC是锐角三角形”的（）A . 充分必要条件B . 充分而不必要条件C . 必要而不充分条件D . 既不充分又不必要条件4. （2分） (2017高二上·泉港期末) 向量 =（2，4，x）， =（2，y，2），若| |=6，且⊥ ，则x+y的值为（）A . ﹣3B . 1C . ﹣3或1D . 3或15. （2分）设x、y、z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面，其中使“x⊥z 且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是（）A . ③④B . ①③C . ②③D . ①②6. （2分）执行如图所示的程序框图．当输入﹣2时，输出的y值为（）A . -2B . 0C . 2D . 27. （2分）已知某人打靶时，每次击中目标的概率是0.6，现采用随机模拟的方法估计此人打靶三次恰有两次击中目标的概率：先由计算器算出1到5之间取整数值的随机数，指定1，2表示未击中，3，4，5表示击中；再以每三个随机数为一组，代表三次打靶的结果．经随机模拟产生了20组随机数：333 553 153 212 135 133 341 421 555 552454 255 224 222 454 332 225 122 442 253．据此估计，此人打靶三次恰有两次击中目标的概率是（）A . 0.4B . 0.432C . 0.45D . 0.58. （2分） (2015高三下·湖北期中) 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A .B . 2C .D .9. （2分）根据如下的样本数据：广告费x/万元4235销售额y/万元49263954得到的回归方程为y=bx+a，其中b为9.4，据此模型预报广告费为6万元时的销售额为（）A . 63.6万元B . 65.5万元C . 67.7万元D . 72.0万元10. （2分） (2015高二上·济宁期末) 已知点P是抛物线x2=4y上的动点，点P在直线y+1=0上的射影是点M，点A的坐标（4，2），则|PA|+|PM|的最小值是（）A .B .C . 3D . 211. （2分） (2017高二上·大连期末) 如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB= ，AF=1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为（）A . （1，1，1）B . （，，1）C . （，，1）D . （，，1）12. （2分）(2013·北京理) 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A . y=±2xB .C .D .二、填空题 (共4题；共7分)13. （3分） (2016高二下·黑龙江开学考) 某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取________辆、________辆、________辆．14. （2分） (2019高一下·湖州月考) (1)已知向量 ,满足 , ,则________;(2)如图,正三角形边长为2,设 , ,则 ________.15. （1分） (2016高二上·辽宁期中) 已知P为椭圆 =1上的一个点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为________．16. （1分）已知甲、乙两人相约下午7点到8点到公园会面，并约定一个人到公园后最多等20分钟，然后离开，则两人能会面的概率是________．三、解答题. (共6题；共40分)17. （5分） (2016高二下·临泉开学考) 设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+ ）的值域为R；命题q：3x﹣9x＜a对一切实数x恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．18. （5分）去年“十•一”期间，昆曲高速公路车辆较多．某调查公司在曲靖收费站从7座以下小型汽车中按进收费站的先后顺序，每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40辆汽车进行抽样调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后，得到如图的频率分布直方图．（I）调查公司在抽样时用到的是哪种抽样方法？（II）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（III）若从这40辆车速在[60，70）的小型汽车中任意抽取2辆，求抽出的2辆车车速都在[65，70）的概率．19. （10分） (2019高三上·安顺模拟) 如图，在三棱锥中，，二面角的大小为120°，点在棱上，且，点为的重心.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.20. （5分） (2017高二下·宜昌期末) 已知椭圆E的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，点M 在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设P（﹣4，0），直线y=kx+1与椭圆E交于A，B两点，若直线PA，PB关于x轴对称，求k的值．21. （5分）如图，给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y的值．（1）请指出该程序框图所使用的逻辑结构；（2）若要使输入的x的值是输出的y的值的一半，则输入x的值为多少？22. （10分） (2018高二上·寿光月考) 已知长方形，， .以的中点为原点建立如图所示的平面直角坐标系 .（1）求以、为焦点，且过、两点的椭圆的标准方程；（2）过点的直线交（1）中椭圆于、两点，是否存在直线，使得弦为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、答案：略3-1、答案：略4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、答案：略10-1、答案：略11-1、12-1、答案：略二、填空题 (共4题；共7分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题. (共6题；共40分)17-1、18-1、19-1、答案：略19-2、答案：略20-1、21-1、22-1、答案：略22-2、答案：略。
2023-2024学年江苏省南京一中高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省南京一中高二（上）期末数学试卷一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．题只有一个选项符合题意．）1．已知m ∈R ，则“m ＝﹣1”是“直线mx +（2m ﹣1）y ﹣2＝0与直线3x +my +3＝0垂直”的（ ） A ．充要条件B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件D ．既不充分也不必要条件2．若数列{a n }满足a 1＝2，a n +1a n ＝a n ﹣1，则a 2024＝（ ） A ．12B ．2C ．3D ．﹣13．已知函数f （x ）的定义域为R ，其导函数为f '（x ），f '（x ）的部分图象如图所示，则（ ）A ．f （x ）在区间（0，1）上单调递减B ．f （x ）的一个增区间为（﹣1，1）C ．f （x ）的一个极大值为f （﹣1）D ．f （x ）的最大值为f （1）4．已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，若a 1+a 5+a 9=9，b 2b 5b 8=3√3，则a 2+a 81+b 2b 8=（ ）A ．2B ．√3C ．32D ．√335．已知点P （2，0），点Q 在圆x 2+y 2＝1上运动，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程是（ ） A ．（x ﹣1）2+y 2＝1 B ．x 2+（y ﹣1）2＝1 C ．4（x ﹣1）2+4y 2＝1D ．4x 2+4（y ﹣1）2＝16．分形几何学是数学家伯努瓦•曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1的分形规律可得如图2的一个树形图，记图2中第n 行黑圈的个数为a n ，白圈的个数为b n ，若a n ＝55，则b n ＝（ ）A ．34B ．35C ．88D ．897．三个数a =2e 2，b =ln √2，c =ln33的大小顺序为（ ） A ．b ＜c ＜a B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜bD ．a ＜b ＜c8．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)左、右焦点，过点F 1的直线与双曲线C 的左、右两支分别交于M ，N 两点，且sin∠NF 1F 2sin∠NF 2F 1=23，(MF 2→+MN →)⋅NF 2→=0，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．√5B ．√52C ．√7D ．√72二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．每题有多项符合题意，全对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．）9．已知圆O 1：x 2+y 2﹣2x ﹣3＝0和圆O 2：x 2+y 2﹣2y ﹣1＝0交于A ，B 两点，则（ ） A ．两圆的圆心距|O 1O 2|＝2B ．两圆有3条公切线C ．直线AB 的方程为x ﹣y +1＝0D ．圆O 1上的点到直线AB 的最大距离为2+√210．设等差数列{a n }的前项和为S n ，公差为d ，已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0．则（ ） A ．a 6＞0B ．﹣4＜d ＜﹣3C ．S n ＜0时，n 的最小值为13D ．S n 最大时，n ＝711．抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，P 为其上一动点，当P 运动到（2，t ）时，|PF |＝4，直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，点M （4，1），下列结论正确的是（ ） A ．抛物线的方程为y 2＝8xB ．存在直线l ，使得A 、B 两点关于x +y ﹣6＝0对称C ．|PM |+|PF |的最小值为6D ．当直线l 过焦点F 时，以AF 为直径的圆与y 轴相切12．已知有序数对（x 1，y 1）满足lnx 1﹣x 1﹣y 1+2＝0，有序数对（x 2，y 2）满足x 2+2y 2﹣4﹣2ln 2＝0，定义D ＝（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2，则（ ） A ．D 的最小值为2√55 B ．D 取最小值时x 2的值为125C ．D 的最小值为45D ．D 取最小值时x 2的值为65三、填空题：（本题共4小题，共20分．）13．