第二章 随机变量及其分布

第二章随机变量及其分布

§2.1 随机变量

一、概念

对于随机试验：

E: }

A

B

B

A

S ，X表示射击中{AB

,

A

,

,

B

靶的次数，对应的取值为；0，1，2。

定义：随机变量是定义在样本空间

S={ω}上的一个单值实函数，记作X=X(ω),简记为X 。

二、 分类

1、 离散型随机变量

2、 非离散型随机变量

§2.2 离散型随机变量

一.离散型随机变量的分布

设离散型随机变量可能取的值为:,,,21

ΛΛx x

取这些值的概率为

P(X=x i )= p i ,i=1,2,... (2.1) 称(2.1)式为离散型随机变量X 的分布律。(2.1)式也可以用表格的形式表示如下:

上述表格称为离散型随机变量X 的分布列，分布列也可以表示成下列矩阵的形式：

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ΛΛΛΛi i p p p x x x 2121

离散型随机变量的分布律，分布列（以及下一节介绍的分布函数）统称

为离散型随机变量的概率分布，简称为离散型随机变量的分布。

根据概率的性质，可知离散型随机变量的分布律具有下列性质 （1）p i ≥0,i=1,2,...

（2）

1

=∑i

i

p

常见的几种分布 1、 单点分布

例: 若随机变量X 只取一个常数值C ，即P(X=C)=1，则称X 服从单点分布。（也叫退化分布。）

2、0-1分布

例:若随机变量X只能取两个数值0或1，其分布为

0

X )=p k q1-k ,k=0,1

则称X 服从参数为p 的两点分布或参数为p的0-1分布。

3、几何分布

例:一射手每次打靶射击一发子弹，打中的概率为p(0

或记为

P(k

X=)=p

q k1-, k=1,2, ... 则称X服从参数为p的几何分布。

4、超几何分布

例:设一批同类型的产品共有N 件，其中次品有M件。今从中任取n(假定n≤N-M)件，则这n件中所含的次品数X是一个离散型随机变量，其分布为

n

N

m n M

N m M C C C m X P --==)(,m=0,1…,k ,k=min(M

,n)

则称X 服从超几何分布。

(二） 二项分布

在n 重伯努利试验中，事件A 发生的次数X 是一个离散型随机变量，其分布为 P( X= k )=k

n k

k

n

q

p C -,k=0,1,2,⋯,n,

称X 服从参数为n ，p 的二项分布。记为 ),(~p n B X 。

例2:P39.

例3:P40.

在电脑上，应用相应的数学或统计分析软件，这些概率是很容易计算出来的，所以，还有必要用逼近的方法吗？

泊松分布

1． 定义 若离散型随机变量X 的分布为

λ

λ-=

=e k k X P k

!

)(，

k=0,1,2,⋯ 其中常数λ>0，则称X 服从参数为λ的泊松分布,记为

)(~λπX 。

2． 泊松Poisson 定理P41, 设有一列二项分布X n

～B(n p n ,), n=1,

2, ...,如果λ=∞

>-n

n np

lim , λ

为与

n 无关的正常数，则对任意固定的非负整数k ，均有

{}λ

λ--∞

→∞

→=-==e k p p C k X P k k

n n k n k n n n n !

)1(lim lim 证略。

例5:P43. 例6:P44,自学。

§2.3 随机变量的分布函数

一、概念

定义2.1设X是一随机变量（不论

是离散型还是非离散型），

对任意的实数x,令

P

x

F≤

= (2.11) (x

X

(

)

)

则称F（x）为X的分布函

数。

例1:（书上例2.8）设X服从

参数为p的（0-1）分布，即：

k

q p k X P k

-==1)(,

k

= 0,1,其中

0

例: 设R.V. X 的分布函数为

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨

⎧≥<≤<≤--<=3

1

318.0114.010)(x x x x x F

求X 的概率分布。

二、性质

性质1 若x 1

F(x )是x 的单调不减函数。

性质2 对任意的实数x ，均有

0≤ F(x )≤1 (2.15) 且

0)(lim =-∞

→x F x (2.16)

1)(lim =+∞

→x F x

(2.17)

性质3 对任意的实数x 0,有

)()(0

lim 0x F x F x x =+

→