在平面直角坐标系xOy 中，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）是直线l 上不同的两点，直线l 上的向量PQ →以及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量．已知直线l 的一个方向向量坐标为(−3，√3)，则直线l 的倾斜角为 ． 14．已知椭圆x 220+y 2k=1(20＞k ＞0)的焦距为8，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于AB两点，则|AB |＝ ．15．设函数f （x ）的导数为f ′（x ），且f(x)=f ′(π3)sinx +cosx ，则f ′(5π6)= ．16．已知数列{a n }满足a 1＝4，na n +1＝2（n +1）a n ，则数列{a n }的通项公式为 ，若数列{a n(n+1)(n+2)}的前n 项和S n ，则满足不等式S n ≥30的n 的最小值为 ． 四、解答题：（本题共6小题，共70分．） 17．（10分）已知函数f （x ）＝x 2﹣lnx ．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）求函数f ′（x ）＜0的解集．18．（12分）在数列{a n }中，a 1＝2，a n +1＝4a n ﹣3n +1，n ∈N *． （1）证明：数列{a n ﹣n }为等比数列 （2）求数列{a n }的前n 项和S n ．19．（12分）已知圆C 的圆心在直线3x ﹣y ＝0上，且经过点A （﹣1，3），B （1，5）． （1）求圆C 的标准方程；（2）过点P （2，1）的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且|MN |＝2√3，求直线l 的方程． 20．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1＝2，且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1+2b 2+22b 3+…+2n ﹣1b n ＝a n ，求数列{nb n }的前n 项和T n ．21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，过F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 的周长为8． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设P 为椭圆C 上的动点，过原点作直线与椭圆C 分别交于点M 、N （点P 不在直线MN 上），求△PMN 面积的最大值．22．（12分）已知函数f （x ）＝x ﹣mlnx （m ∈R ）． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若存在不相等的实数x 1，x 2，使得f （x 1）＝f （x 2），证明：0＜m ＜x 1+x 2．2023-2024学年江苏省南京一中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．题只有一个选项符合题意．）1．已知m∈R，则“m＝﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y﹣2＝0与直线3x+my+3＝0垂直”的（）A．充要条件B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件解：若两直线垂直，则当m＝0时，两直线为y＝﹣2与x＝﹣1，此时两直线垂直．当2m﹣1＝0，即m=12时，两直线为x＝4与3x+12y+3＝0，此时两直线相交不垂直．当m≠0且m≠12时，两直线的斜截式方程为y=−m2m−1x+22m−1与y=−3mx−3m．两直线的斜率为−m2m−1与−3m，所以由−m2m−1×−3m=−1得m＝﹣1，所以m＝﹣1是两直线垂直的充分不必要条件，故选：C．2．若数列{a n}满足a1＝2，a n+1a n＝a n﹣1，则a2024＝（）A．12B．2C．3D．﹣1解：∵数列{a n}满足a1＝2，a n+1a n＝a n﹣1，∴a n+1=1−1a n ，∴a2=1−12=12，a3＝1﹣2＝﹣1，a4＝1﹣（﹣1）＝2，a5=1−12=12，∴{a n}是周期为3的周期数列，而2024＝3×674+2，故a2024=a2=1 2．故选：A．3．已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），f'（x）的部分图象如图所示，则（）A．f（x）在区间（0，1）上单调递减B．f（x）的一个增区间为（﹣1，1）C．f（x）的一个极大值为f（﹣1）D．f（x）的最大值为f（1）解：结合图象：x∈（﹣1，1）时，f′（x）＞0，f（x）递增，故A错误，B正确；x∈（1，3）时，f′（x）＜0，f（x）递减，故x＝1是f（x）的极大值点，f（1）是函数f（x）的一个极大值，但不一定是最大值，即D错误；f（﹣1）是函数f（x）的一个极小值，即C错误；故选：B．4．已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，若a1+a5+a9=9，b2b5b8=3√3，则a2+a81+b2b8=（）A．2B．√3C．32D．√33解：由题意可得{a1+a5+a9=3a5=9b2b5b8=b53=3√3，解得{a5=3b5=√3，所以a2+a81+b2b8=2a51+b52=61+3=32．故选：C．5．已知点P（2，0），点Q在圆x2+y2＝1上运动，则线段PQ的中点M的轨迹方程是（）A．（x﹣1）2+y2＝1B．x2+（y﹣1）2＝1C．4（x﹣1）2+4y2＝1D．4x2+4（y﹣1）2＝1解：由题意，P（2，0），在圆x2+y2＝1中，点Q在圆上，线段PQ的中点为M，设M（x，y），则Q（2x﹣2，2y），∴（2x﹣2）2+（2y）2＝1，即：4（x﹣1）2+4y2＝1．故选：C．6．分形几何学是数学家伯努瓦•曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1的分形规律可得如图2的一个树形图，记图2中第n行黑圈的个数为a n，白圈的个数为b n，若a n＝55，则b n＝（）A ．34B ．35C ．88D ．89解：由题可知，每个白圈在下一行产生一个白圈和一个黑圈， 一个黑圈在下一行产生一个白圈和两个黑圈， 第n 行黑圈的个数为a n ，白圈的个数为b n ， 所以有a n ＝2a n ﹣1+b n ﹣1，b n ＝a n ﹣1+b n ﹣1，n ≥2，又因为a 1＝0，b 1＝1，所以a 2＝1，b 2＝1，a 3＝3，b 3＝2， a 4＝8，b 4＝5，a 5＝21，b 5＝13，a 6＝55，b 6＝34， 由a n ＝55，可得n ＝6，则b 6＝34． 故选：A ． 7．三个数a =2e2，b =ln √2，c =ln33的大小顺序为（ ） A ．b ＜c ＜a B ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜b ＜c解：设f(x)=lnx x ，f ′(x)=1−lnxx 2， ∴x ＞e 时，f ′（x ）＜0，∴f （x ）在（e ，+∞）上单调递减， 又a =2e 2=lne 2e2，b =ln √2=ln22=ln44，c =ln33，且e 2＞4＞3 ∴f （e 2）＜f （4）＜f （3）， ∴a ＜b ＜c ． 故选：D ．8．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)左、右焦点，过点F 1的直线与双曲线C 的左、右两支分别交于M ，N 两点，且sin∠NF 1F 2sin∠NF 2F 1=23，(MF 2→+MN →)⋅NF 2→=0，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．√5B ．√52C ．√7D ．√72解：由sin∠NF 1F 2sin∠NF 2F 1=23，结合正弦定理得2|NF 1|＝3|NF 2|，因为|NF 1|﹣|NF 2|＝2a ，所以|NF 1|＝6a ，|NF 2|＝4a ，又(MF 2→+MN →)⋅NF 2→=0，即(MF 2→+MN →)⋅(MF 2→−MN →)=0， 则MF 22−MN 2=0，所以|MF 2|＝|MN |．设|MF 2|＝|MN |＝m ，则|MF 1|＝6a ﹣m ，又|MF 2|﹣|MF 1|＝2a ，则m ﹣（6a ﹣m ）＝2a ，解得m ＝4a ， 所以|MF 2|＝|MN |＝4a ，|MF 1|＝2a ，所以△MF 2N 是正三角形，从而∠F 1MF 2＝120°，在△MF 1F 2中，由|F 1F 2|2=|MF 1|2+|MF 2|2−2×|MF 1|×|MF 2|×cos120°， 得（2c ）2＝（2a ）2+（4a ）2﹣2×2a ×4a ×cos120°，得c 2＝7a 2，所以e =√7． 故选：C ．二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．每题有多项符合题意，全对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．）9．已知圆O 1：x 2+y 2﹣2x ﹣3＝0和圆O 2：x 2+y 2﹣2y ﹣1＝0交于A ，B 两点，则（ ） A ．两圆的圆心距|O 1O 2|＝2B ．两圆有3条公切线C ．直线AB 的方程为x ﹣y +1＝0D ．圆O 1上的点到直线AB 的最大距离为2+√2解：根据题意，圆O 1：x 2+y 2﹣2x ﹣3＝0，即（x ﹣1）2+y 2＝4，其圆心（1，0），半径R ＝2； 圆O 2：x 2+y 2﹣2y ﹣1＝0，即x 2+（y ﹣1）2＝2，其圆心（0，1），半径r =√2； 依次分析选项：对于A ，两圆的圆心距|O 1O 2|=√1+1=√2，所以A 错误；对于B ，由于2−√2＜|O 1O 2|＜2+√2，两圆相交，有2条公切线，B 错误； 对于C ，两个圆的方程作差可得﹣2x +2y ﹣2＝0，即x ﹣y +1＝0， 故直线AB 的方程为x ﹣y +1＝0，C 正确； 对于D ，圆O 1到直线AB 的距离d =2=√2， 则圆O 1上的点到直线AB 的最大距离为R +d ＝2+√2，所以D 正确． 故选：CD ．10．设等差数列{a n }的前项和为S n ，公差为d ，已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0．则（ ） A ．a 6＞0B ．﹣4＜d ＜﹣3C ．S n ＜0时，n 的最小值为13D ．S n 最大时，n ＝7解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，由S 12＞0，则S 12=(a 1+a 12)×122=(a 6+a 7)×122=6(a 6+a 7)＞0，又a 7＜0，则a 6＞0，故A正确；对于B ，结合选项A 知a 6＞0，a 7＜0，a 6+a 7＞0，又a 3＝12，所以{a 6=12+3d ＞0a 7=12+4d ＜0a 6+a 7=24+7d ＞0，解得−247＜d ＜−3，故B 错误； 对于C ，结合选项A 知S 13=(a 1+a 13)×132=13a 7＜0，又S 12＞0，所以S n ＜0时，n 的最小值为13，故C正确；对于D，结合选项A和B知，当1≤n≤6时，a n＞0，当n≥7时，a n＜0，所以当S n最大时，n＝6，故D错误．故选：AC．11．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到（2，t）时，|PF|＝4，直线l与抛物线相交于A，B两点，点M（4，1），下列结论正确的是（）A．抛物线的方程为y2＝8xB．存在直线l，使得A、B两点关于x+y﹣6＝0对称C．|PM|+|PF|的最小值为6D．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切解：对于A选项：由y2＝2px，所以|PF|=2+p2=4，即p＝4，所以y2＝8x，故A正确；对于B选项：设A（x1，y1），B（x2，y2），设AB的中点M（x0，y0），则{y12=2px1 y22=2px2，两式相减，（y1+y2）（y1﹣y2）＝8（x1﹣x2），即2y0•k AB＝8，因为A，B关于x+y﹣6＝0对称，所以k AB＝1，所以y0＝4，x0＝2，所以（2，4）在抛物线上，不成立，故B错误；对于C选项：过P作PE垂直与准线于E，则|PM|+|PF|＝|PM|+|PE|≥6，当P，E，M共线时，等号成立，故C正确；对于D选项：如图所示，因为G为AF的中点，过点G作GD⊥y轴，所以|DG|=12(|OF|+|AQ|)=12|AC|=12|AF|，所以以AF为直径的圆与y轴相切，故D正确；故选：ACD．12．已知有序数对（x 1，y 1）满足lnx 1﹣x 1﹣y 1+2＝0，有序数对（x 2，y 2）满足x 2+2y 2﹣4﹣2ln 2＝0，定义D ＝（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2，则（ ） A ．D 的最小值为2√55B ．D 取最小值时x 2的值为125C ．D 的最小值为45D ．D 取最小值时x 2的值为65解：由lnx 1﹣x 1﹣y 1+2＝0，得：y 1＝lnx 1﹣x 1+2， D =(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2的最小值可转化为：函数y ＝lnx ﹣x +2图象上的点到直线x +2y ﹣4﹣2ln 2＝0上的点的距离的平方的最小值， 由y ＝lnx ﹣x +2得：y ′=1x−1， 与直线x +2y ﹣4﹣2ln 2＝0平行的直线的斜率为−12，则令1x −1=−12，解得：x ＝2，所以切点坐标为（2，ln 2），所以（2，ln 2）到直线x +2y ﹣4﹣2ln 2＝0的距离d =|2+2ln2−4−2ln2|√1+4=2√55．即函数y ＝lnx ﹣x +2上的点到直线x +2y ﹣4﹣2ln 2＝0上的点的距离的最小值为2√55． 所以D =(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2的最小值为d 2=45，过（2，ln 2）与x +2y ﹣4﹣2ln 2＝0垂直的直线为y ﹣ln 2＝2（x ﹣2），即2x ﹣y ﹣4+ln 2＝0． 由{x +2y −4−2ln2=02x −y −4+ln2=0，解得：x =125，即当D 最小时，x 2=125．故选：BC ．三、填空题：（本题共4小题，共20分．）13．在平面直角坐标系xOy 中，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）是直线l 上不同的两点，直线l 上的向量PQ →以及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量．已知直线l 的一个方向向量坐标为(−3，√3)，则直线l 的倾斜角为 150° ．解：因为直线l 的一个方向向量为(−3，√3)，所以直线l 的斜率k =√3−3=−√33，设直线l 的倾斜角为θ，则tanθ=−√33，因为0°≤θ＜180°，所以θ＝150°，即直线l 的倾斜角为150°． 故答案为：150°． 14．已知椭圆x 220+y 2k=1(20＞k ＞0)的焦距为8，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于AB两点，则|AB |＝4√55．解：由题意可知2c＝8，得c＝4，所以k＝20﹣16＝4，所以椭圆方程为：x220+y24=1，椭圆的右焦点为F（4，0），将x＝4代入椭圆的方程：1620+y24=1，解得|y|=2√55，所以|AB|=2|y|=4√5 5．故答案为：4√5 5．15．设函数f（x）的导数为f′（x），且f(x)=f′(π3)sinx+cosx，则f′(5π6)=1．解：因为f(x)=f′(π3)sinx+cosx，所以f′(x)=f′(π3)cosx−sinx，令x=π3，则f′(π3)=f′(π3)cosπ3−sinπ3，即f′(π3)=12f′(π3)−√32，解得f′(π3)=−√3，所以f′(x)=−√3cosx−sinx，所以f′(56π)=−√3cos56π−sin56π=−√3×(−√32)−12=1．故答案为：1．16．已知数列{a n}满足a1＝4，na n+1＝2（n+1）a n，则数列{a n}的通项公式为n•2n+1，若数列{a n(n+1)(n+2)}的前n项和S n，则满足不等式S n≥30的n的最小值为6．解：由题意可知，a n+1n+1=2×a nn，所以数列{a nn}是以a11=4为首项，以2为公比的等比数列，所以，a nn=4×2n−1=2n+1，所以a n=n⋅2n+1，则a n(n+1)(n+2)=n⋅2n+1(n+1)(n+2)=2n+2n+2−2n+1n+1，所以S n=(233−222)+(244−233)+⋯+(2n+2n+2−2n+1n+1)=2n+2n+2−2，由S n≥30，即2n+2n+2−2≥30，2n﹣3≥n+2，解得n≥6，所以n的最小值为6，故答案为：n•2n+1；6．四、解答题：（本题共6小题，共70分．）17．（10分）已知函数f（x）＝x2﹣lnx．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f′（x）＜0的解集．解：（1）依题意，函数f（x）＝x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），且f′(x)=2x−1 x ，∴f（1）＝12﹣ln1＝1，f′（1）＝2﹣1＝1，因此，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y ﹣1＝x ﹣1，即y ＝x ；（2）依题意，函数f （x ）＝x 2﹣lnx 的定义域为（0，+∞），且f ′(x)=2x −1x，令f ′（x ）＜0且x ＞0， {2x 2−1x ＜0x ＞0⇒0＜x ＜√22， 故不等式f ′（x ）＞0的解集为（0，√22） 18．（12分）在数列{a n }中，a 1＝2，a n +1＝4a n ﹣3n +1，n ∈N *．（1）证明：数列{a n ﹣n }为等比数列（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．解：（1）∵a n +1＝4a n ﹣3n +1，n ∈N *，∴a n +1﹣（n +1）＝4a n ﹣3n +1﹣（n +1），4a n ﹣4n ＝4（a n ﹣n ）．∴{a n ﹣n }为首项a 1﹣1＝1，公比q ＝4的等比数列；（2）∵a n ﹣n ＝4n ﹣1， ∴a n ＝n +4n ﹣1， S n ＝1+2+…+n +（1+4+…+4n ﹣1）=n(n+1)2+1−4n 1−4=n(n+1)2+4n−13． 19．（12分）已知圆C 的圆心在直线3x ﹣y ＝0上，且经过点A （﹣1，3），B （1，5）．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点P （2，1）的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且|MN |＝2√3，求直线l 的方程． 解：（1）设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，则3（−D 2）+E 2=0，1+9﹣D +3E +F ＝0，1+25+D +5E +F ＝0， 联立解得D ＝﹣2，E ＝﹣6，F ＝6，∴圆C 的方程为x 2+y 2﹣2x ﹣6y +6＝0，即（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝4．（2）直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为x ﹣2＝0，则2√4−1=2√3，满足|MN |＝2√3． 直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ﹣1＝k （x ﹣2），即kx ﹣y +1﹣2k ＝0，圆心C （1，3）到直线l 的距离d =|k−3+1−2k|√k +1=|k+2|√k +1， 由题意可得4−(|k+2|√k +1)2=(√3)2，解得k =−34， 直线l 的方程为y ﹣1=−34（x ﹣2），即3x +4y ﹣10＝0．综上可得直线l 的方程为：x ﹣2＝0，3x +4y ﹣10＝0．20．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1＝2，且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1+2b 2+22b 3+…+2n ﹣1b n ＝a n ，求数列{nb n }的前n 项和T n ． 解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由(1a 2)2=1a 1•1a 4，得（a 1+d ）2＝a 1（a 1+3d ）． 因为d ≠0，所以d ＝a 1＝2，所以a n ＝2n ．（2）b 1+2b 2+4b 3+…+2n ﹣1b n ＝a n ① b 1+2b 2+4b 3+…+2n ﹣1b n +2n b n +1＝a n +1② ②﹣①得：2n •b n +1＝2．∴b n +1＝21﹣n ． 当n ＝1时，b 1＝a 1＝2，∴b n ＝22﹣n ．（8分） T n =12−1+220+321+⋯+n 2n−2， 12T n =120+221+322+⋯+n 2n−1，上两式相减得 12T n ＝2+120+121+122+⋯+12n−2−n 2n−1=2+2•（1−12n−1）−n 2n−1， ∴T n ＝8−n+22n−2． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，过F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 的周长为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设P 为椭圆C 上的动点，过原点作直线与椭圆C 分别交于点M 、N （点P 不在直线MN 上），求△PMN 面积的最大值．解：（1）由椭圆的定义可知三角形F1AB的周长为4a＝8，所以a＝2，又离心率e=ca=12，所以c＝1，则b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆的方程为x24+y23=1；（2）①当直线MN不与x轴垂直时，设直线的方程为y＝kx，M（x，y），N（﹣x，﹣y），代入椭圆方程可得：x2=123+4k2，y2=12k23+4k3，则|MN|=√(−x−x)2+(−y−y)2=2√x2+y2=4√3√1+k23+4k2，设与MN平行且与椭圆相切的直线方程为y＝kx+m，代入椭圆方程可得：（3+4k2）x2+8mkx+4m2﹣12＝0，则Δ＝64m2k2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＝0，解得m2＝3+4k2，则点P到MN的最大距离为两平行线间的距离，d max=√1+k =√m21+k2=√3+4k21+k2，所以三角形PMN的面积的最大值为S max=12|MN|⋅d max=12×4√3√1+k23+4k2⋅√3+4k21+k2=2√3，②若直线MN与x轴垂直时，则P在长轴顶点时三角形PMN的面积取得最大值，且此时的面积为S=12×2b×a=2√3，综上，三角形PMN的面积的最大值为2√3．22．（12分）已知函数f（x）＝x﹣mlnx（m∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若存在不相等的实数x1，x2，使得f（x1）＝f（x2），证明：0＜m＜x1+x2．解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=1−mx=x−mx，当m≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＞0时，由f′（x）＞0得x＞m，所以f（x）在（m，+∞）上单调递增；由f′（x）＜0得0＜x＜m，所以f（x）在（0，m）上单调递减；故当m≤0时，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＞0时，f（x）在（m，+∞）上单调递增，在（0，m）上单调递减；（2）证明：f（x）＝x﹣mlnx，x＞0，f′(x)=1−mx=x−mx，由（1）可知，当m≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，故不存在不相等的实数x1，x2，使得f（x1）＝f（x2），所以m＞0．由f（x1）＝f（x2）得x1﹣mlnx1＝x2﹣mlnx2，即m（lnx2﹣lnx1）＝x2﹣x1，不妨设0＜x1＜x2，则lnx2﹣lnx1＞0，则m=x2−x1lnx2−lnx1＞0，要证m＜x1+x2，只需证x2−x1lnx2−lnx1＜x1+x2，即证x2−x1x1+x2＜lnx2−lnx1，只需证x2x1−1x2x1+1＜lnx2x1，令t=x2x1＞1，则只需证t−1t+1＜lnt，即证lnt−t−1t+1＞0，令g(t)=lnt−t−1t+1，(t＞1)，则g′(t)=1t−2(t+1)2=t2+1t(t+1)2＞0，所以g（t）在（1，+∞）上是增函数，所以g（t）＞g（1）＝0，从而lnt−t−1t+1＞0，故0＜m＜x1+x2．。
江苏省南京市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学含答案
南京市高二年级期末试卷数学（答案在最后）2024.01注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名､准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第I 卷（选择题共60分）一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在平面直角坐标系xOy 中，若直线()210x a y +-+=与直线310ax y +-=互相垂直，则实数a 的值是（）A.-1B.23C.32D.32.现有5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择种数为（）A.53 B.35A C.35C D.353.设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则“10a <，且01q <<”是“对于任意*N 都有1n n a a +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.在空间直角坐标系xOy 中，已知()()1,2,1,1,1,1a b x =--=-- ，且a 与b的夹角为钝角，则x 的取值范围是（）A.()0,∞+ B.()0,3 C.()3,+∞ D.()()0,33,⋃+∞5.如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，且BC ⊥平面PAB ，PA ⊥AB ，M 为PB 的中点，PA ＝AD ＝2.若AB ＝1，则二面角B —AC —M 的余弦值为（）A.66B.36C.26D.166.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(4)(8)1C x y -+-=，圆222:(6)(6)9C x y -++=.若圆心在x轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是（）A.2281x y +=B.2264x y +=C.2249x y += D.2236x y +=7.已知数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=+，则35991a a a a ++++ 的值是（）A .25B.50C.75D.1008.已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点1F ，2F ，点P 是两曲线在第一象限的交点，且12F F 在1F P上的投影等于1F P ，1e ，2e 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的离心率，则22129e e +的最小值是（）A.4B.6C.8D.16二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.过点(2,1)P 且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（）A.30x y +-= B.30x y ++= C.10x y --= D.20x y -=10.已知某种产品的加工需要经过5道工序，则下列说法正确的是（）A.若其中某道工序不能放在最后，有96种加工顺序B.若其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有72种加工顺序C.若其中某2道工序必须相邻，有48种加工顺序D.若其中某2道工序不能相邻，有36种加工顺序11.在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线2:4C y x =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于,A B 两点，则（）A.AB 的最小值为2B.以线段AF为直径的圆与y 轴相切C.111FA FB+=D.当3AF FB =时，直线AB 的斜率为1±12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 满足()101,01BE BC BB λμλμ=+≤≤≤≤，则（）A.若λμ=，则1B C AE ⊥B.若1λμ+=，则1B C 平面1A DEC.若1λμ+=，则1AE D E +D.若221λμ+=，则AE 与平面11BB C C 的所成角为定值π4第II 卷（非选择题共90分）三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知1121n n C -+=，那么n =________；14.在直三棱柱111ABC A B C -中，3,3,AC BC AB ===,14AA =,则异面直线1AC 与1BC 所成角的余弦值为__________．15.数列{}n a 满足1111,2n na a a +=-=，则2024a =__________.16.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:14yC x -=的左､右顶点分别为P 、Q ，点D 在双曲线上且位于第一象限，若DP t DQ =且2DQP DPQ ∠=∠，则t 的值是__________.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）17.如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC 的棱长为1，M 是棱BC 的中点，点N 满足2ON NM =，点P 满足34AP AN =.（1）用向量OAOB OC，，表示OP；（2）求||OP .18.在平面直角坐标系xOy 中，已知半径为4的圆C 与直线1:3480l x y -+=相切，圆心C 在y 轴的负半轴上.（1）求圆C 的方程；（2）若直线2:170l kx y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且ABC 的面积为8，求直线2l 的方程.19.在等比数列{}n a 中，3339,22a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2216log n n b a +=，且{}n b 为递增数列，若11n n n c b b +=，求证：12314n c c c c ++++< ．20.如图，四棱锥S ABCD -中，ABS 是正三角形，四边形ABCD 是菱形，点E 是BS的中点.（I）求证：SD //平面ACE ；（II）若平面ABS ⊥平面ABCD ，120ABC ∠=︒，求直线AC 与平面ADS 所成角的正弦值.21.数列{}n a 的前n 项和为n s ，11a =，对任意的*n ∈N 有0n a >，1n a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b ，15-2b =，*111,2()n n n n n N b b a +++∀∈-=，求数列{}n b 的通项公式.22.已知椭圆2221(1)x y a a+=>，过点(作椭圆的两条切线，且两切线垂直.（1）求a ；（2）已知点()0,1Q -，若直线l 与椭圆交于,M N ，且以MN 为直径的圆过点Q （,M N 不与Q 重合），求证直线MN 过定点，并求出定点.南京市高二年级期末试卷数学2024.01注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名､准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第I 卷（选择题共60分）一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在平面直角坐标系xOy 中，若直线()210x a y +-+=与直线310ax y +-=互相垂直，则实数a 的值是（）A.-1B.23C.32D.3【答案】C 【解析】【分析】根据两直线垂直的条件列方程求解．【详解】直线()210x a y +-+=与直线310ax y +-=互相垂直，则1(2)30a a ⋅+-⋅=，解得32a =.故选：C2.现有5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择种数为（）A.53B.35A C.35C D.35【答案】A 【解析】【分析】利用分步计数原理即得．【详解】每一位同学有3种不同的选择，则5名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的1个讲座，不同选法的种数是53.故选：A ．3.设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则“10a <，且01q <<”是“对于任意*N 都有1n n a a +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质分析判断即可【详解】若10a <，且01q <<，则111111(1)0n n n n n a a q a q a q q a -+--=-=->，所以1n n a a +>，反之，若1n n a a +>，则111111(1)0n n n n n a a q a q a q q a -+--=-=->，所以10a <，且01q <<或10a >，且1q >，所以“10a <，且01q <<”是“对于任意*N ，都有1n n a a +>”的充分不必要条件.故选：A4.在空间直角坐标系xOy 中，已知()()1,2,1,1,1,1a b x =--=-- ，且a 与b的夹角为钝角，则x 的取值范围是（）A.()0,∞+ B.()0,3 C.()3,+∞ D.()()0,33,⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】根据题意得出0a b ⋅< 且a 与b 不共线，根据数量积公式列出不等式并排除两个向量反向时x 的值，从而得解.【详解】因为a与b的夹角为钝角，所以0a b ⋅< ，且a 与b 不共线，又()()1,2,1,1,1,1a b x =--=--则()()11211120a b x x ⋅=⨯--⨯--⨯=-<，解得0x >，若a与b共线，则111112x --==--，即3x =，此时a b =- ，a 与b 反向，需要舍去，所以x 的取值范围为0x >且3x ≠，即()()0,33,x ∈⋃+∞.故选：D.5.如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，且BC ⊥平面PAB ，PA ⊥AB ，M 为PB 的中点，PA ＝AD ＝2.若AB ＝1，则二面角B —AC —M 的余弦值为（）A.6B.6 C.26D.16【答案】A 【解析】【分析】以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A -xyz ，求平面AMC 的一个法向量n以及平面ABC 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】因为BC ⊥平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以PA ⊥BC ，又PA ⊥AB ，且BC ∩AB ＝B ，所以PA ⊥平面ABCD .以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A -xyz .则A (0，0，0)，C (1，2，0)，P (0，0，2)，B (1，0，0)，M 1,0,12⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1,2,0AC = ，1,0,12AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得平面AMC 的一个法向量为n＝(－2，1，1)，又平面ABC 的一个法向量AP＝(0，0，2)，所以cos 〈n ，AP〉＝6n AP n AP⋅=== .所以二面角B --AC --M的余弦值为6.故选：A【点睛】本题考查了空间向量法求面面角，考查了基本运算求解能力，属于基础题.6.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(4)(8)1C x y -+-=，圆222:(6)(6)9C x y -++=.若圆心在x轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是（）A .2281x y += B.2264x y +=C.2249x y += D.2236x y +=【答案】A 【解析】【分析】由题知圆C 与圆1C 的公共弦是圆1C 的直径，圆C 与圆2C 的公共弦是圆2C 的直径，进而设圆C 的圆心为(,0)C a ，半径为r 得2222121,9r CC r CC =+=+，再结合距离公式解方程即可得答案.【详解】圆C 平分圆C 1等价于圆C 与圆1C 的公共弦是圆1C 的直径．同理圆C 与圆2C 的公共弦是圆2C 的直径设圆C 的圆心为(,0)C a ，半径为r ，则()222x a y r -+=，所以2222121,9r CC r CC =+=+，即()()()222222481669a r a r⎧-+-+=⎪⎨-++=⎪⎩，解得20,81.a r =⎧⎨=⎩所以圆C 的方程为2281x y +=．故选：A7.已知数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=+，则35991a a a a ++++ 的值是（）A.25B.50C.75D.100【答案】B 【解析】【分析】根据所给递推关系可得317599972a a a a a a +=+==+= ，即可得解.【详解】由1(1)21nn n a a n ++-=+，故2212212(1)41nn n n n a a a a n +++-=+=+，21221221(1)41n n n n n a a a a n ---+-=-=-，则()()212221212141412n n n n n n a a a a a a n n +-+-+--=+=+--=，故317599972a a a a a a +=+==+= ，故91359502502a a a a ++=⨯+=+ .故选：B.8.已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点1F ，2F ，点P 是两曲线在第一象限的交点，且12F F 在1F P上的投影等于1F P ，1e ，2e 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的离心率，则22129e e +的最小值是（）A.4B.6C.8D.16【答案】C 【解析】【分析】由12F F 在1F P上的投影等于1F P 可知PF 1⊥PF 2，利用椭圆与双曲线的焦距相同找到1e 和2e 的关系，最后构建函数利用导数求出22129e e +的最小值.【详解】如图，设半焦距为c ．∵点P 是两曲线在第一象限的交点，且12F F 在1F P上的投影等于1F P，∴PF 1⊥PF 2．设1PF m =，2PF n =，则12m n a +=，22m n a -=．∴22()()4m n m n mn +--=＝21a ﹣22a ．在12PF F △中，由勾股定理可得：()()22222221124242c m n m n mn a a a =+=+-=--.∴222122c a a =+．两边同除以c 2，得2＝221211+e e ，所以()()222222121212222212219111==1199++10+10+6=8222e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭++，当22123=e e即1=3e 时取等号，因此9e 12+e 22的最小值是8．故选：C.【点睛】求最值题目一般分为三步：①写表达式；②消元；③求值域.二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.过点(2,1)P 且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（）A.30x y +-=B.30x y ++= C.10x y --= D.20x y -=【答案】ACD 【解析】【分析】利用截距式的求法，讨论截距的绝对值相等的情况，在进行截距式假设时，分截距为0，截距不为0进行假设.【详解】当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为1x ya b+=，由题可得211,,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩所以211,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩或211,,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩解得3,3a b =⎧⎨=⎩或1,1,a b =⎧⎨=-⎩所以直线方程为30x y +-=或10x y --=，故A ，C 正确；当直线的截距为0时，设直线方程为y kx =，由题可知12k =，故直线方程为20x y -=，D 正确．故选：ACD10.已知某种产品的加工需要经过5道工序，则下列说法正确的是（）A.若其中某道工序不能放在最后，有96种加工顺序B.若其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有72种加工顺序C.若其中某2道工序必须相邻，有48种加工顺序D.若其中某2道工序不能相邻，有36种加工顺序【答案】AC 【解析】【分析】对AB ：根据分步计数原理，先安排特殊的工序，再安排其它工序即可；对C ：采用捆绑法，再根据分步计数原理即可求得结果；对D ：采用插空法，再根据分步计数原理即可求得结果.【详解】假设有甲乙丙丁戊，这5道工序.对A ：假设甲工序不能放到最后，则甲有4种安排方式，根据分步计数原理，所有的安排顺序有：4432196⨯⨯⨯⨯=种，故A 正确；对B ：假设甲乙2道工序不能放到最前，也不能放到最后，先安排甲乙，则共有326⨯=种安排方式；再安排剩余3道工序，共有3216⨯⨯=种；根据分步计数原理，则所有的安排顺序有：6636⨯=种，故B 错误；对C ：假设甲乙工序相邻，将甲和乙捆绑为一道工序，和剩余3道工序放在一起排序，则共有4321248⨯⨯⨯⨯=种加工顺序，故C 正确；对D ：假设甲乙工序不能相邻，则先安排剩余3道工序，在形成的4个空中，安排甲乙，故共有：3214372⨯⨯⨯⨯=种加工顺序，故D 错误.故选：AC.11.在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线2:4C y x =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于,A B 两点，则（）A.AB 的最小值为2B.以线段AF为直径的圆与y 轴相切C.111FA FB+=D.当3AF FB =时，直线AB 的斜率为1±【答案】BC 【解析】【分析】根据题意设直线:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程可得124y y m +=，124y y =-，进而可得21242x x m +=+，()241AB m =+，根据抛物线的定义结合韦达定理逐项分析判断即可得.【详解】由题意可知：拋物线C ：24y x =的焦点()1,0F ，准线为=1x -，且直线l 的斜率可以不存在，但不为0，设直线:1l x my =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立方程214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 可得2440y my --=，则216160m ∆=+>，可得12124,4y y m y y +==-，可得()()()212121211242x x my my m y y m +=+++=++=+，()212241AB x x m =++=+，对于选项A ：因为()2414AB m =+≥，当且仅当0m =时，等号成立，所以AB 的最小值为4，故A 错误；对于选项B ：因为线段AF 的中点为111,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，1112p AF x x =+=+，则M 到y 轴的距离112x d +=，以以线段AF 为直径的圆的半径为112x +，即圆心到y 轴的距离等于该圆半径，故y 轴与该圆相切，故B 正确；对于选项C ：因为12121111111122FA FB x x my my +=+=+++++()()2212222212124444412448444m y y m m m y y m y y m m m ++++====+++-+++，所以111FA FB+=，故C 正确；对于选项D ：因为()()11221,,1,AF x y FB x y =--=-uuu r uu r ，且3AF FB =，则123y y -=，即123y y =-，联立121234y y y y m =-⎧⎨+=⎩，解得1262y my m =⎧⎨=-⎩，代入124y y =-可得2124m -=-，解得3m =±，所以直线l的斜率为，故D 错误.故选：BC.12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 满足()101,01BE BC BB λμλμ=+≤≤≤≤，则（）A.若λμ=，则1B C AE ⊥B.若1λμ+=，则1B C 平面1A DEC.若1λμ+=，则1AE D E +D.若221λμ+=，则AE 与平面11BB C C 的所成角为定值π4【答案】ACD 【解析】【分析】对于A 选项，点E 为1BC 中点，连接1AB 和AC ，易知1B C AE ⊥；对于B 选项，点E 在线段1B C 上运动，1B ，C ，1A ，D 四点共面，平面1A DE 和平面11B CA D 为同一平面；对于C 选项，AE 扫过的平面为平面1AB C ，1D E 扫过的平面为平面11D B C ，将这两个平面独立出来展开成同一个平面即可求解；对于D 选项，点E 在以B 为圆心半径为1的14圆上运动，AE 扫过的图形为圆锥面，据此即可求解.【详解】对于A 选项，因为λμ=，所以易知点E 为1BC 中点，如图，连接1AB 和AC ，由正方形易知1AB AC =，因为点E 是1B C 的中点，所以1B C AE ⊥，故A 选项正确；对于B 选项，由题意得点E 在线段1B C 上运动，由正方体的性质可知11//B C A D ，所以1B ，C ，1A ，D 四点共面，因为点1E C B ∈，所以点E ∈平面11CDA B ，所以平面1A DE 和平面11B CA D 为同一平面，所以1B C 在平面1A DE ，故B 选项错误；对于C 选项，由题意得AE 扫过的平面为平面1AB C ，1D E 扫过的平面为平面11D B C ，所以将这两个平面独立出来展开成同一个平面，易知当点A 、E 、1D 三点共线时1AE ED +最短，所以1162260AE ED AD +≥=︒=，故C 选项正确；对于D 选项，由11BC BB ==和221λμ+=易知点E 在以B 为圆心半径为1的14圆上运动，因为AB ⊥平面11BCC B ，所以AE 扫过的图形为圆锥面，所以12AE AB AC ===，且AE 为圆锥的母线，因为圆锥的母线与底面的夹角是恒定的，所以AE 与平面11BB C C 的所成的线面角θ恒定，因为1t n 11a h r θ===，所以π4θ=，故D 选项正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题关键在于AE 扫过的平面为平面1AB C ，1D E 扫过的平面为平面11D B C ，点E 在以B 为圆心半径为1的14圆上运动的分析.第II 卷（非选择题共90分）三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知1121n n C -+=，那么n =________；【答案】6【解析】【分析】根据组合数的性质及组合数的计算公式计算可得；【详解】解：因为1121n n C -+=，所以2121n C +=，即()1212n n +=，即2420n n +-=，解得6n =或7n =-（舍去）故答案为：614.在直三棱柱111ABC A B C -中，3,3,32AC BC AB ===,14AA =,则异面直线1AC 与1BC 所成角的余弦值为__________．【答案】1625【解析】【分析】先由题意可得1CA CB CC 、、两两垂直，以C 点为坐标原点，以1CA CB CC 、、方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求出直线1AC 与1BC 的方向向量，根据向量夹角余弦值即可得出结果.【详解】因为3,3,32AC BC AB ===，所以角C 为直角，又直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以1CA CB CC 、、两两垂直，以C 点为坐标原点，以1CA CB CC 、、方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()10,0,4C ，()13,0,4A ，()0,3,0B ，所以()13,0,4A C =-- ，()10,3,4BC =-，设异面直线1AC 与1BC 所成角为θ，则1111114416cos cos 25916916A C BC A C BC A C BC θ⋅-⨯====+⨯+，.故答案为1625【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，空间向量法求异面直线所成角，是一种常用的方法，属于常考题型.15.数列{}n a 满足1111,2n na a a +=-=，则2024a =__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项.【详解】由题设312411,2, (2)2,,a a a a =-===，所以{}n a 是周期为3的数列，则202436742212a a a ⨯+===.故答案为：1216.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:14yC x -=的左､右顶点分别为P 、Q ，点D 在双曲线上且位于第一象限，若DP t DQ =且2DQP DPQ ∠=∠，则t 的值是__________.【答案】233【解析】【分析】设DPQ θ∠=，则2DQP θ∠=，由4DP DQ k k ⋅=得出cos 3θ=，再由正弦定理有||||sin 2sin DP DQ θθ=，即可得出t .【详解】如图所示，设DPQ θ∠=，则2DQP θ∠=，设11(,)D x y ，则221114y x -=，即212141y x =-，由双曲线方程可得(1,0),(1,0)P Q -，所以211121114111DP DQy y y k k x x x ⋅=⋅==+--，又2DQP DPQ ∠=∠，()tan ,tan π2DP DQ k k θθ==-，则()tan tan π24θθ⋅-=，解得tan θ=，则cos 3θ=，在DPQ V 中，由正弦定理得||||sin 2sin DP DQ θθ=，可得||sin 2232cos ||sin 3DP t DQ θθθ====.故答案为：3.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）17.如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC 的棱长为1，M 是棱BC 的中点，点N 满足2ON NM =，点P 满足34AP AN = .（1）用向量OAOB OC ，，表示OP；（2）求||OP.【答案】（1）111444OP OA OB OC=++ （2）6||4OP =【解析】【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解；（2）先计算22111444OP OA OB OC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再开方即可求解.【小问1详解】因为M 是棱BC 的中点，点N 满足2ON NM =，点P 满足34AP AN = .所以()33131324444443OP OA AP OA AN OA ON OA OA ON OA OM=+=+=+-=+=+⨯()111111422444OA OB OC OA OB OC =+⨯+=++；【小问2详解】因为正四面体（四个面都是正三角形）OABC 的棱长为1，所以1OA OB OC === ，π3AOB AOC BOC ∠=∠=∠=，所以111122OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅=⨯⨯= ，所以22111444OP OA OB OC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭222111111111222161616444444OA OB OC OA OB OB OC OA OC =+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ 11111131616161616168=+++++=，所以||4OP = .18.在平面直角坐标系xOy 中，已知半径为4的圆C 与直线1:3480l x y -+=相切，圆心C 在y 轴的负半轴上.（1）求圆C 的方程；（2）若直线2:170l kx y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且ABC 的面积为8，求直线2l 的方程.【答案】（1）22(3)16x y ++=（2）7170x y -+=或7170x y +-=.【解析】【分析】（1）设出圆心，借助点到直线距离公式可解得圆心坐标，即可得方程；（2）结合三角形面积与点到直线距离公式及勾股定理计算即可得.【小问1详解】由已知可设圆心()0,(0)C b b <，4=，解得3b =-或7b =（舍），所以圆C 的方程为22(3)16x y ++=；【小问2详解】设圆心C 到直线2l 的距离为d ，则182ABC AB S AB d ==⨯== ，即4216640d d -+=，解得d =又d ==所以7k =或7-，所以直线2l 的方程为7170x y -+=或7170x y +-=.19.在等比数列{}n a 中，3339,22a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2216log n n b a +=，且{}n b 为递增数列，若11n n n c b b +=，求证：12314n c c c c ++++< ．【答案】（1）32n a =或1162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将3339,22a S ==化为1,a q ，联立方程组，求出1,a q ，可得32n a =或1162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭；（2）由于{}n b 为递增数列，所以取1162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭，化简得2n b n =，()1111114141n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭ ，其前n 项和为()1114414n -<+.【详解】（1）假设等比数列{a n }公比为q,3339,22a S == ，313·2a a q ∴==，且()3312113S a a a a q -=+=+=，解得1132q a =⎧⎪⎨=⎪⎩或1126q a ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，32n a ∴=或1162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭；（2）由题意{}n b 为递增数列，所以取1162n n a -⎛⎫=⨯-⎪⎝⎭，222222166log log log 22162n n nn b na +====⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，()111111·4141n n n c b b n n n n +⎛⎫∴===- ⎪++⎝⎭，()123111111111111142231414414n c c c c n n n n ⎛⎫⎛⎫∴++++=-+-+-=-=-< ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭ ．20.如图，四棱锥S ABCD -中，ABS 是正三角形，四边形ABCD 是菱形，点E 是BS的中点.（I）求证：SD //平面ACE ；（II）若平面ABS ⊥平面ABCD ，120ABC ∠=︒，求直线AC 与平面ADS 所成角的正弦值.【答案】（I）证明见解析；（II）5.【解析】【分析】（I）连接BD 交AC 于点F，再连接EF，利用EF 是三角形DBS 的中位线，判断出DS 平行EF，再利用线面平行的判定得证;（II）取AB 的中点为O，利用已知条件证明DO、SO、BO 两两垂直，然后建立空间直角坐标系，求出平面ADC 的法向量，再利用线面角的公式求出直线AC 与平面ADS 所成角的正弦值.【详解】（I）证明：连接BD 角AC 于点F，再连接EF.因为四边形ABCD 是菱形，所以点F 是BD 的中点，又因为点E 是BS 的中点，所以EF 是三角形DBS 的中位线，所以DS 平行EF，又因为EF ⊂平面ACE，SD ⊄平面ACE 所以SD //平面ACE（II）因为四边形ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒，所以1602ABD ABC ∠=∠= 又AB=AD，所以三角形ABD 为正三角形.取AB 的中点O，连接SO，则DO ⊥AB 因为平面ABS ⊥平面ABCD ，平面ABS平面ABCD =AB所以DO ⊥平面ABS，又因为三角形ABS 为正三角形则以O为坐标原点建立坐标系设AB=2a，则(0,,0),,0,0),(0,0,),(0,2,)A a S D C a-(0,),,,0),(0,3)AD a AS a AC a ===设平面ADS 的一个法向量为(,,)n x y z =则0000y AD n AS n y ⎧⎧+=⋅=⎪⇒⎨⋅=+=⎩ 取x=1，则1y z ==所以(1,n =r设直线AC 与平面ADS 所成角为θ则sin cos ,5AC n AC n AC nθ⋅===⋅【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理以及运用空间向量去解决立体几何的问题，如何建系和求法向量是解题的关键，属于中档题.21.数列{}n a 的前n 项和为n s ，11a =，对任意的*n ∈N 有0n a >，1n a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b ，15-2b =，*111,2()n n n n n N b b a +++∀∈-=，求数列{}n b 的通项公式.【答案】（1）21n a n =-；（2）232n nn b +=-.【解析】【分析】（1）利用递推关系化简，消去S n ，得到a n 与a n+1间的关系，满足等差数列定义，从而求得通项公式；（2）将（1）中通项代入递推关系中，化简得到等差数列乘等比数列的形式，利用错位相减法求和，即可得到数列通项.【详解】解：（1）()214n n a s +=①，2n+11(+1)4n a s +=②②-①得到()()11124n n n n n aa a a a +++++-=，所以()()1120n n n n a a a a +++--=因为10n n a a ++>所以12n n a a +-=所以数列{}n a 为等差数列，又因为11a =所以21n a n =-（2）因为*111,2()n n n n n N b b a +++∀∈-=所以11112122n n n n n a n b b +++++-==所以11232211()())()n n n n n b b b b b b b b b b ---=-+-++-+-+ （1322-12353522222n n n n --=++++- ③所以12212n-12353252222n n n n b ---=++++- ④.所以④-③得到1222222112222n n n n n b ---=+++-- =2111-)212322112212n n n n n --+--=--（【点睛】方法点睛：化简转化递推关系，转化为满足等差数列的形式，利用错位相减法求解等比数列与等差数列乘积形式的前n 项和.22.已知椭圆2221(1)x y a a+=>，过点(作椭圆的两条切线，且两切线垂直.（1）求a ；（2）已知点()0,1Q -，若直线l 与椭圆交于,M N ，且以MN 为直径的圆过点Q （,M N 不与Q 重合），求证直线MN 过定点，并求出定点.【答案】（1；（2）证明过程见解析，定点坐标为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）设切线方程，联立直线与椭圆，利用相切，得判别式为0，再利用切线垂直，即可得a 的值；（2）设直线MN 的方程，由以MN 为直径的圆过点Q ，得0QM QN ⋅=，利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【小问1详解】由题可知，切线斜率存在，则设切线y kx =，联立得222220x k x a+++=，即()22222120a k x kx a +++=，相切得：()42222Δ12810a k aa k=-+=，即2220a k -=，所以12,=-=k k a a由两切线垂直得：12221k k a-⋅==-a ∴=；【小问2详解】由（1）得，椭圆方程为2212x y +=由题可知，直线MN 的斜率存在，设:=+MN y nx t ，联立得()222214220+++-=n x ntx t 设()()1122,,,M x y N x y ，由韦达定理得：2121222422,2121--+==++nt t x x x x n n 由题意MN 为直径的圆过点Q ，1122121212(,1)(,1)10QM QN x y x y x x y y y y ⋅=+⋅+=+++∴+=①又22221212121222()()()21-=++=+++=+t n y y nx t nx t n x x nt x x t n 12121222()()()221=+++=++++=t y y nx t nx t n x x t n代入①式得：23210t t +-=13t ∴=或1-（舍去），所以MN 过定点10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数的关系，结合圆的几何性质是解题的关键.。
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南京市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是．2．（5分）双曲线=1的渐近线方程是．3．（5分）已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x﹣4y+a=0的距离为1，则实数a的值是．5．（5分）曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是．6．（5分）已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最大值是．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是．9．（5分）观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此规律，（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=．10．（5分）若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是．11．（5分）已知函数f（x）=（x2+x+m）e x（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则函数f （x）的极小值是．12．（5分）有下列命题：①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f （x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是．13．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（﹣2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则椭圆E离心率的取值范围是．14．（5分）已知t＞0，函数f（x）=，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4）．（1）求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线的方程．16．（14分）已知数列{a n}满足a1=1，（a n﹣3）a n+1﹣a n+4=0（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．18．（16分）某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D 两点，其中点C在x轴上方．（1）求椭圆E的方程；（2）若BC⊥CD，求k的值；（3）记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．20．（16分）已知函数f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，求a的取值范围．2016-2017学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是若|a|≠|b|，则a≠b．【解答】解：命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是命题“若|a|≠|b|，则a≠b”，故答案为：“若|a|≠|b|，则a≠b”2．（5分）双曲线=1的渐近线方程是y=±2x．【解答】解：∵双曲线标准方程为=1，其渐近线方程是=0，整理得y=±2x．故答案为y=±2x．3．（5分）已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是2．【解答】解：==，∵复数为纯虚数，∴，解得a=2．故答案为：2．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x﹣4y+a=0的距离为1，则实数a的值是±5．【解答】解：由题意，=1，∴a=±5．故答案为±5．5．（5分）曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是﹣3．【解答】解：设直线与曲线的切点为P（m，n）则有：⇒，化简求：m=1，b=n﹣4；又因为点P满足曲线y=x4，所以：n=1；则：b=n﹣4=﹣3；故答案为：﹣3．6．（5分）已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最大值是9．【解答】解：实数x，y满足条件作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，则当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由可得A（3，3）．此时z=9，故答案为：9．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是4．【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|PF|=x+1=5，∴x=4，故答案为：48．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是3＜r＜7．【解答】解：由题意，圆心距为5，∴|r﹣2|＜5＜r+2，∴3＜r＜7．故答案为3＜r＜7．9．（5分）观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此规律，（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=n （n+1）．【解答】解：观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此规律（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=×n（n+1），故答案为：n（n+1）10．（5分）若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．【解答】解：若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则△=a2﹣4a≥0，解得：a∈（﹣∞，0]∪[4，+∞），故答案为：（﹣∞，0]∪[4，+∞）11．（5分）已知函数f（x）=（x2+x+m）e x（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则函数f （x）的极小值是﹣1．【解答】解：f（x）=（x2+x+m）e x，f′（x）=（x2+3x+m+1）e x，若f（x）在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则f′（﹣3）=0，解得：m=﹣1，故f（x）=（x2+x﹣1）e x，f′（x）=（x2+3x）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜﹣3，故f（x）在（﹣∞，﹣3）递增，在（﹣3，0）递减，在（0，+∞）递增，故f（x）极小值=f（0）=﹣1，故答案为：﹣1．12．（5分）有下列命题：①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f （x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是②④．【解答】解：对于①，当m=1时，方程x2+my2=1表示圆，故错；对于②，∵a=±1时，直线l1与直线l2都平行，故正确；对于③，若函数f （x）=x3+mx单调递增⇒m≥0，故错；对于④，p或q是真命题⇒p且q不一定是真命题；⇒p且q是真命题⇒p或q一定是真命题，故正确；故答案为：②④13．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（﹣2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则椭圆E离心率的取值范围是[] ．【解答】解：设P（x，y），由PM=PF⇒PM2=2PF2⇒（x+2c）2+y2=2（x+c）2+2y2⇒x2+y2=2c2，椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则圆x2+y2=2c2与椭圆E：+=1（a＞b＞0）有公共点，∴b≤≤a⇒⇒．故答案为：[]14．（5分）已知t＞0，函数f（x）=，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是（3，4）．【解答】解：∵函数f（x）=，∴函数f′（x）=，当x＜，或x＜t时，f′（x）＞0，函数为增函数，当＜x＜t时，f′（x）＜0，函数为减函数，故当x=时，函数f（x）取极大值，函数f（x）有两个零点0和t，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则方程f（x）﹣1=0和f（x）﹣1=t各有三个解，即函数f（x）的图象与y=1和y=t+1各有三个零点，由y|x=t==，故，=（t﹣3）（2t+3）2＞0得：t＞3，故不等式的解集为：t∈（3，4），故答案为：（3，4）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4）．（1）求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线的方程．【解答】解：（1）由B（10，4），C（2，﹣4），得BC中点D的坐标为（6，0），…（2分）所以AD的斜率为k==8，…（5分）所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y﹣0=8（x﹣6），即8x﹣y﹣48=0．…（7分）（2）由B（10，4），C（2，﹣4），得BC所在直线的斜率为k==1，…（9分）所以BC边上的高所在直线的斜率为﹣1，…（12分）所以BC边上的高所在直线的方程为y﹣8=﹣1（x﹣7），即x+y﹣15=0．…（14分）16．（14分）已知数列{a n}满足a1=1，（a n﹣3）a n+1﹣a n+4=0（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【解答】解：（1）令n=1，﹣2a2+3=0，a2=，令n=2，﹣a3﹣+4=0，a3=，令n=3，﹣a4﹣+4=0，a4=．（2）猜想a n=（n∈N*）．证明：当n=1时，a1=1=，所以a n=成立，假设当n=k时，a n=成立，即a k=，则（a k﹣3）a k+1﹣a k+4=0，即（﹣3）a k+1﹣+4=0，所以a k+1=，即a k+1==，所以当n=k+1时，结论a n=成立．综上，对任意的n∈N*，a n=成立．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．【解答】解：（1）过点（2，﹣1）且与直线x+y﹣1=0垂直的直线方程为x﹣y﹣3=0，…（2分）由解得，所以圆心M的坐标为（1，﹣2），…（4分）所以圆M的半径为r=，…（6分）所以圆M的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2．…（7分）（2）因为直线l被圆M截得的弦长为，所以圆心M到直线l的距离为d==，…（9分）若直线l的斜率不存在，则l为x=0，此时，圆心M到l的距离为1，不符合题意．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx，即kx﹣y=0，由d==，…（11分）整理得k2+8k+7=0，解得k=﹣1或﹣7，…（13分）所以直线l的方程为x+y=0或7x+y=0．…（14分）18．（16分）某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．【解答】（本题满分16分）解：（1）作AH⊥CF于H，则OH=cosθ，AB=2OH=2cosθ，AH=sinθ，…（2分）则六边形的面积为f （θ）=2×（AB+CF）×AH=（2cosθ+2）sinθ=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，）．…（6分）（2）f′（θ）=2[﹣sinθsinθ+（cosθ+1）cosθ]=2（2cos2θ+cosθ﹣1）=2（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．…（10分）令f′（θ）=0，因为θ∈（0，），所以cosθ=，即θ=，…（12分）当θ∈（0，）时，f′（θ）＞0，所以f （θ）在（0，）上单调递增；当θ∈（，）时，f′（θ）＜0，所以f （θ）在（，）上单调递减，…（14分）所以当θ=时，f （θ）取最大值f （）=2（cos+1）sin=．…（15分）答：当θ=时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为平方百米．…（16分）19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D 两点，其中点C在x轴上方．（1）求椭圆E的方程；（2）若BC⊥CD，求k的值；（3）记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．【解答】解：（1）因为3=，所以3（﹣1+a，0）=（a+1，0），解得a=2．…（2分）又因为=，所以c=，所以b2=a2﹣c2=1，所以椭圆E的方程为+y2=1．…（4分）（2）设点C的坐标为（x0，y0），y0＞0，则=（﹣1﹣x0，﹣y0），=（2﹣x0，﹣y0）．因为BC⊥CD，所以（﹣1﹣x0）（2﹣x0）+y02=0．①…（6分）又因为+y02=1，②联立①②，解得x0=﹣，y0=，…（8分）所以k==2．…（10分）（3），设C（x0，y0），则CD：y=（x+1）（﹣2＜x0＜2且x0≠﹣1），由消去y，得x2+8y02x+4y02﹣4（x0+1）2=0．…（12分）又因为+y02=1，所以得D（，），…（14分）所以===3，所以为定值．…（16分）20．（16分）已知函数f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=x﹣lnx（x＞0）的导数为f′（x）=1﹣=，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f （x）递减．即有f（x）在x=1处取得极小值，也为最小值，且为1；（2）存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，即为=2﹣lnx，即有a=，设g（x）=，x∈[1，3]，则g′（x）=（1﹣lnx）（1+），当1＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增；当e＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）递减．则g（x）在x=e处取得极大值，且为最大值e+；g（1）=2，g（3）=3（2﹣ln3）+＞2，则a的取值范围是[2，e+]；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，即为ax﹣lnx≥﹣ln，即有a（x﹣）≥2lnx，x≥1，令F（x）=a（x﹣）﹣2lnx，x≥1，F′（x）=a（1+）﹣，当x=1时，原不等式显然成立；当x＞1时，由题意可得F′（x）≥0在（1，+∞）恒成立，即有a（1+）﹣≥0，即a≥，由=＜=1，则a≥1．综上可得a的取值范围是[1，+∞）．。